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专题26 相似模型之梅涅劳斯（定理）模型与塞瓦（定理）模型
梅涅劳斯（Menelaus，公元98年左右），是希腊数学家兼天文学家，梅涅劳斯定理是平面几何中
的一个重要定理。
塞瓦（G·Gevo1647-1734）是意大利数学家兼水利工程师．他在 1678年发表了一个著名的定理，
后世以他的名字来命名，叫做塞瓦定理。
使用梅涅劳斯和塞瓦定理可以进行直线形中线段长度比例的计算，其逆定理还可以用来进行三点共线、
三线共点等问题的判定方法，是平面几何学以及射影几何学中的一项基本定理，具有重要的作用．
.........................................................................................................................................................................................1
模型1.梅涅劳斯（定理）模型及其逆定理...................................................................................................1
模型2.塞瓦（定理）模型...............................................................................................................................7
..................................................................................................................................................12
模型1.梅涅劳斯（定理）模型及其逆定理
梅涅劳斯（定理）模型：如图1，如果一条直线与 的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E
点，那么 。其中：这条直线叫 的梅氏线， 叫梅氏三角形。
注意：梅涅劳斯（定理）特征是三点共线；我们用梅涅劳斯（定理）解决的大部分问题，也可添加辅助线
后用平行线分线段成比例和相似来解决。
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1）梅涅劳斯（定理）模型：如图1，如果一条直线与 的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、
E点，那么 。其中：这条直线叫 的梅氏线， 叫梅氏三角形。
图1 图2
证明：证明：如图2，过点A作 ，交 的延长线于点 ，易证： ，
∴ ， ； ．
2）梅涅劳斯定理的逆定理模型：如图1，若F、D、E分别是 的三边AB、BC、CA或其延长线的三
点，如果 ，则F、D、E三点共线．
证明：先假设F、D、E三点不共线，直线DF与AC交于P，由梅涅劳斯定理的定理得 。
∵ ，∴ ，∴ ，∴ 。
∴ CP=CE；即P与E重合，∴ D、E、F三点共线。
例1．（23-24九年级上·福建泉州·阶段练习）如图，已知， 是 的中线， 是 的中点，则
．
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例2.（23-24八年级下·广东潮州·期中） 中，D为 中点，E为 中点，直线 交 于F，求证：
．
例3.如图，在 中，D为BC的中点， ．求 ．
例4.（24-25 重庆九年级校考期中）如图，等边△ABC的边长为2，F为AB中点，延长BC至D，使CD＝
BC，连接FD交AC于E，则四边形BCEF的面积为 ．
例5.如图，CD、BE、AF分别为 （ 不是等边三角形）的三个外角平分线，分别交AB、AC、
BC于D、E、F．证明：D、E、F三点共线．
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例6．（24-25·广东·九年级校联考期中）梅涅劳斯（Menelaus）是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯
定理，定理的内容是：如图1，如果一条直线与 的三边 或它们的延长线交于 三
点，那么一定有 ． 下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程：
证明：如图2，过点 作 ，交 的延长线于点 ，则有 ， ，
∴ ， ．
请用上述定理的证明方法解决以下问题：
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（1）如图3， 三边 的延长线分别交直线 于 三点，证明： ．
请用上述定理的证明方法或结论解决以下问题：（2）如图4，等边 的边长为3，点 为 的中点，
点 在 上，且 与 交于点 ，试求 的长．（3）如图5， 的面积为4，F为
中点，延长 至 ，使 ，连接 交 于 ，求四边形 的面积．
模型2.塞瓦（定理）模型
塞瓦（定理）模型：塞瓦定理是指在△ABC内任取一点O，延长AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，
如图3，则 。
注意：塞瓦（定理）的特征是三线共点，我们用塞瓦（定理）解决的大部分问题，也可添加辅助线后用平
行线分线段成比例和相似来解决。
塞瓦（定理）模型：塞瓦定理是指在△ABC内任取一点O，延长AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，
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如图3，则 。
CB DO AE
⋅ ⋅ =1
塞瓦（定理）证明：法1：可利用梅涅劳斯定理证明：在△ADC中，割线 BOE ∴ BD OA EC ①
BC DO AF BD CE AF
⋅ ⋅ =1 ⋅ ⋅ =1
在△ABD中，割线 COF ，∴ CD OA FB ②，由②÷①：即得： DC EA FB 。
法2：∵ ；∴ ①；同理： ②； ③；
由①×②×③得： 。
BD CE AF
⋅ ⋅ =1
塞瓦定理的逆定理：如果有三点F、D、E分别在△ABC的三边AB、BC、CA上，且满足 DC EA FB ，
那么
AD、BE、CF
三线交于一点。
塞瓦定理的逆定理证明：设 AD 、 BE 交于点 O ，联结 CO 并延长交 AB 于F'；
AF' BD CE AF' AF AB AB
⋅ ⋅ =1 = =
F'B DC EA F'B FB F'B FB
根据塞瓦定理： 。∴ ， ∴ ，
∴F'B=FB ，∴F'与F重合，即证。
注意：利用塞瓦定理的逆定理可判定三线共点，如证明三角形三条中线交于一点；三角形三条角平分线必
交于一点；三角形三条高线交于一点等。
例1. 如图，设M为 ABC内的一点，BM与AC交于点E，CM与AB交于点F，若AM通过BC的中点，求
证：EF//BC。 △
例2. 如图，在锐角 ABC中，AD是BC边上的高线，H是线段AD内任一点，BH和CH的延长线分别交
AC、AB于E、F，求△证：∠EDH=∠FDH。
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例3.如图，四边形ABCD的对边AB和CD，AD、BC分别相交于L、K，对角线AC与BD交于点M，
直线KL与BD，AC分别交于F、G，求证： .
