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专题28 解直角三角形模型之实际应用模型
解直角三角形是中考的重要内容之一（也可理解为相似三角形的一种特殊情况），直角三角形边、角
关系的知识是解直角三角形的基础。将实际问题转化为数学问题是关键，通常是通过作高线或垂线转化为
解直角三角形问题，在解直角三角形时要注意三角函数的选取，避免计算复杂。在解题中，若求解的边、
角不在直角三角形中，应先添加辅助线,构造直角三角形。为了提高解题和得分能力，本专题重点讲解解直
角三角形的实际应用模型。
.........................................................................................................................................................................................2
模型1.背靠背模型...........................................................................................................................................2
模型2.母子模型...............................................................................................................................................6
模型3.拥抱模型.............................................................................................................................................12
..................................................................................................................................................17
【知识储备】
B B
C
c 60° a c 45° a b 1 C 20° b 10 C 5° a b 75° a
a
30° 45° 45° 60°
A b C A b C A 30° c 30° B A 30° c 45° B A c B
图1 图2 图3 图4 图5
如图1，30°-60°-90°三边比值
； 如图2，45°-45°-90°三边比值
；如图4，30°-45°-105°三边比值
如图3，30°-30°-120°三边比值
45°-60°-75°三边比值 。
如图5，
上面五个结论在于运用勾股定理和方程，当然也可用三角函数。其实三角函数相关题目的辅助线也是
类似，即作垂线，把角放在直角三角形中来研究。希望同学能够自己动手计算并研究记忆这些特殊角
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度三角形的三边比值，这些结论在选填题特别好用。
模型1.背靠背模型
背靠背模型：如图，若三角形中有已知角时，则通过在三角形内作高CD，构造出两个直角三角形求解，
其中公共边（高）CD是解题的关键。
图1 图2 图3 图4 图5
重要等量关系：如图1，CD为公共边，则AD+BD=AB；如图2，CE=DA，CD=EA，则CE+BD=AB；
如图3，CD=EF，CE=DF，则AD+CE+BF=AB；如图4，DE=BF，BD=EF，则AE+EF=AF；
如图5，BE=CF，CE=BF，则AE+EB=AB。
例1．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，用热气球的探测器测一栋楼的高度，从热气球上的点 测得该
楼顶部点 的仰角为 ，测得底部点 的俯角为 ，点 与楼 的水平距离 ，则这栋楼的
高度为 m（结果保留根号）．
例2．（2024·山东泰安·中考真题）在综合实践课上，数学兴趣小组用所学数学知识测量大汶河某河段的宽
度，他们在河岸一侧的瞭望台上放飞一只无人机，如图，无人机在河上方距水面高60米的点 处测得瞭望
台正对岸A处的俯角为 ，测得瞭望台顶端 处的俯角为 ，已知瞭望台 高12米（图中点 ， ，
， 在同一平面内），那么大汶河此河段的宽 为 米．（参考数据： ，
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， ， ）
例3．（2023·辽宁大连·模拟预测）如图，是某市在城区河道上新建成的一座大桥，学校数学兴趣小组在一
次数学实践活动中对桥墩的高度进行了测量，测得斜坡 长为50米， ，在斜坡顶端C处水
平地面上以 的速度行走半分钟到达点D，在点D处测得桥墩最高点A的仰角为 ．
