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专题 14 全等与相似模型-一线三等角（K 字）模型
全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综
合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本
解题模型，再遇到该类问题就信心更足了．本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.一线三等角（K型图）模型
【模型解读】在某条直线上有三个角相等，利用平角为180°与三角形内角和为180°，证得两个三角形全等。
【常见模型及证法】
同侧型一线三等角：
锐角一线三等角 直角一线三等角（“K型图”） 钝角一线三等角
条件： + CE=DE
证明思路： + 任一边相等
异侧型一线三等角：
锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角
条件： + 任意一边相等
证明思路： +任一边相等
例1．（2021·山东日照·中考真题）如图，在矩形 中， ， ，点 从点 出发，以
的速度沿 边向点 运动，到达点 停止，同时，点 从点 出发，以 的速度沿 边向点
运动，到达点 停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当 为_____时，
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与 全等．
例2．（2022·黑龙江·九年级期末）（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，直线m
经过点A，BD⊥直线m， CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明∶DE=BD+CE．
（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有
∠BDA=∠AEC=∠BAC= ，其中 为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出
证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两
动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连
接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状．
例3．（2022·广东·汕头市潮阳区一模）（1）模型建立，如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，
CB=CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于D，过B作BE⊥ED于E．求证：△BEC≌△CDA；
（2）模型应用：①已知直线AB与y轴交于A点，与 轴交于B点，sin∠ABO= ，OB=4，将线段AB绕点
B逆时针旋转90度，得到线段BC，过点A，C作直线，求直线AC的解析式；
②如图3，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为（8，6），A，C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，
已知点D在第一象限，且是直线y=2 5上的一点，若△APD是以D为直角顶点的等腰直角三角形，请求
出所有符合条件的点D的坐标．
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例4．（2023·湖南岳阳·统考一模）如图，在ABC中，AB=AC=2，∠B=40°，点D在线段BC上运动（点D
不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于点E．
（1）当∠BDA=115°时，∠EDC=______°，∠AED=______°；（2）线段DC的长度为何值时，
ABD≌△DCE，请说明理由；（3）在点D的运动过程中， ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，
△求∠BDA的度数；若不可以，请说明理由． △
例5．（2022·浙江杭州·一模）老师在上课时，在黑板上写了一道题：
“如图，ABCD是正方形，点E在BC上，DF⊥AE于F，请问图中是否存在一组全等三角形？”
小杰同学经过思考发现：△ADF≌△EAB．
理由如下：因为ABCD是正方形（已知）所以∠B＝90°且AD＝AB和AD∥BC
又因为DF⊥AE（已知）即∠DFA＝90°（垂直的意义）
所以∠DFA＝∠B（等量代换）
又AD∥BC 所以∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）
在△ADF和△EAB中 所以△ADF≌△EAB（AAS）
小胖却说这题是错误的，这两个三角形根本不全等．
你知道小杰的错误原因是什么吗？我们再添加一条线段，就能找到与△ADF全等的三角形，请能说出此线
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段的做法吗？并说明理由．
例6．（2022·山东·九年级课时练习）（1）课本习题回放：“如图①， ， ， ，
，垂足分别为 ， ， ， ．求 的长”，请直接写出此题答案： 的
长为________．
（2）探索证明：如图②，点 ， 在 的边 、 上， ，点 ， 在 内部的射
线 上，且 ．求证： ．
（3）拓展应用：如图③，在 中， ， ．点 在边 上， ，点 、 在
线段 上， ．若 的面积为15，则 与 的面积之和为________．
（直接填写结果，不需要写解答过程）
例7．（2023·贵州遵义·八年级统考期末）过正方形 （四边都相等，四个角都是直角）的顶点 作一
条直线 ．（1）当 不与正方形任何一边相交时，过点 作 于点 ，过点 作 于
点 如图（1），请写出 ， ， 之间的数量关系，并证明你的结论．
（2）若改变直线 的位置，使 与 边相交如图（2），其它条件不变， ， ， 的关系会发
生变化，请直接写出 ， ， 的数量关系，不必证明；
（3）若继续改变直线 的位置，使 与 边相交如图（3），其它条件不变， ， ， 的关系
又会发生变化，请直接写出 ， ， 的数量关系，不必证明．
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模型2.一线三等角模型（相似模型）
【模型解读与图示】“一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形
的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也
相等，从而得到两个三角形相似．
1）一线三等角模型（同侧型）
（锐角型） （直角型） （钝角
型）
条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ACE∽△BED.
