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专题 11 三角形中的重要模型-特殊三角形中的分类讨论模型
模型1、等腰三角形中的分类讨论模型
【知识储备】凡是涉及等腰三角形边、角、周长、面积等问题，优先考虑分类讨论，再利用等腰三角形的
性质与三角形三边关系解题即可。
1）无图需分类讨论
①已知边长度无法确定是底边还是腰时要分类讨论；②已知角度数无法确定是顶角还是底角时要分类讨论；
③遇高线需分高在△内和△外两类讨论；④中线把等腰△周长分成两部分需分类讨论。
2）“两定一动”等腰三角形存在性问题：
即：如图：已知A，B两点是定点，找一点 C 构成等腰 △ABC
方法：两圆一线
具体图解：①当 AB=AC 时，以点A为圆心， AB 长为半径作⊙A，点 C 在⊙A上（B， C 除外）
②当 AB=BC 时，以点B为圆心， AB 长为半径作⊙B，点 C 在⊙B上（A，E除外）
③当 AC=BC 时，作 AB 的中垂线，点 C 在该中垂线上（D除外）
例1．（2023春·四川成都·八年级校考期中）已知等腰三角形的两边长分别是 ， ，若 ， 满足
，那么它的周长是（ ）
A．11 B．13 C．11或13 D．11或15
【答案】C
【分析】由已知等式，结合非负数的性质求 、 的值，再根据 、 分别作为等腰三角形的腰，分类求
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解．
【详解】解： ， ， ，
， ，解得： ， ，
当 作腰时，三边为3，3，5，符合三边关系定理，周长为： ，
当 作腰时，三边为3，5，5，符合三边关系定理，周长为： ，故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，非负数的性质，关键是根据非负数的性质求
、 的值，再根据 或 作为腰，分类求解．
例2．（2023春·黑龙江佳木斯·八年级校考期中）一个等腰三角形的周长为18cm，且一边长是4cm，则它
的腰长为（ ）
A．4cm B．7cm C．4cm或7cm D．全不对
【答案】B
【分析】根据等腰三角形的定义，两腰相等，结合三角形的三边关系，进行求解即可．
【详解】解：当 cm为腰长时，则底边长为 cm，
∵ ，不符合题意；∴ cm为底边长，∴等腰三角形的腰长为： ；故选B．
【点睛】本题考查等腰三角形的定义，三角形的三边关系．解题的关键是掌握等腰三角形的两腰相等，注
意讨论时要根据三角形的三边关系，判断能否构成三角形．
例3．（2023春·四川达州·八年级校考阶段练习）等腰三角形的一个角是 ，则它顶角的度数是（ ）
A． B． 或 C． 或 D．
【答案】B
【分析】根据三角形的内角和为 ，进行分类讨论即可
【详解】解：①当底角为 时，顶角 ，
②当顶角为 时，顶角度数 ，综上：顶角度数为 或 ；故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的内角和为 ，等腰三角形两底角相等，解题的关键是书熟练掌握相关内容．
例3．（2023·四川广安·八年级校考期中）等腰三角形的一个外角为 ，则它的底角为（ ）
A． B． C． 或 D．以上都不是
【答案】D
【分析】等腰三角形的一个外角等于 ，则等腰三角形的一个内角为 ，但已知没有明确此角是顶角
还是底角，所以应分两种情况进行分类讨论．
【详解】∵等腰三角形的一个外角等于 ，∴等腰三角形的一个内角为 ，
①当 为顶角时，其他两角都为 、 ，
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②当 为底角时，其他两角为 、 ，所以等腰三角形的底角可以是 ，也可以是 ．故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理；在解决与等腰三角形有关的问题，由于等
腰所具有的特殊性质，很多题目在已知不明确的情况下，要进行分类讨论，才能正确解题，因此，解决和
等腰三角形有关的边角问题时，要仔细认真，避免出错．
例4．（2023·四川绵阳·八年级校考阶段练习）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 ，则等腰三角
形的顶角度数为 ．
【答案】 或
【分析】要注意分类讨论，等腰三角形可能是锐角三角形也可能是钝角三角形，然后根据三角形的内角和
以及三角形的外角的性质即可求解．
【详解】解：若三角形为锐角三角形时，如图， ， ， 为高，即 ，
此时 ，∴ ，
若三角形为钝角三角形时，如图， ， ， 为高，即 ，
此时 ，综上，等腰三角形的顶角的度数为 或 ．
故答案为： 或 ．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，解题的关键是根据
题意画出图形，并注意分类讨论．
例5．（2023·山东滨州·八年级校考期末）我们称网格线的交点为格点．如图，在6行 列的长方形网格
中有两个格点A、B，连接 ，在网格中再找一个格点C，使得 是等腰直角三角形，则满足条件的
格点C的个数是（ ）
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A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：① 为等腰直角 底边；② 为等腰直角
其中的一条腰．
【详解】如图：分情况讨论：
① 为等腰直角 底边时，符合条件的格点C点有2个；
② 为等腰直角 其中的一条腰时，符合条件的格点C点有3个．故共有5个点，故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，数
形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想．
例6．（2023·北京·八年级期中）Rt ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，以AC为一边．在△ABC外部作等腰直
角三角形ACD，则线段BD的长为__△__．
【答案】 或 或 ．
【分析】根据题意分类讨论，① ，② ，③ ，分别作出图形，再结合已
知条件勾股定理求解即可．
【详解】解：①如图，当 时，
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是等腰直角三角形，
, ， ；
②如图，当 时，过点 作 ，交 的延长线于点 ，
， ， 是等腰直角三角形，
， ，
又 ， 是等腰直角三角形， ，
在 中， ， ，
在 中， ，在 中， ；
③如图，当 时，
， 是等腰直角三角形， ，
在 中， ，在 中， ．
综上所述， 的长为： 或 或 ．故答案为： 或 或 ．
【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
例7．（2023·福建南平·八年级校考期中）已知△ABC中，如果过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两
个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为△ABC的关于点B的二分割线．
如图1，Rt△ABC中，显然直线BD是△ABC的关于点B的二分割线．在图2的△ABC中，∠ABC＝110°，
若直线BD是△ABC的关于点B的二分割线，则∠CDB的度数是 ．
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【答案】40°或90°或140°
【分析】分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可求解．
【详解】解：①如图，当∠DBC=90°，AD=BD时，直线BD是△ABC的关于点B的二分割线，
∵∠ABC=110°，∠DBC=90°，∴∠ABD=20°，