(1)水平地面 长为 米；
(2)求桥墩 的高（结果保留1位小数）．（参考数据： ， ， ，
）
例4．（2024·山东青岛·中考真题）“滑滑梯”是同学们小时候经常玩的游戏，滑梯的坡角越小，安全性越
高．从安全性及适用性出发，小亮同学对所在小区的一处滑梯进行调研，制定了如下改造方案，请你帮小
亮解决方案中的问题．
方案
滑梯安全改造
名称
测量
测角仪、皮尺等
工具
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如图，将滑梯顶端 拓宽为 ，使 ，并将原来的滑梯 改为 ，（图中所有点均在
同一平面内，点 在同一直线上，点 在同一直线上）
方案
设计
【步骤一】利用皮尺测量滑梯的高度 ；
测量
【步骤二】在点 处用测角仪测得 ；
数据
【步骤三】在点 处用测角仪测得 ．
解决
调整后的滑梯会多占多长一段地面？（即求 的长）
问题
（参考数据： ）
模型2.母子模型
图1 图2 图3 图4
母子模型：若三角形中有已知角，通过在三角形外作高BC，构造有公共直角的两个三角形求解，其中公
共边BC是解题的关键。
重要等量关系：如图1，BC为公共边，AD+DC=AC；如图2，BC为公共边，DC- BC= DB；
如图3，DF=EC，DE=FC，BF+DE=BC，AE+DF=AC；如图4，AF=CE，AC=FE，BC+AF= BE。
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图5 图6 图7 图8 图9
如图5，BE+EC= BC；如图6，EC- BC= BE；如图7，AC=FG，AF=CG，AD+DC=FG，BC+AF= BG；
如图8，BC=FG，BF=CG，AC+BF=AG，EF+ BC= EG；
如图9，BC=FG，BF=CG，EF+BC=EG，BD+DF= BF，AC+ BD+ DF=AG。
例1．（2024·广东广州·中考真题）2024年6月2日，嫦娥六号着陆器和上升器组合体（简称为“着上组合
体”）成功着陆在月球背面．某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置，在一次试验中，
如图，该模拟装置在缓速下降阶段从 点垂直下降到 点，再垂直下降到着陆点 ，从 点测得地面 点
的俯角为 ， 米， 米．
(1)求 的长；(2)若模拟装置从 点以每秒2米的速度匀速下降到 点，求模拟装置从 点下降到 点的
时间．（参考数据： ， ， ）
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例2．（2024·湖南长沙·模拟预测）某校研究性学习小组测量学校旗杆 的高度，如图在教学楼一楼C处
测得旗杆顶部的仰角为 ，在教学楼五楼D处测得旗杆顶部的仰角为 ，旗杆底部与教学楼一楼在同
一水平线上，已知 米，求旗杆 的高度．
例3．（2024·山东日照·中考真题）潮汐塔是万平口区域内的标志性建筑，在其塔顶可俯视景区全貌．某数
学兴趣小组用无人机测量潮汐塔 的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面 的点M处测得
潮汐塔顶端A的俯角为 ，再将无人机沿水平方向飞行 到达点N，测得潮汐塔底端B的俯角为
（点 在同一平面内），则潮汐塔 的高度为（ ）
（结果精确到 ．参考数据： ）
A． B． C． D．
例4．（2024·山西大同·模拟预测）在新农村建设中，某村依托当地区位条件，资源特色和市场需求，围绕
体验性、参与性和互动性，打造一批休闲农业类旅游景点，如图是景区五个景点A，B，C，D，E的平面
示意图，B，A在C的正西方向，D在C的正北方向，D，E在B的北偏东 方向上，E在A的东北方向
上，C，D相距 ，E在 的中点处．则景点B，A之间的距离是 ．（结果保留根号）
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例5．（2024·江西南昌·模拟预测）如图1，是南昌八一起义纪念塔，象征着革命的胜利．某校数学社团的
同学们欲测量塔的高度．如图2，他们在第一层看台 上架设测角仪 ，从 处测得塔的最高点 的仰
角为 ，测出 ，台阶可抽象为线段 ， ，台阶的坡角为 ，测角仪 的
高度为 ，塔身可抽象成线段 ．(1)求测角仪 与塔身 的水平距离；
(2)求塔身 的高度．（结果精确到 ）（参考数据： ， ， ，
）
例6.（2024·江苏徐州·模拟预测）如图1，徐州云龙山是国家5A级景区，它既有自然风光，又有人文景观．
小明沿图2所示的路线图登顶云龙山，他从山脚A出发；沿AB行走166米到达点B，再沿 到山顶点
C．已知山高CD为142米，从点A看点B的仰角 为 ，从点B看点C的仰角 为 ．求小明从山
脚点A到达山顶点C共走了多少米？（结果精确到1米）．
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（参考数据： ， ， ）
模型3.拥抱模型
拥抱模型：如图，分别解两个直角三角形，其中公共边BC是解题的关键。
图1 图2 图3 图4
