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专题22 解直角三角形模型之实际应用模型
解直角三角形是中考的重要内容之一，直角三角形边、角关系的知识是解直角三角形的基础。将实际
问题转化为数学问题是关键，通常是通过作高线或垂线转化为解直角三角形问题，在解直角三角形时要注
意三角函数的选取，避免计算复杂。在解题中，若求解的边、角不在直角三角形中，应先添加辅助线,构造
直角三角形。为了提高解题和得分能力，本专题重点讲解解直角三角形的实际应用模型。
模型1、背靠背模型
图1 图2 图3
【模型解读】若三角形中有已知角时，则通过在三角形内作高CD，构造出两个直角三角形求解，其中公
共边（高）CD是解题的关键.
【重要关系】如图1，CD为公共边，AD+BD=AB；
如图2，CE=DA，CD=EA，CE+BD=AB；
如图3，CD=EF，CE=DF，AD+CE+BF=AB。
例1．（2023年四川省中考数学真题）“科技改变生活”，小王是一名摄影爱好者，新入手一台无人机用
于航拍．在一次航拍时，数据显示，从无人机A看建筑物顶部B的仰角为 ，看底部C的俯角为 ，无
人机A到该建筑物 的水平距离 为10米，求该建筑物 的高度．（结果精确到 米；参考数据：
， ）
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例2．（2023湖南省衡阳市中考数学真题）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，如代替人们
在高空测量距离和高度．圆圆要测量教学楼 的高度，借助无人机设计了如下测量方案：如图，圆圆在
离教学楼底部 米的C处，遥控无人机旋停在点C的正上方的点D处，测得教学楼 的顶部B处的俯
角为 ， 长为 米．已知目高 为 米．(1)求教学楼 的高度．(2)若无人机保持现有高度沿平
行于 的方向，以 米/秒的速度继续向前匀速飞行，求经过多少秒时，无人机刚好离开圆圆的视线
．
例3．（2023年湖北中考数学真题）为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为
梯形 ，斜面坡度 是指坡面的铅直高度 与水平宽度 的比．已知斜坡 长度为20米，
，求斜坡 的长．（结果精确到米）（参考数据： ）
例4．（2023年山东省菏泽市中考数学真题）无人机在实际生活中的应用广泛，如图所示，某人利用无人
机测最大楼的高度 ，无人机在空中点P处，测得点P距地面上A点80米，点A处俯角为 ，楼顶C
点处的俯角为 ，已知点A与大楼的距离 为70米（点A，B，C，P在同一平面内），求大楼的高度
（结果保留根号）
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模型2、母子模型
图1 图2 图3 图4
【模型解读】若三角形中有已知角，通过在三角形外作高 BC，构造有公共直角的两个三角形求解，其中
公共边BC是解题的关键。
【重要等量关系】
如图1，BC为公共边，AD+DC=AC；如图2，BC为公共边，DC- BC= DB；
如图3，DF=EC，DE=FC，BF+DE=BC，AE+DF=AC；如图4，AF=CE，AC=FE，BC+AF= BE。
图5 图6 图7 图8 图9
如图5，BE+EC= BC； 如图6，EC- BC= BE；
如图7，AC=FG，AF=CG，AD+DC=FG，BC+AF= BG；
如图8，BC=FG，BF=CG，AC+BF=AG，EF+ BC= EG；
如图9，BC=FG，BF=CG，EF+BC=EG，BD+DF= BF，AC+ BD+ DF=AG。
例1．（2023·河北沧州·模拟预测）如图1，嘉淇在量角器的圆心 处下挂一铅锤，制作了一个简易测角仪．
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将此测角仪拿到眼前，使视线沿着仪器的直径刚好到达树的最高点 ．
(1)在图1中，过点 画出水平线，并标记观测 的仰角 ．若铅垂线在量角器上的读数为 ，求 的值；
(2)如图2，已知嘉淇眼睛离地 米，站在 处观测 的仰角为（1）中的 ，向前走 米到达 处，此
时观测点 的仰角为 ，求树 的高度．（注： ， ， ）
例2．（2023·内蒙古·统考中考真题）某数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度CD．如图所示，一
架水平飞行的无人机在A处测得河流左岸C处的俯角为，无人机沿水平线AF 方向继续飞行12米至B处，
D 30 AM 24 3 M C D
测得河流右岸 处的俯角为 ，线段 米为无人机距地面的铅直高度，点 ， ， 在同一
tan2 CD 31.7
条直线上，其中 ．求河流的宽度 （结果精确到1米，参考数据： ）．
例3．（2023年山东省青岛市中考数学真题）太阳能路灯的使用，既方便了人们夜间出行，又有利于节能