∵AD=BD，∴∠A=∠ABD=20°，∴∠CDB=∠A+∠ABD=40°；
②如图，当∠BDC=90°，AD=BD时，直线BD是△ABC的关于点B的二分割线，或当∠BDC=90°，CD=BD
时，直线BD是△ABC的关于点B的二分割线，；
③如图，当∠ABD=90°，CD=BD时，直线BD是△ABC的关于点B的二分割线，
∵∠ABC=110°，∠ABD=90°，∴∠DBC=20°，∵CD=BD，∴∠C=∠DBC=20°，∴∠BDC=140°．
综上所述：当∠BDC的度数是40°或90°或140°时，直线BD是△ABC的关于点B的二分割线．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，理解二分割线是本题关键．
例8．（2023·四川成都·八年级校考期中）如图，A、B两点的坐标分别为 ， ，点P是x轴上一点，
且 为等腰三角形，则点P的坐标为 ．
【答案】 或 或 或
【分析】根据等腰三角形的判定，分①AB=BP；②AB=AP；③AP=BP三种情况求解即可．
【详解】∵ 为等腰三角形，①当 时，如图①，
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∵ ，∴ ，
∵ ，∴ 或 ；
②当 时，如图② 作 于C点，则 ，
∵ ，∴ ，∵ ，∴ ，∴ ．
③当 时，如图③，作 ，∴ ，∴ ．
综上所述：点P的坐标为 或 或 或 ，
故答案为： 或 或 或 ．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、勾股定理、坐标与图形，熟练掌握等腰三角形的判定与性
质，灵活运用分类讨论的思想解决问题是解答的关键．
例9．（2023·江苏苏州·八年级校考期中）如图， 中， ， ， ，若点
从点 出发，以每秒 的速度沿折线 运动，设运动时间为 秒（ ）．
(1)若点 在 上，且满足 ，求此时 的值；(2)若点 恰好在 的角平分线上，求此时 的值：
(3)在运动过程中，当 为何值时， 为等腰三角形．
【答案】(1) (2) 或 (3) 或 或 或3
【分析】（1）设 ，则 ，利用勾股定理求出 ，在 中，依据
，列方程求解即可得到 的值．（2）如图所示，当点P在 上时，过 作 于
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，设 ，则 ，在 中，依据 ，列方程求解即可得到
的值．当点 与点 重合时，点 也在 的角平分线上，此时， ．
（3）分四种情况：当 在 上且 时，当 在 上且 时，当 在 上且
时，当 在 上且 时，分别依据等腰三角形的性质即可得到 的值．
【详解】（1）解：如图，设 ，则 ，
， ， ， ，
在 中，由勾股定理得 ，
，解得 ， ， ；
（2）解：如图所示，当点P在 上时，过 作 于 ，
平分 ， ， ， ，
在 与 中， ，
， ，设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得 ，
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，解得 ， ， ，
当点 与点 重合时，点 也在 的角平分线上，此时， ．
综上所述，点 恰好在 的角平分线上， 的值为 或 ．
（3）解：分四种情况：①如图，当 在 上且 时，∴ ，
∵ ， ， ， ，
是 的中点，即 ， ．
②如图，当 在 上且 时，∴ ．
③如图，当 在 上且 时，过 作 于 ，
∵ ，∴ ，
在 中，由勾股定理得 ，
， ．
④如图，当 在 上且 时，则 ， ．
综上所述，当 的值为 或 或 或3时， 为等腰三角形．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了角平分线的性质，等腰三角形的性质以及勾股定理的综合运用．
画出图形，利用分类讨论的思想是解第（3）题的关键．
例10．（2022春·四川成都·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，经过
的直线交x轴正半轴于点B，交y轴于点 ，直线 交x轴负半轴于点D，若
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的面积为
(1)求直线 的表达式和点D的坐标；(2)横坐标为m的点P在线段 上（不与点 重合），过点P作
x轴的平行线交 于点E，设 的长为 ，求y与m之间的函数关系式并直接写出相应的m取值
范围；(3)在（2）的条件下，在x轴上是否存在点F，使 为等腰直角三角形？若存在求出点F的坐标；
若不存在，请说明理由．
【答案】(1) (2)
(3)存在，点F的坐标为 或 或
【分析】（1）据直线 交 轴正半轴于点 ，交 轴于点 ， ，设直线 解析式为 ，
把 的坐标代入求得 的值，从而求得 的坐标，再根据三角形的面积建立方程求出 的值，求出 的
值，从而求出 点的坐标； （2）直接根据待定系数法求出 的解析式，先根据 的坐标求出直线
的解析式，将 点的横坐标代入直线 的解析式，求出 的纵坐标，将 的纵坐标代入直线 的解
析式就可以求出 的横坐标，根据线段的和差关系就可以求出结论；（3）要使 为等腰直角三角形，
分三种情况分别以点 为直角顶点，据等腰直角三角形的性质求出（2）中 的值，就可以求出
点的坐标．
【详解】（1）解： ，∴设直线 的解析式为 ，
∵直线 经过 ， ， ，
∴直线 的解析式为 ， ， ，
的面积为 ， ，
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， ， ， 直线 的解析式为
（2）解：设直线 的解析式为 ，
， ∴ ，解得 ．∴直线 的解析式为 ；
∵点P在 上，且横坐标为m， ， 轴，∴E的纵坐标为 ，
代入 得， ，解得 ， ，
的长 ；即 ， ；
（3）解：在x轴上存在点F，使 为等腰直角三角形，
①当 时，如图①，有 ， ， ，
，解得 ，此时 ；
②当 时，如图②，有 ， 的长等于点E的纵坐标，
， ，解得： ，
∴点E的横坐标为 ，∴ ；
③当 时，如图③，有 ， ．
， ．作 ，点R为垂足，
， ， ．同理 ， ．
∵点R与点E的纵坐标相同， ，∴ ，解得： ，
，∴点F的横坐标为 ， ．
综上，在x轴上存在点F使 为等腰直角三角形，点F的坐标为 或 或 ．
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【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形的面积公式的运用，待定系数法求一次函数的解析式
模型2、直角三角形中的分类讨论模型
【知识储备】凡是涉及直角三角形问题，优先考虑直角顶点（或斜边）分类讨论，再利用直角三角形的性
质或勾股定理解题即可。
1）无图需分类讨论：①已知边长度无法确定是直角边还是斜边时要分类讨论；②已知无法确定是哪个角
是直角时要分类讨论（常见与折叠、旋转中出现的直角三角形）。
2）“两定一动”直角三角形存在性问题：（常见于与坐标系综合出题，后续会专题进行讲解）
如图：已知A，B两点是定点，找一点 C 构成 Rt△ABC
即：
方法：两线一圆
具体图解：①当 ∠BAC=90° 时，过点A作 AB 的垂线，点 C 在该垂线上（A除外）
②当 ∠ABC=90° 时，过点B作 AB 的垂线，点 C 在该垂线上（B除外）。
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③当 ∠ACB=90° 时，以 AB 为直径作圆，点 C 在该圆上（A，B除外）。
例1．（2023春·河南安阳·八年级校考期末）若三角形的两边长为4和5，要使其成为直角三角形，则第三
边的长为 ．
【答案】3或 / 或3
【分析】根据勾股定理逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角
