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专题24 相似模型之（双）A字型与（双）8字型模型
相似三角形是几何中重要的证明模型之一，是全等三角形的推广，分析图形间的关系离不开数量的计
算。相似和勾股是产生等式的主要依据（其他依据还有面积法，三角函数等），因此要掌握相似三角形的
基本图形，体会其各种演变和联系。相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综
合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。本专题重点讲解相似三角形的（双）A字模型和
（双）8（X）字模型．
.........................................................................................................................................................................................1
模型1.“A”字模型............................................................................................................................................1
模型2.“X”字模型（“8”字模型）................................................................................................................4
模型3.“AX”字模型（“A8”字模型）...........................................................................................................6
..................................................................................................................................................10
【知识储备】A字型和8（X）字型的应用难点在于过分割点（将线段分割的点）作平行线构造模型，有的
是直接作平行线，有的是间接作平行线（倍长中线就可以理解为一种间接作平行线），这一点在模考中无
论小题还是大题都是屡见不鲜的。
模型1.“A”字模型
“A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相
等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似。
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①“A”字模型 ②反“A”字模型 ③同向双“A”字模型 ④内接矩形模型
图1 图2 图3 图4
①“A”字模型 条件：如图1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC ＝＝。
证明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△⇔ABC，∴＝＝。
②反“A”字模型 条件：如图2，∠AED＝∠B；结论：△ADE∽△ACB ＝＝。
证明:∵∠AED＝∠B，∴∠A=∠A，（公共角） ∴△ADE∽△ACB，∴＝⇔＝。
③同向双“A”字模型 条件：如图3，EF∥BC；
结论：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC 。
证明:∵EF∥BC，∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∴△A⇔EF∽△ABC，
同理可证：△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，∴＝＝。
④内接矩形模型 条件：如图4，△ABC的内接矩形DEFG的边EF在BC边上，D、G分别在AB、AC边
上，且AM⊥BC；结论：△ADG∽△ABC，△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM 。
证明:∵DEFG是矩形 ∴DG∥EF，∴∠ADG=∠ABC，∠AGD=∠ACB，∴△A⇔DG∽△ABC，
同理可证：△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM，∴ 。
例1．（2024·吉林长春·三模）如图，在 中，点 、 为边 的三等分点，点 、 在边 上，
， 交 于点 ．若 ，则 的长为 ．
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例2．（2023·广东广州·模拟预测）如图，正方形 内接于 ，点 ， 在 上，点 ， 分
