文档内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
专题37 图形变换模型之翻折（折叠）模型
几何变换中的翻折（折叠、对称)问题是历年中考的热点问题，试题立意新颖，变幻巧妙，主要考查
学生的识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力。
涉及翻折问题，以矩形对称最常见，变化形式多样。无论如何变化，解题工具无非全等、相似、勾股
以及三角函数，从条件出发，找到每种对称下隐藏的结论，往往是解题关键。本专题以各类几个图形（三
角形、平行四边形、菱形、矩形、正方形、圆等）为背景进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
【知识储备】
翻折和折叠问题其实质就是对称问题，翻折图形的性质就是翻折前后图形是全等的，对应的边和角都是相
等的。以这个性质为基础，结合三角形、四边形、圆的性质，三角形相似，勾股定理设方程思想来考查。
解决翻折题型的策略：
1）利用翻折的性质：①翻折前后两个图形全等；②对应点连线被对称轴垂直平分；
2）结合相关图形的性质(三角形，四边形等)；3）运用勾股定理或者三角形相似建立方程。
模型1.矩形中的翻折模型
【模型解读】
1关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
例1．（2023·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形 的边 ， 分别在 轴、
轴正半轴上，点 在 边上，将矩形 沿 折叠，点 恰好落在边 上的点 处．若 ，
，则点 的坐标是 ．
例2．（2023春·江苏泰州·八年级统考期中）如图，在矩形 中， ， ，E是 的中点，
将 沿直线 翻折，点落B在点F处，连结 ，则 的长为（ ）
A．6 B． C． D．
例3．（2023·湖北·统考中考真题）如图，将边长为3的正方形 沿直线 折叠，使点 的对应点
落在边 上（点 不与点 重合），点 落在点 处， 与 交于点 ，折痕分别与边 ，
交于点 ，连接 ．(1)求证： ；(2)若 ，求 的长．
2关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
例4．（2023春·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，在矩形 中， ， ．点O为矩形
的对称中心，点E为边 上的动点，连接 并延长交 于点F．将四边形 沿着 翻折，
得到四边形 ，边 交边 于点G，连接 ，则 的面积的最小值为（ ）
A．18－3 B． C． D．
例5．（2023春·辽宁抚顺·八年级校联考期中）如图，矩形纸片 中， ， ，点E、G分
别在 上，将 、 分别沿 翻折，翻折后点C与点F重合，点B与点P重合．当
A、P、F、E四点在同一直线上时，线段 长为（ ）
A． B． C． D．
例6．（2023·江苏盐城·统考中考真题）综合与实践
【问题情境】如图1，小华将矩形纸片 先沿对角线 折叠，展开后再折叠，使点 落在对角线
上，点 的对应点记为 ，折痕与边 ， 分别交于点 ， .
【活动猜想】（1）如图2，当点 与点 重合时，四边形 是哪种特殊的四边形？答：_________.
【问题解决】（2）如图3，当 ， ， 时，求证：点 ， ， 在同一条直线上.
【深入探究】（3）如图4，当 与 满足什么关系时，始终有 与对角线 平行？请说明理由.
（4）在（3）的情形下，设 与 ， 分别交于点 ， ，试探究三条线段 ， ， 之间满足
的等量关系，并说明理由.