重要等量关系：如图1，BC为公共边；如图2，BF+ FC+CE=BE；如图3，BC+ CE= BE；
如图4，AB=GE，AG=BE，BC+CE=AG, DG+AB= DE。
例1．（2024·四川·校考一模）如图，电视塔是西安市的标志性建筑之一，学习测量后，小强想测量其高度
如图，他先在电视塔附近一楼房的底端 点处观测电视塔顶点 处的仰角是 ，然后爬到该楼房顶端
点处观测电视塔底部 处的俯角恰好是 ，已知楼房高 为 米，根据以上观测数据，请你求出电视
塔的高度 （结果精确到 米）（参考数据： ， ， ， ）
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例2．（23-24九年级上·福建漳州·期末）某校数学兴趣小组测量校园内旗杆的高度，活动记录如下：
活动任务：测量旗杆的高度
【步骤一】设计测量方案 小组成员讨论后，画出两种测量方案的图形，如图1，图2．
【步骤二】准备测量工具：筷子，皮尺和测倾器，如图3．皮尺的功能是直接测此任意可达到的两点间的
距离；测倾器（由度盘，铅锤和支杆组成）的功能是测量目标物的仰角或俯角
【步骤三】实地测量并记录数据
方案一：利用镜子的反射（测量时，所使用的平面镜的大小和厚度均忽略不计，根据光的反射定律，反射
角等于入射角，法线 ， ），如图1，小明利用镜子和皮尺测出了旗杆的高度，其测量和求
解过程如下：测量过程：小明将镜子放在距离旗杆 底部 的点C处，然后看若镜子沿直线 来回移
动，直至看到旗杆顶端B在镜子中的像与点C重合，此时小明站在点D处，测得 ，小明的眼睛离
地面的高度 ．
求解过程：由测量知， ， ， ．
法线 ， ，
①______， ． ，即 ．
②______（ ）．故旗杆的高度为③______ ．
方案二：如图2，小亮在测点D处安置测倾器，测得旗杆顶端B的仰角 ．量出测点D到旗杆的
距离 ，量出测倾器的高度 ．
(1)补全小明求解过程中①②③所缺的内容；(2)请你根据方案二求出旗杆的高度（结果精确到 ）．
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（参考数据： ， ， ）
例3．（2024·四川巴中·中考真题）某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图所示，斜坡 的
坡度 ， ，在 处测得电线塔 顶部 的仰角为 ，在 处测得电线塔 顶部 的仰
角为 ．(1)求点 离水平地面的高度 ．(2)求电线塔 的高度（结果保留根号）．
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1．（2024·四川雅安·中考真题）在数学课外实践活动中，某小组测量一栋楼房 的高度（如图），他们
在A处仰望楼顶，测得仰角为 ，再往楼的方向前进50米至B处，测得仰角为 ，那么这栋楼的高度
为（人的身高忽略不计）（ ）
A． 米 B．25米 C． 米 D．50米
2．（2024·广东深圳·中考真题）如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高 的测量仪 测得的仰角
为 ，小军在小明的前面 处用高 的测量仪 测得的仰角为 ，则电子厂 的高度为（ ）
（参考数据： ， ， ）
A． B． C． D．
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3．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，一小孩在荡秋千，秋千的纤绳长为2米，当小孩在最低位置时，
秋千底部距离地面 米，当小孩达到最大高度时，秋千底部距离地面 米，那么小孩从最低位置达到最
高位置秋千底部所经过的路径长为（ ）．
A．2米 B．π米 C． 米 D． 米
4．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，甲船从A处向正北方向的C岛航行，同时，乙船在C岛正东方向
80海里的D处向正东方向航行，此时甲船观察到乙船在北偏东45°方向，甲船正北方向航行30海里后在B
处观察到乙船在北偏东70°方向的E处，则乙船向正东方向航行了 海里．（精确到1海里，参考数
据： ， ， ）
5．（2024·江苏盐城·中考真题）如图，小明用无人机测量教学楼的高度，将无人机垂直上升距地面 的
点P处，测得教学楼底端点A的俯角为 ，再将无人机沿教学楼方向水平飞行 至点Q处，测得教
学楼顶端点B的俯角为 ，则教学楼 的高度约为 m．（精确到 ，参考数据： ，
， ）
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6．（2024·四川眉山·中考真题）如图，斜坡 的坡度 ，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树 ，
当太阳光与水平面的夹角为 时，大树在斜坡上的影子 长为10米，则大树 的高为 米．
7．（2024·内蒙古通辽·中考真题）在“综合与实践”活动课上，活动小组测量一棵杨树的高度．如图，从