三角形，再分5为斜边或第三边为斜边两种情况考虑，即可求出第三边．
【详解】解：当较大的数5为斜边时，第三边 ，
当第三边为斜边时，第三边 ，故答案为：3或 ．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，即如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角
形就是直角三角形，熟练掌握勾股定理的逆定理及分情况考虑是解题关键．
例2．（2023春·河南郑州·八年级校考期中）如图， 是 的角平分线， 是 的高，
， ，点F为边 上一点，当 为直角三角形时，则 的度数为 ．
【答案】 或
【分析】分情况讨论：①当 时，②当 时，根据角平分线和三角形高线的定义分别
求解即可．
【详解】解：如图所示，当 时，
∵ 是 的角平分线， ，
∴ ，∴ 中， ；
如图，当 时，
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同理可得 ，∵ ，∴ ，
∴ ，
综上所述： 的度数为 或 ．故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查角平分线和高线的定义，三角形外角的性质，三角形内角和定理，掌握分类讨论的思想
是解题的关键．
例3．（2022秋·河南新乡·八年级校考期末）如图，在4×4的正方形网格中有两个格点A，B，连接AB，在
网格中再找一个格点C，使得△ABC是等腰直角三角形，则满足条件的格点C的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰直角△ABC底边；②AB为等腰直角△ABC
其中的一条腰．
【详解】解：如图：分情况讨论：①AB为等腰直角△ABC底边时，符合条件的C点有0个；
②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有3个．
∵ ， ，
∴ ， ， ，
∴ ， ， 都是等腰直角三角形，故共有3个点，故选C．
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【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，数形
结合的思想是数学解题中很重要的解题思想．
例4．（2022·江西九江·八年级期末）已知在平面直角坐标系中A（﹣2 ，0）、B（2，0）、C（0，
2）．点P在x轴上运动，当点P与点A、B、C三点中任意两点构成直角三角形时，点P的坐标为________．
【答案】（0，0），（ ，0），（﹣2，0）
【分析】因为点P、A、B在x轴上，所以P、A、B三点不能构成三角形．再分Rt PAC和Tt PBC两种情况
进行分析即可． △ △
【详解】解：∵点P、A、B在x轴上，∴P、A、B三点不能构成三角形．
设点P的坐标为（m，0）．当△PAC为直角三角形时，
①∠APC＝90°，易知点P在原点处坐标为（0，0）；
②∠ACP＝90°时，如图，∵∠ACP＝90°∴AC2＋PC2＝AP2，
，解得，m＝ ，∴点P的坐标为（ ，0）；
当△PBC为直角三角形时，①∠BPC＝90°，易知点P在原点处坐标为（0，0）；
②∠BCP＝90°时，∵∠BCP＝90°，CO⊥PB，∴PO＝BO＝2，∴点P的坐标为（﹣2，0）．
综上所述点P的坐标为（0，0），（ ，0），（﹣2，0）．
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【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，涉及到了数形结合和分类讨论思想．解题的关键是不重复不遗
漏的进行分类．
例5．（2022秋·辽宁丹东·八年级校考期中）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，以AC为一边，在
△ABC外作等腰直角△ACD，则线段BD的长为 ．
【答案】 或 或
【分析】根据题意分类讨论，① ，② ，③ ，分别作出图形，再结合已
知条件勾股定理求解即可．
【详解】①如图，当 时，
是等腰直角三角形，
,
②如图，当 时，过点 作 ，交 的延长线于点 ，
， 是等腰直角三角形，
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，
又 是等腰直角三角形
在 中，
在 中，
在 中，
③如图，当 时
， 是等腰直角三角形， ，
在 中，
在 中，
综上所述， 的长为： 或 或
【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
例6.（2023春·山东东营·八年级校考阶段练习）如图，长方形 中， ， ，点
为射线 上的一个动点，若 与 关于直线 对称，若 为直角三角形，则 的长为
．
【答案】2或18
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【分析】分点 在线段 上，点 在线段 的延长线上两种情况讨论，由题意可得 ，
， ， ，根据勾股定理和全等三角形的性质，可求 的长．
【详解】解：若点 在线段 上，
若 与△ 关于直线 对称， ， ， ，
△ 为直角三角形， ， ，
， ， ， 点 ，点 ，点 共线，
在 中， ． ， ，
若点 在线段 的延长线上，且点 在 上，
若 与△ 关于直线 对称， ， ，
在 △ 中， ， ， ，
，且 ， ，
△ ， ， ，故答案为：2或18．
【点睛】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练运用这些性
质解决问题是本题的关键
例7.（2023秋·浙江绍兴·八年级统考期末）如图，在 中， ， ，点D是边
上的点，将 沿 折叠得到 ，线段 与边 交于点F．若 为直角，则 的长
是 ．
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【答案】 /
【分析】过点A作 于点G，根据等腰三角形的性质可得 ，从而得到 ，
进而得到 ，再由折叠的性质可得 ，从而得到 ，进而得到 ，
即可求解．
【详解】解：如图，过点A作 于点G，
∵ ， ，∴ ，
∴ ，∴ ，
∵将 沿 折叠得到 ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ，
∴ ．故答案为：
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，图形的折叠问题，直角三角形的性质，勾股定理等知
识，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理是解题的关键．
例8．（2023秋·河南商丘·八年级校考期中）如图， 中， cm，现有两点M、N分别
从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为 ，点N的速度为 ．当点N第
一次到达B点时，M、N同时停止运动．
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(1)点M、N运动几秒后，M、N两点重合？(2)点M、N运动几秒后，可得到等边三角形 ？
(3)当点M、N在 边上运动时，能否得到以 为底边的等腰三角形 ？如存在，请求出此时M、N
运动的时间．(4)点M、N运动______________________后，可得到直角三角形 ．
【答案】(1)6(2)2(3)存在，此时M、N运动的时间为8秒(4) 或 或 或9秒
【分析】（1）首先设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，表示出M、N的运动路程，N的运动路程比
M的运动路程多6cm，列出方程求解即可；
