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专题27 相似模型之托勒密定理与不等式模型
相似三角形是几何中重要的证明模型之一，是全等三角形的推广，分析图形间的关系离不开数量的计
算。相似和勾股是产生等式的主要依据（其他依据还有面积法，三角函数等），因此要掌握相似三角形的
基本图形，体会其各种演变和联系。相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综
合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。本专题重点讲解相似三角形的托勒密定理与托勒密不
等式模型。
托勒密（Ptolemy）定理的历史，可追溯到公元2世纪，古希腊数学家和天文学家Ptolemy，他对三角
学有很多贡献。该定理无论从内涵还是应用都极具魅力。从表面上看 Ptolemy定理是关于边的等式，但由
于四边形外接圆的存在，Ptolemy定理从一个侧面反映了角的关系。也许正因为如此，Ptolemy定理有了
较好的应用背景。Ptolemy定理不但有着丰富的内涵，而且具备广泛的外延，而 Ptolemy不等式就是其重
要的拓展。
.........................................................................................................................................................................................2
模型1.托勒密（定理）模型...........................................................................................................................2
模型2.托勒密不等式模型...............................................................................................................................6
....................................................................................................................................................7
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模型1.托勒密（定理）模型
托勒密定理：四边形ABCD内接于圆，求证： ．
证明：如图，在BD上取一点P，使其满足 ．
∵ ，∴ ， ，即 ①
又 ， ，∴ ， ， ．②
①+②，有 ．
即 ，故 ．
特例：（1）当△ABC是等边三角形时，如图1，根据托勒密定理有： ，
又等边△ABC有AB=AC=BC， 故： ．
A
A
A
D
c b
O
O B C
O
B a C
B C
D
D
特例：（2）当△ABC是等腰直角三角形，如图2，根据托勒密定理： ，
又 ，代入可得结论： ．
特例：（3）当△ABC是一般三角形时，如图2，根据托勒密定理可得：
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又BC：AC：AB=a：b：c，代入可得结论： ．
例1．（2024·湖北武汉·模拟预测）“托勒密定理”由依巴谷提出，其指出圆的内接四边形中，两条对角线
的乘积等于两组对边乘积之和．如图， 中有圆内接四边形 ，已知 ， ， ，
，则 （ ）
A． B． C． D．
例2．（2024·浙江·模拟预测）某著作讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条
对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当凸四边形的对角互补时取等号．如图，四边形
内接于半径为 的圆， ， ， ，则四边形 的周长为( )
A． B． C． D．
例3．（2023·河南商丘·模拟预测）请阅读下列材料，完成相应的任务：
克罗狄斯・托勒密（ ，约90年-168年），“地心说”的集大成者，生于埃及，著名的
天文学家，地理学家，占星学家和光学家．
托勒密定理实出自依巴谷（ ）之手，托勒密从他的书中摘出并加以完善．
托勒密定理：圆的内接四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．
已知：如图1，四边形 内接于 ，求证： 下面是该结论的证明过程：
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证明：如图1，作 ，交 于点 . ，
（依据1）， （依据2），
， ， .
， ，即 ，
， ，
．
任务：(1)托勒密定理的逆命题是______；上述证明过程中的“依据1”为______；“依据2”为______．
(2)当圆内接四边形 是矩形时，托勒密定理就是我们非常熟知的一个定理：______．
(3)如图2，以 为直径的 中，点 为 上一点，且 ， 的角平分线交 于点 ，
连接 ， ，若 ，求 的长．
例4．（23-24九年级上·浙江衢州·期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O．
(1)连接AC、BD，若∠BAC＝∠CAD＝60°，则△DBC的形状为 ．
