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专题 06 三角形全等、相似及综合应用模型
题型解读｜模型构建｜通关试练
三角形的相关知识是解决后续很多几何问题的基础，所以是中考考试的必考知识点。在考察题型上，
三角形基础知识部分多以选择或者填空题形式，考察其三边关系、内角和/外角和定理、“三线”基本性质
等。特殊三角形的性质与判定也是考查重点，年年都会考查，最为经典的“手拉手”模型就是以等腰三角
形为特征总结的，且等腰三角形单独出题的可能性还是比较大。直角三角形的出题类型可以是选择填空题
这类小题，也可以是各类解答题，以及融合在综合压轴题中，作为问题的几何背景进行拓展延伸。
模型01 与三角形有关的线段应用
高（AD） 中线（AD） 角平分线（AD） 中位线（DE）
BD=CD
AD=DB AE=EC
1
S ABD =S ADC ∠BAD=∠DAC= ∠B
∠ADB=∠ADC=90° 2
1
AC DE= BC DE∥BC
△ △ 2
C −C =AC−AB
∆ACD ∆ABD
模型02 与三角形有关的角的应用
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（1）三角形的内角：
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大
于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平
行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法
求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
（2）三角形的外角：
（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．
（2）三角形的外角性质：
①三角形的外角和为360°．
②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．
（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．
（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．
模型03 三角形全等的判定及应用
（1）全等三角形的定义：
全等的图形必须满足：（1）形状相同；（2）大小相等
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。
注：记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
（2）全等三角形的性质：
全等三角形的对应边相等，全等三角形对应角相等。
（3）全等三角形的判定：
（1）两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）
（2）两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）
（3）两角分别相等且其中一组等角的对边对应相等的两个三角形全等
（简写成“角角边”或“AAS”）
（4）三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。
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模型04 三角形相似的判定及综合应用
（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；
这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时
要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形．
（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；
（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；
（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
模型05 三角形折叠问题探究
三角形折叠模型（一） 三角形折叠模型（二） 三角形折叠模型（三）
A
C'
E
2
B F C
∠2=2∠C 1 1
2∠C=∠1+∠2或 ∠C= 2∠C=∠2-∠1或 ∠C= （∠2-∠1）
2 2
（∠1+∠2）
模型06 三角形旋转问题探究（手拉手、半角模型）
该模型重点分析旋转中的两类全等模型（手拉手、半角），结合各类模型展示旋转中的变与不变，并结合
经典例题和专项训练深度分析基本图形和归纳主要步骤，同时规范了解题步骤，提高数学的综合解题能力。
（1）手拉手模型：
将两个三角形（或多边形）绕着公共顶点旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，
也叫旋转型全等。其中：公共顶点A记为“头”，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点记为
“左手”，第二个顶点记为“右手”。
手拉模型解题思路：SAS型全等（核心在于导角，即等角加（减）公共角）。
（2）半角模型：
1、半角模型概念：过多边形一个顶点作两条射线，使这两条射线夹角等于该顶角一半。
2、模型特征：等线段，共端点，含半角
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3、思想方法：通过旋转（或截长补短）构造全等三角形，实现线段的转化。
4、解题思路：一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，