3关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
模型2.正方形中的翻折模型
【模型解读】
例1．（2023·河南洛阳·统考二模）如图，正方形 的边长为4，点F为 边的中点，点P是 边上
不与端点重合的一动点，连接 ．将 沿 翻折，点A的对应点为点E，则线段 长的最小值为
（ ）
4关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A． B． C． D．
例2．（2023·广西玉林·统考模拟预测）如图，在正方形ABCD的边AB上取一点E，连接CE，将△BCE沿CE
翻折，点B恰好与对角线AC上的点F重合，连接DF，若BE＝2，则△CDF的面积是（ ）
A．1 B．3 C．6 D．
例3．（2023·广东九年级课时练习）如图，正方形 中， ，点E在边 上，且 ．将
沿 对折至 ，延长 交边 于点G，连接 ，则下列结论：① ；
② ③ ；④AG//CF；其中正确的有 （填序号）．
例4．（2023·江苏扬州·统考中考真题）如图，已知正方形 的边长为1，点E、F分别在边
上，将正方形沿着 翻折，点B恰好落在 边上的点 处，如果四边形 与四边形 的面积比
为3∶5，那么线段 的长为 ．
5关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
例5．（2023·江苏·统考中考真题）综合与实践 定义：将宽与长的比值为 （ 为正整数）的矩
形称为 阶奇妙矩形．（1）概念理解：当 时，这个矩形为1阶奇妙矩形，如图（1），这就是我们学
习过的黄金矩形，它的宽（ ）与长 的比值是_________．
（2）操作验证：用正方形纸片 进行如下操作（如图（2））：
第一步：对折正方形纸片，展开，折痕为 ，连接 ；
第二步：折叠纸片使 落在 上，点 的对应点为点 ，展开，折痕为 ；
第三步：过点 折叠纸片，使得点 分别落在边 上，展开，折痕为 ．
试说明：矩形 是1阶奇妙矩形．
（3）方法迁移：用正方形纸片 折叠出一个2阶奇妙矩形．要求：在图（3）中画出折叠示意图并作
简要标注．（4）探究发现：小明操作发现任一个 阶奇妙矩形都可以通过折纸得到．他还发现：如图
（4），点 为正方形 边 上（不与端点重合）任意一点，连接 ，继续（2）中操作的第二步、
第三步，四边形 的周长与矩形 的周长比值总是定值．请写出这个定值，并说明理由．
6关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
模型3.菱形中的翻折模型
【模型解读】
7关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
例1．（2023·四川成都·模拟预测）如图，在菱形 中， ，将菱形折叠，使点 恰好落在
对角线 上的点 处 不与 、 重合 ，折痕为 ，若 ， ，则 的长为 ．
例2．（2023·安徽·统考一模）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，点M是AD边的中点，点N是
AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A’MN，连结A’C，则A’C长度的最小值是（ ）.
A． B． C． D．2
例3．（2023·山东枣庄·九年级校考阶段练习）如图，在菱形纸片 中， ， ，将菱形
纸片翻折，使点A落在 的中点 处，折痕为 ，点 ， 分别在边 ， 上，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
例4．（2023春·湖北十堰·八年级校联考期中）如图，在菱形纸片 中， ，E是 边的中
8关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
点，将菱形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在直线 上的点G处，折痕为 ， 与 交于点
H，有如下结论：① ；② ；③ ；④ ，上述结论中，
所有正确结论的序号是（ ）
A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④
例5．（2023·浙江·九年级期末）对角线长分别为6和8的菱形 如图所示，点O为对角线的交点，过
点O折叠菱形，使B， 两点重合， 是折痕．若 ，则 的长为 ．
例6．（2023秋·重庆·九年级专题练习）如图，在菱形 中， ， ，点 是 的中点，
点 是 上一点，以 为对称轴将 折叠得到 ，以 为对称轴将 折叠得到 ，
使得点 落到 上，连接 ．下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
模型4.三角形中的翻折模型
9关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【模型解读】
例1．（2023·内江九年级期中）如图，在RtABC的纸片中，∠C＝90°，AC＝7，AB＝25．点D在边BC上，
以AD为折痕将ADB折叠得到ADB，AB与边BC交于点E．若△DEB为直角三角形，则BD的长是
