2025年中考数学几何模型综合训练（通用版）专题26相似模型之梅涅劳斯（定理）模型与塞瓦（定理）模型解读与提分精练（教师版）_02中考总复习（2026版更新中）_02-数学-中考总复习

关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 专题26 相似模型之梅涅劳斯（定理）模型与塞瓦（定理）模型 梅涅劳斯（Menelaus，公元98年左右），是希腊数学家兼天文学家，梅涅劳斯定理是平面几何中 的一个重要定理。 塞瓦（G·Gevo1647-1734）是意大利数学家兼水利工程师．他在 1678年发表了一个著名的定理， 后世以他的名字来命名，叫做塞瓦定理。 使用梅涅劳斯和塞瓦定理可以进行直线形中线段长度比例的计算，其逆定理还可以用来进行三点共线、 三线共点等问题的判定方法，是平面几何学以及射影几何学中的一项基本定理，具有重要的作用． .........................................................................................................................................................................................1 模型1.梅涅劳斯（定理）模型及其逆定理...................................................................................................1 模型2.塞瓦（定理）模型...............................................................................................................................7 ..................................................................................................................................................12 模型1.梅涅劳斯（定理）模型及其逆定理 梅涅劳斯（定理）模型：如图1，如果一条直线与 的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E 点，那么 。其中：这条直线叫 的梅氏线， 叫梅氏三角形。 注意：梅涅劳斯（定理）特征是三点共线；我们用梅涅劳斯（定理）解决的大部分问题，也可添加辅助线 后用平行线分线段成比例和相似来解决。 1关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 1）梅涅劳斯（定理）模型：如图1，如果一条直线与 的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、 E点，那么 。其中：这条直线叫 的梅氏线， 叫梅氏三角形。 图1 图2 证明：证明：如图2，过点A作 ，交 的延长线于点 ，易证： ， ∴ ， ； ． 2）梅涅劳斯定理的逆定理模型：如图1，若F、D、E分别是 的三边AB、BC、CA或其延长线的三 点，如果 ，则F、D、E三点共线． 证明：先假设F、D、E三点不共线，直线DF与AC交于P，由梅涅劳斯定理的定理得 。 ∵ ，∴ ，∴ ，∴ 。 ∴ CP=CE；即P与E重合，∴ D、E、F三点共线。 例1．（23-24九年级上·福建泉州·阶段练习）如图，已知， 是 的中线， 是 的中点，则 ． 2关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【答案】 【分析】法1：这道题是梅氏定理的直接应用，难点在于找梅氏线：直线FEB。 法2：过点 作 ，交 于 ，根据平行线分线段成比例定理得到 ， ，根据 线段中点的性质得到 ，得到 ， ，计算即可． 本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 【详解】法1：∵直线EBF是 的梅氏线，∴ ．∵ 是 的中线，∴ ， ∵ 是 的中点，∴ ，∴ ， ．故答案为： ． 法2：过点 作 交 于 ，则 ， 是 的中线， 是 的中点， ， ， ， ．故答案为： ． 例2.（23-24八年级下·广东潮州·期中） 中，D为 中点，E为 中点，直线 交 于F，求证： ． 【答案】见解析 【分析】法1：这道题是梅氏定理的直接应用，难点在于找梅氏线：直线FEB。 