然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。半角模型（题中出
现角度之间的半角关系）利用旋转——证全等——得到相关结论。
模型01 与三角形有关的线段应用
考｜向｜预｜测
与三角形有关的线段应用该题型近年主要以选择、填空形式出现，难度系数不大，在各类考试中都以
基础或中档题为主。解这类问题的关键是了解三角形的高线、角平分线、中线、中位线的性质，结合
三角形的性质及相关判定定理与推论进行解题。
答｜题｜技｜巧
第一步： 根据题意，判定所考察的知识点
第二步： 结合三角形的高线、角平分线、中线、中位线的性质进行解题；
第三步： 进行相关计算解决问题
例1.（2022·安徽）如图， 和 是 的中线，则以下结论：① ；② 是 的重心；③
与 面积相等；④过 的直线平分线段 ；⑤ ；⑥ ，其中正确的结
论有（ ）
A．①②③⑤ B．①②③④ C．②③⑥ D．①②⑤⑥
【答案】B
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【详解】解：∵ 和 是 的中线，
∴ ， 分别为 ， 的中点，
∴ ， ，故①正确；
∵ 和 是 的中线，
∴点 是 的重心，故②正确；
∵ ，
∴ ，故③正确；
∵点 是 的重心，
∴过 的直线平分线段 ，故④正确；
根据已知条件无法判定 ， ，故⑤，⑥错误．
故选：B．
例2．（2023•辽宁）如图：在△ABC中，∠ABC＝45°，AD，BE分别为BC、AC边上的高，AD、BE相交
于点F．下列结论：①∠FCD＝45°；②AE＝EC；③S ：S ＝AD：FD；④若BF＝2EC，则BC＝
ABF AFC
△ △
AB．正确结论的序号是（ ）
A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①②
【答案】A
【详解】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝45°，
∴AD＝BD，
∵BE⊥AC，
∴∠BEC＝90°，
∴∠EBC+∠ACB＝90°，
∵∠EBC+∠BFD＝90°，
∴∠BFD＝∠ACB，
∴△BDF≌△ADC（AAS），
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∴DF＝CD，
∴∠FCD＝∠DFC＝45°，
故①正确；
∵BE⊥AC，
∴AE≠EC，
故②不正确；
∵ ＝ ＝ ，
∴S ：S ＝AD：FD，
ABF AFC
△ △
故③正确；
∵△BDF≌△ADC，
∴BF＝AC
∵BF＝2EC，
∴AC＝2EC，
∴E为AC的中点，
∵BE⊥AC，
∴BE为线段AC的垂直平分线，
∴BA＝BC，
故④正确，
所以，正确结论的序号是：①③④，
故选：A．
模型02 与三角形有关的角的应用
考｜向｜预｜测
与三角形有关的角的应用该题型主要以选择、填空形式出现，难度系数不大，在各类考试中得分率较
高。主要考查了三角形的内角和是定理，三角形的外角定理及结合三角形角平分线的定义，三角形高
的定义等看，灵活运用三角形的内角和定理进行角度的计算是解答此题的关键。
答｜题｜技｜巧
第一步： 直接根据两已知角求第三个角；
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第二步： 依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；
第三步： 在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角；
第四步： 若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质将它们转化到一个三角形中去．
例1．（20023·浙江）如图△ABC，已知BE为∠ABC的平分线．若∠ABC=62°，∠A比∠ABC大10°，
求∠BEC的度数是（ ）
A．134° B．114° C．46° D．103°
【答案】D
【详解】解：∵ BE平分∠ABC，且∠ABC=62°，
1
∴ ∠ABE= ∠ABC=31°，
2
∵ ∠A比∠ABC大10°，
∴ ∠A=72°，
∵ ∠BEC=∠A+∠ABE，
∴ ∠BEC=72°+31°=103°．
故选：D．
例2．（2023·吉林）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点E在射线BC上，EF⊥AD于F，
∠B=46°，∠ACE=80°，则∠E的度数为（ ）
A．22° B．27° C．53° D．63°
【答案】B
【详解】∵∠ACE=∠B+∠BAC,
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∴∠BAC=∠ACE−∠B=80°−46°=34°
∵AD平分∠BAC,
1
∴∠DAB= ∠BAC=17°,
2
∴∠ADC=∠B+∠DAB=46°+17°=63°
∵EF⊥AD,
∴∠EFD=90°,
∴∠E=90°−∠ADC=90°−63°=27°，
故选: B.
模型03 三角形全等的判定及应用
考｜向｜预｜测
三角形全等的判定及应用该题型近年考试中综合性较高，在各类考试中以解答题为主。解这类问题的
关键是准确迅速的在全等三角形的5种判定方法中，选用合适的方法，取决于题目中的已知条件，若
已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，
且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边。
答｜题｜技｜巧
第一步： 认真分析题目的已知和求证；
第二步： 分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系；
第三步： 在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构
造三角形；
