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专题 12 三角形中的重要模型之面积模型
三角形的面积问题在中考数学几何模块中占据着重要地位，等积变形是中学几何里面一个非常重要的
思想，下面的五大模型也都是依托等积变形思想变化而成的，也是学生必须掌握的一块内容。本专题就三
角形中的等积模型（蝴蝶（风筝）模型，燕尾模型，鸟头模型，沙漏模型，金字塔模型）进行梳理及对应
试题分析，方便掌握。
.........................................................................................................................................................................................1
模型1.等积变换基础模型...............................................................................................................................1
模型2.蝴蝶（风筝）模型...............................................................................................................................9
模型3.燕尾（定理）模型.............................................................................................................................13
模型4.鸟头定理（共角定理）模型.............................................................................................................18
模型5.金字塔与沙漏模型.............................................................................................................................23
..................................................................................................................................................27
模型1.等积变换基础模型
模型1）等底等高的两个三角形面积相等；
AB AB
如图1，当 // ，则 ； 反之，如果 ，则可知直线 // 。
图1 图2 图3
模型2）两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。
如图2，当点D是BC边上的动点时，则S ∶S ＝BD∶DC。
ABD ADC
△ △
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如图3，当点D是BC边上的动点，BE⊥AD，CF⊥AD时，则S ∶S ＝BE∶CF。
ABD ADC
△ △
AB
证明：模型1）如图1，过点A作AE⊥CD、过点B作BF⊥CD。∵ // ，∴AE=BF。
∵ ； ；∴ 。反之同理可证。
模型2）如图2，过点A作AH⊥BC。
∵ ； ；∴S ∶S ＝BD∶DC。
ABD ADC
如图3，过点C作CF⊥AD、过点B作BE⊥AD。△ △
∵ ； ；∴S ∶S ＝BE∶CF。
ABD ADC
△ △
例1．（24-25八年级上·山东德州·阶段练习）如图，若点D是边 上的点，且 ，则
与 的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
例2．（23-24八年级下·河北沧州·期中）如图， ， 分别是 的边AB，CD上的点， 与DE相
交于点 ， 与CE相交于点 ，若 的面积为 ， 的面积为 ， 的面积为 ，则阴
影部是的面积为 ．
例3．（2024·上海浦东新·一模）如图，在 中 为 中点， 为 的角平
分线， 的面积记为 ， 的面积记为 ，则 ．
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例4．（23-24七年级下·江苏镇江·期中）【探究】如图1， 是 中 边上的中线， 与
的面积相等吗？请说明理由，
【应用】如图2，点A、B、C分别是 、 、 的中点，且 ，则图2中阴影部分的面积为
；
【拓展】（1）如图3， 中，延长 至点F，使得 ，延长 至点D，使得 ，延
长 至点E，使得 ，连接 、 、 ，如果 ，那么 为 ．
（2）如图4， 中， ， ，点D、E是 、 边上的中点， 、 交于点F．若
的面积为S，则四边形 面积为 （用含S的代数式表示）；四边形 的面积存在最大值，
这个值为 ．
例5．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）规律：如图1，直线 ， ， 为直线 上的点， ， 为直