法2：本题考查了三角形中位线的性质及平行线分线段成比例定理，作 的中点G，连接 ，证明 ，即可得出 ，进而可证明 ，即可得出 ． 【详解】法1：∵直线EBF是 的梅氏线，∴ ．∵D为 中点，，∴ ， ∵ 是 的中点，∴ ，∴ ， ． ． 法2：作 的中点G，连接 ，则 ， 3关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵ ，∴ ，∴ ，∵ ，∴ ，∴ ． 例3.如图，在 中，D为BC的中点， ．求 ． 【解析】∵HFC是 的梅氏线，∴ ， BC 2 DF 1 AH 2 1 AH 7 ∵D为BC的中点， ，∴  ，  ．∴   1，∴  ． AE:EF:FD4:3:1 DC 1 FA 7 HB 1 7 HB 2 AG BC DE ∵GEC是 的梅氏线，∴   1， GB DC EA AG 2 1 AG 1 ∴   1，∴  ．∴ ．∴ ． GB 1 1 GB 2 AG:GH:HB3:4:2 AG:GH:AB3:4:9 【点睛】这道题主要考查多个梅氏定理的应用，考查相对综合． 例4.（24-25 重庆九年级校考期中）如图，等边△ABC的边长为2，F为AB中点，延长BC至D，使CD＝ BC，连接FD交AC于E，则四边形BCEF的面积为 ． 【解析】∵DEF是△ABC的梅氏线，∴由梅涅劳斯定理得， ， 即 ，则 ， 连FC，S ＝ S ，S ＝ S ， BCF ABC CEF ABC △ △ △ △ 4关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 于是S ＝S +S ＝ S ＝ × ×2×2sin60°＝ × ＝ ．故答案为 ． BCEF BCF CEF ABC △ △ △ 例5.如图，CD、BE、AF分别为 （ 不是等边三角形）的三个外角平分线，分别交AB、AC、 BC于D、E、F．证明：D、E、F三点共线． 【解析】过 C 作 BE 的平行线，则 ，所以 是等腰三角形．则 ． 则有： ．同理 ； ．所以 ． 所以D、E、F共线． 【点睛】这道题主要是考查梅氏定理逆定理判定三点共线． 例6．（24-25·广东·九年级校联考期中）梅涅劳斯（Menelaus）是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯 定理，定理的内容是：如图1，如果一条直线与 的三边 或它们的延长线交于 三 点，那么一定有 ． 下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程： 证明：如图2，过点 作 ，交 的延长线于点 ，则有 ， ， ∴ ， ． 请用上述定理的证明方法解决以下问题： 5关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 （1）如图3， 三边 的延长线分别交直线 于 三点，证明： ． 请用上述定理的证明方法或结论解决以下问题：（2）如图4，等边 的边长为3，点 为 的中点， 点 在 上，且 与 交于点 ，试求 的长．（3）如图5， 的面积为4，F为 中点，延长 至 ，使 ，连接 交 于 ，求四边形 的面积． 【答案】（1）详见解析；（2） ；（3） 【分析】(1) 过点 作 交 于点 ，根据平行线分线段成比例定理列出比例，化简计算即可． (2) 根据定理，勾股定理，等边三角形的性质解答即可．(3) 根据定理，计算比值，后解答即可． 【详解】（1）证明：如图，过点 作 交 于点 ， 则 ．故： ． 6关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 （2）解：如图，根据梅涅劳斯定理得： ． 又 ，∴ ， ．在等边 中， ，点 为 的中点， ． 由勾股定理知： ． （3）解： 线段 是 的梅氏线， 由梅涅劳斯定理得， ，即 ，则 ．如图，连接 ， ，于是 ． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，勾股定理，等边三角形的性质，三角形面积的计算，熟练 掌握定理是解题的关键． 模型2.塞瓦（定理）模型 塞瓦（定理）模型：塞瓦定理是指在△ABC内任取一点O，延长AO、BO、CO分别交对边于D、E、F， 如图3，则 。 注意：塞瓦（定理）的特征是三线共点，我们用塞瓦（定理）解决的大部分问题，也可添加辅助线后用平 行线分线段成比例和相似来解决。 7关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 塞瓦（定理）模型：塞瓦定理是指在△ABC内任取一点O，延长AO、BO、CO分别交对边于D、E、F， 如图3，则 。 