（2）根据题意设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形 ，然后表示出 ， 的长，由于
，所以只要 ， 就是等边三角形；
（3）首先假设 是等腰三角形，可证出 ，可得 ，设出运动时间，表示出
、 、 的长，列出方程，可解出未知数的值；（4）分点N在 、 、 上运动的三种情况，
再分别就是 和 ，列方程求解可得．
【详解】（1）解：设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，
则 ，解得： ，即当点M、N运动6秒后，M、N两点重合；
（2）解：设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形 ，如图1， ， ，
， ，
∵ ，当 时， 是等边三角形，∴ ，解得 ，
∴点M、N运动2秒后，可得到等边三角形 ；
（3）解：当点M、N在 边上运动时，可以得到以 为底边的等腰三角形，
由（1）知6秒时M、N两点重合，恰好在C处，
如图2，假设 是等腰三角形，
∴ ，∴ ，∴ ，
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∵ ，∴ 是等边三角形，∴ ，
在 和 中，∵ ， ， ，
∴ （AAS），∴ ，∴ ，解得 ，符合题意，
所以假设成立，当点M、N运动8秒时，可以得到以 为底边的等腰三角形；
（4）解：当点N在 上运动时，如图3，
， ， ， ，
若 ，∵ ， ，∴ ，
∵ ，∴ ，即 ，解得 ；
如图4，若 ，由 得 ，解得 ；
当点N在 上运动时，点M也在 上，此时A、M、N不能构成三角形；
当点N在 上运动时，如图5，
当点N位于 中点处时，由 是等边三角形知 ，即 是直角三角形，
则 ，解得 ；
如图6，当点M位于 中点处时，由 是等边直角三角形知 ，即 是直角三角形，
则 ；
综上，当 ， ， ，9时，可得到直角三角形 ．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质及判定和直角三角形的定义与性质，关键是根据题意设出未知数，
理清线段之间的数量关系．
例9．（2023秋·河南漯河·八年级校考期末）如图，等边三角形 中，D、E分别是 、 边上的点，
， 与 相交于点P， ，Q是射线 上的动点．
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(1)图中共有__________组全等，请选择其中的一组全等予以证明．(2)若 为直角三角形，求 的值．
【答案】(1)2，证明见解析(2)2或8
【分析】（1）利用等边三角形的性质，以及 证明 即可；
（2）分 为直角，两种情况，结合30度角的直角三角形的性质，进行求解即可．
【详解】（1）解：图中有2组全等， ；
证明：∵等边三角形 ，∴ ，
∵ ，∴ ，
在 和 中， ，∴ ；
在 和 中， ，∴ ；
（2）解：∵ ，∴ ，
∴ ，
∵Q是射线 上的动点，当 为直角三角形时：
①当 时，如图，则： ，∴ ；
②当 时，如图，则： ，∴ ．
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综上： ．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形．熟练掌握等边
三角形的性质，证明三角形全等，是解题的关键．
例10．（2023·四川成都·八年级校考期末）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（-4，4），点B
的坐标为（0，2）．（1）求直线AB的解析式；（2）以点A为直角顶点作∠CAD=90°，射线AC交x轴的负
半轴于点C，射线AD交y轴的负半轴于点D．当∠CAD绕着点A旋转时，OC-OD的值是否发生变化？若不
变，求出它的值；若变化，求出它的变化范围；（3）如图2，点M（-4，0）和N（2，0）是x轴上的两个
点，点P是直线AB上一点．当 PMN是直角三角形时，请求出满足条件的所有点P的坐标．
△
【答案】（1）直线AB的解析式为：y=- x+2；（2）（2）不变．理由见解析；（3）点P的坐标为（-4，
4）或（2，1）或（- ， +2）或（ ，- +2）．
【分析】（1）设直线AB解析式为y=kx+b，把A与B坐标代入列出方程组，求出方程组的解得到k与b的
值，即可确定出直线AB解析式；（2）当∠CAD绕着点A旋转时，OC-OD的值不变，理由为：过A作AE垂
直于x轴，AF垂直于y轴，利用同角的余角相等得到一对角相等，求出A的坐标得到AE=AF，再由已知直
角相等，利用ASA得到三角形AEC与三角形AFD全等，利用全等三角形对应边相等得到EC=FD，进而求出
OC-OD的值即可；（3）分三种情况考虑：①当M为直角顶点时；②N为直角顶点时；③P为直角顶点时；
分别求出P坐标即可．
【详解】（1）设直线AB的解析式为：y=kx+b（k≠0），
∵点A（-4，4），点B（0，2）在直线AB上，
∴ ，解得： ．∴直线AB的解析式为：y=- x+2；
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（2）不变．理由如下：过点A分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为E，F（如答图1），可得
∠AEC=∠AFD=90°，
又∵∠BOC=90°，∴∠EAF=90°，即∠DAE+∠DAF=90°，
∵∠CAD=90°，即∠DAE+∠CAE=90°，∴∠CAE=∠DAF，∵A（-4，4），∴OE=AF=AE=OF=4，
在 AEC和 AFD中， ，∴△AEC≌△AFD（ASA），∴EC=FD，
△ △
∴OC-OD=（OE+EC）-（FD-OF）=OE+OF=8，则OC-OD的值不发生变化，值为8；
（3）①当M为直角顶点时，点P的横坐标为-4，
∵点P在直线AB上，将x=-4代入y=- x+2得，y=4，∴点P的坐标为P（-4，4）；
②当N为直角顶点时，点P的横坐标为2，
∵点P在直线AB上，将x=2代入y=- x+2得，y=1，∴点P的坐标为P（2，1）；
③当P为直角顶点时，∵点P在直线AB上，可设点P的坐标为（x，- x+2），
则MP2=（x+4）2+（- x+2）2，NP2=（x-2）2+（- x+2）2，
在Rt PMN中，MP2+NP2=MN2，MN=6，∴（x+4）2+（- x+2）2+（x-2）2+（- x+2）2=62，
△
解得：x =- ，x = ，∴P（- ， +2）或（ ，- +2），
1 2
综上所述，满足条件的所有点P的坐标为（-4，4）或（2，1）或（- ， +2）或（ ，-
+2）．
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【点睛】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形性质，全
等三角形的判定与性质，勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．
课后专项训练
1．（2023·福建龙岩·八年级校考期中）在平面直角坐标系xOy中，点 ， ，若点C在x轴上，
且 为等腰三角形，则满足条件的点C的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】分为 、 ， 三种情况画图判断即可．
【详解】解：如图所示：当 时，符合条件的点有2个；当 时，符合条件的点有1个；
当 ，即当点C在 的垂直平分线上时，符合条件的点有一个．符合条件的点C有4个．故选：
D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题
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的关键．
2．（2022·山东青岛·统考二模）在平面直角坐标系中， 为坐标原点，点 的坐标为 ，若 为 轴