线 上的点．如果 ， ， 为三个定点，点 在直线 上移动，那么无论点 移动到何位置， 与
的面积始终相等，其理由是 ___．
应用：（1）如图 ， 、 、 三点在同一条直线上， 与 都是等边三角形，连结 ， ．
若 ， ，求 的面积．（2）如图 ，已知 ， ， ， 是矩形 边上的点，且
， ，连结 交 于点 ，连结MC交 于点 ，连结 交 于点 ，连结 ，
若四边形 的面积等于 ，求四边形 的面积．
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模型2.蝴蝶（风筝）模型
蝴蝶模型（定理）提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则
四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
1）任意四边形的蝴蝶定理：
如图1，结论：① 或 ；② 。
证明：由基础模型2）知： ； ；即故 ；即 。
由基础模型2）知： ；即 。
2）梯形蝴蝶定理：
如图2，结论：① ；② 。
证明：∵四边形ABCD为梯形，∴AD//BC，∴易证 ，∴ 。
。
同理可证得：
例1．（23-24八年级上·浙江·阶段练习）如图，任意四边形 中， 和 相交于点O，把 、
、 、 的面积分别记作 、 、 、 ，则下列各式成立的是（ ）
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A． B． C． D．
例2．（23-24九年级上·上海松江·期中）如图，已知在梯形 中， ， ，如果对角
线 与 相交于点O， 、 、 、 的面积分别记作 、 、 、 ，那么下
列结论中，不正确的是（ ）
A． B． C． D．
例3．（2024·四川成都·校考一模）如图，梯形 的两条对角线与两底所围成的两个三角形的面积分别
为 ，则梯形的面积为 ．
例4．（2024·山西·校考一模）阅读与探究 请阅读下列材料，完成相应的任务：
凸四边形的性质研究
如果把某个四边形的任何一边向两端延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做
凸四边形．凸四边形是我们数学学习中常见的图形，它有一个非常有趣的性质:任意凸四边形被对角线分成
的两对对顶三角形的面积之积相等．
例如，在图1中，凸四边形 的对角线 ， 相交于点 ，且 ， ， ，
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， 的面积分别为 ，则有 ，证明过程如下：
任务：（1）请将材料中的证明过程补充完整；（2）如图2，任意凸四边形 的对角线 相交于
点 ，分别记 ， ， ， 的面积为 ，求证 ；（3）如图3，
在四边形 中，对角线 相交于点 ， ， ， ，则四边形
的面积为____________．
模型3.燕尾（定理）模型
条件：如图，在 中，E分别是 上的点， 在 上一点。
结论：S S S S （S +S ） （S +S ） BE EC。
1 2 3 4 1 3 2 4
证明：由基础模型2）知： ； ；故 ；
即S S S S （S +S ） （S +S ） BE EC。
1 2 3 4 1 3 2 4
例1．（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）（数学经验）三角形的中线能将三角形分成面积相等的两部分．
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（经验发展）（1）面积比和线段比的联系：如果两个三角形的高相同，则它们的面积比等于对应底边的
比，如图1， 的边 上有一点 ，请证明： ；
（结论应用）（2）如图2， 的面积为1， ，求 的面积；
（拓展延伸）（3）如图3， 的边 上有一点 ， 为 上任意一点，请利用上述结论，证明：
；
（迁移应用）（4）如图4， 中，M是 的三等分点 ，N是 的中点，若 的
面积是1，请直接写出四边形 的面积： ．
例2．（23-24七年级下·宁夏银川·期末）【问题情境】如图1， 是 的中线， 与 的
面积有怎样的数量关系？小旭同学在图1中作边 上的高 ，根据中线的定义可知 ．因为高
相同，所以 ，于是 ．
据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积．
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(1)【深入探究】如图2，点D在 的边 上，点P在 上．
若 是 的中线，请判断 与 的大小关系，并说明理由．
若 ，则 ： ______．
(2)【拓展延伸】如图3，分别延长四边形 的各边，使得A，B，C，D分别为 的
中点，依次连接E，F，G，H得四边形 ．直接写出 ， 与 之间的等量关系；
_______．
例3．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）已知 是ΔABC的 边上一点，连结 ，此时有结论
，请解答下列问题：（1）当 是 边上的中点时， 的面积 的面积（填“>”“<”
或“=”）．
（2）如图1，点 分别为 边上的点，连结 交于点 ，若 、 、 的
面积分别为5，8，10，则 的面积是 （直接写出结论）．
（3）如图2，若点 分别是ΔABC的 边上的中点，且 ，求四边形 的面积．可
以用如下方法：连结 ，由 得 ，同理： ，设 ， ，则