CB DO AE ⋅ ⋅ =1 塞瓦（定理）证明：法1：可利用梅涅劳斯定理证明：在△ADC中，割线 BOE ∴ BD OA EC ① BC DO AF BD CE AF ⋅ ⋅ =1 ⋅ ⋅ =1 在△ABD中，割线 COF ，∴ CD OA FB ②，由②÷①：即得： DC EA FB 。 法2：∵ ；∴ ①；同理： ②； ③； 由①×②×③得： 。 BD CE AF ⋅ ⋅ =1 塞瓦定理的逆定理：如果有三点F、D、E分别在△ABC的三边AB、BC、CA上，且满足 DC EA FB ， 那么 AD、BE、CF 三线交于一点。 塞瓦定理的逆定理证明：设 AD 、 BE 交于点 O ，联结 CO 并延长交 AB 于F'； AF' BD CE AF' AF AB AB ⋅ ⋅ =1 = = F'B DC EA F'B FB F'B FB 根据塞瓦定理： 。∴ ， ∴ ， ∴F'B=FB ，∴F'与F重合，即证。 注意：利用塞瓦定理的逆定理可判定三线共点，如证明三角形三条中线交于一点；三角形三条角平分线必 交于一点；三角形三条高线交于一点等。 例1. 如图，设M为 ABC内的一点，BM与AC交于点E，CM与AB交于点F，若AM通过BC的中点，求 证：EF//BC。 △ 8关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【详解】证明：在 中，∵点D为边BC的中点，∴ ． 对 ABC和点M应用赛瓦定理可得： ． △ ∴ ，∴ ． 即EF//BC； 点评：本题考查了赛瓦定理，要熟练掌握定理的内容，是解此题的关键． 例2. 如图，在锐角 ABC中，AD是BC边上的高线，H是线段AD内任一点，BH和CH的延长线分别交 AC、AB于E、F，求△证：∠EDH=∠FDH。 【详解】证明：过点A作PQ//BC，与DF，DE的延长线分别交于点P、Q，则DA⊥PQ。 对 ABC和点H应用赛瓦定理可得： ． △ ∵PQ//BC，∴ ,∴ ,∴AP=AQ 9关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 根据垂直平分线，∴PD=QD，∴ PQD是等腰三角形，∴∠EDH=∠FDH。 点评：本题考查了赛瓦定理，要熟△练掌握定理的内容，是解此题的关键． 例3.如图，四边形ABCD的对边AB和CD，AD、BC分别相交于L、K，对角线AC与BD交于点M， 直线KL与BD，AC分别交于F、G，求证： . 对 DKL和点B应用赛瓦定理可得： ．① △ 对 和截线 ，由梅氏定理得： ② 由①②得： 点评：本题考查了赛瓦定理，要熟练掌握定理的内容，是解此题的关键． 例4.已知： ΔABC 内角平分线 AD 、 BE 、 CF 与对边分别交于点D、E、F。 求证：三角形三条内角平分线交于一点。（用塞瓦定理的逆定理证明） A F E B D C AB BD AC AF BC CE = , = , = . AC DC BC FB AB EA 证明：由角平分线定理知 BD CE AF AB BC AC ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =1. 因此 DC EA FB AC AB BC 由塞瓦定理逆定理得 AD、BE、CF 交于一点。 例5．（2022·山西晋中·统考一模）请阅读下列材料，并完成相应任务： 塞瓦定理：塞瓦定理载于1678年发表的《直线论》，是意大利数学家塞瓦的重大发现．塞瓦是意大利伟大 10关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 的水利工程师，数学家． 定理内容：如图1，塞瓦定理是指在 内任取一点 ，延长AO，BO，CO分别交对边于D，E，F，则 ． 数学意义：使用塞瓦定理可以进行直线形中线段长度比例的计算，其逆定理还可以用来进行三点共线、三 线共点等问题的判定方法，是平面几何学以及射影几何学中的一项基本定理，具有重要的作用． 任务解决：(1)如图2，当点D，E分别为边BC，AC的中点时，求证：点F为AB的中点；(2)若 为等 边三角形（图3）， ， ，点D是BC边的中点，求BF的长，并直接写出 的面积． 【答案】(1)证明见解析(2) ； 的面积为 【分析】（1）根据塞瓦定和中点的性质即可求解； （2）根据塞瓦定和等边三角形的性质即可求出BF，然后过点F作FG⊥BC于G，证明 ，可 求出OD，从而求出△BOC的面积，然后根据 可求△BCF的面积，从而得解． 【详解】（1）证明：在 中，∵点D，E分别为边BC，AC的中点，∴ ， ． 由赛瓦定理可得： ．∴ ，∴ ．即点F为AB的中点； （2）解：∵ 为等边三角形， ，∴ ∵点D是BC边的中点，∴ ， ∵ ，∴ ．