(2)在(1)的条件下，试探究线段AD，AB，AC之间的数量关系，并证明你的结论；
(3)若 ，∠DAB＝∠ABC＝90°，点P为 上的一动点，连接PA，PB，PD，求证：PD＝PB+
PA．
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例5．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）【给出问题】：已知： 是正方形 的外接圆，点P
在 上（除A、B外），试求 的度数．
【分析问题】：善于思考的小明在分析上述题目后，有了以圆为工具来解决问题的思路．用圆来画出准确
的示意图就能顺利解题了，在此基础上进一步探索就有了新发现．请善于思考的你帮助解答以下问题：
（1）①尺规作图，在 中作出内接正方形 （保留痕迹，不写作法）．②原题中 ．
【深入思考】（2）【问题】如图1，若四边形 是 的内接正方形，点P为弧 上一动点，连接
，请探究 三者之间或者 三者之间有何数量关系，并给予证明．
（3）【拓展】如图2，若六边形 是 的内接正六边形，点P为弧 上一动点，请探究
三者之间有何数量关系： （不写证明过程）．
（4）【应用】如图3，若四边形 是矩形，点P为边 上一点， ， ， ，
试求矩形 的面积．
例6．（2024·山东德州·一模）△ABC是⊙O的内接三角形，点P是⊙O上一点，且点P与点A在BC的两
侧，连接PA，PB，PC．(1)如图①，若△ABC是等边三角形，则线段PA，PB，PC之间有怎样的数量关系，
并证明你的结论．(2)如图②，把（1）中的△ABC改为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，其他条件不变，三
条线段PA，PB，PC还有以上的数量关系吗？说明理由．
(3)如图③，把（1）中△ABC改为任意三角形，AB＝c，AC＝b，BC＝a时，其他条件不变，则PA，PB，
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PC三条线段的数量关系为_________（直接写结果）
(4)由以上你能发现圆内接四边形的四条边和对角线有什么关系？
例7．（2024·浙江温州·三模）如图，已知圆内接 ，点D为圆上一点且 ，连接AD交 于
点E．(1)求证： ；(2)设 ， ．
①求证： ；②若 ，求 的值．（用含m、k的代数式表示）
模型2.托勒密不等式模型
托勒密不等式模型：对于任意凸四边形ABCD，有
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D D
D
A A
A
E E
B C B C
B C 图1 图2
证明：如图1，在平面中取点E使得∠BAE=∠CAD，∠ABE=∠ACD，
易证△ABE∽△ACD，∴ ，即 ①，
连接DE，如图2，∵ ，∴ ，又∠BAC=∠BAE+∠CAE=∠DAC+∠CAE=∠DAE，
∴△ABC∽△AED，∴ ，即 ②，
将①+②得： ，∴
即 ，当且仅当A、B、C、D共圆时取到等号．
例1．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）在△ABC中，AB＝4，AC＝2，以BC为边在△ABC外作正方形
BCDE，线段BD、CE交于点O，则线段AO的最大值为（ ）
A．6 B．6 C．4＋2 D．3
例2．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，平面内三点A、B、C满足 ， ，以BC为
斜边作等腰直角三角形 ，连接 ，则 的最大值为（ ）
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A． B． C．4 D．8
例3．（2023·广东河源·三模）【发现问题】爱好数学的小明在做作业时碰到这样的一道题目：如图 ，
点 为坐标原点， 的半径为 ，点 ．动点 在 上，连接 ，作等边 （ ， ， 为
顺时针顺序），求 的最大值；
【解决问题】小明经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路：在图 中，连接 ，以 为边在 的
左侧作等边 ，连接 ．（ ）请你找出图中与 相等的线段，并说明理由；（ ）线段 的最
大值为 ．
【灵活运用】（ ）如图 ，在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，点 为线
段 外一动点，且 ， ， ，求线段 长的最大值及此时点 的坐标．
【迁移拓展】（ ）如图③， ，点 是以 为直径的半圆上不同于 的一个动点，以 为
边作等边 ，请直接写出 的最值．
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1．（23-24九年级上·浙江金华·期中）如图，点P为正方形 的外接圆O的 上一点，连接
，则 的值为（ ）
A．1 B． C． D．2
2．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，四边形 内接于 ，
点 是弧 的中点，则 的长为 ．
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3．（2024·天津·校考一模）如图，在△ABC中，AD= ，CD= ，∠ACB=90°，AC=2BC，则BD的最
大值为
4．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）如图， 、 、 、 是 上的四个点， ．