， ，由题意得 ， ，可列方程组为： ，
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解得 ，可得四边形 的面积为20．解答下面问题：
如图3， 是 的三等分点， 是 的三等分点， 与 交于 ，且 ，请计算四边
形 的面积，并说明理由．
模型4.鸟头定理（共角定理）模型
共角三角形：两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。
共角定理：共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。
图1 图2
（等角型）条件：如图1，在三角形ABC中，D、E分别是AB，AC上的点，结论： 。
（互补型）条件：如图2，已知∠BAC+∠DAE=180°，结论： 。
证明：（等角型）如图1，分别过点E，C作EG⊥AB于点G，CF⊥AB于点F，
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∵∠AGE=∠AFC，又∵∠A=∠A，∴△GAE∽△FAC，∴ 。
又 即 。
（互补型）如图2，过点C作CG⊥AB于G，过点E作EF⊥DA交DA延长线于F，
∴∠EFA=∠CGA=90°， ∵∠BAC+∠DAE=180°，∠DAE+∠EAF=180°，
∴∠CAG=∠EAF，∴△CAG∽△EAF，∴ ，∵ ， ，
∴ ；
例1、如图，在三角形ABC中，D、E是AB,AC上的点，且AD：AB=2:5，AE：AC=4：7，三角形ADE的
面积是16平方厘米，则ABC的面积为 。
例2．（2023·山西晋中·九年级统考阶段练习）阅读理解
如果两个三角形中有一组对应角相等或互补，那么这两个三角形叫做共角三角形，共角三角形的面积比等
于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比，
例：在图1中，点D，E分别在AB和AC上， ADE和 ABC是共角三角形，则
△ △
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证明：分别过点E，C作EG⊥AB于点G，CF⊥AB于点F，得到图2，
∵∠AGE=∠AFC，又∵∠A=∠A，∴△GAE∽△FAC，∴
又 即
任务：（1）如图3，已知∠BAC+∠DAE=180°，请你参照材料的证明方法，求证：
（2）在（1）的条件下，若 则AE= ．
例3．（2023·重庆·九年级专题练习）问题提出：如图1，D、E分别在△ABC的边AB、AC上，连接DE，
已知线段AD＝a，DB＝b，AE＝c，EC＝d，则S ADE，S ABC和a，b，c，d之间会有怎样的数量关系呢？
△ △
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问题解决：探究一：（1）看到这个问题后，我们可以考虑先从特例入手，找出其中的规律．如图2，若
DE∥BC，则∠ADE＝∠B，且∠A＝∠A，所以△ADE∽△ABC，可得比例式： 而根据相似三
角形面积之比等于相似比的平方．可得 ．根据上述这两个式子，可以推出：
．
（2）如图3，若∠ADE＝∠C，上述结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；着不成立，请说明理由．
探究二：回到最初的问题，若图1中没有相似的条件，是否仍存在结论： ？方法回顾：
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两个三角形面积之比，不仅可以在相似的条件下求得，当两个三角形的底成高具有一定的关系时，也可以
解决．如图4，D在△ABC的边上，做AH⊥BC于H，可得： ．借用这个结论，
请你解决最初的问题．
延伸探究：（1）如图5，D、E分别在△ABC的边AB、AC反向延长线上，连接DE，已知线段AD＝a，
AB＝b，AE＝c，AC＝d，则 ．（2）如图6，E在△ABC的边AC上，D在AB反向延长线上，
连接DE，已知线段AD＝a，AB＝b，AE＝c，AC＝d， ．
结论应用：如图7，在平行四边形ABCD中，G是BC边上的中点，延长GA到E，连接DE交BA的延长线
于F，若AB＝5，AG＝4，AE＝2， ABCD的面积为30，则△AEF的面积是 ．
▱
模型5.金字塔与沙漏模型
金字塔模型 沙漏模型
条件：如图所示，DE//BC；结论：① ；② 。
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证明：∵DE//BC；易证： ； ； ；
∴ ； 。
例1．（2023秋·辽宁沈阳·九年级校考阶段练习）如图，已知点D、E分别是 边上的点，且
，面积比为 ， 交 于点F．则 （ ）
A． B． C． D．
例2．（2023·江苏扬州·二模）如图，D、E分别是 的边 、 上的点，且 ， 、
相交于点0，若 的面积与 的面积的比为 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
例3．（2023·福建龙岩·九年级校考阶段练习）如图， 中， ， 与 相交于点 ．如果
，那么 等于（ ）
A． B． C． D．
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例4．（2023春·北京海淀·九年级校考开学考试）如图， 是等边三角形，被一矩形所截， 被截成