由赛瓦定理可得： ；过点F作FG⊥BC于G， 11关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴ ， ，∴CG=BC-BG=8， ∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∴ ，∴ ， ∴ ，即 ，∴ ，∴ ， ∵AB=12，BF=8，∴AF=AB-BF=4，∴ ，∴ 又 ，∴ ，∴ ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、中点的性质、等边三角形的性质，读懂题意，学会运用塞 瓦定理是解题的关键． 1．（2024·内蒙古赤峰·二模）如图， 是 的中线，点 在 上， 交 于点 ，若 ， 12关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 则 为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】法1：这道题是梅氏定理的直接应用，难点在于找梅氏线：直线EFB。 法2：本题考查了构造平行线并利用平行线分线段成比例进行解决问题，正确构造平行线是解题的关键． 过点 作 交 于点 ，利用 ，得 ，再利用平行线分线段成比例可得 ，再利用比例的性质即可求解． 【详解】法1：∵直线EFB是 的梅氏线，∴ 。 ∵ 是 的中线，∴ ，∵ ，∴ ， ，∴ ，故选：B． 法2：过点 作 交 于点 ，如图， ∵ 是 的中线，∴ ，∵ ，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，故选：B． 2．（23-24上·上海闵行·九年级校考期中）如图， 、 、 内分正 的三边 、 、 均为 13关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 两部分， 、 、 相交成的 的面积是 的面积的（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】法1：利用梅氏定理和等积模型求解即可。 法2：如图，过 作 交 于 设等边三角形 的边长为： 结合题意可得： 证明 证明 设等边三角形 的面积为： 可得 从而可 得答案. 【解析】法 1：∵ ，∴ ，对 和截线 ，由梅氏定理得： ， 即 ，∴ ，∴ ，∴ . ∵ ，∴ ,同理： ， ， 故 . 法2：如图，过 作 交 于 设等边三角形 的边长为： 结合题意可得： 14关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 同理： 设等边三角形 的面积为： ， 的面积是 的面积的 故选D 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形的面积问题，掌握“作出适 当的辅助线构建相似三角形”是解题的关键. 3．（24-25九年级上·上海·假期作业）如图， 中， 是 边上的点，且 ， 是 边上的点，且 ， 分别交 于 ，则 等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定及性质，作 交 于点F， 作 交 于点G，设 ，则 ， ，设 ，则 ，根据平行线分线 段成比例定理，推导出 与 之间的数量关系，即可求解． 【详解】解：作 交 于点F，作 交 于点G， 15关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ， 设 ，则 ， ，同理，设 ，则 ， ，∴ ， ， ， ， ，则 ， ，则 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故选D． 4．（2024广东校考一模）如图， 为 的直径，C为 上一点， 的切线 交 的延长线于点 D，E为 的中点， 交 的延长线于点F．若 ， ，则 的长为 ． 【答案】 / 【分析】法1：连接BC，先根据梅氏定理求出CD的长度，再射影定理求得 的长度即可。 法2：连接OC，BC，根据 为 的直径，可得∠ACB=∠BCD=90°，再由E为 的中点，可得 CE=BE=DE，从而得到∠BCE=∠CBE，然后根据切线的性质可得∠ABD=90°，再由OC=OB，可得 ∠OCF=90°，然后根据 ，可得△OBC是等边三角形，进而得到∠A=30°，∠CBD=30°，最后根据 锐角三角函数，即可求解． 【详解】法1：∵CEF是 的梅氏线，由CEF截 可得， 16关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵E为 的中点，∴BE=DE，∵ ，∴AF:FB=3:1， ∵AC=4，∴ ，即 ，∴ ，由射影定理： ∴ . 