例4.已知： ΔABC 内角平分线 AD 、 BE 、 CF 与对边分别交于点D、E、F。
求证：三角形三条内角平分线交于一点。（用塞瓦定理的逆定理证明）
A
F
E
B D C
例5．（2022·山西晋中·统考一模）请阅读下列材料，并完成相应任务：
塞瓦定理：塞瓦定理载于1678年发表的《直线论》，是意大利数学家塞瓦的重大发现．塞瓦是意大利伟大
的水利工程师，数学家．
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定理内容：如图1，塞瓦定理是指在 内任取一点 ，延长AO，BO，CO分别交对边于D，E，F，则
．
数学意义：使用塞瓦定理可以进行直线形中线段长度比例的计算，其逆定理还可以用来进行三点共线、三
线共点等问题的判定方法，是平面几何学以及射影几何学中的一项基本定理，具有重要的作用．
任务解决：(1)如图2，当点D，E分别为边BC，AC的中点时，求证：点F为AB的中点；(2)若 为等
边三角形（图3）， ， ，点D是BC边的中点，求BF的长，并直接写出 的面积．
1．（2024·内蒙古赤峰·二模）如图， 是 的中线，点 在 上， 交 于点 ，若 ，
则 为（ ）
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A． B． C． D．
2．（23-24上·上海闵行·九年级校考期中）如图， 、 、 内分正 的三边 、 、 均为
两部分， 、 、 相交成的 的面积是 的面积的（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25九年级上·上海·假期作业）如图， 中， 是 边上的点，且 ，
是 边上的点，且 ， 分别交 于 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
4．（2024广东校考一模）如图， 为 的直径，C为 上一点， 的切线 交 的延长线于点
D，E为 的中点， 交 的延长线于点F．若 ， ，则 的长为 ．
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5．（24-25·江苏·九年级期中）如图， 的面积为 ， 、 分别是 ， 上的点，且 ,
．连接 , 交于点 ,连接 并延长交 于点 ．则四边形 的面积为 ．
6.（24-25·成都·九年级校考期中）如图， 中，D、E分别是BC、CA上的点，且BD：DC=m：1，
CE：EA=n：1，AD与BE交于F，求 的值。
7．如图：P，Q，R分别是△ABC的BC，CA，AB边上的点．若AP，BQ，CR相交于一点M，求证：
．
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8.如图，在△ ABC 中，F、E分别在边 AB、AC 上，且 FE//BC ,设 BE 与 CF 交于点 G ，求证： AG 通
过 BC 的中点M .
A
F E
G
B C
M
9.已知：锐角 ΔABC 三边上的高线 AD 、 BE 、 CF 与对边分别交于点D、E、F。求证：三角形三条高
线交于一点。（用塞瓦定理的逆定理证明）
A
F
E
B C
D
10．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）请阅读下列材料，完成任务．
梅涅劳斯（Menelaus）是公元1世纪时的希腊数学家兼天文学家，著有几何学和三角学方面的许多书籍．
梅涅劳斯发现，若一条直线与三角形的三边或其延长线相交（交点不能是三角形的顶点），可以得到六条
线段，三条不连续线段的乘积等于剩下三条线段的乘积．该定理被称为梅涅劳斯定理，简称梅氏定理．
如图1，直线 交线段 于点 ，交线段 于点 ，交 延长线于点D，可截得六条线段
，则这六条线段满足 ，下面是该定理的一部分证明
过程：证明：如图2，过点 作 ，交 延长线于点 ，则有 （依据），…
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(1)上述过程中的“依据”指的是 ；(2)请将该定理的证明过程补充完整．
11．（2023上·山西临汾·九年级统考期末）梅涅劳斯定理
梅涅劳斯（ ）是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯定理，定理的内容是：如图（1），如果
一条直线与 的三边AB，BC，CA或它们的延长线交于F、D、E三点，那么一定有 ．
下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程：
证明：如图（2），过点A作 ，交DF的延长线于点G，则有 ．
任务：（1）请你将上述材料中的剩余的证明过程补充完整；
（2）如图（3），在 中， ， ，点D为BC的中点，点F在AB上，且 ，
CF与AD交于点E，则 ________．
12．（2024·山西·校联考模拟预测）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．
塞瓦（GiovanniCeva，1648～1734）意大利水利工程师，数学家，塞瓦定理载于1678年发表的《直线论》
