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专题 20. 相似三角形重要模型--母子型（共边共角模型）
相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，
是中考的常考题型。在相似三角形中存在众多的相似模型，其中“母子型”相似模型应用较为广泛，深入
理解模型内涵，灵活运用相关结论可以显著提高解题效率，本专题重点讲解相似三角形的“母子”模型。
母子相似证明题一般思路方法:
①由线段乘积相等转化成线段比例式相等；
②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形；
③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等；
④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。
模型1.“母子”模型(共边角模型)
【模型解读与图示】“母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角
形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对
应成比例就可以判定这两个三角形相似．
图1 图2 图3 图4
1）“母子”模型（斜射影模型）
条件：如图1，∠C=∠ABD； 结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC.
2）双垂直模型（射影模型）
条件:如图2，∠ACB=90o，CD⊥AB；
结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.
3）“母子”模型（变形）
条件:如图3，∠D=∠CAE，AB=AC； 结论：△ABD∽△ECA；
4）共边模型
条件:如图1，在四边形 中，对角线 平分 ， ，结论： ；
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例1．（2022·贵州贵阳·中考真题）如图，在 中， 是 边上的点， ， ，
则 与 的周长比是（ ）
A． B． C． D．
例2．（2022春·江苏·九年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且 ＝ ．
（1）求证 △ACD∽△ABC；（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长．
例3.（2022.山西九年级期中）如图，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且∠APB＝120°，求
证：（1）△ACP∽△PDB，（2）CD2＝AC•BD．
例4．（2023·湖南·统考中考真题）在 中， 是斜边 上的高．
(1)证明： ；(2)若 ，求 的长．
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例5．（2023.浙江中考模拟）如图，在 ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB．
（1）图1中共有 对相似三角形，写出来分别为 （不需证明）：
（2）已知AB＝5，AC＝4，请你求出CD的长：
（3）在（2）的情况下，如果以AB为x轴，CD为y轴，点D为坐标原点O，建立直角坐标系（如图2），
若点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB运动，点Q出B点出发，以每秒1个单位的速度沿线
段BA运动，其中一点最先到达线段的端点时，两点即刻同时停止运动；设运动时间为t秒是否存在点P，
使以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
例6．（2022·陕西汉中·九年级期末）如图， 是等腰直角 斜边 的中线，以点 为顶点的
绕点 旋转，角的两边分别与 、 的延长线相交，交点分别为点 、 ， 与 交于点 ，
与 交于点 ，且 ．(1)如图1，若 ，求证： ；(2)如图2，若 ，
求证： ；(3)如图2，过 作 于点 ，若 ， ，求 的长．
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例7．（2023·浙江·九年级期末）（1）如图1，在 中， 为 上一点， ．求证：
．
（2）如图2，在 中， 是 上一点，连接 ， ．已知 ， ， ．求证：
．
（3）如图3，四边形 内接于 ， 、 相交于点 ．已知 的半径为2， ，
， ，求四边形 的面积．
例8．（2022春·广东深圳·九年级校考期中）【基础巩固】
（1）如图1，在四边形 中，对角线 平分 ， ，求证： ；
【尝试应用】（2）如图2，四边形 为平行四边形， 在 边上， ，点 在 延长线上，
连结 ， ， ，若 ， ， ，求 的长；
【拓展提高】（3）如图3，在 中， 是 上一点，连结 ，点 ， 分别在 ， 上，连结
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， ， ，若 ， ， ， ， ，求 的值．
课后专项训练
AD 1
1.（2023成都市九年级期中）如图，矩形ABCD中，F是DC上一点，BF⊥AC，垂足为E， = ，
AB 2
△CEF的面积为S ，△AEB的面积为S ，则S 的值等于（ ）
1 2 1
S
2
1 1 1 1
A． B． C． D．
16 5 4 25
2．（2022·浙江衢州·统考中考真题）如图，在 中， ．分别以点 为圆心，大
于 的长为半径画弧，两弧相交于点 ，作直线 分别交 ， 于点 ．以 为圆心，
长为半径画弧，交 于点 ，连结 ．则下列说法错误的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·湖北恩施·校考模拟预测）如图，在 中， ， 于 点，下列关系中
不正确的是（ ）
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A． B． C． D．
4．（2023·山东济南·统考中考真题）如图，在 中， ， ，以点 为圆心，以
为半径作弧交 于点 ，再分别以 ， 为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧相交于点 ，作射
线 交 于点 ，连接 ．以下结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·云南临沧·统考三模）如图，在 中，D是 上的点， ， ， ，则
与 的面积比为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，在 中，以点 为圆心，任意长为半径作弧，分别交 ，
于点 ， ；分别以点 ， 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交于点 ；作射线 交
于点 ，若 ， ， 的面积为 ，则 的面积为 ．
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7．（2020·山西·统考中考真题）如图，在 中， ， ， ， ，垂足
为 ， 为 的中点， 与 交于点 ，则 的长为 ．