法2：如图，连接OC，BC， ∵ 为 的直径，∴∠ACB=∠BCD=90°，∵E为 的中点，∴CE=BE=DE，∴∠BCE=∠CBE， ∵ 是 的切线，∴∠ABD=90°，即∠CBD+∠OBC=90°， ∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC，∴∠OCB+∠BCE=∠OBC+∠CBD=90°，即∠OCF=90°， ∵ ，∴BC=OB=OC，∴△OBC是等边三角形，∴∠BOC=∠OBC=60°，∴∠A=30°，∠CBD=30°， ∵ ，∴ ，∴ ，故答案为： 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、切线的性质、直角三角形的性质、解直角三角形，熟练掌握相关知 识点是解题的关键． 5．（24-25·江苏·九年级期中）如图， 的面积为 ， 、 分别是 ， 上的点，且 , ．连接 , 交于点 ,连接 并延长交 于点 ．则四边形 的面积为 ． 【答案】 . 【分析】法1：对 ABC和点F应用赛瓦定理得到 ，再利用面积关系求解即可。 △ 法2：先画出图形,再作DJ∥EC交AB于J,交AH于K，作DG∥BC交AH于G，由题推出EF:FC=1:3， BH:CH=1:2，求出 BEF, BFH的面积即可． 【详解】证明：在△ △中，∵ , ．对 ABC和点F应用赛瓦定理可得： △ 17关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ． ∴ ，∴ ．∵ ， ∴ ， ∵ ；设 ，则 ， ，故 ， ， ∵ 的面积为 ；∴ ，∴ ，∴S = ， 四边形BEFH 法2：根据题意画出图形:作DJ∥EC交AB于J,交AH于K作DG∥BC交AH于G， ∵DJ∥EC,AD=DC，∴AJ=JE,AK=KF，∴EF=2JK,DJ=2EF,CF=2DK， 设JK=m,则EF=2m,DJ=4m,DK=3m,CF=6m，∴EF:CF=1:3， ∵AE= 2BE，∴BE=EJ，∵EF∥DJ，∴BF=DF，∵GD∥BH，∴∠GDF=∠FBH， ∵∠GFD=∠HFB,BF=DF，∴ DFG≌△BFH（ASA），∴DG=BH， ∵DG∥CH,AD=DC，∴AG=G△H，∴CH=2DG，∴BH=2CH， ∵BE= AB，∴S BEC= S ABC= ，∵EG= EC，∴S BEF= S BEC= ,S BFC= ， △ △ △ △ △ ∵BH= BC，∴S BHF= × = ，∴S BEFH= + = ． 四边形 △ 【点睛】本题考查三角形的全等及辅助线的做法,关键在于通过辅助线将面积分成两个三角形面积求证． 6.（24-25·成都·九年级校考期中）如图， 中，D、E分别是BC、CA上的点，且BD：DC=m：1， CE：EA=n：1，AD与BE交于F，求 的值。 18关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【解析】∵BD：DC=m：1，∴ ， 对 和截线 ，由梅氏定理得： ， 即 ，∴ ，∴ . ∴ . 另解：此题也可过点E或D作平行线，利用平行线分线段成比例或相似求解。 【点睛】这道题主要考查梅氏定理和面积问题． 7．如图：P，Q，R分别是△ABC的BC，CA，AB边上的点．若AP，BQ，CR相交于一点M，求证： ． 证明：如图，由三角形面积的性质， ∵ ①；同理： ②； ③； 19关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 由①×②×③得： 。 8.如图，在△ ABC 中，F、E分别在边 AB、AC 上，且 FE//BC ,设 BE 与 CF 交于点 G ，求证： AG 通 过 BC 的中点M . A F E G B C M AF AE = AM FE//BC FB EC 证明：连结 ∵ ∴ AF BM CE × × =1 ∵ BM=CM ∴ FB MC EA ∴ AM、BE、CF 三线共点， ∵ BE 与 CF 交于点 G ∴ AG 通过 BC 的中点M . 9.已知：锐角 ΔABC 三边上的高线 AD 、 BE 、 CF 与对边分别交于点D、E、F。求证：三角形三条高 线交于一点。（用塞瓦定理的逆定理证明） A F E B C D AB AE AC CD BC BF = = , = . ABE ACF AC AF BC CE AB BD 证明：在锐角三角形中，易证△ ∽△ ，即 ;同理可证 AB AC BC AE CD BF AE CD BF AE CD BF 1= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =1 AC BC AB AF CE BD EC DB FA EC DB FA 所以 。