一书，塞瓦定理是指如图1，在△ABC内任取一点O，延长AO，BO，CO分别交对边于D，F，E，则
．下面是该定理的部分证明过程：
如图2，过点A作BC的平行线分别交BE，CF的延长线于点M，N．则∠N＝∠FCB，∠NAF＝∠FBC．
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∴△NAF∽△CBF．∴ ①． 同理可得△NOA∽△COD．∴ ②．
任务一：(1)请分别写出与△MOA，△MEA相似的三角形；(2)写出由（1）得到的比例线段；
任务二：结合①②和（2），完成该定理的证明；任务三：如图3，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC
＝3，CD⊥AB，垂足为D，点E为DC的中点，连接AE并延长，交BC于点F，连接BE并延长，交AC于
点G．小明同学自学了上面定理之后解决了如图3所示的问题，并且他用所学知识已经求出了BF与FC的
比是25：16，请你直接写出△ECG与△EAG面积的比．
13．（2024·江苏镇江·校考一模）如图1，在 中，D是 边上的一点，过点D的直线分别与 、
的延长线交于点M、N．
问题引入：若点D是 的中点， ，求 的值；如图2，可以过点C作 ，交 于点
P；如图3，也可以过点A作 ，交 延长线于点Q．
探索研究：（1）如图4，若点D为 上任意一点，求证： ．
拓展应用：（2）如图5，P是 内任意一点， ，则 _______， ____．
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14．（2023·江苏盐城·二模）【回归课本】我们曾学习过一个基本事实：两条直线被一组平行线所截，所
得的对应线段成比例．
【初步体验】（1）如图1，在 中，点D在 上， ．若 ， ， ，则
， ；（2）已知，如图1，在 中，且 ．求证： ．
证明：过点E作 的平行线交 于点F．………………
请依据相似三角形的定义（如果两个三角形各角分别相等，且各边对应成比例，那么这两个三角形相似）
和上面的基本事实，补充上面的证明过程；
【深入探究】（3）如图2，如果一条直线与 的三边 或其延长线交于D、F、E点，那
是否为定值？若是；若不是，请说明理由；
（4）如图3，在 中，D为 的中点， ，则 ．
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15．（23-24九年级上·山西运城·期中）请阅读下列材料，并完成相应的任务．
梅涅劳斯（ ）是公元1世纪时的希腊数学家兼天文学家，著有几何学和三角学方面的许多书籍．
梅涅劳斯发现，若一条直线与三角形的三边或其延长线相交（交点不能是三角形的顶点），可以得到六条
线段，三条不连续线段的乘积等于剩下三条线段的乘积．该定理被称为梅涅劳斯定理，简称梅氏定理．
如图1，直线 交线段 于点 ，交线段 于点 ，交 延长线于点 ，可截得六条线段 、 、
、 、 、 ，则这六条线段满足 ．
下面是该定理的一部分证明过程：
证明：如图2，过点 作 ，交 延长线于点
则有 （依据），…
(1)上述过程中的依据指的是________；(2)请将该定理的证明过程补充完整．
(3)在图1中，若点 是 的中点， ，则 的值为________；
(4)在图1中，若 ， ，则 的值为________．
16．（24-25九年级上·江西景德镇·期中）马超同学在学完相似三角形的性质后对截任意三角形边的线段展
开了如下探究：如图①， 中，点 、 分别是边 、 的中点，连接 、 、线段 、
交于点 ，已知 的面积为12．
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（1） __________； __________；（2） _____；
如图②， 中，点 为边 上的动点，过点 作射线分别交边 及边 的延长线于点 、 ，此
时，马超同学发现，线段 与 的三边（或其延长线）都产生了交点，他把线段 称为的
的截线段；
深入探究：（3）截线段上的三个交点 、 、 与 的三个顶点 、 、 所组成的线段（特别是
交点所在边所形成的线段如 、 、 等）之间是否存在某种数量关系？爱思考的马超同学立刻
展开探究；
根据已有的知识经验，为了找线段之间的关系，可尝试先考虑线段的比，因此，可尝试构造平行线从而得
到相似三角形，进而得出线段之间比的关系：对任意 ，过点 作 交线段 的延长线于点
，易得 ，通过多次对比，马超得出了 的重要结论，请根据图②沿着马超的思
路尝试着证明该结论；
通过以上结论，马超同学发现了一个有趣的事实，对于结论 ，该结论从结构上看，作为分
子的三条线段首字母为 的三个顶点（ 、 、 顺序排列），而作为分母的三条线段的第二个字母
恰为上方三个字母的延续如 ，而如字母 、 、 恰为线段 、 、 边上（或延长
线上）的点．
方法应用：（4）如图③， 中， 、 、 为边 、 、 上的点， ， ，若点
为 的中点，连接 交线段 于点 ，请直接写出 的值．
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