第四步： 最后把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件
转化为三角形中的边角关系是关键．
例1．（2023•上海）如图，点 是 上任一点， ，从下列各条件中补充一个条件，不一
定能推出 的是
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A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解： 、补充 ，先证出 ，后能推出 ，故此选项错误；
、补充 ，先证出 ，后能推出 ，故此选项错误．
、补充 ，不能推出 ，故此选项正确；
、补充 ，先证出 ，后能推出 ，故此选项错误；
故选： ．
例 2．（2023•安徽）如图，点 、 分别在 、 上， 与 相交于点 ，连接 ，如果
， ，那么图中的全等三角形共有 对．
【答案】5
【详解】解：在 和 中，
，
，
， ，
， ，
，
在 和 中，
，
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，
在 和 中，
，
，
同理可得 ， ，
综上所述，图中的全等三角形共有5对．
故答案为：5．
模型04 三角形相似的判定及综合应用
考｜向｜预｜测
三角形相似的判定及综合应用该题型主要是在综合性大题中考试较多，一般情况下出现在与圆结合或
者利用相似求长度、类比探究题型，具有一定的综合性和难度。解这类问题的关键是熟练应用三角形
的判定方法，两组角对应相等，两个三角形相似；两组边对应成比例及其夹角相等，两个三角形相似；三
组边对应成比例，两个三角形相似。解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理以及数形结合和方
程思想的应用．
答｜题｜技｜巧
第一步： 认真分析题目的已知和求证；
第二步： 分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系；
第三步： 在应用三角形相似的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构
造三角形；
第四步： 最后把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件
转化为三角形中的边角关系是关键．
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例1.（2023·山西）如图， ， ， 分别交 于点G，H，则下列结论中错误的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵AB∥CD，
∴ ，
∴A选项正确，不符合题目要求；
∵AE∥DF，
∴∠CGE=∠CHD，∠CEG=∠D，
∴△CEG∽△CDH，
∴ ，
∴ ，
∵AB∥CD，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴B选项正确，不符合题目要求；
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∵AB∥CD，AE∥DF，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴AF=DE，
∵AE∥DF，
∴ ，
∴ ；
∴C选项正确，不符合题目要求；
∵AE∥DF，
∴△BFH∽△BAG，
∴ ，
∵AB＞FA，
∴
∴D选项不正确，符合题目要求．
故选D．
例2.（2023·安徽）图， ，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB＝2，CD＝3，求GH的
长．
【答案】
【详解】解：∵ ，
∴∠A=∠HGC，∠ABC=∠GHC，
∴△CGH∽△CAB，
∴ ，
∵ ，
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∴∠D=∠HGB，∠DCB=∠GHB，
BGH∽△BDC，
△
∴ ，
∴ ，
∵AB=2，CD=3，
∴ ，
解得：GH= ．
模型05 三角形折叠问题探究
考｜向｜预｜测
与圆的性质有关的证明与计算该题型近年主要以填空及综合性大题的形式出现，一般属于多解型问题，
难度系数较大。三角形的折叠问题注意折叠前后对应边相等、对应角相等，在多解题型中，准确画出
折叠后的图形是我们解题的关键。结合三角形相关的性质及判定定理与推论和其它几何的相关知识点
进行解题。
答｜题｜技｜巧
第一步： 运用折叠图形的性质找出相等的线段或角；
第二步： 在图形中找到一个直角三角形（选不以折痕为边的直角三角形），然后设图形中某一线段的
长为x，将此直角三角形的三边长用数或含有x的代数式表示出来；
第三步： 利用勾股定理列方程求出x；
第四步： 进行相关计算解决问题.
例1．（2023•山东）对于题目：“如图，点M，N分别是长方形ABCD的边AB和BC上的点，沿MN折叠
长方形ABCD，点B落在点B′处，若∠MNB′与∠CNB′两个角之差的绝对值为45°，确定∠BNM的所有度
数．”甲的结论是∠BNM＝45°，乙的结论是∠BNM＝60°．下列判断正确的是（ ）
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A．甲的结论正确
B．乙的结论正确
C．甲、乙的结论合在一起才正确
D．甲、乙的结论合在一起也不正确
【答案】D
【详解】解：由折叠的性质可知：∠MNB′＝∠BNM，
①当∠MNB′与∠CNB′两个角之差为45°，即∠MNB′＝∠CNB′+45°时，∠CNB′＝∠MNB′﹣45°＝∠BNM﹣
45°，
∵∠MNB′+∠MNB+∠CNB′＝180°，
∴∠BNM+∠BNM+∠BNM﹣45°＝180°，
解得：∠BNM＝75°，
②当∠CNB′与∠MNB′两个角之差为 45°，即∠MNB′＝∠CNB′﹣45°时，∠CNB′＝∠MNB′+45°＝
∠BNM+45°，
∵∠MNB′+∠MNB+∠CNB′＝180°，