即 。 20关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 由于三角形的三条高线不可能平行，由塞瓦定理逆定理得 AD、BE、CF 交于一点。 10．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）请阅读下列材料，完成任务． 梅涅劳斯（Menelaus）是公元1世纪时的希腊数学家兼天文学家，著有几何学和三角学方面的许多书籍． 梅涅劳斯发现，若一条直线与三角形的三边或其延长线相交（交点不能是三角形的顶点），可以得到六条 线段，三条不连续线段的乘积等于剩下三条线段的乘积．该定理被称为梅涅劳斯定理，简称梅氏定理． 如图1，直线 交线段 于点 ，交线段 于点 ，交 延长线于点D，可截得六条线段 ，则这六条线段满足 ，下面是该定理的一部分证明 过程：证明：如图2，过点 作 ，交 延长线于点 ，则有 （依据），… (1)上述过程中的“依据”指的是 ；(2)请将该定理的证明过程补充完整． 【答案】(1)平行线分线段成比例(2)见解析 【分析】本题考查了平行线分线段成比例质．（1）根据题意，上述过程中的依据指的是：平行线分线段 成比例，两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例； （2）根据平行线分线段成比例，得到 ，进而得到 ，得证． 【详解】（1）解：上述过程中的依据指的是：平行线分线段成比例； 故答案为：平行线分线段成比例； （2）解：该定理的证明过程补充完整如下： ， ， ， ，即 ． 21关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 11．（2023上·山西临汾·九年级统考期末）梅涅劳斯定理 梅涅劳斯（ ）是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯定理，定理的内容是：如图（1），如果 一条直线与 的三边AB，BC，CA或它们的延长线交于F、D、E三点，那么一定有 ． 下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程： 证明：如图（2），过点A作 ，交DF的延长线于点G，则有 ． 任务：（1）请你将上述材料中的剩余的证明过程补充完整； （2）如图（3），在 中， ， ，点D为BC的中点，点F在AB上，且 ， CF与AD交于点E，则 ________． 【答案】（1）见解析；（2）6 【分析】（1）由题意可得 ，然后根据比例的性质可进行求证；（2）由（1）可得 ，进而由题意易得 ， ，然后可得 ，则由勾股定理可得 ， 最后问题可求解． 【详解】解：（1）补充的证明过程如下： ， ， ； （2）根据梅涅劳斯定理得 ， ∵点D为BC的中点， ， ， ， ， ∵ ， ，∴AD⊥BC，BD=5， 22关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴在 中， ， ．故答案为6． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 12．（2024·山西·校联考模拟预测）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务． 塞瓦（GiovanniCeva，1648～1734）意大利水利工程师，数学家，塞瓦定理载于1678年发表的《直线论》 一书，塞瓦定理是指如图1，在△ABC内任取一点O，延长AO，BO，CO分别交对边于D，F，E，则 ．下面是该定理的部分证明过程： 如图2，过点A作BC的平行线分别交BE，CF的延长线于点M，N．则∠N＝∠FCB，∠NAF＝∠FBC． ∴△NAF∽△CBF．∴ ①． 同理可得△NOA∽△COD．∴ ②． 任务一：(1)请分别写出与△MOA，△MEA相似的三角形；(2)写出由（1）得到的比例线段； 任务二：结合①②和（2），完成该定理的证明；任务三：如图3，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC ＝3，CD⊥AB，垂足为D，点E为DC的中点，连接AE并延长，交BC于点F，连接BE并延长，交AC于 点G．小明同学自学了上面定理之后解决了如图3所示的问题，并且他用所学知识已经求出了BF与FC的 比是25：16，请你直接写出△ECG与△EAG面积的比． 【答案】(1) MOA∽△BOD；△MEA∽△BEC；(2) ； ． △ 任务二：证明见解析；任务三： ． 【分析】任务一：可直接通过“8”字型相似得出答案；任务二：通过相似之间的对应边比例转换得出结论； 任务三：由任务一和任务二得出 1，可得出 的值，再由△ECG和△EAG为同高，故面 积比就等于底边CG和GA之比． 