三等分， ，若图中阴影部分的面积是6，则四边形 的面积为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
1．（2024·贵州·校考一模）如图，梯形 被对角线分成4个小三角形，已知 与 的面积分
别为 和 ．那么梯形的面积是（ ） ．
A．144 B．140 C．160 D．无法确定
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2．（24-25八年级上·山东德州·阶段练习）如图所示， 中，点 、 、 分别在三边上， 是
的中点， 、 、 交于一点 ， ， ， ，则 的面积是（ ）
A．25 B．30 C．35 D．40
3．（22-23七年级下·江苏扬州·期中）如图，四边形 中，E、F、G、H依次是 ， ， ，
中点，O是四边形内部一点，若四边形 、四边形 、四边形 的面积分别为8、11、13，
四边形 面积为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
4．（24-25八年级上·四川德阳·阶段练习）如图，若 的面积为a，且点A，B，C分别是
的中点，则求阴影部分的面积（用含a的式子表示），（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在 中， 是 的平分线，延长 至E，使
，连接 ， 的面积为10， 的面积是13，则 的值为（ ）
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A． B． C．3 D．2
6．（2023·陕西西安·模拟预测）如图，在 中， 是 边上的高线， 是 边上的中线，若
，则 的面积是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
7．（2023·江苏·模拟预测）如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点，AC与BD相交于
点O，则 的面积与 的面积的比为（ ）
A．1：2 B． C．1：4 D．
8．（23-24八年级上·天津河东·期中）如图， 的两条中线 ， 相交于点 ，已知 的面积
为 ， 的面积为 ，则四边形 的面积为（ ）
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A． B．3 C． D．
9．（2024·甘肃酒泉·二模）如图，在平行四边形 中，如果点 为CD的中点， 与BD相交于点
，若已知 ，那么 等于（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
10．（23-24九年级·重庆·课后作业）如图， 为半圆O的直径，弦 相交于点P，如果
，那么 等于（ ）
A．16∶9 B．3∶4 C．4∶3 D．9∶16
11．（22-23七年级下·江苏南京·期末）如图，在 中，D是边 的中点，E、F分别是边 上的三
等分点，连接 分别交 于G、H点，若 的面积为90，则四边形 的面积为 ．
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12．（2024·上海·校考一模）如图，梯形 中， ， ，点 在 的延长线上，
与 相交于点 ，与 边相交于点 ．如果 ，那么 与 的面积之比等于 ．
13．如图1，点D在 边 上，我们知道若 ，则 ；反之亦然．如图2， 是
的中线，点F在边 上， 相交于点O，若 ，则 ．
14．（23-24九年级上·福建泉州·阶段练习）已知 中， 是 边上的中线，点G为 重心，
，若 的面积为12，则 的面积是 ．
15．（2024·河南郑州·九年级校考期中）如图，矩形EFGH内接于 （矩形各顶点在三角形边上），
E，F在 上，H，G分别在 ， 上，且 于点D，交 于点N．(1)求证：
(2)若 ， ，设 ，则当x取何值时，矩形 的面积最大？最大面积是多少？
16．（23-24八年级下·湖南永州·期末）课题学习：平行线间三角形的面积问题中“等底等高转化”的应用
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阅读理解：如图1，已知直线 ，直线a，b的距离为h，则三角形 的面积为 ．
(1)【问题探究】如图2，若点C平移到点D，求证： ；
(2)【深化拓展】如图3，记 、 、 、 ，根据图形特征，试证明：
；
(3)【灵活运用】如图4，在平行四边形 中，点E是线段 上的一点， 与 相交于点O，已知
，且 ，求四边形 的面积．
17．（23-24八年级下·山东青岛·期末）问题解决：如图1， 中， 为 边上的中线，则
______ .
问题探究：（1）如图2， 分别是 的中线， 与 相等吗？
解： 中，由问题解决的结论可得， ， .
∴ ∴ 即 .
（2）图2中，仿照（1）的方法，试说明 .
（3）如图3， ， ， 分别是 的中线，则 ______ ， ______ ，
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______ .
问题拓展：（1）如图4， 分别为四边形 的边 的中点，请直接写出阴影部分的面积与
四边形 的面积之间的数量关系： ______ .
（2）如图5， 分别为四边形 的边 的中点；请直接写出阴影部分的
面积与四边形 的面积之间的数量关系： ______ .