上一点，且使得 为等腰三角形，则满足条件的点 有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【分析】分别以O、A为圆心，以OA长为半径作圆，与x轴交点即为所求点M，再作线段OA的垂直平分
线，与坐标轴的交点也是所求的点M，作出图形，利用数形结合求解即可．
【详解】解：如图，满足条件的点M的个数为2．故选A．
【点睛】本题考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没
有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．
3．（2022·安徽淮北·九年级阶段练习）如图，在 中， ， ， ．若点P为直线
BC上一点，且 为等腰三角形，则符合条件的点P有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】根据勾股定理求出AB，分为三种情况：①AB＝AP，②AB＝BP，③AP＝BP，得出即可．
【详解】解：在 ABC中，∠B=90°，BC＝8，AC＝6，
△
由勾股定理的： ，
如图，以点A为圆心，以10为半径画圆，交直线BC于两点，即点B和点P；
1
以点B为圆心，以10为半径画圆，交直线BC于两点，即点P 和P；
2 3
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作线段AB的垂直平分线交直线BC与一点，即点P；即共4个点，故选：D
4
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和勾股定理的应用，关键要用分类讨论的思想．
4．（2022·四川广元·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB=36°，以C为原点，C所在直
线为y轴，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系 ，在坐标轴上取一点M使△MAB 为等腰三角形，符合
条件的 M 点有（ ）
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
【答案】C
【分析】根据等腰三角形的判定，“在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形（简称：在同
一三角形中，等边对等角）”分三种情况解答即可．
【详解】解：如图，
①以A为圆心，AB为半径画圆，交直线AC有二点M ，M ，交BC有一点M ，（此时AB＝AM）；
1 2 3
②以B为圆心，BA为半径画圆，交直线BC有二点M ，M ，交AC有一点M （此时BM＝BA）．
5 4 6
③AB的垂直平分线交AC一点M （MA＝MB），交直线BC于点M ；∴符合条件的点有8个．故选：C．
7 8
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【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；构造等腰三角形时本着截取相同的线段就能作出等腰三角形来，
思考要全面，做到不重不漏．
5．（2023·四川凉山·八年级校考期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是 ，则底角是 ．
【答案】 或
【分析】等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系：三角形的内部、三角形的边上、三角形的外部，
根据条件可知第二种高在三角形的边上这种情况不成立，因而应分两种情况进行讨论即可得解．
【详解】解：①当高在三角形内部时，如图：
∵ ，∴ ，∵ ，∴ ，
∴ ；
②当高在三角形外部时，如图：
∵ ，∴ ，∵ ，∴ ，∴
．
∴综上所述，底角是 或 ．故答案是： 或 ．
【点睛】本题主要考查了与三角形的高有关的计算、直角三角形两锐角互余、三角形外角的性质三角形的
分类以及等腰三角形的性质，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键．
6．（2023春·四川达州·八年级校考阶段练习）我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫作等
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腰三角形的“特征值”，记作k．若 ，则该等腰三角形的顶角为 度．
【答案】90
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．
【详解】解：∵ ，∴设顶角 ，则底角 ，∴ ，
∴ ，∴该等腰三角形的顶角为 ，故答案为：90．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两底角相等是解题的关键．
7．（2022·河南平顶山·八年级期末）如图， 中， ， ， 的平分线与线段 交
于点 ，且有 ，点 是线段 上的动点（与A、 不重合），连接 ，当 是等腰三角形
时，则 的长为___________．
【答案】4或
【分析】现根据已知条件得出 ，再根据BC=6，分别求出AB、AC、BD、
AD、CD的长，然后分类讨论即可．
【详解】解：∵ ABC中BD平分 ABC，∴ CBD= ABD，
∵BD=AD，∴ ABD= BAD，∴ CBD= ABD= BAD，
∵ ACB=90°，∴ CBD+ ABD+ BAD=90°，∴ CBD= ABD= BAD=30°,
∵BC=6，∴AB=2BC=12，AC= ，
∵ ，且BC=6，∴BD=2CD，∵BD2=CD2+BC2，即(2CD)2=CD2+62，
∴CD= ， BD= = AD；
（1）当BE=BD= 时，如图：
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（2）当BE=DE，如图：∵BE=DE，∴ EDB= ABD=30°，∴ AED= EDB+ ABD=60°，
∴ ADE=180°- AED- A=180°-60°-30°=90°，∴ ADE为直角三角形，
又∵ 且AD= ，∴DE=4，∴BE=4；
（3）当BD=DE，时，点E与A重合，不符合题意；
综上所述，BE为4或 ．故答案为：4或 ．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质和判定，勾股定理的应用，30°直角三角形的性
质的应用，按三种不同的情况进行讨论是解题的关键．
8．（2023·上虞市初二月考）在如图所示的三角形中，∠A＝30°，点P和点Q分别是边AC和BC上的两个
动点，分别连接BP和PQ，把△ABC分割成三个三角形△ABP，△BPQ，△PQC，若分割成的这三个三角形
都是等腰三角形，则∠C有可能的值有________个．
【答案】7
【分析】①当AB=AP，BQ=PQ，CP=CQ时；②当AB=AP，BP=BQ，PQ=QC时；③当APB，PB=BQ，PQ=CQ时；
④AP=PB，PB=PQ，PQ=QC时；根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．
【解析】解：如图所示，共有9种情况，∠C的度数有7个，分别为80°，40°，35°，20°，25°，100°，
50°．
①当AB=AP，BQ=PQ，CP=CQ时；②当AB=AP，BP=BQ，PQ=QC时，
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③当AP=AB，PQ=CQ，PB=PQ时．④当AP=AB，PQ=PC，BQ=PQ时，
⑤当AP=BP，CP=CQ，QB=PQ时，⑥当AP=PB，PB=BQ，PQ=CQ时；