别在 和 边上，且 边上的高 ， ，则正方形 的面积为 ．
例3．（2024·湖南永州·模拟预测）如图： 中， ， ， ，把边长分别为 ，
， ，… 的n个正方形依次放在 中；第一个正方形 的顶点分别放在 的各边上；
第二个正方形 的顶点分别放在 的各边上，其他正方形依次放入，则第2024个正方形的
边长 为 ．
例4．（2024·山东·中考真题）如图，点 为 的对角线 上一点， ， ，连接 并
延长至点 ，使得 ，连接 ，则 为（ ）
A． B．3 C． D．4
例5．（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）如图， ，垂足为 ， ，垂足为 ， 与
相交于点 ，(1)判断 与 是相似三角形吗？请说明理由；(2)连接 ，求证：
；
(3)若 ， ， ，求 的长．
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模型2.“X”字模型（“8”字模型）
“8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两
个三角形相似．
①“8”字模型 ②反“8”字模型 ③平行双“8”字模型 ④斜双“8”字模型
图1 图2 图3 图4
①“8”字模型
条件：如图1，AB∥CD；结论：△AOB∽△COD ＝＝。
证明:∵AB∥CD，∴∠A=∠C，∠B=∠D，∴△AO⇔B∽△COD，∴＝＝。
②反“8”字模型
条件：如图2，∠A＝∠D；结论：△AOB∽△DOC ＝＝。
证明:∵∠A＝∠D，∴∠AOB=∠DOC，（对顶角）⇔ ∴△AOB∽△DOC，∴＝＝。
③平行双“8”字模型
条件：如图3，AB∥CD；结论： 。
证明:∵AB∥CD，∴∠A=∠D，∠AEO=∠DFO，∴△AEO∽△DFO，
同理可证：△BEO∽△CFO，△ABO∽△DCO，∴ 。
④斜双“8”字模型
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条件：如图4，∠1＝∠2；结论：△AOD∽△BOC，△AOB∽△DOC 3＝∠4。
证明:∵∠1＝∠2，∠AOD=∠BOC（对顶角）， ∴△AOD⇔∽∠△BOC，∴AO:BO=DO:CO，即
AO:DO=BO:CO；
∵∠AOB=∠DOC（对顶角），∴△AOB∽△DOC，∴∠3＝∠4。
例1．（2024·吉林·中考真题）如图，正方形 的对角线 相交于点O，点E是 的中点，点
F是 上一点．连接 ．若 ，则 的值为 ．
例2.（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图， 与 交于点O， 过点O，交 于点E，交 于点
， ．（1）求证： ．（2）若 ，求 ．
例3．（2024·四川眉山·中考真题）如图，菱形 的边长为6， ，过点 作 ，交
的延长线于点 ，连结 分别交 ， 于点 ， ，则 的长为 ．
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例4．（23-24九年级上·安徽蚌埠·期中）阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形
的重心．(1)特例感知：如图 一 ，已知边长为3的等边 的重心为点O，求 与 的面积；
(2)性质探究：如图 二 ，已知 的重心为点O，请判断 、 是否都为定值？如果是，分别求
出这两个定值；如果不是，请说明理由；
(3)性质应用：如图 三 ，在正方形ABCD中，点E是CD的中点，连接BE交对角线AC于点M．
若正方形ABCD的边长为4，求EM的长度； 若 ，求正方形ABCD的面积
模型3.“AX”字模型（“A8”字模型）
①一“A”+“8”模型 ②两“A”+“8”模型（反向双“A”字模型） ③四“A”+“8”模型
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图1 图2 图3
①一“A”+“8”模型 条件：如图1，DE∥BC；
结论：△ADE∽△ABC，△DEF∽△CBF，⇔ 。
证明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝。
∵DE∥BC，∴∠FDE=∠FCB，∠DEF=∠CBF，∴△DEF∽△CBF，∴ 。
∴ 。
②两“A”+“8”模型 条件：如图2，DE∥AF∥BC；
结论：△DAF∽△DBC，△CAF∽△CED，⇔ 。
证明:∵AF∥BC，∴∠DAF=∠B，∠DFA=∠DCB，∴△DAF∽△DBC，∴ 。
∵DE∥AF，∴∠CAF=∠E，∠CFA=∠CDE，∴△CAF∽△CED，∴ 。
，即 ，故 。
两式相加得到：
③四“A”+“8”模型3 条件：如图3，DE∥GF∥BC；结论：AF=AG， 。
证明:同②中的证法，易证： ， ，
∴ ，即AF=AG，故 。
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例1．（2022·山东东营·中考真题）如图，点D为 边 上任一点， 交 于点E，连接
相交于点F，则下列等式中不成立的是（ ）
A． B． C． D． 例2．（2023·安徽·三模）如图，已
知 、 ， 与 相交于点 ，作 于点 ，点 是 的中点， 于
点 ，交 于点 ，若 ， ，则 值为（ ）