8．（2022·河北邢台·校考二模）如图1，在 中， ， ， ，点 为 边上
一点，则点 与点 的最短距离为______．如图2，连接 ，作 ，使得 ， 交 于
，则当 时， 的长为______．
9．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图， 是正五边形 的对角线， 与 相交于点 ．
下列结论：① 平分 ； ② ； ③四边形 是菱形； ④
其中正确的结论是 ．（填写所有正确结论的序号）
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10．（2020·广东广州·统考中考真题）如图，正方形 中， 绕点 逆时针旋转到 ， ，
分别交对角线 于点 ，若 ，则 的值为 ．
11．（2021·四川南充·中考真题）如图，在 中，D为BC上一点， ，则 的
值为________．
12．（2022·四川宜宾·九年级期末）如图，在△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝AB，
∠DEC＝∠B．（1）求证：△AED∽△ADC；（2）若AE＝1，EC＝3，求AB的长．
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13．（2022·江苏盐城·中考真题）如图，在 与 中，点 、 分别在边 、 上，且
，若___________，则 ．请从① ；② ；③
这三个选项中选择一个作为条件（写序号），并加以证明．
14．（2023·湖南·统考中考真题）在 中， 是斜边 上的高．
(1)证明： ；(2)若 ，求 的长．
15．（2023·宁夏·统考中考真题）综合与实践
问题背景：数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为 的等腰三角形，对此三角形产生了极大兴
趣并展开探究．
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探究发现：如图1，在 中， ， ．
（1）操作发现：将 折叠，使边 落在边 上，点 的对应点是点 ，折痕交 于点 ，连接
， ，则 _______ ，设 ， ，那么 ______（用含 的式子表示）；
（2）进一步探究发现： ，这个比值被称为黄金比．在（1）的条件下试证明：
；
拓展应用：当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫黄金三角形．例如，图1中的
是黄金三角形．如图2，在菱形 中， ， ．求这个菱形较长对角线的长．
16．（2023·广东·九年级专题练习）定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足 ，则称点P
为这个三角形的“理想点”．(1)如图①，若点D是 的边AB的中点， ， ，试判断点
D是不是 的“理想点”，并说明理由；(2)如图②，在 中， ， ， ，若
点D是 的“理想点”，求CD的长．
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17．（2022·江西·统考中考真题）如图，四边形 为菱形，点E在 的延长线上， ．
(1)求证： ；(2)当 时，求 的长．
18．（2022·湖北武汉·校考模拟预测）已知，点D在 的边 上，连接 ． (1)如图1，若
．求证： ；(2)如图2，若 ， ， ， ．求线段
的长；(3)如图3，M、N分别是 上的两点，连接 交 于点P，当 ，
时，若 ，直接写出 的值______．
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19．（2022·湖南长沙·校考三模）约定：若三角形一边上的中线将三角形分得的两个小三角形中有一个三
角形与原三角形相似，我们则称原三角形为关于该边的“华益美三角”．例如，如图1，在 中，
为边 上的中线， 与 相似，那么称 为关于边 的“华益美三角”．
(1)如图2，在 中， ，求证： 为关于边 的“华益美三角”；
(2)如图3，已知 为关于边 的“华益美三角”，点 是 边 的中点，以 为直径的⊙
恰好经过点 ．①求证：直线 与 相切；②若 的直径为 ，求线段 的长；
(3)已知 为关于边 的“华益美三角”， ， ，求 的面积．
20．（2022·浙江台州·统考一模）已知在 ABCD，AB＝2 ，BC＝10，∠B＝60°，E是边BC上的动点，以
▱
AE为一边作 AEFG，且使得直线FG经过点D．
（1）如图1，▱EF与AD相交于H，若H是EF的中点．①求证：GF＝DF；②若GF⊥CD，求GD的长；
（2）如图2，设AE＝x，AG＝y，当点E在边BC上移动时，始终保持∠AEF＝45°，
①求y关于x的函数关系式，并求函数y的取值范围；②连接ED，当 AED是直角三角形时，求DF的值．
△
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21．（2023·山西临汾·统考二模）阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务．
规定：在一个三角形中，若一个内角是另一个内角度数的n倍，则称三角形为“n倍角三角形”．当
时，称为“1倍角三角形”，显然等腰三角形是“1倍角三角形”；当 时，称为“2倍角三角形”，
小康通过探索后发现：“2倍角三角形”的三边有如下关系．
如图，在 中， 所对的边分别为 ，若 ，则 ．
下面是小康对“2倍角三角形”的结论的两种探索证明过程：
证法1：如图1，作 的平分线 ，∴ ．
设 ，则 ．
证法2：如图2，延长 到点 ，使得 ，连接 ，……
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任务：(1)上述材料中的证法1是通过作辅助线，构造出__________三角形来加以证明的（填“全等”或
“相似”）．
(2)请补全证法2剩余的部分．
22．（2022·安徽·校联考三模）在 中， ， 平分 ．
（1）如图1，若 ， ，求 的长．（2）如图2，过 分别作 交 于 ，
于 ．①求证： ；②求 的值．
23．（2023春·山东淄博·八年级统考期末）如图，已知 ，点 ， 在边 上，连接 ， ，使
，且 ．(1)请判定 的形状，并说明理由；(2)若 ， ，求
的面积．
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24．（2023·湖南娄底·统考中考真题）鲜艳的中华人民共和国国旗始终是当代中华儿女永不褪色的信仰，
国旗上的每颗星都是标准五角星．为了增强学生的国家荣誉感、民族自豪感等．数学老师组织学生对五角
星进行了较深入的研究．延长正五边形的各边直到不相邻的边相交，得到一个标准五角星．如图，正五边
形 的边 的延长线相交于点F， 的平分线交 于点M．
(1)求证： ．(2)若 ，求 的长．(3)求 的值．
25．（2022·江苏苏州·统考中考真题）（1）如图1，在△ABC中， ，CD平分 ，交AB
于点D， // ，交BC于点E．
①若 ， ，求BC的长；②试探究 是否为定值．如果是，请求出这个定值；如果不
是，请说明理由．（2）如图2， 和 是△ABC的2个外角， ，CD平分 ，
交AB的延长线于点D， // ，交CB的延长线于点E．记△ACD的面积为 ，△CDE的面积为 ，
△BDE的面积为 ．若 ，求 的值．
15