2）一线三等角模型（异侧型）
条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ADE∽△BEC.
3）一线三等角模型（变异型）
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图1 图2 图3
①特殊中点型：条件：如图1，若C为AB的中点，结论：△ACE∽△BED∽△ECD.
②一线三直角变异型1：条件：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.
③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM.
例1．（2023·山东东营·统考中考真题）如图， 为等边三角形，点 ， 分别在边 ， 上，
，若 ， ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
例2．（2023·黑龙江牡丹江·统考中考真题）在以“矩形的折叠”为主题的数学活动课上，某位同学进行了
如下操作：第一步：将矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形 ，然后把纸片展平；
第二步：将图①中的矩形纸片折叠，使点C恰好落在点F处，得到折痕 ，如图②．
根据以上的操作，若 ， ，则线段 的长是（ ）
A．3 B． C．2 D．1
例3．（2022·河南新乡·九年级期中）某学习小组在探究三角形相似时，发现了下面这种典型的基本图形．
（1）如图1，在 ABC中，∠BAC＝90°， ＝k，直线l经过点A，BD⊥直线I，CE上直线l，垂足分别
为D、E．求证： ＝k．（2）组员小刘想，如果三个角都不是直角，那么结论是否仍然成立呢？如图
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2，将（1）中的条件做以下修改：在 ABC中， ＝k，D、A、E三点都在直线l上，并且有∠BDA＝
∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问（1）中的结论还成立吗？若成立，请你给出证明；
若不成立，请说明理由．（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：
如图3，在 ABC中，沿 ABC的边AB、AC向外作矩形ABDE和矩形ACFG， ＝ ＝ ，AH是BC
边上的高，延长HA交EG于点I．①求证：I是EG的中点．②直接写出线段BC与AI之间的数量关系：
．
例4．（2023·湖北武汉·统考中考真题）问题提出：如图（1）， 是菱形 边 上一点， 是
等腰三角形， ， 交 于点 ，探究 与 的数量关系．
问题探究：(1)先将问题特殊化，如图（2），当 时，直接写出 的大小；
(2)再探究一般情形，如图（1），求 与 的数量关系．
问题拓展：(3)将图（1）特殊化，如图（3），当 时，若 ，求 的值．
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例4．（2023·湖北荆州·统考中考真题）如图1，点 是线段 上与点 ，点 不重合的任意一点，在
的同侧分别以 ， ， 为顶点作 ，其中 与 的一边分别是射线 和射线 ， 的两
边不在直线 上，我们规定这三个角互为等联角，点 为等联点，线段 为等联线．
(1)如图2，在 个方格的纸上，小正方形的顶点为格点、边长均为1， 为端点在格点的已知线段．请
用三种不同连接格点的方法，作出以线段 为等联线、某格点 为等联点的等联角，并标出等联角，保
留作图痕迹；(2)如图3，在 中， ， ，延长 至点 ，使 ，作 的等
联角 和 ．将 沿 折叠，使点 落在点 处，得到 ，再延长 交 的延长
线于 ，连接 并延长交 的延长线于 ，连接 ．①确定 的形状，并说明理由；
②若 ， ，求等联线 和线段 的长（用含 的式子表示）．
例5．（2022·山西晋中·一模）阅读材料：
我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂
直模型”如图①，在 中， ， ，分别过 、 向经过点 直线作垂线，垂足分别
为 、 ，我们很容易发现结论： ．
（1）探究问题：如果 ，其他条件不变，如图②，可得到结论； ．请你说明理由．
（2）学以致用：如图③，在平面直角坐标系中，直线 与直线 交于点 ，且两直线夹角为
，且 ，请你求出直线 的解析式．（3）拓展应用：如图④，在矩形 中， ，
，点 为 边上—个动点，连接 ，将线段 绕点 顺时针旋转 ，点 落在点 处，当点
在矩形 外部时，连接 ， ．若 为直角三角形时，请你探究并直接写出 的长．