【详解】（1）解：任务一：∵MN//BC∴△MOA∽△BOD；△MEA∽△BEC； （2） ； 23关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 任务二：证明：如图所示：由任务一可得： ； 同理可得△OAN∽△ODC；△AFN∽△BFC； ∴ ；∴ ；∴ ． 任务三：由任务一和任务二可得：在△ABC中， 1； ∵Rt ABC中，AC＝4，BC＝3，∴AB ； △ ∴cos∠BAC ；∴ ；∴AD ；∴BD＝AB﹣AD ； ∵ 1；∴ 1；解得 ； 过点E作EH⊥AC于H；∴ 【点睛】本题主要是根据“8”字型的相似得出对应的边之比，任务二的重难点在于各边比例之间的转换， 任务三中两个三角形同高，故面积比等于底边比；本题属于中等偏.上类题． 13．（2024·江苏镇江·校考一模）如图1，在 中，D是 边上的一点，过点D的直线分别与 、 的延长线交于点M、N． 问题引入：若点D是 的中点， ，求 的值；如图2，可以过点C作 ，交 于点 P；如图3，也可以过点A作 ，交 延长线于点Q． 24关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 探索研究：（1）如图4，若点D为 上任意一点，求证： ． 拓展应用：（2）如图5，P是 内任意一点， ，则 _______， ____． 【答案】（1）见详解；（2） ， 【分析】（1）过点C作CP∥AB交MN于点P，由题意易得 ， ，则有 ， ，然后问题可求证；（2）过点D分别作DG∥AB，DH∥AC，由题意易得 ， ， ， ，然后根据相似三角形的性质可进行求 解． 【详解】（1）证明：过点C作CP∥AB交MN于点P，如图所示： ∴ ， ，∴ ， ，∴ ； （2）过点D分别作DG∥AB，DH∥AC，如图所示： 25关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴ ， ，∴ ， ， ∵ ，∴ ， ，∴ ，∴ ； ∵DH∥AC，∴ ， ，∴ ， ， ∴ ，∴ ；故答案为 ， ． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 14．（2023·江苏盐城·二模）【回归课本】我们曾学习过一个基本事实：两条直线被一组平行线所截，所 得的对应线段成比例． 【初步体验】（1）如图1，在 中，点D在 上， ．若 ， ， ，则 ， ；（2）已知，如图1，在 中，且 ．求证： ． 证明：过点E作 的平行线交 于点F．……………… 请依据相似三角形的定义（如果两个三角形各角分别相等，且各边对应成比例，那么这两个三角形相似） 和上面的基本事实，补充上面的证明过程； 【深入探究】（3）如图2，如果一条直线与 的三边 或其延长线交于D、F、E点，那 是否为定值？若是；若不是，请说明理由； （4）如图3，在 中，D为 的中点， ，则 ． 26关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【答案】（1）3， ；（2）见解析（3）是，定值为1；（4） 【分析】（1）根据平行线分线段成比例，直接代入即可； （2）过点E作 的平行线交 于点F，利用平行线的性质得 ， ， ，再证明四边形 是平行四边形，即可证明结论； （3）作 ，交 于G，利用平行线分线段成比例定理得 ， ，代入计算即可； （4）过点D作 ，交 于Q，交 于P，首先得出 ，再根据点D为 的中点， ，得 ， ，分别表示出 ， 与 的关系即可．本题是相似形综合题，主要考 查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识，作平行线利用平行 线分线段成比例定理是解题的关键． 【详解】(1)∵ ， ， ， ， ∴ ，∴ ，∴ ，∴ ，故答案为：3， ； (2)过点E作 的平行线交 于点F，∵ ，∴ ， ， ∵ ，∴ ，∵ ， ，∴四边形 是平行四边形， ∴ ，∴ ，∴ ； 27关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 (3) 为定值，作 ，交 于G， ∴ ， ，∴ ，∴ 为定值； (4)过点D作 ，交 于Q，交 于点P， ∵ ，∴ ，∵ ，∴ ， ∵点D为 的中点， ， ∴ ， ，∴ ， ∵ ， ，∴ ，∴ ，∴ ， ∴ ，故答案为： ． 15．（23-24九年级上·山西运城·期中）请阅读下列材料，并完成相应的任务． 梅涅劳斯（ ）是公元1世纪时的希腊数学家兼天文学家，著有几何学和三角学方面的许多书籍． 