_____．
例2．（2023年四川省成都市数学中考真题）如图，在 中， ， 平分 交
于点 ，过 作 交 于点 ，将 沿 折叠得到 ， 交 于点 ．若 ，
则 ．
10关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
例3．（2023·湖北襄阳·统考中考真题）如图，在 中， ，点 是 的中点，将 沿
折叠得到 ，连接 .若 于点 ， ，则 的长为 ．
例4．（2023·湖北武汉·统考中考真题）如图， 平分等边 的面积，折叠 得到 分
别与 相交于 两点．若 ，用含 的式子表示 的长是 ．
模型5.圆中的翻折模型（弧翻折必出等腰）
11关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
如图，以圆O的一条弦BC为对称轴将弧BC折叠后与弦AB交于点D，则CD=CA
特别的，若将弧BC折叠后过圆心，则CD=CA，∠CAB=60°
例1．（2022秋·浙江宁波·九年级校考期末）如图， 是 的外接圆， ，把弧 沿弦
向下折叠交 于点D，若点D为 中点，则 长为（ ）
A．1 B．2 C． D．
例2．（2023·广东广州·统考一模）如图， 为 的直径，点 为圆上一点， ，将劣弧
沿弦 所在的直线翻折，交 于点 ，则 的度数等于( )．
A． B． C． D．
12关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
例3．（2023·浙江宁波·校考一模）如图， 的半径为4．将 的一部分沿着弦AB翻折，劣弧恰好经过
圆心O．则这条劣弧的弧长为 ．
例4．（2022春·湖北荆州·九年级专题练习）如图， 为 的直径，将 沿 翻折，翻折后的弧交
于D．若 ， ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C．8 D．10
例5．（2023·河南商丘·统考二模）如图，在扇形 中， ，点C，D分别是 和 上的点，
且 ，将扇形沿 翻折，翻折后的 恰好经过点O．若 ，则图中阴影部分的面积是
．
例6．（2023·吉林长春·统考模拟预测）如图，在⊙O中，点C在优弧 上，将 沿BC折叠后刚好经过
AB的中点D，连接AC，CD．则下列结论中错误的是（ ）
13关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
①AC＝CD；②AD＝BD；③ + ＝ ；④CD平分∠ACB
A．1 B．2 C．3 D．4
例7．（2021·湖北武汉·统考中考真题）如图， 是 的直径， 是 的弦，先将 沿 翻折交
于点 ．再将 沿 翻折交 于点 ．若 ，设 ，则 所在的范围是（ ）
A． B． C． D．
例8．（2022·江苏扬州·统考一模）如图，将⊙O沿弦AB折叠，使折叠后的弧恰好经过圆心O，点P是优
弧 上的一个动点（与A、B两点不重合），若⊙O的半径是2cm，则△APB面积的最大值是
cm2
14关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
课后专项训练
1．（2023·浙江·一模）如图，在矩形 中， ，点E为 的中点，点F在 上，连
接 ，将 沿 翻折，使点B的对应点恰为点E，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023年湖北省黄石市中考数学真题）如图，有一张矩形纸片 ．先对折矩形 ，使 与
重合，得到折痕 ，把纸片展平．再一次折叠纸片，使点 落在 上，并使折痕经过点 ，得到折
痕 ﹐同时得到线段 ， ．观察所得的线段，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
15关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
3．（2023·黑龙江·统考中考真题）如图，在平面直角坐标中，矩形 的边 ，将
矩形 沿直线 折叠到如图所示的位置，线段 恰好经过点 ，点 落在 轴的点 位置，点
的坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·福建莆田·九年级校考期末）如图，在 中，点 在优弧 上，将弧 沿 折叠后刚好经
过 的中点 ．若 的半径为5， ，则 的长是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·浙江宁波·统考一模）如图， 是半径为4的 的弦，且 ，将 沿着弦 折叠，点
C是折叠后的 上一动点，连接并延长 交 于点D，点E是 的中点，连接 .则 的最小值为
．
16关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
6．（2023·辽宁盘锦·统考中考真题）如图，四边形 是矩形， ， ．点E为边 的中
点，点F为边 上一点，将四边形 沿 折叠，点A的对应点为点 ，点B的对应点为点 ，过点
作 于点H，若 ，则 的长是 ．
7．（2023·山东济南·统考中考真题）如图，将菱形纸片 沿过点 的直线折叠，使点 落在射线
上的点 处，折痕 交 于点 ．若 ， ，则 的长等于 ．
8．（2023·山东淄博·统考一模）如图所示，有一块直角三角形纸片， ，将