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例6．（2023·江苏南京·校考三模）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做
了如下探究：
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【观察与猜想】(1)如图 ，在正方形 中， ， 分别是 ， 上的两点，连接 ， ，若
，则 的值为___________；(2)如图 ，在矩形 中， ， ， 是 上的一
点，连接 ， ，若 ，则 的值为___________；
【类比探究】(3)如图 ，在四边形 中， ， 为 上一点，连接 ，过 作 的
垂线交 的延长线于 ，交 的延长线于 ，求证： ；
【拓展延伸】(4)如图4，在 中， ， ，将 沿 翻折， 落在 处，得
到 ， 为线段 上一动点，连接 ，作 ，交 于 ，垂足为 ，连接 ．若
，则 的最小值为___________．
课后专项训练
1．（2022·湖南·长沙市二模）如图，等腰直角三角形ABC的直角顶点C与坐标原点重合，分别过点A、B
作x轴的垂线，垂足为D、E，点A的坐标为（-2，5），则线段DE的长为（ ）
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A． B． C． D．
2．（2022·贵州·凯里一模）如图，在平面直角坐标系中 、 ， 轴，存在第一象限的一
点 使得 是以 为斜边的等腰直角三角形，则点 的坐标（ ）．
A． 或 B． C． 或 D．
3．（2023·河南郑州·统考二模）如图，已知矩形 的顶点 分别落在 轴 轴上， ，
AB=2BC则点 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·湖南长沙·九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，BC＝6，AB＝2，Rt BEF的顶点E在边
△
CD或延长线上运动，且∠BEF＝90°，EF＝ BE，DF＝ ，则BE＝ ．
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5．（2021·浙江台州·中考真题）如图，点E， F，G分别在正方形ABCD的边AB，BC，AD上，AF⊥EG．
若AB＝5，AE＝DG＝1，则BF＝_____．
6．（2023·浙江九年级专题练习）如图， 为等边三角形，点D，E分别在边AB，AC上， ，
将 沿直线DE翻折得到 ，当点F落在边BC上，且 时， 的值为 ．
7．（2022·安徽·九年级专题练习）如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=4，E为边AD上一个动点，连接
BE，取BE的中点G，点G绕点E逆时针旋转90°得到点F，连接CF，在点E从A到D的运动过程中，点
G的运动路径= ， CEF面积的最小值是 ．
△
8．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，点D是边BC上一动点（不与B、C
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重合），∠ADE＝∠B＝α，DE交AC于点E，且cos∠α＝ ，下列结论：①△ADE∽△ACD；②当BD＝6
时，△ABD与△DCE全等；③△DCE为直角三角形时，BD为8或 ；④0＜CE≤6.4．其中正确的结论是
．（把你认为正确结论的序号都填上）
9．（2022·河北保定·模拟预测）如图，桌面上竖直放置着一个等腰直角三角板 ，若测得斜边 的两
端点到桌面的距离分别为 ， ．（1）求证： ；（2）若 ， ，求 的
长．
10．（2023·浙江·九年级期末）如图，已知 和 均是直角三角形， ，
， 于点 ．（1）求证： ≌ ；（2）若点 是 的中点， ，求
的长．
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11．（2022·江苏·九年级专题练习）【感知模型】“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，
请根据以下问题，把你的感知填写出来：
①如图1， 是等腰直角三角形， ，AE=BD，则 _______；
②如图2， 为正三角形， ，则 ________；
③如图3，正方形 的顶点B在直线l上，分别过点A、C作 于E， 于F．若 ，
，则 的长为________．
【模型应用】（2）如图4，将正方形 放在平面直角坐标系中，点O为原点，点A的坐标为 ，
则点C的坐标为________．
【模型变式】（3）如图5所示，在 中， ， ， 于E，AD⊥CE于D，
， ，求 的长．