C点测得杨树底端B点的仰角是 ， 长6米，在距离C点4米处的 点测得杨树顶端A点的仰角为
，求杨树 的高度（精确到 米， ， ， 在同一平面内，点C，D在同一水平线上．参考
数据： ．
8．（2024·河北·中考真题）中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣．某晚，淇淇在家透过窗户的最高
点P恰好看到一颗星星，此时淇淇距窗户的水平距离 ，仰角为 ；淇淇向前走了 后到达点
D，透过点P恰好看到月亮，仰角为 ，如图是示意图．已知，淇淇的眼睛与水平地面 的距离
，点P到 的距离 ， 的延长线交 于点E．（注：图中所有点均在同一
平面）
(1)求 的大小及 的值；(2)求 的长及 的值．
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9．（2024·四川乐山·中考真题）我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道
与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的：
平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．
仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？
词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺
（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺．（假设秋千的绳索拉的很直）
(1)如图1，请你根据词意计算秋千绳索 的长度；(2)如图2，将秋千从与竖直方向夹角为α的位置 释
放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为β的地方 ，两次位置的高度差 ．根据上述条件能否求
出秋千绳索 的长度？如果能，请用含α、β和h的式子表示；如果不能，请说明理由．
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10．（2024·江苏苏州·中考真题）图①是某种可调节支撑架， 为水平固定杆，竖直固定杆 ，
活动杆 可绕点A旋转， 为液压可伸缩支撑杆，已知 ， ， ．
(1)如图②，当活动杆 处于水平状态时，求可伸缩支撑杆 的长度（结果保留根号）；
(2)如图③，当活动杆 绕点A由水平状态按逆时针方向旋转角度 ，且 （ 为锐角），求此时
可伸缩支撑杆 的长度（结果保留根号）．
11．（2024·四川广安·中考真题）风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力
部门在某地安装了一批风力发电机，如图（1）某校实践活动小组对其中一架风力发电机的塔杆高度进行
了测量，图（2）为测量示意图（点 ， ， ， 均在同一平面内， ）．已知斜坡 长为20
米，斜坡 的坡角为 ，在斜坡顶部 处测得风力发电机塔杆顶端 点的仰角为 ，坡底与塔杆底的
距离 米，求该风力发电机塔杆 的高度．
（结果精确到个位；参考数据： ， ， ， ）
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12．（2024·重庆·中考真题）如图， ， ， ， 分别是某公园四个景点， 在 的正东方向， 在
的正北方向，且在 的北偏西 方向， 在 的北偏东 方向，且在 的北偏西 方向， 千米．
（参考数据： ， ， ）。(1)求 的长度（结果精确到 千米）；(2)甲、乙两
人从景点 出发去景点 ，甲选择的路线为： ，乙选择的路线为： ．请计算说明谁选
择的路线较近？
13．（2024·四川达州·中考真题）“三汇彩婷会”是达州市渠县三汇镇独有的传统民俗文化活动、起源于
汉代、融数学，力学，锻造，绑扎，运载于一体，如图1，在一次展演活动中，某数学综合与实践小组将
彩婷抽象成如图2的示意图， 是彩婷的中轴、甲同学站在 处．借助测角仪观察，发现中轴 上的点
的仰角是 ，他与彩婷中轴的距离 米．乙同学在观测点 处借助无人机技术进行测量，测得
平行于水平线 ，中轴 上的点 的仰角 ，点 、 之间的距离是 米，已知彩婷的
中轴 米，甲同学的眼睛到地面的距离 米，请根据以上数据，求中轴上 的长度．（结
果精确到 米，参考数据 ， ）
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14．（2024·重庆·中考真题）如图，甲、乙两艘货轮同时从 港出发，分别向 ， 两港运送物资，最后
到达 港正东方向的 港装运新的物资．甲货轮沿 港的东南方向航行 海里后到达 港，再沿北偏东
方向航行一定距离到达 港．乙货轮沿 港的北偏东 方向航行一定距离到达 港，再沿南偏东
方向航行一定距离到达 港．（参考数据： ， ， ）
(1)求 ， 两港之间的距离（结果保留小数点后一位）；
(2)若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠 、 两港的时间相同），哪艘货轮先到达 港？请通过计算说明．