⑦AP=PB，PB=PQ，PQ=QC时．⑧AP=PB，QB=PQ，PQ=CC时．⑨BP=AB，PQ=BQ，PQ=PC时．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
9．（2022·河南·郑州八年级阶段练习）如图，已知等腰 ABC中，ABAC5，BC8，E是BC上的一个动
点，将 ABE沿着AE折叠到 ADE处，再将边AC折叠△到与AD重合，折痕为AF，当 DEF是等腰三角形
时，BE△的长是___________．△ △
【答案】 或 或 ．
【分析】分三种情况讨论：DE=DF，DE=EF，EF=DF．利用等腰三角形的性质和全等三角形解题．
【详解】解：由折叠可知，BE=DE，DF=CF，AD=AB=AC=5，
当DE=DF时，如图1，
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此时DE=DF=BE=CF，∵AB=AC，∴∠B=∠C，
在△ABE和△ACF中， ∴△ABE≌△ACF，∴AE=AF，
∴AD垂直平分EF，∴EH=FH， ，
∴ ，∴ ，
设 ，则 ，则在直角△DHE中， ，解得 ，
当DE=EF时，如图2，作AH⊥BC于H，连接BD，延长AE交BD于N，
可知BE=DE=EF，∵AH⊥BC，AB=AC，BC=8∴BH=CH=4，
∴ ，设 ，则 ，
∴ ，即
∵AB=AD，∠BAN=∠DAN，∴AN⊥BD，BN=DN，∴ ，∴
在△AHE和△BNE中， ∴△AHE≌△BNE，∴AE=BE，
设 ，则 ，在直角△AEH中， ，解得 ，
当DF=EF时，如图3，过A作AH⊥BC于H，延长AF交DC于M，
同理 ∴ 故答案为： 或 或 ．
【点睛】本题考查折叠问题，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，注意分类讨论是解题的关键．
10．（2022·河南南阳·二模）如图，在 的纸片中， ， ， ．点 在边 上，
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以 为折痕将 折叠得到 ， 与边 交于点 ．若 为直角三角形，则 的长是
_______．
【答案】7或
【分析】由勾股定理可以求出BC的长，由折叠可知对应边相等，对应角相等，当△DEB′为直角三角形时，
可以分为两种情况进行考虑，分别利用勾股定理可求出BD的长．
【详解】解：在 中， ，
（1）当 时，如图1，
过点 作 ，交 的延长线于点 ，由折叠得： ， ，
设 ，则 ， ，在 中，由勾股定理得： ，
即： ，解得： （舍去）， ，因此， ．
（2）当 时，如图2，此时点 与点 重合，
由折叠得： ，则 ，设 ，则 ， ，
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在 △ 中，由勾股定理得： ，解得： ，因此 ．故答案为：7或 ．
【点睛】本题考查了轴对称的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识，分类讨论思想的应用注意分类
的原则是不遗漏、不重复．
11．（2022·江西萍乡·二模）如图，在 ABC 中，AB＝BC＝2，AO＝BO，P 是射线 CO 上的一个动点，
∠AOC＝60°，则当 PAB为直角三角形△时，AP 的长为____．
△
【答案】 或 或1
【分析】利用分类讨论，当∠ABP=90°时，如图2，由对顶角的性质可得∠AOC=∠BOP=60°，易得
∠BPO=30°，易得BP的长，利用勾股定理可得AP的长；当∠APB=90°时，分两种情况讨论，情况一：如图
1，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出PO=BO，易得 BOP为等边三角形，利用勾股定理可得
AP的长；情况二：如图3，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的△一半可得结论．
【详解】当∠ABP=90°时（如图2），
∵∠AOC=∠BOP=60°，∴∠BPO=30°，∴OP=2OB=2，∴BP= ，
在直角三角形ABP中，AP= ；
当∠APB=90°时，分两种情况，情况一，（如图1），∵AO=BO，∴PO=BO，
∵∠AOC=60°，∴∠BOP=60°，∴△BOP为等边三角形，∴BP=OB=1，∵AB=BC=2，∴AP= ；
情况二，如图3，∵AO=BO，∠APB=90°，∴PO=AO，
∵∠AOC=60°，∴△AOP为等边三角形，∴AP=AO=1，故答案为： 或 或1．
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．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，等边三角形的判定及性质，含30°直角三角形的性质和直角三角形斜
边的中线，分类讨论，数形结合是解答此题的关键．
12．（2023春·江西鹰潭·八年级校考阶段练习）如图，在 中，已知 ， ，
． ， 在直线 上．现将 在直线 上进行平移，当 为直角三角形时， 的长为
．
【答案】 或 或
【分析】先进行分类讨论，通过平移的性质可知 ， ，最后通过 所
对直角边是斜边的一半和等边三角形答性质即可求解．
【详解】∵ ， ， ，∴ ， ，
如图，当 在 的左侧，且 时，
∵ 为直角三角形，∴ ，∴ ，∴ ，∴
；
如图，当 在线段 上，且 时，
即 为直角三角形，∴ ，∴ ；
如图，当 在线段 上，且 时，
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即 为直角三角形，∴ ，∵ ，∴ ，
∴ 为等边三角形，∴ ，故答案为： 或 或 ．
【点睛】此题考查平移和特殊三角形的性质，解题关键是熟练掌握平移的性质和等边三角形的性质和判定．
13．（2022秋·四川成都·八年级校考期中）如图，四边形 是一张长方形纸片，将其放在平面直角坐
标系中，使得点 与坐标原点重合，点 、 分别在 轴、 轴的正半轴上，点 的坐标为 ， 的坐
标为 ，现将纸片沿过 点的直线折叠，使顶点 落在线段 上的点 处，折痕与 轴的交点记为 ．
(1)求点 的坐标和 的大小；(2)在 轴正半轴上是否存在点 ，满足 ，若存在，求出
点坐标，若不存在请说明理由；(3)点 在直线 上，且 为等腰三角形，请直接写出点 的坐标．
【答案】(1) ， ；(2) ；(3) ， ，
， ．
【分析】（1）先求解 ， ，可得 ， ，从而可得 ，如图，取 的
中点 ,连接 ,而 ，再证明 为等边三角形，可得答案；
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（2）先证明 ， ,可得 ,求解 ，可得
为 ，过 作 交x轴于Q，设 ， 可得 .，从
而可得答案；（3）由 为 ，设 ，而 ,可得
,再分三种情况讨论即可.
【详解】（1）解：∵点 的坐标为 ， 的坐标为 ，
∴ ， ，∴ ， ，∴ ，
如图，取 的中点 ,连接 ,而 ，
∴ ，∴ 为等边三角形，∴ .
（2）解：∵折叠， ，∴ ， ，
∴ ， ,∴ ,∴ ，
设 为 ，∴ ，解得： ，
∴ 为 ，过 作 交x轴于Q，
设 ，代入 ，∴ ，解得： ，
得 .令 ，则 ∴
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（3）解：∵ 为 ，设 ，而 ，
∴ ，
当 时， ，解得： ，∴ ，
当 时，∴ ，解得： ，（ 舍去），∴ ，
当 时，∴ ，解得： ，∴ 或 ，
综上： ， ， ， ．
【点睛】本题考查的是坐标与图形，直角三角形斜边上的中线的性质，轴对称的性质，利用待定系数法求
解一次函数的解析式，一次函数的性质，含 的直角三角形的性质，二次根式的混合运算，勾股定理的
应用，利用因式分解的方法解一元二次方程，本题的综合程度高，难度较大，对学生的计算能力要求高.