(1)判断 的形状，并证明你的结论．(2)求证： ．
(3)若 ，点P是弧 上一动点（异于点 ， ），求 的最大值．
5．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）（1）【基础巩固】如图1， 内接于 ，若 ，
弦 ，则半径 ______；
（2）【问题探究】如图2，四边形 的四个顶点均在 上，若 ， ，点 为弧
上一动点（不与点 ，点 重合）．求证： ；
（3）【解决问题】如图3，一块空地由三条直路（线段 、 、 ）和一条道路劣弧CD围成，已知
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千米， ，CD的半径为1千米，市政府准备将这块空地规划为一个公园，主入
口在点M处，另外三个入口分别在点C、D、P处，其中点 在CD上，并在公园中修四条慢跑道，即图中
的线段 、 、 、 ，某数学兴趣小组探究后发现C、P、D、M四个点在同一个圆上，请你帮
他们证明C、P、D、M四点共圆，并判断是否存在一种规划方案，使得四条慢跑道总长度（即四边形
的周长）最大？若存在，求其最大值；若不存在，说明理由．
6．（23-24九年级上·山西大同·阶段练习）阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务：
克罗狄斯•托勒密（约90年﹣168年），是希腊数学家，天文学家，地理学家和占星家．在数学方面，他
还论证了四边形的特性，即有名的托勒密定理，托勒密定理的内容如下：圆的内接四边形的两条对角线的
乘积等于两组对边乘积的和．即：如图1，若四边形ABCD内接于⊙O，则有 ．
任务：（1）材料中划横线部分应填写的内容为 ．
（2）如图2，正五边形ABCDE内接于⊙O，AB＝2，求对角线BD的长．
7．（23-24九年级上·江苏南京·期末）问题提出：若一个四边形的两组对边乘积之和等于它的两条对角线
的乘积，则称这个四边形为巧妙四边形．
初步思考：（1）写出你所知道的四边形是巧妙四边形的两种图形的名称： ， ．
（2）小敏对巧妙四边形进行了研究，发现圆的内接四边形一定是巧妙四边形．
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如图①，四边形ABCD是⊙O的内接四边形．求证：AB·CD＋BC·AD＝AC·BD．
小敏在解答此题时，利用了“相似三角形”进行证明，她的方法如下：
在BD上取点M，使∠MCB＝∠DCA．（请你在下面的空白处完成小敏的证明过程．）
推广运用：如图②，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，AD＝ ，AB＝ ，CD＝2．求AC的长．
8．（2023·湖南·一模） 定义：在凸四边形中，我们把两组对边乘积的和等于对角线的乘积的四边形称为
“完美四边形”。（1）在正方形、矩形、菱形中，一定是“完美四边形”的是______．
（2）如图1，在△ABC中，AB=2，BC= ，AC=3，D为平面内一点，以A、B、C、D四点为顶点构成的
四边形为“完美四边形”，若DA，DC的长是关于x的一元二次方程x2-(m+3)x+ (5m2-2m+13)=0(其中m
为常数)的两个根，求线段BD的长度．
（3）如图2，在“完美四边形”EFGH中，∠F=90°，EF=6，FG=8，求“完美四边形”EFGH面积的最大
值．
9．（2024·山西大同·校考一模）阅读下列材料，并完成相应的任务．
托勒密定理：托勒密（Ptolemy）（公元90年～公元168年），希腊著名的天文学家，他的要著作《天文
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学大成》被后人称为“伟大的数学书”，托勒密有时把它叫作《数学文集》，托勒密从书中摘出并加以完
善，得到了著名的托勒密（Ptolemy）定理．
托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和．
已知：如图1，四边形ABCD内接于⊙O，求证：AB•CD+BC•AD＝AC•BD
下面是该结论的证明过程：
证明：如图2，作∠BAE＝∠CAD，交BD于点E．
∵ ∴∠ABE＝∠ACD∴△ABE∽△ACD∴ ∴AB•CD＝AC•BE
∵ ∴∠ACB＝∠ADE（依据1）
∵∠BAE＝∠CAD∴∠BAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC即∠BAC＝∠EAD
∴△ABC∽△AED（依据2）∴AD•BC＝AC•ED
∴AB•CD+AD•BC＝AC•（BE+ED）∴AB•CD+AD•BC＝AC•BD
任务：（1）上述证明过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？
（2）当圆内接四边形ABCD是矩形时，托勒密定理就是我们非常熟知的一个定理： ．（请写出）
（3）如图3，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝3，AD＝5，∠BAD＝60°，点C为 的中点，求AC的长．
10．（23-24九年级上·山西临汾·期末）阅读下列材料，并完成相应任务
托勒密，古希腊天文学家、地理学家和光学家，而他在数学方面也有重大贡献，下面就是托勒密发现的一
个定理，圆内接四边形的两组对边乘积之和等于两条对角线的乘积．下面是该定理的证明过程（部分）
已知：如图①四边形 是 的内接四边形 求证：
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证明：以C顶点， 为一边作 交 于点E，使得