梅涅劳斯发现，若一条直线与三角形的三边或其延长线相交（交点不能是三角形的顶点），可以得到六条 线段，三条不连续线段的乘积等于剩下三条线段的乘积．该定理被称为梅涅劳斯定理，简称梅氏定理． 如图1，直线 交线段 于点 ，交线段 于点 ，交 延长线于点 ，可截得六条线段 、 、 、 、 、 ，则这六条线段满足 ． 下面是该定理的一部分证明过程： 证明：如图2，过点 作 ，交 延长线于点 则有 （依据），… (1)上述过程中的依据指的是________；(2)请将该定理的证明过程补充完整． (3)在图1中，若点 是 的中点， ，则 的值为________； (4)在图1中，若 ， ，则 的值为________． 【答案】(1)平行线分线段成比例(2)证明过程补充见解析(3) (4) 28关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的性质是解答 本题的关键．（1）根据题意，上述过程中的依据指的是：平行线分线段成比例，两条直线被一组平行线 所截，所得的对应线段成比例；（2）根据平行线分线段成比例，得到 ，进而得到 ，得证．（3）根据题意点 是 的中点， ，再由图示三角形的各线段对应 关系得到 ，再由 ，得到 ，由此得到答案． （4）过点 作 交 的延长线于点 ，由此得到 ， ，由相似三 角形的性质得到 ， ，由此得到答案． 【详解】（1）解：上述过程中的依据指的是：平行线分线段成比例 （2）该定理的证明过程补充完整如下： ， ， 即 （3） 点 是 的中点， ， ， ， ,即 ， ， ， ． （4）如图，过点 作 交 的延长线于点 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 29关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ， ， ， ． 16．（24-25九年级上·江西景德镇·期中）马超同学在学完相似三角形的性质后对截任意三角形边的线段展 开了如下探究：如图①， 中，点 、 分别是边 、 的中点，连接 、 、线段 、 交于点 ，已知 的面积为12． （1） __________； __________；（2） _____； 如图②， 中，点 为边 上的动点，过点 作射线分别交边 及边 的延长线于点 、 ，此 时，马超同学发现，线段 与 的三边（或其延长线）都产生了交点，他把线段 称为的 的截线段； 深入探究：（3）截线段上的三个交点 、 、 与 的三个顶点 、 、 所组成的线段（特别是 交点所在边所形成的线段如 、 、 等）之间是否存在某种数量关系？爱思考的马超同学立刻 展开探究； 根据已有的知识经验，为了找线段之间的关系，可尝试先考虑线段的比，因此，可尝试构造平行线从而得 到相似三角形，进而得出线段之间比的关系：对任意 ，过点 作 交线段 的延长线于点 ，易得 ，通过多次对比，马超得出了 的重要结论，请根据图②沿着马超的思 路尝试着证明该结论； 通过以上结论，马超同学发现了一个有趣的事实，对于结论 ，该结论从结构上看，作为分 子的三条线段首字母为 的三个顶点（ 、 、 顺序排列），而作为分母的三条线段的第二个字母 恰为上方三个字母的延续如 ，而如字母 、 、 恰为线段 、 、 边上（或延长 30关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 线上）的点． 方法应用：（4）如图③， 中， 、 、 为边 、 、 上的点， ， ，若点 为 的中点，连接 交线段 于点 ，请直接写出 的值． 【答案】（1） ， ；（2） ；（3）见解析；（4） ． 【分析】本题考查了三角形中线的性质，平行线分线段成比例； （1）根据三角形中线的性质即可得出 ；设 ，根据三角形中线的性质得出 ， 即可求解；（2）根据（1）的结论，即可求解；（3）根据平行线分线段成比例可得 ， ， 等量代换即可证明．（4）根据（3）的结论得出 ， ，结合已知条件，即 可求解． 【详解】解：（1）∵ 的面积为12，点 是边 的中点， ∴ 如图所示，连接 设 ，∵点 、 分别是边 、 的中点， ∴ ， ∴ ∵ 是 的中点∴ ，∴ ∵ 是 的中点∴ ∴ 31关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 由∵ ∴ ∴ ∴ 即 （2）∵ 的面积为12． 由（1）可得 ∴ 即 ，故答案为： ． （3）由题意知， ， ，∴ ． （4）如图所示，延长DE， 交于点 ， 由（3）可得： ， ∵ ， ，∴ ， ∴ ， 设 ，则 ， ∵点 为 的中点，∴ ∴ ， ∴ ∴ 32关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 33