15．（2024·海南·中考真题）木兰灯塔是亚洲最高、世界第二高的航标灯塔，位于海南岛的最北端，是海
南岛东北部最重要的航标．某天，一艘渔船自西向东（沿 方向）以每小时10海里的速度在琼州海峡航
行，如图所示．
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航行记录记录一：上午8时，渔船到达木兰灯塔P北偏西 方向上的A处．
记录二：上午8时30分，渔船到达木兰灯塔P北偏西 方向上的B处．
记录三：根据气象观测，当天凌晨4时到上午9时，受天文大潮和天气影响，琼州海峡C点周围5海里
内，会出现异常海况，点C位于木兰灯塔P北偏东 方向．
请你根据以上信息解决下列问题：(1)填空： ________ ， ________ ， ________海
里；
(2)若该渔船不改变航线与速度，是否会进入“海况异常”区，请计算说明．
（参考数据： ）
16．（2024·内蒙古·中考真题）实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小亮同学安装的化学实验装
置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成
右侧示意图，已知试管 ，试管倾斜角 为 ．
(1)求试管口B与铁杆 的水平距离 的长度；（结果用含非特殊角的三角函数表示）
(2)实验时，导气管紧靠水槽壁 ，延长 交 的延长线于点F，且 于点N（点C，D，N，
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F在一条直线上），经测得： ，求线段 的长度．（结果用含非
特殊角的三角函数表示）
17．（2024·山东潍坊·中考真题）在光伏发电系统运行时，太阳能板（如图1）与水平地面的夹角会对太阳
辐射的接收产生直接影响．某地区工作人员对日平均太阳辐射量 （单位： ）和太阳
能板与水平地面的夹角 进行统计，绘制了如图2所示的散点图，已知该散点图可用二次函数
刻画．
(1)求 关于 的函数表达式；
(2)该地区太阳能板与水平地面的夹角为多少度时，日平均太阳辐射量最大？
(3)图3是该地区太阳能板安装后的示意图（此时，太阳能板与水平地面的夹角使得日平均太阳辐射量最
大）， 为太阳能板 与水平地面 的夹角， 为支撑杆．已知 ， 是 的中点，
．在 延长线上选取一点 ，在 两点间选取一点 ，测得 ，在 两点处分
别用测角仪测得太阳能板顶端 的仰角为 ， ，该测角仪支架的高为1m．求支撑杆 的长．（精
确到 m，参考数据： ， ）
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18．（2024·安徽合肥·三模）如图，在四边形 中， ，经测量，
，求四边形 的面积．（结果精确到 ， ，
）
19．（2024九年级下·河南驻马店·学业考试）过街天桥的出现，解决了“过街”难题，也已成为一道独特
的风景线，下图是某 过街天桥的截横面，桥顶AD 平行于地面 ， 天桥斜面 的坡度为 ，
CD 长 ， 天桥另一斜面 的坡角 ．(1)求点 D到地面 的距离；(2)为了更方便过路
群众，若对该过街天桥进行改建，使斜面AB的坡角变为30°，改建后斜面为 ，则斜面 的坡角
，试计算此改建需占路面的宽度 的长(结果精确到 )(参考数据 )
20．（2024·安徽合肥·三模）如图，校园内两栋教学楼AB和CD之间有一棵古树EF，从楼顶C处经过树
顶E点恰好看到教学楼AB的底部B点且俯角α为30°，从教学楼CD的底部D处经过树顶E点恰好看到教
学楼AB的顶部A点，且仰角β为53°，已知树高EF=6米，求DF的长及教学楼AB的高度．（结果精确到
0.1米，参考数据： =1.73、sin53°≈ 、cos53°≈ 、tan53°≈ ）
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21．（2021·辽宁朝阳·中考真题）一数学兴趣小组去测量一棵周围有围栏保护的古树的高，在G处放置一
个小平面镜，当一位同学站在F点时，恰好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时测得FG＝
3m，这位同学向古树方向前进了9m后到达点D，在D处安置一高度为1m的测角仪CD，此时测得树顶A
的仰角为30°，已知这位同学的眼睛与地面的距离EF＝1.5m，点B，D，G，F在同一水平直线上，且
AB，CD，EF均垂直于BF，求这棵古树AB的高．（小平面镜的大小和厚度忽略不计，结果保留根号）
22．（23-24九年级下·安徽亳州·阶段练习）如图所示，阿进站在河岸上的 点，看见河里有一小船 沿垂
直于岸边的方向划过来．此时，测得小船 的俯角是 ．若阿进的眼睛与地面的距离是 ，
， 平行于 所在的直线，迎水坡的坡度 ，坡长 ，点
在同一个平面上，则此时小船 到岸边的距离 的长约为多少米?(参考数据： ，结果精确到
0.01)
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