又∵ ∴ ∴ ∴ ，
又 ，
∴ ∴ ∴ ，∴
∴ ∴ 即
任务：(1)请将“托勒密”定理的证明过程补充完整；(2)当圆内接四边形 是矩形时，托勒密定理就是
我们非常熟知的一个定理： ．(3)如图②若 ，试探究线段
之间的数量关系，并利用托勒密定理证明这个结论．
11．（2024·河南南阳·一模）学习过“圆内接四边形”后，刘老师布置了课后阅读“认识托勒密”，小明
读了托勒密的生平、贡献，对“托勒密定理”很感兴趣，并进行了下列的研究，请完成他的研究．托勒密
定理：圆的内接四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．
已知：如图1，_____．求证：______．
证明：如图2，作 ，交BD于点E，……
∴ ∽ ，∴ ，……
∴ ∽ ，∴ ，
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∴ ．
(1)请帮小明写出已知和求证，并完成证明过程；
(2)如图3，已知正五边形ABCDE内接于 ， ，求对角线BD的长．
12．（23-24九年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，四边形 内接于 ，对角线 ， 相交于点
．
(1)如图1，求证： ．(2)如图2， 为线段 上一点， ，
①求证： ；②求证：
(3)如图3，当 ， ， ， 时，求 （用 ， 表示）．
13．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）【阅读材料】克罗狄斯•托勒密（约90-168年）是希腊著名的数学
家、天文学家和地理学家，托勒密定理是欧几里得几何中的重要定理．定理内容如下：任意一个凸四边形，
两组对边乘积的和不小于两条对角线的乘积，当且仅当四边形四个顶点共圆时，等号成立．即：四边形
中，有 ，当A、B、C、D四点共圆时，有 ．
【尝试证明】（1）如图1，四边形 内接于 ，求证： ．
证明：在 上取点E，连接 ，使 ．
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∵ ，∴______，∴ ，∴ ①，
∵ ，∴ ，即 ，
又∵ ，∴ ，∴ ，
∴______②， 得 ，即______．
【直接应用】（2）如图2， 为 的直径， ， ， ，求 的长；
【拓展应用】（3）如图3，在四边形 中， ， ， ， ，则DB的最大
值为______；
【灵活运用】（4）如图4，在等腰三角形 中， ， ，点D在底边 上，且
，将三角形 沿着AD所在的直线翻折，使得点C落在点E处，连接 ，则 的长为
______．
14．（24-25九年级上·陕西安康·阶段练习）【问题提出】（1）如图1，四边形 内接于 ，
， ，连接 ，则 的度数为______．
【问题探究】（2）如图2，在四边形 中， ， ，连接 ，将 绕点
顺时针旋转到 的位置，若 ，求四边形 的面积；
【问题解决】（3）如图3，若 是一个半径为 的圆形荷花池，AB和AD是荷花池上的两座长度相等
的小桥，且 ，现要在荷花池上再修建三座小桥 、 和CD，为使游客更好地欣赏荷花，
要求这三座小桥的总长度最大，请你求出此时这三座小桥的总长度（即 的最大值）．
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15．（2024·广东佛山·一模）（1）小迪同学在学习圆的内接正多边形时，发现：如图1，若 是圆内接正
三角形 的外接圆的 上任一点，则 ，在 上截取 ，连接 ，可证明
是_______（填“等腰”、“等边”或“直角”）三角形，从而得到 ，再进一步证明
_______，得到 ，可证得：．
（2）小迪同学对以上推理进行类比研究，发现：如图2，若 是圆内接正四边形 的外接圆的 上
任一点，则 °，分别过点 作 于 、 于 ．
（3）写出 与 之间的数量关系，并说明理由．
16．（23-24九年级下·浙江·期末）如图， 是 外接圆的直径，O是圆心， 的平分线交
于点D．（1）若 的半径为5， ，求 ．（2）若 ，求 ．
（3）探究，直接写出三条线段 之间的数量关系．
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17．（2024·山东淄博·二模）已知， 内接于 ， 平分 交 边于点E，连接 ．
(1)如图1，过点D作直线 ，求证： 是 的切线：
(2)小明同学围绕圆内接三角形进行了一系列的探究，发现线段 之间存在着一种数量关系；
【发现猜想】在图1中，小明同学发现，当 时，线段 之间满足数量关系
【推理证明】延长AC到点P使得 平分
又
为正三角形
【类比探究】如图2，当 时，试猜想线段 之间满足的数量关系，并证明你的结论；
【一般归纳】如图3，当 时，试猜想线段 之间满足的数量关系（用含有 的三角
函数表示），并证明你的结论；
【拓展应用】如图4，过点E作 ，垂足为G，过点E作 ，垂足为H，求证：
．
18．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，
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其中这个角叫做美角．（1）如图1，若四边形 是圆美四边形，则美角 ______度．
（2）在（1）的条件下，若 的半径为10．①求 的长．②如图2，在四边形 中，若 平分
，求证： ．（3）在（1）的条件下，如图3，若 是 的直径，用等式直接写出
线段 ， ， 之间的数量关系．
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