14．（2023秋·浙江杭州·八年级校联考期末）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，长方形 的
顶点A、B分别在x轴与y轴上，已知 ， ，点D为y轴上一点，其坐标为 ，点P从点A
出发以每秒1个单位的速度沿线段 的方向运动，当点P与点B重合时停止运动．
(1)当点P与点C重合时，求直线 的函数解析式；(2)设运动时间为t秒．当点P在运动过程中，
①求 的面积S关于t的函数解析式；②是否存在等腰三角形 ？若存在，请求出点P的坐标；
若不存在，请说明理由．
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【答案】(1)
(2)① ；②存在等腰三角形 ，点P的坐标为 或 或 ．
【分析】（1）求出 ，用待定系数法可得直线 的函数解析式为 ；
（2）①当 ，即 在 上时， ；当 ，即 在 上时， ；
② ， ，知 在 上时， 不可能是等腰三角形，当 在 上时， ，
， ，分三种情况：若 时， ，当 时，
，当 时， ，分别解方程可得答案．
【详解】（1）解： ， ，四边形 是长方形， ，
当点 与点 重合时，设直线 的函数解析式为 ，
把 ， 代入得： ，解得 ， 直线 的函数解析式为 ；
（2）解：①当 ，即 在 上时，如图： ；
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当 ，即 在 上时，如图： ，
；
②存在等腰三角形 ，理由如下：如图：
， ， ， 在 上时， 不可能是等腰三角形，
当 在 上时， ， ， ，
若 时， ，解得 （舍去）或 ， ；
当 时， ，解得 或 （舍去）， ；
当 时， ，解得 ， ；
综上所述，点 的坐标为 或 或 ．
【点睛】本题考查一次函数的应用，涉及待定系数法，三角形面积，等腰三角形等知识，解题的关键是分
类讨论思想的应用．
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15．（2022春·四川成都·八年级校考阶段练习）如图，平面直角坐标系 中，直线 交 轴于
点 ，交 轴于点 ，点 是线段 上一动点（不与点 重合），过点 作 于点 ．
(1)当点 是 中点时，求 的面积；(2)连接 ，若 平分 ，求此时点 的坐标；
(3) 平分 ，在 轴上有一动点 ， 横坐标为 ，过点 作直线 轴， 与线段 有交点，求
的取值范围；(4) 平分 ， 为 轴上动点， 为等腰三角形，求 坐标．
【答案】(1) (2) (3) (4)点 的坐标为 或 或 或
【分析】（1）连接 ，先求出点 ，点 ，可得 ， ，由勾股定理可求 的长，
由面积法可求 的长，由勾股定理可求 的长，即可求解；（2）由“ ”可证 ≌ ，可
得 ， ，由勾股定理可求 的值，即可求点 坐标；（3）由 得，若 平分
，P（ ，0），由面积法可 的长，由勾股定理可求 的长，即可得 的取值范围；
（4）分 、 、 三种情况，利用勾股定理列出方程，分别求解即可．
【详解】（1）解：如图，连接 ，
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直线 交 轴于点 ，交 轴于点 ，
点 ，点 ， ， ， ，
点 是 中点， ， ， ，
， ；
（2）如图，连接 ，
平分 ， ，又 ， ，
≌ ， ， ， ，
， ， ， ；
（3）过点 作 轴于点 ．
由 得， ＝ ， ， － ＝ ，
∴ , ＝ ，
＝ ， 的取值范围 ；
（4）设点 ，过点 作 轴于点 ，则 ，
同理可得： ， ，
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当 时，即 ，解得 或 舍去 ；
当 时，同理可得 ；当 时，同理可得 或 ，
故点 的坐标为 或 或 或 ．
【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的
性质，勾股定理等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
16．（2023春·吉林长春·八年级校考阶段练习）如图，在 的正方形网格中，每个小正方形的边长为1
个单位长度，存在线段 ，端点A，B均落在格点上，构建如图所示平面直角坐标系．
(1)直接写出点A，B的坐标：A（______，______）， B（______，______）；
(2)请在网格中找到点C，连接 ， ，使 为等腰直角三角形，此时点C的坐标为______；
(3)如图所示，网格中（包括网格的边界）存在点P，点P的横纵坐标均为整数，连接 ， ，得到锐角
，且 为等腰三角形，则满足条件的点P有_____个．
【答案】(1)0；1；1； (2) 或 或 (3)4
【分析】（1）根据图中A、B点的位置，写出点A、B的坐标即可；
（2）根据题意画出图形，写出点C的坐标即可；（3）画出图形找出符合条件的点P，得出答案即可．
【详解】（1）解：点A，B的坐标分别为： ， ；故答案为：0；1；1； ．
（2）解：当点B为直角顶点时，点C的坐标为 ；
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当点A为直角顶点时，点C的坐标为 或 ；
故答案为： 或 或 ．
（3）解：如图所示：满足条件的点P有4个．故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了在网格中画等腰三角形，坐标与图形，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的定义，
数形结合．
17．（2023秋·浙江金华·八年级校联考阶段练习）在平面直角坐标系中，点A的坐标为(-1，0)，点B是直
线 上的动点，连接AB，设点B的横坐标为 ．
(1)如图1，当 时，以AB为直角边在AB下方作等腰直角三角形ABC，使 ，求点C的坐标．
(2)如图2，把线段AB绕点A顺时针旋转 得到线段AD，当点B在直线 上运动时，点D也随之
运动，连接OD，求 AOD的面积（用含 的代数式表示）．
(3)在图3中以AB为直角边作等腰直角三角形ABE，当点E落在直线 上时，求 的值．
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【答案】(1) (2) (3) 的值为 或 或−3或8 或9
【分析】（1）如图1，过 作一条平行与 轴的直线 ，作 于 ， 于 ，证明
，有 ， ，进而可表示 的坐标；
（2）如图2，过 作一条平行与 轴的直线 ，作 于 ， 于 ，连接 ，可证
，进而可得 点坐标，表示出面积即可；（3）①当 时， ，如
图①，根据三角形全等可得 ， 点坐标，将坐标代入 中，计算求解即可；当 时，
，如图②，当 时， ，如图③，求解方法同①．
【详解】（1）解 ：∵ ∴
如图1，过 作一条平行与 轴的直线 ，作 于 ， 于 ，∴ ∴ ，
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∵ , ,∴
在 和 中∵ ∴
∴ ， ∴ ．
（2）解：如图2，过 作一条平行与 轴的直线 ，作 于 ， 于 ，连接 ，
∴ ， ∴ ，
同（1）可知 ∴ ，
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∴ ∴
当 时， ；当 时， ；
∴ ．
（3）解：①当 时， ，如图①，
由（2）可知 ，
将点 、 分别代入 得 和 解得 和 ；
②当 时， ，如图②，
由（2）可知 ，
将点 、 分别代入 得 和 解得 和 ；
③当 时， ，如图③，
由（2）可知 ，
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将点 、 分别代入 得 和 解得 和
综上所述， 的值为 或 或 或 或 ．
【点睛】本题考查了一次函数与几何综合，旋转的性质，等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定与性
质．解题的关键在于分情况求解．
18．（2023秋·四川成都·八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，经过A(-2，6)
的直线交x轴正半轴于点B，交y轴于点C，OB=OC，直线AD交x轴负半轴于点D，若 ABD的面积为27．
△
（1）求直线AD的解析式；（2）横坐标为m的点P在AB上（不与点A，B重合），过点P作x轴的平行
线交AD于点E，设PE的长为y（y≠0），求y与m之间的函数关系式并直接写出相应的m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，在x轴上是否存在点F，使 PEF为等腰直角三角形？若存在求出点F的坐标，若