∴∠BNM+∠BNM+∠BNM+45°＝180°，
解得：∠BNM＝45°
综上所述：∠BNM＝75°或45°．
故选：D．
例2．（2023•湖北）如图，△ABC中，点D是BC上一点，将△ABD沿着AD翻折，得到△ADE，AE交
BC于点F．若AE⊥BC，点D到AB的距离等于（ ）
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A．DF B．DB C．DC D．CF
【答案】A
【详解】解：由折叠可知：∠BAD＝∠EAD，
∵DF⊥AE，
∴点D到AB的距离等于DF，
故选：A．
模型06三角形旋转问题探究（手拉手、半角模型）
考｜向｜预｜测
三角形旋转问题探究（手拉手、半角模型）该题型主要以解答题的形式出现，综合性较强，有一定难度，
本专题重点分析旋转中的两类全等模型（手拉手、半角、对角互补模型），结合各类模型展示旋转中的变
与不变，并结合经典例题和专项训练深度分析基本图形和归纳主要步骤，同时规范了解题步骤，提高数学
的综合解题能力。
答｜题｜技｜巧
第一步： 找准旋转中心；
第二步： 确定以旋转中心为顶点的旋转角，旋转角所在的两个三角形不是全等就相似，全等的常用方
法SAS；
第三步： 学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题；
第四步： 数形结合进行分析、解答
例1．如图所示，在Rt ABC中，AB＝AC，D、E是斜边BC上的两点，且∠DAE＝45°，将△ADC
绕点A按顺时针方向旋△转90°后得到△AFB，连接EF，有下列结论：①BE＝DC；②∠BAF＝
∠DAC；③∠FAE＝∠DAE；④BF＝DC．其中正确的有（ ）
A．①②③④ B．②③ C．②③④ D．③④
【答案】C
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【详解】解：∵△ADC绕A顺时针旋转90°后得到△AFB，
∴△ABF≌△ACD，
∴∠BAF＝∠CAD，AF＝AD，BF＝CD，故②④正确，
∴∠EAF＝∠BAF+∠BAE＝∠CAD+∠BAE＝∠BAC﹣∠DAE＝90°﹣45°＝45°＝∠DAE故③正确
无法判断BE＝CD，故①错误，
故选：C．
例2．（2023·湖南）如图1，在Rt ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝4，点D，E分别为边AB，BC上的中点，
△
且BD＝BE＝ ．
(1)如图2，将△BDE绕点B逆时针旋转任意角度α，连接AD，EC，则线段EC与AD的关系是 ；
(2)如图3，DE∥BC，连接AE，判断△EAC的形状，并求出EC的长；
(3)继续旋转△BDE，当∠AEC＝90°时，请直接写出EC的长．
【答案】(1)EC＝AD，EC⊥AD(2)等腰三角形， (3)
【详解】
(1)EC与AD垂直且相等，理由如下：
延长CE交AD于F，交AB于O，
∵△BDE和 ABC都是等腰直角三角形，
∴BD＝BE，△AB＝BC，∠DBE＝∠ABC＝90°，
∴∠ABD＝∠CBE，∴△ABD≌△CBE（SAS），
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∴∠BCE＝∠BAD，CE＝AD，
∵∠AOF＝∠BOC，∴∠AFE＝∠ABC＝90°，
∴AD⊥CE，∴故答案为：EC＝AD，EC⊥AD；
(2)设DE与AB的交点为H，
∵DE∥BC，∴∠AHE＝∠ABC＝90°，
∵BD＝BE，∴AB是DE的垂直平分线，∴AD＝AE，由（1）知AD＝CE，
∴AE＝CE，∴△ACE是等腰三角形，
∵BE＝ ，∴BH＝HE＝1，∴AH＝AB﹣BH＝4﹣1＝3，
在Rt AHE中，由勾股定理得：AE＝ ，∴CE＝AE＝ ；
△
(3)如图4，当点E在BC上方时，过点B作BG⊥DE于G，
∵∠AEC＝90°，CE⊥AD，∴A、E、D三点共线，
∴AG＝ ，∴AD＝AG+DG＝ ，
∴CE＝AD＝ +1；如图，当点E在BC下方时，
同理可得CE＝CG﹣GE＝ ﹣1．综上：CE＝ +1或 ﹣1．
1.（2022•广东）如图，△ABC中，CD平分∠ACB，点M在线段CD上，且MN⊥CD交BA的延长线于点
N．若∠B＝30°，∠CAN＝96°，则∠N的度数为（ ）
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A．22° B．27° C．30° D．37°
【答案】B
【详解】解：如图所示，∠NAC是三角形ABC的一个外角，
∴∠NAC＝∠B+∠ACB，即∠ACB＝∠NAC﹣∠B；
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠DCB＝ ∠ACB，
∵∠B＝30°，∠CAN＝96°，
∴∠ACD＝ ∠ACB＝ （96°﹣30°）＝33°，
∵MN⊥CD，
∴在直角三角形OMC中，
∠COM＝90°﹣33°＝57°，
∵∠NOA与∠COM互为对顶角，
∴∠NOA＝∠COM＝57°，
∴∠N＝180°﹣57°﹣96°＝27°．
故选：B．
2．（2023•贵州）如图，小明从一张三角形纸片ABC的AC边上选取一点N，将纸片沿着BN对折一次使得
点A落在A′处后，再将纸片沿着BA′对折一次，使得点C落在BN上的C′处，已知∠CMB＝68°，∠A＝
18°，则原三角形的∠C的度数为（ ）
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A．87° B．84° C．75° D．72°
【答案】A
【详解】解：如图，
由题意得：△ABN≌△A′BN，△C′BN≌△CBM．
∴∠1＝∠2，∠2＝∠3，∠CMB＝∠C′MB＝68°．
∴∠1＝∠2＝∠3．
∴∠ABC＝3∠3．
又∵∠3+∠C+∠CMB＝180°，
∴∠3+∠C＝180°﹣∠CMB＝180°﹣68°＝112°．
又∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴18°+2∠3+（∠3+∠C）＝180°．
∴18°+2∠3+112°＝180°．
∴∠3＝25°．
∴∠C＝112°﹣∠3＝112°﹣25°＝87°．
故选：A．
3．（2023•陕西）如图，在Rt ABC中，∠ABC＝90°，以AC为边，作△ACD，满足AD＝AC，E为BC上
一点，连接AE，∠CAD＝2∠△BAE，连接DE，下列结论中：①∠ADE＝∠ACB；②AC⊥DE；③∠AEB＝
∠AED；④DE＝CE+2BE．其中正确的有（ ）
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A．①②③ B．③④ C．①④ D．①③④
【答案】D
【详解】解：如图，延长EB至G，使BE＝BG，设AC与DE交于点M，
∵∠ABC＝90°，
∴AB⊥GE，
∴AB垂直平分GE，
∴AG＝AE，∠GAB＝∠BAE＝ ∠DAC，
∵∠BAE＝ ∠GAE，
∴∠GAE＝∠CAD，
∴∠GAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC，
∴∠GAC＝∠EAD，
在△GAC与△EAD中，
，
∴△GAC≌△EAD（SAS），
∴∠G＝∠AED，∠ACB＝∠ADE，故①是正确的；
∵AG＝AE，
∴∠G＝∠AEG＝∠AED，故③正确；
∴AE平分∠BED，
当∠BAE＝∠EAC时，∠AME＝∠ABE＝90°，则AC⊥DE，
当∠BAE≠∠EAC时，∠AME≠∠ABE，则无法说明AC⊥DE，故②是不正确的；
∵△GAC≌△EAD，
∴CG＝DE，
∵CG＝CE+GE＝CE+2BE，
∴DE＝CE+2BE，故④是正确的，
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综上所述：其中正确的有①③④．
故选：D．
4．（2023•四川）如图，在直角△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中
点D重合，折痕为MN，则线段AN的长为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】B
【详解】解：设AN＝x，由翻折的性质可知DN＝AN＝x，则BN＝9﹣x．
∵D是BC的中点，
∴BD＝ ＝3．
在Rt BDN中，由勾股定理得：ND2＝NB2+BD2，即x2＝（9﹣x）2+33，
解得：△x＝5．
AN＝5．
故选：B．
5. （2023•重庆）如图，在边长为6的正方形 内作 ， 交 于点 ， 交 于点
，连接 ，将 绕点 顺时针旋转90°得到 ，若 ，则 的长为 ．
【答案】5
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【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，且边长为6，
∴ ，∵ 绕点 顺时针旋转90°得到 ，
∴ ，∴点G、B、E三点共线，
∵ ，∴ ，∵AE=AE，∴ ，∴ ，
设 ，则有 ，∴在Rt ECF中，由勾股定理可得 ，
△
即 ，解得： ，∴ ；
故答案为5．
6.（2023·山东）如图， 中，点 在 上， ，若 ， ，则线段 的长为
．
【答案】
【详解】解：如图所示，延长 到 ，使 ，连接 ，
∴
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
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∴ ，即 ，
解得： ，
故答案为： ．
7．（2023·上海）等边 中，点 在 内，点 在 外，且 ， ，问
是什么形状的三角形？试说明你的结论．
【答案】等边三角形．
【详解】解： 为等边三角形．
证明： 为等边三角形，
．
在 与 中，
，
．
， ．
，
，
是等边三角形．
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8.（2022·安徽）如图，在 ABC中，D为BC边上的一点，且AC= ，CD＝4，BD＝2，求证：
△
ACD∽△BCA．
△
【答案】证明见解析．
【详解】解：∵AC= ，CD＝4，BD＝2
∴ ，
∴
∵∠C =∠C
∴△ACD∽△BCA．
9．（2023•西安）如图，在△ABC中，∠B＝42°，∠C＝68°，点E为线段AB的中点，点F在边AC上，连
接EF，沿EF将△AEF折叠得到△PEF．
（1）如图1，当点P落在BC上时，求∠BEP的度数；
（2）如图2，当PF⊥AC时，求∠AEF的度数．
【答案】（1）96°；（2）65°．
【详解】解：（1）∵△AEF沿EF折叠得到△PEF，
∴△AEF≌△PEF，
∴AE＝PE，
∵点E为线段AB的中点，
∴AE＝PE，
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∴BE＝EP，
∴∠B＝∠EPB＝42°，
∴∠BEP＝180°﹣∠B﹣∠EPB＝180°﹣42°﹣42°＝96°；
（2）由（1）得△AEF≌△PEF，
又∵PF⊥AC，
∴∠AFP＝90°，
∴∠AFE＝∠PFE＝ AFP＝45°，
∵∠B＝42°，∠C＝68°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝70°，
在△AEF中，∠AEF＝∠PEF＝180°﹣∠BAC﹣∠AFE＝65°．
10．（2023•江苏）已知直线MN与PQ互相垂直，垂足为O，点A在射线OQ上运动，点B在射线OM上
运动，点A、B均不与点O重合．
【探究】如图1，AI平分∠BAO，BI平分∠ABO．
①若∠BAO＝40°，则∠ABI＝ 2 5 °．
②在点A、B的运动过程中，∠AIB的大小是否会发生变化？若不变，求出∠AIB的度数；若变化，请说明
理由．
【拓展】如图2，AI平分∠BAO交OB于点I，BC平分∠ABM，BC的反向延长线交AI的延长线于点D．