减排．某校组织学生进行综合实践活动——测量太阳能路灯电池板的宽度．如图，太阳能电池板宽为 ，
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点O是 的中点， 是灯杆．地面上三点D，E与C在一条直线上， ， ．该校学生
在D处测得电池板边缘点B的仰角为 ，在E处测得电池板边缘点B的仰角为 ．此时点A、B与E在
一条直线上．求太阳能电池板宽 的长度．（结果精确到 ．参考数据： ， ，
， ）
例4．（2023年四川省内江市中考数学真题）某中学依山而建，校门A处有一坡角 的斜坡 ，长
度为30米，在坡顶B处测得教学楼 的楼顶C的仰角 ，离B点4米远的E处有一个花台，
在E处测得C的仰角 ， 的延长线交水平线 于点D，求 的长（结果保留根号）．
模型3、拥抱模型
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图1 图2 图3 图4
【模型解读】分别解两个直角三角形，其中公共边BC是解题的关键。
【重要等量关系】如图1，BC为公共边；如图2，BF+ FC+CE=BE；如图3，BC+ CE= BE；
如图4，AB=GE，AG=BE，BC+CE=AG, DG+AB= DE。
例1．（2023•包河区三模）如图，校园内两栋教学楼AB和CD之间有一棵古树EF，从楼顶C处经过树顶
E点恰好看到教学楼AB的底部B点且俯角 为30°，从教学楼CD的底部D处经过树顶E点恰好看到教学
楼AB的顶部A点，且仰角 为53°，已知树α高EF＝6米，求DF的长及教学楼AB的高度．（结果精确到
β
0.1米，参考数据： ＝1.73、sin53°≈ 、cos53°≈ 、tan53°≈ ）
例2．（2022•巴中模拟）如图，小明和小亮周末到巴人广场测量两栋楼AB和CD的高度，小明将木杆EF
放在楼AB和CD之间（垂直于水平面），小亮将测角仪放在 G处（A、F、G三点在一条直线上），测得
楼AB顶部的仰角∠AGB＝30°，再将测角仪放在H处（D、F、H三点在一条直线上），测得楼CD顶部的
仰角∠DHC＝60°，同时测得BE＝15m，CE＝14m，EG＝6m．（点A、B、C、D、E、F、G、H均在同一
平面内，结果精确到0.1米， ≈1.732）（1）求楼AB的高度；（2）求楼CD的高度．
例3．（2023年浙江省湖州市中考数学真题）某数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度，采用以下方法：
如图，把支架 放在离树 适当距离的水平地面上的点F处，再把镜子水平放在支架 上的点E
处，然后沿着直线 后退至点D处，这时恰好在镜子里看到树的顶端A，再用皮尺分别测量 ，
，观测者目高 的长，利用测得的数据可以求出这棵树的高度．已知 于点D，
于点F， 于点B， 米， 米， 米， 米，则这棵树的高度（
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的长）是 米．
例4．（2023年天津市中考数学真题）综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度．
如图，塔 前有一座高为 的观景台，已知 ，点E，C，A在同一条水平直线上．
某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为 ，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为 ．(1)求
的长；(2)设塔 的高度为h（单位：m）．①用含有h的式子表示线段 的长（结果保留根号）；②求
塔 的高度（ 取0.5， 取1.7，结果取整数）．
课后专项训练
1．（2023年浙江省衢州市中考数学真题）如图，一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上，调节
杆 ， ， 的最大仰角为 .当 时，则点 到桌面的最大高度是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·浙江金华·中考真题）一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，已知 ，
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，则房顶A离地面 的高度为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023年山东省日照市中考数学真题）日照灯塔是日照海滨港口城市的标志性建筑之一，主要为日照
近海及进出日照港的船舶提供导航服务．数学小组的同学要测量灯塔的高度，如图所示，在点B处测得灯
塔最高点A的仰角 ，再沿 方向前进至C处测得最高点A的仰角 ， ，
则灯塔的高度 大约是（ ）（结果精确到 ，参考数据： ， ）
A． B． C． D．