A． B． C． D．
例3．（2024·湖北·模拟预测）（1）【问题背景】如图1， ， 与 相交于点E，点F在
上．求证： ；
小雅同学的想法是将结论转化为 来证明，请你按照小雅的思路完成原题的证明过程．
（2）【类比探究】如图2， ， ， ， 与 相交于点G，点H在 上，
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．求证： ．
（3）【拓展运用】如图3，在 四边形 中， ，连接， 交于点M，过点M作 ，
交 于点E，交 于点F，连接 交于点N，过点N作 ，交 于点G，交 于点
H，若 ， ，直接写出 的长．
例4．（2024·江苏泰州·三模）综合与实践
在初中物理学中，凸透镜成像原理与相似三角形有密切的联系．请耐心阅读以下材料：
【光学模型】如图1，通过凸透镜光心 的光线 ，其传播方向不变，经过焦点 的光线 经凸透镜
折射后平行于主光轴 沿 射出，与光线 交于点 ，过点 作主光轴 的垂线段 ，垂足为
，即可得出物体 所成的像 ．
【模型验证】设焦点 到光心的距离 称为焦距，记为 ；物体 到光心的距离 称为物距，记为 ；
像 到光心的距离 称为像距，记为 ．
已知 ， ，当 时，求证： ．
证明：∵ ， ，∴
又∵ ，∴ ，
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∴ ，即 ，同理可得 ，
∴ ，即 ① ，∴ ② ，
∴ ，∴ ，即 ．
请结合上述材料，解决以下问题：
(1)请补充上述证明过程中①②所缺的内容(用含 的代数式表示)；(2)若该凸透镜 的焦距为20 ，物
体距凸透镜 的距离为30 ，物高为10 ，则物体 所成的像 的高度为__________ ；
(3)如图2，由物理学知识知“经过点 且平行于主光轴 的光线 经凸透镜 折射后经过点 ”，小
明在做凸透镜成像实验时，不断改变物距发现光线 始终经过主光轴 上一定点．若该凸透镜 的焦
距为20 ，物高为10 ，试说明这一物理现象．
1．（2024·浙江温州·三模）如图，在 中， 平分 分别交 ， ， 延长线于点 ，
， ，记 与 的面积分别为 ， ，若 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·安徽合肥·三模）如图，已知四边形 是平行四边形，点 是AD的中点，连接 ， 相
交于点 ，过 作AD的平行线交AB于点 ，若 ，则 的值是（ ）
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A．6 B．5 C．8 D．4
3．（2024·四川成都·中考真题）如图，在 中，按以下步骤作图：①以点 为圆心，以适当长为半
径作弧，分别交 ， 于点 ， ；②分别以 ， 为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧在
内交于点 ；③作射线 ，交 于点 ，交 延长线于点 ．若 ， ，下列结论
错误的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024九年级下·广东·专题练习）如图，在 中， ，高 ，正方形 一边在
上，点E，F分别在 ， 上， 交 于点N，则 的长为（ ）
A．15 B．20 C．25 D．30
5．（2024·云南楚雄·模拟预测）如图，在 中，E线段 上一点，且 ，过点C作
，交 的延长线于点D．若 的面积为 ，则 的面积为（ ）
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A． B． C． D．
6．（2024·浙江·模拟预测）如图，矩形 中， 是 上的点，连接 交对角线 于点 ，若
， ，则 的值为（ ）
A． B． C．2 D．1．5
7．（2024·河南·中考真题）如图，在 中，对角线 ， 相交于点O，点E为 的中点，
交 于点F．若 ，则 的长为（ ）
A． B．1 C． D．2
8．（2024·山东威海·中考真题）如图，在 中，对角线 ， 交于点 ，点 在 上，点 在
上，连接 ， ， ， 交 于点 ．下列结论错误的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ， ， ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
9．（2024·陕西西安·一模）如图，在 中，D，M是边 的三等分点，N，E是边 的三等分点．
连接 并延长与 的延长线相交于点P．若 ，则线段 的长为（ ）
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A．5 B．7 C．6 D．8
10．（2024·江苏南京·一模）如图， ， 分别垂直 ，垂足分别为 ， ，连接 ， 交于点 ，
作 ，垂足为 ．设 ， ， ，若 ，则下列等式：① ；②
；③ ，其中一定成立的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
11．（2024·陕西·中考真题）如图，正方形 的顶点G在正方形 的边 上， 与 交于点
H，若 ， ，则 的长为（ ）
A．2 B．3 C． D．