在点A、B的运动过程中，∠ADB的大小是否会发生变化？若不变，直接写出∠ADB的度数；若变化，直
接写出∠ADB的度数的变化范围．
【答案】（1）25°；（2）不变，∠AIB＝135°；不变，∠ADB＝45°
【详解】解：【探究】①∵MN⊥PQ，
∴∠AOB＝90°，
∵∠BAO＝40°，
∴∠ABO＝90°﹣∠BAO＝50°，
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∵BI平分∠ABO，
∴∠ABI＝ ∠ABO＝25°；
故答案为：25；
②不变，∠AIB＝135°．
∵AI平分∠BAO，BI平分∠ABO，
∴ ， ，
∴ ＝
＝ ，
∵直线MN与PQ互相垂直，垂足为O，
∴∠AOB＝90°，
∴ ．
【拓展】不变，∠ADB＝45°，理由如下：
∵AI平分∠BAO，BC平分∠ABM，
∴∠CBA＝ ∠MBA，∠BAI＝ ∠BAO，
∵∠CBA＝∠ADB+∠BAD，∠AOB＝90°，
∴∠ADB＝∠CBA﹣∠BAD＝ ∠MBA﹣ ∠BAO＝ （∠MBA﹣∠BAO）＝ ∠AOB＝ ×90°＝45°，
∴点A、B在运动的过程中，∠ADB＝45°．
1．如图，AE是△ABC的中线，点D是BE上一点，若BD＝5，CD＝9，则CE的长为（ ）
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A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【详解】解：∵BD＝5，CD＝9，
∴BC＝BD+CD＝14，
∵AE是△ABC的中线，
∴CE＝BE＝ BC＝7，
故选：C．
2．如图，在△ABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高，下列结论不一定成立的是（ ）
A．BC＝2CE B．
C．∠AFB＝90° D．AE＝CE
【答案】D
【详解】解：∵AE是中线，
∴BE＝CE，
BC＝2CE．
∴故选项A正确，不符合题意；
∵AF是高，
∴∠AFB＝90°，故选项C正确，不符合题意；
∵AD是角平分线，
∴∠BAD＝ ∠BAC．
故选项B正确，不符合题意；
根据题意不一定得出AE＝CE，
故选项D不正确符合题意．
故选：D．
3．如图，在△ABC 中，AF 是高，AD 平分∠BAC，∠BAC＝80°，∠C＝60°，则∠DAF 的度数是（
）
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A．10° B．15° C．20° D．30°
【答案】A
【详解】解：∵AF是高，
∴∠AFC＝90°，
∴∠C+∠CAF＝90°，
∵∠C＝60°，
∴∠CAF＝30°，
∵AD平分∠BAC，∠BAC＝80°，
∴∠CAD＝∠BAD＝40°，
∴∠DAF＝∠CAD﹣∠CAF＝40°﹣30°＝10°，
故选：A．
4．（2023•大同）如图，P是△ABC内一点，连接BP，CP，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠A＝100°，则
∠BPC的度数为（ ）
A．110° B．120° C．130° D．140°
【答案】D
【详解】解：在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∵∠A＝100°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣100°＝80°，
即∠1+∠2+∠3+∠4＝80°，
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴2∠2+2∠4＝80°，
∴∠2+∠4＝40°，
在△BPC中，∠BPC+∠2+∠4＝180°，
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∴∠BPC＝140°，
故选：D．
5．（2023·江苏）如图，在 中， ， ，点 在 的延长线上， ，
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：过点 作 ，垂足为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选： ．
6．（2023·广东）如图，在等边三角形 中，E为 上一点，过点E的直线交 于点F，交 延长
线于点D，作 垂足为G，如 ， ，则 的长为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：过E作 ，
∵ 是等边三角形， ，
，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ， ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 与 中，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
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∴ ，
故选：C．
7．如图， 中， ， ， 的平分线与 的垂直平分线交于O，将 沿
（E在 上，F在 上）折叠，点C与O点恰好重合，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：连接 ，
∵ 是 的平分线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是 的垂直平分线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为 的平分线，
∴点O是 的外心，
∴ ，
∴ ，
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∵将 沿 （E在 上，F在 上）折叠，点C与O点恰好重合，