不存在，请说明理由． △
【答案】（1）y=2x+10；（2）y= m+3（-2＜m＜4）；（3）存在，点F的坐标为( ，0)或(- ，0)或(- ，
0)
【分析】（1）根据直线AB交x轴正半轴于点B，交y轴于点C，OB=OC，设出解析式为y=-x+n，把A的坐
标代入求得n的值，从而求得B的坐标，再根据三角形的面积建立方程求出BD的值，求出OD的值，从而
求出D点的坐标，直接根据待定系数法求出AD的解析式；
（2）先根据B、A的坐标求出直线AB的解析式，将P点的横坐标代入直线AB的解析式，求出P的总坐标，
将P点的总坐标代入直线AD的解析式就可以求出E的横坐标，根据线段的和差关系就可以求出结论；
（3）要使 PEF为等腰直角三角形，分三种情况分别以点P、E、F为直角顶点，根据等腰直角三角形的性
质求出（2△）中m的值，就可以求出F点的坐标．
【详解】（1）∵OB=OC，∴设直线AB的解析式为y=-x+n，
∵直线AB经过A（-2，6），∴2+n=6，∴n=4，
∴直线AB的解析式为y=-x+4，∴B（4，0），∴OB=4，
∵△ABD的面积为27，A（-2，6），∴S = ×BD×6=27，
ABD
△
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∴BD=9，∴OD=5，∴D（-5，0），设直线AD的解析式为y=ax+b，
∴ ，解得 ．∴直线AD的解析式为y=2x+10；
（2）∵点P在AB上，且横坐标为m，∴P（m，-m+4），
∵PE∥x轴，∴E的纵坐标为-m+4，代入y=2x+10得，-m+4=2x+10，
解得x= ，∴E（ ，-m+4），∴PE的长y=m- = m+3；
即y= m+3，（-2＜m＜4），
（3）在x轴上存在点F，使 PEF为等腰直角三角形，
①当∠FPE=90°时，如图①，△
有PF=PE，PF=-m+4PE= m+3，∴-m+4= m+3，解得m= ，此时F（ ，0）；
②当∠PEF=90°时，如图②，有EP=EF，EF的长等于点E的纵坐标，
∴EF=-m+4，∴-m+4= m+3，解得：m= ．∴点E的横坐标为x= =- ，∴F（- ，0）；
③当∠PFE=90°时，如图③，有 FP=FE，∴∠FPE=∠FEP．
∵∠FPE+∠EFP+∠FEP=180°，∴∠FPE=∠FEP=45°．作FR⊥PE，点R为垂足，
∴∠PFR=180°-∠FPE-∠PRF=45°，∴∠PFR=∠RPF，∴FR=PR．同理FR=ER，∴FR= PE．
∵点R与点E的纵坐标相同，∴FR=-m+4，∴-m+4= （ m+3），解得：m= ，
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∴PR=FR=-m+4=- +4= ，∴点F的横坐标为 - =- ，∴F（- ，0）．
综上，在x轴上存在点F使 PEF为等腰直角三角形，点F的坐标为（ ，0）或（- ，0）或（- ，
△
0）．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形的面积公式的运用，待定系数法求一次函数的解析式
的运用，解答本题时求出函数的解析式是关键．
19．（2023秋·四川成都·八年级统考期末）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为 ，点B的坐
标为 ．(1)求直线 的表达式；(2)点M是坐标轴上的一点，若以 为直角边构造 ，请求
出满足条件的所有点M的坐标；(3)如图2，以A为直角顶点作 ，射线 交x轴的正半轴于点
C，射线 交y轴的负半轴于点D，当 绕点A旋转时，求 的值．
【答案】(1) (2)M点的坐标为 或 或 (3)8
【分析】（1）用待定系数法求解即可；（2）根据题意进行分类讨论：①当 时，过A作
的垂线，交y轴于点 ，交x轴于点 ，根据两点之间的距离公式以及勾股定理，列出方程求解即可；
②当 时，过点B作 的垂线交y轴于点 ，用相同的方法即可求解；（3）过点A分别作x
轴，y轴的垂线，垂足分别为G，H，通过证明 ，得出 ，即可得出
．
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【详解】（1）解：设直线 的解析式为： ，
∵ ， 在直线 上，
∴ ，解得： ，∴直线 的解析式为： ；
（2）解：∵ 是以 为直角边的直角三角形，∴有 或 ，
①当 时，如图：
设点 ， ，∵ ， ，
∴ ， ， ， ，
，
在 中，根据勾股定理可得： ，
即 ，解得： ，∴ ，
在 中，根据勾股定理可得： ，
即 ，解得： ，∴ ，
②当 时，如图：
过点B作 的垂线交y轴于点 ，设 ，∵ ， ，
∴ ， ， ，
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在 中，根据勾股定理可得： ，
即 ，解得： ，∴ ．
综上：M点的坐标为： 或 或 ．
（3）解：过点A分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为G，H，如图：
则 ，又∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
在 和 中， ，∴ ，
∴ ，∴ ．
【点睛】本题主要考查案例一次函数的图象和性质，勾股定理，两点之间的距离公式，三角形全等的判定
和性质，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数表达式的方法和步骤，坐标轴上点的坐标特征．
20．（2022秋·四川成都·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，直线 与x轴交于点A，
与y轴交于点B，过点B的直线交x轴的正半轴于点C，且 面积为10．
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(1)求直线BC的解析式；(2)如图1，若点M为线段BC上一点，且满足 ，求点M的坐标；
(3)如图2，点F为线段AB中点，点G为y轴上任意一点，连接FG，以FG为腰，G为直角顶点，在FG右
侧作等腰直角 ，当顶点Q落在直线BC上时，求点的坐标．
【答案】(1) (2) (3) ，
【分析】（1）先求出 ， ，即有 ， ，再根据 ，可得
，即可得 ，即有 ，再利用待定系数法即可求解；
（2）设M点坐标为： ，由 ， ，即可得
，问题随之得解；
（3）利用中点坐标公式求出 ，设 ，第一种情况：当 时，如图，点Q落在BC上时，
过G作直线平行于x轴，过点F，Q作该直线的垂线，垂足分别为T，N，证明 ，即有
， ，结合 ，可表示出 ，代入直线BC的解析式即可求解；第二种
情况：当 时，如图，点Q落在BC上时，过G作直线平行于x轴，过点F，Q作该直线的垂线，垂足
分别为T，N，同理作答即可．
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【详解】（1）令 ，则有： ，解得 ，令 ，则有： ，
∴ ， ，∴ ， ，∵ ，∴ ，
∵ ， ，∴ ，∴ ，设BC的解析式为： ，∴ ， ，
∴ ，解得： ，∴ 的解析式为： ；
（2）根据题意设M点坐标为： ，∵ ， ，
∴ ，∴ ，∵ ， ， ， ，
∴ ，解得： ， ，∴M点的坐标为： ；
（3）∵ ， ，点F为线段AB中点，∴ ，设 ，
第一种情况：当 时，如图，点Q落在BC上时，过G作直线平行于x轴，过点F，Q作该直线的垂线，
垂足分别为T，N，即： 轴， ， ，即： ，
∵ 等腰直角三角形， ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∵ ，∴ ，∴ ， ，
∵ 轴，∴点T和点N的纵坐标与G点相等，均为n，
∵ ， ，∴ ， ，
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∴ ， ，∴ ，∴ ，
∵ 落在直线BC上，BC的解析式为： ，
∴ ，解得： ，∴ ，
第二种情况：当 时，如图，点Q落在BC上时，过G作直线平行于x轴，过点F，Q作该直线的垂线，
垂足分别为T，N，即： 轴， ， ，即： ，
根据第一种情况中的方法，同理可证： ，∴ ， ，
∵ 轴，∴点T和点N的纵坐标与G点相等，均为n，
∵ ， ，∴ ， ，
∴ ， ，∴ ，∴ ，
∵ 落在直线BC上，BC的解析式为： ，
∴ ，解得： ，∴ ，综上：G点坐标为： ， ．
【点睛】本题属于一次函数综合题，考查了待定系数法，三角形的面积，全等三角形的判定和性质，等腰
三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造全等三
角形解决问题，属于中考压轴题．
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