4．（2022·黑龙江牡丹江·中考真题）小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°，小明在坡比为5∶12的山坡上
走1300米，此时小明看山顶的角度为60°，求山高( )
A．(600－250 )米 B．(600 －250)米 C．(350＋350 )米 D．500 米
5．（2022·贵州毕节·中考真题）如图，某地修建一座高 的天桥，已知天桥斜面 的坡度为 ，
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则斜坡 的长度为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·云南昆明·校考模拟预测）为做好疫情防控工作，确保师生生命安全，学校每日都在学生进校前
进行体温检测．某学校大门 高6.5米，学生 身高1.5米，当学生准备进入体温检测有效识别区域时，
在点D处测得摄像头A的仰角为 ，当学生刚好离开体温检测有效识别区域 段时，在点C处测得摄
像头A的仰角为 ，则体温检测有效识别区域 段的长为（ ）
A． 米 B． 米 C．10米 D．5 米
7．（2023年湖北省黄石市中考数学真题）如图，某飞机于空中 处探测到某地面目标在点 处，此时飞
行高度 米，从飞机上看到点 的俯角为 飞机保持飞行高度不变，且与地面目标分别在两条平
行直线上同向运动．当飞机飞行 米到达点 时，地面目标此时运动到点 处，从点 看到点 的仰角
为 ，则地面目标运动的距离 约为 米．（参考数据： ）
8．（2023年湖北省黄冈市中考数学真题）综合实践课上，航模小组用航拍无人机进行测高实践．如图，
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无人机从地面 的中点A处竖直上升30米到达B处，测得博雅楼顶部E的俯角为 ，尚美楼顶部F的
俯角为 ，已知博雅楼高度 为15米，则尚美楼高度 为 米．（结果保留根号）
9．（2023·浙江·校考三模）如图1是两扇推拉门，AB是门槛，AD，BC是可转动门宽，且AB＝2AD＝
2BC．现将两扇门推到如图2（图1的平面示意图）的位置，其中 ，且点A，C，D在一条直线上，
测得A，C间的距离为 cm，则门宽AD＝_______．如图3，已知∠A＝30°，∠B＝60°，点P在AB上，
且AP＝54cm，点M是AD上一动点，将点M绕点P顺时针旋转60°至M′，则CM′的最小距离是
_______cm．
10．（2023年浙江省绍兴市中考数学真题）图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱 垂直地面 ，
支架 与 交于点 ，支架 交 于点 ，支架 平行地面 ，篮筺 与支架 在同一
直线上， 米， 米， ．
(1)求 的度数．(2)某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在発子上，最高可以把篮网挂到离地面
米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．（参考数据：
）
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11．（2023年浙江省温州市中考数学真题）根据背景素材，探索解决问题．
测算发射塔的高度
某兴趣小组在一幢楼房窗口测算远处小山坡上发
射塔的高度 （如图1）．他们通过自制的测
倾仪（如图2）在 ， ， 三个位置观测，测
倾仪上的示数如图3所示．
背
景
素
材
经讨论，只需选择其中两个合适的位置，通过测量、换算就能计算发射塔的高度．
问题解决
分析规划 选择两个观测位置：点_________和点_________
任
务
写出所选位置观测角的正切值，并量出观测点之
1 获取数据
间的图上距离．
任
务 推理计算 计算发射塔的图上高度 ．
2
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任
楼房实际宽度 为 米，请通过测量换算发射
务 换算高度
塔的实际高度．
3
注：测量时，以答题纸上的图上距离为准，并精确到1 ．
12．（2023年浙江省丽水市中考数学真题）如图，某工厂为了提升生产过程中所产生废气的净化效率，需
在气体净化设备上增加一条管道 ，已知 ， ，求管
道 的总长．
13．（2023年浙江省台州市中考数学真题）教室里的投影仪投影时，可以把投影光线 ， 及在黑板上
的投影图像高度 抽象成如图所示的 ， ．黑板上投影图像的高度 ， 与
的夹角 ，求 的长．（结果精确到1cm．参考数据： ， ，
）
14．（2023年浙江省宁波市中考数学真题）某综合实践研究小组为了测量观察目标时的仰角和俯角，利用
量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示．
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(1)如图2，在 点观察所测物体最高点 ，当量角器零刻度线上 两点均在视线 上时，测得视线与