∴ ，
∴ ，
在 中， ．
故选：D．
8．如图，等边 的边长为6，D是 的中点，E是 边上的一点，连接 ，以 为边作等边
，若 ，则线段 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：过点 作 ，交 于点 ， 于点 ，过点 作 于点 ，
∵等边 的边长为6，D是 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∵等边 ，
∴ ，
∵ ，
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∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
故选A．
9．（2023·四川）如图， 为线段 上一动点（不与点 ， 重合），在 同侧分别作正三角形 和
正三角形 ， 与 交于点 ， 与 交于点 ， 与 交于点 ，连接 ．以下四个结论：
； ； ； 连接 ，则 ．恒成立的结论有（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵ 和 是等边三角形，
∴ ， ， ，
∴ ，
即 ，
在 与 中，
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，
∴ ，
∴ ，故 小题正确；
∵ （已证），
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故 小题正确；
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，故 正确；
在 上截取 ，
连接 ，分别过点 作 ， ，
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∵ ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴∠ ，
∵ ， ， ，
∴ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故 正确．
故选： ．
10．添加辅助线是很多同学感觉比较困难的事情．如图 1，在Rt ABC中，∠ABC＝90°，BD是高，E是
△
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△ABC外一点，BE＝BA，∠E＝∠C，若DE＝ BD，AD＝16，BD＝20，求△BDE的面积．同学们可以先
思考一下…，小颖思考后认为可以这样添加辅助线：在BD上截取BF＝DE，（如图2）．同学们，根据小
颖的提示，聪明的你可以求得△BDE的面积为 ．
【答案】64．
【详解】解：如图所示，连接AF，
∠ABD＝180°﹣∠BDA﹣∠BAD＝90°﹣∠BAD，
∠C＝180°﹣∠ABC﹣∠BAD＝90°﹣∠BAD，
∵∠ABD＝∠C，
∵∠E＝∠C，
∵∠ABD＝∠E，
在△ABF与△BED中，
，
∴△ABF≌△BED（SAS），
∴S ＝S ，
ABF BDE
△ △
∵ ，
∵BF＝ ×20＝8，
∴DF＝BD﹣BF＝20﹣8＝12，
∴S ＝ ×AD•DF＝ ×12×16＝96，
AFD
∵S △ ＝S ﹣S ，
ABF ABD AFD
∴S △ ＝S △ ＝1 △ 60﹣96＝64．
BDE ABF
故答△案为：△64．
11．如图，在Rt ABC中，∠ABC＝90°，以AC为边，作△ACD，满足AD＝AC，点E为BC上一点，连
△
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接AE，∠BAE＝ ∠CAD，连接DE．下列结论中正确的是 ．（填序号）
①AC⊥DE；
②∠ADE＝∠ACB；
③若CD∥AB，则AE⊥AD；
④DE＝CE+2BE．
【答案】②③④．
【详解】解：如图，延长EB至G，使BE＝BG，设AC与DE交于点M，
∵∠ABC＝90°，
∴AB⊥GE，
∴AB垂直平分GE，
∴AG＝AE，∠GAB＝∠BAE＝ ∠DAC，
∵∠BAE＝ ∠GAE，
∴∠GAE＝∠CAD，
∴∠GAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC，
∴∠GAC＝∠EAD，
在△GAC与△EAD中，
，
∴△GAC≌△EAD（SAS），
∴∠G＝∠AED，∠ACB＝∠ADE，
∴②是正确的；
∵AG＝AE，
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∴∠G＝∠AEG＝∠AED，
∴AE平分∠BED，
当∠BAE＝∠EAC时，∠AME＝∠ABE＝90°，则AC⊥DE，
当∠BAE≠∠EAC时，∠AME≠∠ABE，则无法说明AC⊥DE，
∴①是不正确的；
设∠BAE＝x，则∠CAD＝2x，
∴∠ACD＝∠ADC＝ ＝90°﹣x，
∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACD＝90°﹣x，
∴∠CAE＝∠BAC﹣∠EAB＝90°﹣x﹣x＝90°﹣2x，
∴∠DAE＝∠CAE+∠DAC＝90°﹣2x+2x＝90°，
∴AE⊥AD，
∴③是正确的；
∵△GAC≌△EAD，
∴CG＝DE，
∵CG＝CE+GE＝CE+2BE，
∴DE＝CE+2BE，
∴④是正确的，
故答案为：②③④．
12．（2023•长沙模拟）如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB＝AC，点E是BD上一点，
且∠ABD＝∠ACD，∠EAD＝∠BAC．
（1）求证：AE＝AD；
（2）若∠ACB＝65°，求∠BDC的度数．
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【答案】见试题解答内容
【详解】证明：（1）∵∠BAC＝∠EAD