斜边 翻折，使点B落在直角边 的延长线上的点E处，折痕为 ，则 的长是 ___________．
17关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
9．（2023秋·四川雅安·八年级统考期末）在 中， ，点D在边 上，连接 ，将
沿直线 翻折，点A恰好落在 边上的点E处，若 ， ，则 的长是 ．
10．（2023·湖北宜昌·统考中考真题）如图，小宇将一张平行四边形纸片折叠，使点 落在长边 上的点
处，并得到折痕 ，小宇测得长边 ，则四边形 的周长为 ．
11．（2023·新疆·统考中考真题）如图，在 中， ， ， ，点 是 上一
动点，将 沿 折叠得到 ，当点 恰好落在 上时， 的长为 ．
12．（2023春·浙江宁波·八年级统考期末）如图，在矩形 中， ， ，现将矩形沿
折叠，点C翻折后交 于点G，点D的对应点为点H，当 时，线段 的长为 ．
18关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
13．（2023春·安徽安庆·九年级校联考阶段练习）如图，长方形 沿着对角线 翻折，点C落在点
处， 与 相交于点E，若 ， ，则 的长为 ．
14．（2023春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图（1），在等腰直角三角形纸片 中， ，
，点D，E分别为 上的动点，将纸片沿 翻折，点B的对应点 恰好落在边 上，如
图（2），再将纸片沿 翻折，点C的对应点为 ，如图（3）.当 ， 的重合部分（即阴影
部分）为直角三角形时， 的长为______．
15．（2022·浙江嘉兴·统考中考真题）如图，在扇形 中，点C，D在 上，将 沿弦 折叠后恰
好与 ， 相切于点E，F．已知 ， ，则 的度数为 ；折痕 的长为
19关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
．
16．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图， 的半径为 ， 为 的弦，点 为 上的一点，
将 沿弦 翻折，使点 与圆心 重合，则阴影部分的面积为 ．（结果保留 与根号）
17．（2023·湖北·统考中考真题）如图，将边长为3的正方形 沿直线 折叠，使点 的对应点 落
在边 上（点 不与点 重合），点 落在点 处， 与 交于点 ，折痕分别与边 ， 交
于点 ，连接 ．(1)求证： ；(2)若 ，求 的长．
18．（2023·宁夏·统考中考真题）综合与实践
问题背景：数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为 的等腰三角形，对此三角形产生了极大兴
趣并展开探究． 探究发现：如图1，在 中， ， ．
（1）操作发现：将 折叠，使边 落在边 上，点 的对应点是点 ，折痕交 于点 ，连接
20关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
， ，则 _______ ，设 ， ，那么 ______（用含 的式子表示）；
（2）进一步探究发现： ，这个比值被称为黄金比．在（1）的条件下试证明：
；
拓展应用：当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫黄金三角形．例如，图1中的
是黄金三角形．如图2，在菱形 中， ， ．求这个菱形较长对角线的长．
19．（2023秋·山西·九年级专题练习）综合与实践：
在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动．
在矩形 中，E为 边上一点，F为 边上一点，连接 、 ，分别将 和 沿 、
翻折，点D、B的对应点分别为点G、H，且C、H、G三点共线．
(1)如图1，若F为 边的中点， ，点G与点H重合，则 ＝ °， ＝ ；
21关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(2)如图2，若F为 的中点， 平分 ， ， ，求 的度数及 的长；
(3) ， ，若F为 的三等分点，请直接写出 的长 ．
20．（2022·广西南宁·统考三模）综合实践：在数学综合实践课上，第一小组同学展示了如下的操作及问
题：如图1，同学们先画出半径为 的 ，将圆形纸片沿着弦 折叠，使对折后劣弧 恰好过圆心
，同学们用尺子度量折痕 的长约为 ，并且同学们用学过的知识验证度量的结果是正确的．
验证如下：如图1，过点 作 于点 ，并延长 交虚线劣弧 于点 ，∴ ，
由折叠知， ，连接 ，在 中， ，
根据勾股定理得， ，
∴ ，
通过计算： ，同学们用尺子度量折痕 的长约为 是正确的．
请同学们进一步研究以下问题：
(1)如图2， 的半径为 ， 为 的弦， ，垂足为点 ，劣弧 沿弦 折叠后经过
的中点 ，求弦 的长（结果保留根号）；(2)如图3，在 中劣弧 沿弦 折叠后与直径 相
交于点 ，若 ， ，求弦 的长（结果保留根号）．
22关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
23