铅垂线所夹的锐角为 ，设仰角为 ，请直接用含 的代数式示 ．
(2)如图3，为了测量广场上空气球 离地面的高度，该小组利用自制简易测角仪在点 分别测得气球
的仰角 为 ， 为 ，地面上点 在同一水平直线上， ，求气球 离地
面的高度 ．（参考数据： ， ）
15．（2023年浙江省金华市中考数学真题）问题：如何设计“倍力桥”的结构？
图1是搭成的“倍力桥”，纵梁 夹住横梁 ，使
得横梁不能移动，结构稳固．
图 是长为 ，宽为 的横梁侧面示意图，三
个凹槽都是半径为 的半圆．圆心分别为
，纵梁是底面
半径为 的圆柱体．用相同规格的横梁、纵梁搭
“桥”，间隙忽略不计．
探究 ：图 是“桥”侧面示意图， 为横梁与地面的交点， 为圆心， 是横梁侧面两边的
交点．测得 ，点 到 的距离为 ．试判断四边形 的形状，并求 的值．
探究2：若搭成的“桥”刚好能绕成环，其侧面示意图的内部形成一个多边形．
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①若有12根横梁绕成环，图4是其侧面示意图，内部形成十二边形 ，求 的值；
②若有 根横梁绕成的环（ 为偶数，且 ），试用关于 的代数式表示内部形成的多边形
的周长．
16．（2023年浙江省嘉兴（舟山）市中考数学真题）图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在
摄像头视角围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头 的仰角、俯角均为 ，摄像头高度 ，
识别的最远水平距离 ．
(1)身高 的小杜，头部高度为 ，他站在离摄像头水平距离 的点C处，请问小杜最少需要
下蹲多少厘米才能被识别．(2)身高 的小若，头部高度为 ，踮起脚尖可以增高 ，但仍无法被
识别．社区及时将摄像头的仰角、俯角都调整为 （如图3），此时小若能被识别吗？请计算说明．（精
确到 ，参考数据 ）
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17．（2022·浙江嘉兴·中考真题）小华将一张纸对折后做成的纸飞机如图1，纸飞机机尾的横截面是一个轴
对称图形，其示意图如图2．已知 ， ， ， ， ．
（结果精确到0.1 ，参考数据： ， ， ， ，
， ）。(1)连结 ，求线段 的长．(2)求点A，B之间的距离．
18．（2022·浙江绍兴·中考真题）圭表（如图 是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文
仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表” 和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为
“圭” ，当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，
日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表 垂直圭 ，
已知该市冬至正午太阳高度角（即 为 ，夏至正午太阳高度角（即 为 ，圭面上冬至线
与夏至线之间的距离（即 的长）为4米．(1)求∠BAD的度数．(2)求表AC的长（最后结果精确到0.1
米）．（参考数据：sin37°≈ ，cos37°≈ ，tan37°≈ ，tan84°≈ ）
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19．（2022·浙江金华·中考真题）图1是光伏发电场景，其示意图如图2， 为吸热塔，在地平线 上
的点B， 处各安装定日镜（介绍见图3）．绕各中心点 旋转镜面，使过中心点的太阳光线经镜面
反射后到达吸热器点F处．已知 ，在点A观测点F的仰角为 ．
（1）点F的高度 为______m．（2）设 ，则 与 的数量关系是_______．
20．（2023·浙江金华·校考一模）金华新金婺大桥是华东第一的独塔斜拉桥，如图1是新金婺大桥的效果
图．2022年4月13日开始主塔吊装作业．如图2，我们把吊装过程抽象成如下数学问题：线段 为主塔，
在离塔顶10米处有一个固定点 米 ．在东西各拉一根钢索 和 ，已知 等于214米．吊
装时，通过钢索 牵拉，主塔 由平躺桥面的位置，绕点O旋转到与桥面垂直的位置．中午休息时
，此时一名工作人员在离M 米的B处，在位于B点正上方的钢索上A点处挂彩旗． 正
好是他的身高 米．（1）主塔 的高度为 _____米，（精确到整数米）（2）吊装过程中，钢索 也
始终处于拉直状态，因受场地限制和安全需要， 与水平桥面的最大张角在 到 之间 即
， 的取值范围是 _____．（注： ， ）．
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