18．（24-25九年级上·广东深圳·期中）阅读理解：两个三角形中有一个角相等或互补，我们称这两个三角
形是共角三角形，这个角称为对应角．根据上述定义，判断下列结论，正确的打“ ”，错误的打“ ”．
（1）三角形一条中线分成的两个三角形是共角三角形．（_____）
（2）两个等腰三角形是共角三角形．（_____）
问题提出：小明在研究图 的时发现，因为点 ， 分别在 和 上，所以 和 是共角三角
形，并且还发现 ．以下是小明的证明思路，请帮小明完善证明过程．
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证明：分别过点 ， 作 于点 ， 于点 ，得到图 ，
，又 ， （_____）， ．
， ，即 ．
延伸探究：如图 ，已知 ，请你参照小明的证明方法，求证： ．
结论应用：（1）如图 ，在平行四边形 中， 是 边上的点且满足 ，延长 到 ，连
接 交 的延长线于 ，若 ， ， ， 的面积为 ，则 的面积是 ．
（2）如图 ， 的面积为 ，延长 的各边，使 ， ， ，
，则四边形 的面积为 ．
19．（2023·山东青岛·二模）【模型】同高的两个三角形面积之比等于底边长度之比．
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已知，如图 ， 中， 为线段 上任意一点，连接 ，则有： ．
【模型应用】（1）如图 ，任意四边形 中， 、 分别是 、 边的中点，连接 、 ，若
四边形 的面积为 ，则 ___________ ．
（2）如图 ，在任意四边形 中，点 、 分别是边 、 上离点 和点 最近的三等分点，连
接 、 ，若四边形 的面积为 ，则 ___________．
（3）如图 ，在任意四边形 中，点 、 分别是边 、 上离点 和点 最近的 等分点，连
接 、 ，若四边形 的面积为 ，则 ___________ ．
【拓展与应用】（4）如图 ，若任意的十边形的面积为 ，点 、 、 、 、 、 、 、 分别是
、 、 、 、 、 、 、 边上离点 、 、 、 、 、 、 、 最近的四等分点，
连接 、 、 、 、 、 、 、 ，则图中阴影部分的面积是___________．
20．（23-24七年级下·安徽宿州·期末）（1）探索发现：如图1，在 中，点D在边 上，
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与 的面积分别记为 与 ，试判断 与 的数量关系，并说明理由．
（2）阅读分析：小明遇到这样一个问题：如图2，在 中， ， ，射线 交
于点D，点E、F在 上，且 ，试判断 、 、 三条线段之间的数量关系．
小明利用一对全等三角形，经过推理使问题得以解决．图2中的 、 、 三条线段之间的数量关系
为 ，并说明理由．（3）类比探究：如图3，在四边形 中， ， 与 交于点O，点E、
F在射线 上，且 ．①全等的两个三角形为 ，并说明理由．②若 ， 的
面积为3，直接写出 的面积： ．
21．（23-24九年级上·广西崇左·期末）【问题】如图1，在四边形 中，对角线 与 相交于点
O，记 的面积为 ， 的面积为 ，求证： ．
【解决问题的方法】如图2，在 和 中，分别作 边上的高 ，利用三角函数表
示出 ，再代入面积公式就可以解决问题．
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(1)【问题解决】如图2，求证： (2)【拓展应用】如图3， 交 于点M，点H为
的中点， 交 于点G，且 求 值．
22．（2023·宁夏银川·二模）等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法．它是利用“同一个图形的面
积相等”、“分割图形后各部分的面积之和等于原图形的面积”、“同底等高或等底同高的两个三角形面
积相等”等性质解决有关数学问题．在解题中，灵活运用等面积法解决相关问题，可以使解题思路清晰，
解题过程简便快捷．
请用等面积法的思想解决下列问题：
(1)在直角三角形中，两直角边长分别为3和4，则该直角三角形斜边上的高的长为______．
(2)如图1，反比例函数 的图像上有一点P， 轴于点A，点B在y轴上，则 的面积
为______．
(3)如图2，P是边长为a的正 内任意一点，点O为 的中心，设点P到 各边距离分别为
， ， ，连接 ，由等面积法，易知 ，可得
；如图3，若P是边长为4的正五边形 内任意一点，设点P到五边形 各边
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距离分别为 ， ， ， ， ，参照上面的探索过程，求 的值．（参考数据：
， ）
(4)如图4，已知 的半径为1，点A为 外一点， ， 切 于点B，弦 ，连接 ，
求图中阴影部分的面积．（结果保留 ）
(5)我国数学家祖暅，提出了一个祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：两个等高的几何体若在
所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等．如图所示，某帐篷的造型是两个全等圆柱
垂直相交的公共部分的一半（这个公共部分叫做牟合方盖），其中曲线 和 均是以1为半径的半
圆．用任意平行于帐篷底面 的平面截帐篷，所得截面四边形均为正方形，且该正方形的面积恰好等
于与帐篷同底等高的正四棱柱中挖去一个倒放的同底等高的正四棱锥后同高度截面的面积（图8中阴影部
分的面积），因此该帐篷的体积为______．（正棱锥的体积 底面积 高）
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