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12．（2022·江苏镇江·二模）模型构建：如图1， 于点M， 于点N，AB的垂直平分线
交MN于点P，连接AP、BP．若 ，求证： ．
数学应用：如图2，在 中，D是BC上一点， ， ， ，求 的面积．
实际运用：建设“交通强国”是满足人民日益增长的美好生活需要的必然要求．建设“美丽公路”是落实
美丽中国建设、回应人民日益增长的美好生活对优美生态环境的需要．如图3是某地一省道与国道相交处
的示意图，点Q处是一座古亭，鹅卵石路QA、QB以及 两旁栽有常青树，其它区域种植不同的花卉；
设计要求 ， ， 是以Q为圆心、QA为半径的圆弧（不计路宽，下同）．
请在图4中画出符合条件的设计图，要求尺规作图，保留作图痕迹，标注必要的字母，写出详细的作法，
不要求说明理由；
13．（2022·黑龙江·桦南县九年级期中）如图1，在 中， ， ，直线 经过点
，且 于 ， 于 ．(1)由图1，证明： ；
(2)当直线 绕点 旋转到图2的位置时，请猜想出 ， ， 的等量关系并说明理由；
(3)当直线 绕点 旋转到图3的位置时，试问 ， ， 又具有怎样的等量关系？请直接写出这个
等量关系（不必说明理由）．
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14．（2022·黑龙江佳木斯·三模）在 中， ， ， 为直线 上一点，连接 ，
过点 作 交 于点 ，交 于点 ，在直线 上截取 ，连接 ．
（1）当点 ， 都在线段 上时，如图①，求证： ；
（2）当点 在线段 的延长线上，点 在线段 的延长线上时，如图②；当点 在线段 的延长线
上，点 在线段 的延长线上时，如图③，直接写出线段 ， ， 之间的数量关系，不需要证明．
15．（2022·安徽·合肥二模）（1）如图 ，等腰直角 中， ， ，线段 经过点 ，
过A作 于点 ，过 作 于 求证： ．
≌
（2）如图 ，已知在平面直角坐标系 中， 为坐标原点，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
点 是平面直角坐标系中的一点，若 是以 为直角边的等腰直角三角形，求点 的坐标；
（3）如图 ，已知在平面直角坐标系 中， 为坐标原点，在等腰直角 中， ，
，点 在线段 上从 向 运动 运动到点 停止 ，以点 为直角顶点向右上方做等腰直
角 ，求点 移动的距离．
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16．（2022·河南新乡·二模）如图，△ABC和△ADE是有公共顶点A的两个等腰直角三角形，∠DAE＝
∠BAC＝90°，AD＝AE，AB＝AC＝6，D在线段BC上，从B到C运动，点M和点N分别是边BC，DE的
中点．(1)【问题发现】若点D是BC边的中点时， ＝ ，直线BD与MN相交所成的锐角的度数为
（请直接写出结果）(2)【解决问题]若点D是BC边上任意一点时，上述结论是否成立，请说明理由．
(3)【拓展探究】在整个运动过程中，请直接写出N点运动的路径长，及CN的最小值．
17．（2023·湖北宜昌·统考中考真题）如图，在正方形 中，E，F分别是边 ， 上的点，连接
， ， ．
(1)若正方形 的边长为2，E是 的中点．①如图1，当 时，求证： ；
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②如图2，当 时，求 的长；(2)如图3，延长 ， 交于点G，当
时，求证： ．
18．（2023·广东深圳·九年级校考阶段练习）如图，在 中 ， ，点E是线段
边上的一动点（不含B、C两端点），连接 ，作 ，交线段 于点D．
(1)求证： (2)设 ， ，请求y与x之间的函数关系式．
(3)E点在运动的过程中， 能否构成等腰三角形？若能，求出 的长；若不能，请说明理由．
19．（2023·浙江·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线 与y轴交于点A，与x
轴交于点B， ， 的面积为2．
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(1)如图1，求直线 的解析式．(2)如图2，线段 上有一点C，直线 为 ， 轴，
将 绕点B顺时针旋转 ，交 于点D，求点D的坐标．（用含k的式子表示）
(3)如图3，在（2）的条件下，连接 ，交直线 于点E，若 ，求点E的坐标．
20．（2022·湖南郴州·中考真题）如图1，在矩形ABCD中， ， ．点E是线段AD上的动点
（点E不与点A，D重合），连接CE，过点E作 ，交AB于点F．
(1)求证： ；(2)如图2，连接CF，过点B作 ，垂足为G，连接AG．点M是线段BC
的中点，连接GM．①求 的最小值；②当 取最小值时，求线段DE的长．
19