12．（2024·江苏苏州·中考真题）如图， ， ， ， ，点D，E分别在
边上， ，连接 ，将 沿 翻折，得到 ，连接 ， ．若 的
面积是 面积的2倍，则 ．
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13．（2024·云南·中考真题）如图， 与 交于点 ，且 ．若 ，则
．
14．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，在平行四边形 中， ，E、F分别是边
上的动点，且 ．当 的值最小时，则 ．
15．（23-24九年级上·河南驻马店·期中）如图， ，点 在 上， 与 交于点 ，
若 ，则 ．
16．（2023·吉林长春·统考三模）【阅读理解】构造“平行八字型”全等三角形模型是证明线段相等的一
种方法，我们常用这种方法证明线段的中点问题．例如：如图， 是 边 上一点， 是 的中点，
过点 作 ，交 的延长线于点 ，则易证 是线段 的中点．
【经验运用】请运用上述阅读材料中所积累的经验和方法解决下列问题．
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（1）如图1，在正方形 中，点 在 上，点 在 的延长线上，且满足 ，连接 交
于点 ．求证：① 是 的中点；②CG与BE之间的数量关系是：____________________________；
【拓展延伸】（2）如图2，在矩形 中， ，点 在 上，点 在 的延长线上，且满足
，连接 交 于点 ．探究 和 之间的数量关系是：____________________________；
17．（2024·辽宁大连·二模）【问题初探】（1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：
如图1，在 中，点 是 的中点，点 是 的一个三等分点，且 ，连接 ， 交于
点 ，求证： ．
①如图2，小鹏同学利用“三角形中位线的性质”的解题经验，取 的中点 ，连接 ，再通过“全等
三角形的性质”解决问题；②如图3，小亮同学利用“三角形相似的性质”的解题经验，过点 作
，交 的延长线于点 ，再通过“全等三角形的性质”解决问题．
请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程．
【类比分析】（2）李老师发现之前两名同学都运用了数学的转化思想，将证明三角形线段的关系转化为
我们熟悉的角度去理解．为了帮助同学们更好地感悟转化思想，李老师又提出了一个问题，请你解答：如
图4，在 中，点 是 的中点，点 ， 是 的三等分点， ， 与 分别交于点 ， ，
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求 的值．
【学以致用】（3）如图5，在 中， ，在射线 上取点 ，使 ，连接 ，在
上取点 ，射线 ， 相交于点 ，当 时，求 的值．
18．（2023·湖北随州·模拟预测）[初步尝试]（1）如图①，在三角形纸片 中， ，将
折叠，使点B与点C重合，折痕为 ，则 与 的数量关系为________；
[思考说理]（2）如图②，在三角形纸片 中， ，将 折叠，使点B与点C重
合，折痕为 ，求 的值；
[拓展延伸]（3）如图③，在三角形纸片 中， ，将 沿过顶点C的
直线折叠，使点B落在边 上的点 处，折痕为 ．①求线段 的长；②若点O是边 的中点，
点P为线段 上的一个动点，将 沿 折叠得到 点A的对应点为点 与 交于点
F，求 的取值范围．
19．（2024·江苏泰州·二模）图算法是根据几何原理，将某一已知函数关系式中的各变量，分别编成有刻
度的直线（或曲线），并把它们按一定的规律排列在一起的一种图形，可以用来解函数式中的未知量，这
样的图形叫诺模图．设有两只电阻， 千欧， 千欧，问并联后的总电阻值R是多少千欧？
我们可以利用公式求得R的值，也可以设计一种图算法（如图1）直接得出结果：我们先来画出一个
的角，再画一条角平分线，在角的两边及角平分线上用同样的单位长度进行刻度，这样就制好了一张算图．
我们只要把角的两边刻着6和4的两点连成一条直线，这条直线与角平分线的交点的刻度值就是并联后的
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总电阻值R．
(1)① 千欧， 千欧，计算 千欧；②如图1，已知 ， 是 的角平
分线， ， ， ．用你所学的几何知识说明： ；
(2)如图2，已知 ， 是 的角平分线， ， ， ．此时关系式可以
写成 ，其中 的常数，求m的值；
(3)如图3，若 ，（2）中其余条件不变，请探索 ， ，R之间的关系．（用含 的代数式表
示）
20．（2024·湖北武汉·中考真题）问题背景：如图（1），在矩形 中，点 ， 分别是 ， 的
中点，连接 ， ，求证： ．
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问题探究：如图（2），在四边形 中， ， ，点 是 的中点，点 在边
上， ， 与 交于点 ，求证： ．
问题拓展：如图（3），在“问题探究”的条件下，连接 ， ， ，直接写出 的值．
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