∴∠BAC﹣∠EAC＝∠EAD﹣∠EAC
即：∠BAE＝∠CAD
在△ABE和△ACD中
，
∴△ABE≌△ACD（ASA），
∴AE＝AD；
（2）解：∵∠ACB＝65°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝65°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣65°﹣65°＝50°，
∵∠ABD＝∠ACD，∠AOB＝∠COD，
∴∠BDC＝∠BAC＝50°．
13．（2023·浙江）如图，在 中， ， ， 是 边上一点，连接 ，
，且 ， 与 交于点 ．
(1)求证： ．
(2)当 时，求证： 平分 ．
【答案】(1)证明见解析
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(2)证明见解析
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ．
（2）如图，设 、 交于点 ，
∵ ，由（1）得 ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 平分 ．
14．（2023·上海）如图，在 中， ， ，点D为线段 延长线上一点，以 为
腰作等腰直角 ，使 ，连接 ．
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(1)请判断 与 的位置关系，并说明理由；
(2)若 ， ，求线段 的长；
(3)如图2，在（2）的条件下，将 沿线段 翻折，使点A与点E重合，连接 ，求线段 的长．
【答案】(1) ，理由见解析
(2)
(3)
【详解】（1）解： ，理由如下：
∵等腰直角 ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，即 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
如图1，记 的交点为 ，
∵ ， ，
∴ ，
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∴ ；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
如图2，过 作 于 ，
∵ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
由勾股定理得， ，
∴线段 的长为 ；
（3）解：由翻折的性质可知， ， ，
∴ ，
如图3，过 作 于 ，过 作 于 ，
∴ ，
同理（2）可知， ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
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∴ ，
∴ ，
由勾股定理得， ，
∴线段 的长为 ．
15．【问题背景】
在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且
∠EAF＝60°，试探究图1中线段BE、EF、FD之间的数量关系．
【初步探索】
小亮同学认为：延长 FD 到点 G，使 DG＝BE，连接 AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明
△AEF≌△AGF，则可得到BE、EF、FD之间的数量关系是 EF ＝ BE + FD ．
【探索延伸】
在四边形ABCD中如图2，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC、CD上的点，∠EAF＝ ∠BAD，
上述结论是否仍然成立？说明理由．
【结论运用】
如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°
的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以 60海里/小时的速度
前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分
别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角（∠EOF）为70°，试求此时两舰艇之间的距离．
【答案】见试题解答内容
【详解】解：初步探索：EF＝BE+FD，
故答案为：EF＝BE+FD，
探索延伸：结论仍然成立，
证明：如图2，延长FD到G，使DG＝BE，连接AG，
∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADG+∠ADC＝180°
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∴∠B＝∠ADG，
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG，
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠EAF＝ ∠BAD，
∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠GAF，
在△AEF和△AGF中，
，
∴△AEF≌△AGF，
∴EF＝FG，
∴FG＝DG+FD＝BE+DF；
结论运用：解：如图3，连接EF，延长AE、BF交于点C，
∵∠AOB＝30°+90°+（90°﹣70°）＝140°，
∠EOF＝70°，
∴∠EOF＝ ∠AOB，
∵OA＝OB，
∠OAC+∠OBC＝（90°﹣30°）+（70°+50°）＝180°，
∴符合探索延伸中的条件
∴结论EF＝AE+BF成立，
即EF＝1.5×（60+80）＝210海里，
答：此时两舰艇之间的距离是210海里．
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