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§6.2 等差数列
考试要求 1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体
的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次
函数、二次函数的关系．
知识梳理
1．等差数列的有关概念
(1)等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个
数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示，定义表达式
为a － a ＝ d ( 常数 ) ( n ≥ 2 ， n ∈ N * )．
n n－1
(2)等差中项
由三个数a，A，b组成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有2A＝ a ＋ b .
2．等差数列的有关公式
(1)通项公式：a＝a ＋ ( n － 1 ) d.
n 1
(2)前n项和公式：S＝na＋d或S＝.
n 1 n
3．等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：a＝a ＋ ( n － m ) d (n，m∈N*)．
n m
(2)若{a}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则a ＋ a ＝ a ＋ a.
n k l m n
(3)若{a}是等差数列，公差为d，则a，a ，a ，…(k，m∈N*)是公差为md 的等差数列．
n k k＋m k＋2m
(4)数列S ，S －S ，S －S ，…也是等差数列．
m 2m m 3m 2m
(5)S ＝(2n－1)a.
2n－1 n
(6)等差数列{a}的前n项和为S，为等差数列．
n n
常用结论
1．已知数列{a}的通项公式是a ＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{a}一定是等差数列，
n n n
且公差为p.
2．在等差数列{a}中，a＞0，d＜0，则S 存在最大值；若a＜0，d＞0，则S 存在最小值．
n 1 n 1 n
3．等差数列{a}的单调性：当d＞0时，{a}是递增数列；当d＜0时，{a}是递减数列；当
n n n
d＝0时，{a}是常数列．
n
4．数列{a}是等差数列⇔S＝An2＋Bn(A，B为常数)．这里公差d＝2A.
n n
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(
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× )
(2)数列{a}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2a ＝a＋a .( √ )
n n＋1 n n＋2
(3)在等差数列{a}中，若a ＋a＝a＋a，则m＋n＝p＋q.( × )
n m n p q
(4)若无穷等差数列{a}的公差d>0，则其前n项和S 不存在最大值．( √ )
n n
教材改编题
1．在等差数列{a}中，已知a＝11，a＝5，则a 等于( )
n 5 8 10
A．－2 B．－1 C．1 D．2
答案 C
解析 设等差数列{a}的公差为d，由题意得解得
n
∴a＝－2n＋21.∴a ＝－2×10＋21＝1.
n 10
2．设等差数列{a}的前n项和为S，若S＝8，S＝20，则a＋a ＋a ＋a 等于( )
n n 4 8 9 10 11 12
A．12 B．8 C．20 D．16
答案 D
解析 等差数列{a}中，S ，S －S ，S －S 仍为等差数列，即8,20－8，a ＋a ＋a ＋a 为
n 4 8 4 12 8 9 10 11 12
等差数列，所以a＋a ＋a ＋a ＝16.
9 10 11 12
3．设等差数列{a}的前n项和为S.若a＝10，S＝28，则S 的最大值为________．
n n 1 4 n
答案 30
解析 由a ＝10，S ＝4a ＋6d＝28，解得d＝－2，所以S ＝na ＋d＝－n2＋11n.当n＝5或6
1 4 1 n 1
时，S 最大，最大值为30.
n
题型一 等差数列基本量的运算
例1 (1)(2023·开封模拟)已知公差为1的等差数列{a}中，a＝aa ，若该数列的前n项和S
n 3 6 n
＝0，则n等于( )
A．10 B．11 C．12 D．13
答案 D
解析 由题意知(a＋4)2＝(a＋2)(a＋5)，na＋＝0，解得a＝－6，n＝13.
1 1 1 1 1
(2)(2020·全国Ⅱ)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一
块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加 9
块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数
相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)( )
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A．3 699块 B．3 474块
C．3 402块 D．3 339块
答案 C
解析 设每一层有n环，由题意可知从内到外每环之间构成d＝9，a ＝9的等差数列．由等
1
差数列的性质知S ，S －S ，S －S 成等差数列，且(S －S )－(S －S)＝n2d，则9n2＝
n 2n n 3n 2n 3n 2n 2n n
729，得n＝9，
则三层共有扇面形石板S ＝S ＝27×9＋×9＝3 402(块)．
3n 27
思维升华 (1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a ，n，d，a ，S ，知道其
1 n n
中三个就能求出另外两个(简称“知三求二”)．
(2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项a 和公差d.
1
跟踪训练1 (1)《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨
水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、
春分日影长之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影长之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为
(一丈＝十尺＝一百寸)( )
A．一尺五寸 B．二尺五寸
C．三尺五寸 D．四尺五寸
答案 B
解析 由题意知，从冬至日起，依次为小寒、大寒等十二个节气日影长构成一个等差数列
{a}，设公差为d，
n
∵冬至、立春、春分日影长之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影长之和为八丈五尺五寸，
∴
解得
∴芒种日影长为a ＝a＋11d＝135－11×10＝25(寸)＝2尺5寸．
12 1
(2)数列是等差数列，且a＝1，a＝－，那么a ＝________.
1 3 2 024
答案 －
解析 设等差数列的公差为d，因为a ＝1，a ＝－，所以＝1，＝3.所以3＝1＋2d，解得d
1 3
＝1.所以＝1＋n－1＝n，所以a＝－1.所以a ＝－1＝－＝－.
n 2 024
题型二 等差数列的判定与证明
例2 (2021·全国甲卷)已知数列{a}的各项均为正数，记 S 为{a}的前 n项和，从下面
n n n
①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列{a}是等差数列；②数列{}是等差数列；③a＝3a.
n 2 1
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
解 ①③⇒②.
已知{a}是等差数列，a＝3a.
n 2 1
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设数列{a}的公差为d，
n
则a＝3a＝a＋d，得d＝2a，
2 1 1 1
所以S＝na＋d＝n2a.
n 1 1
因为数列{a}的各项均为正数，
n
所以＝n，
所以－＝(n＋1)－n＝(常数)，所以数列{}是等差数列．
①②⇒③.
已知{a}是等差数列，{}是等差数列．
n
设数列{a}的公差为d，
n
则S＝na＋d＝n2d＋n.
n 1
因为数列{}是等差数列，所以数列{}的通项公式是关于n的一次函数，则a －＝0，即d＝
1
2a，所以a＝a＋d＝3a.
1 2 1 1
②③⇒①.
已知数列{}是等差数列，a＝3a，
2 1
所以S＝a，S＝a＋a＝4a.
1 1 2 1 2 1
设数列{}的公差为d，d>0，
则－＝－＝d，得a＝d2，
1
所以＝＋(n－1)d＝nd，
所以S＝n2d2，
n
所以a ＝S －S ＝n2d2－(n－1)2d2＝2d2n－d2(n≥2)，是关于n的一次函数，且a ＝d2满足上
n n n－1 1
式，所以数列{a}是等差数列．
n
思维升华 判断数列{a}是等差数列的常用方法
n
(1)定义法．
(2)等差中项法．
(3)通项公式法．
(4)前n项和公式法．
跟踪训练2 已知数列{a}的各项都是正数，n∈N*.
n
(1)若{a}是等差数列，公差为d，且b 是a 和a 的等比中项，设c ＝b－b，n∈N*，求证：
n n n n＋1 n
数列{c}是等差数列；
n
(2)若a＋a＋a＋…＋a＝S，S 为数列{a}的前n项和，求数列{a}的通项公式．
n n n
(1)证明 由题意得b＝aa ，
n n＋1
则c＝b－b＝a a －aa ＝2da ，
n n＋1 n＋2 n n＋1 n＋1
因此c －c＝2d(a －a )＝2d2(常数)，
n＋1 n n＋2 n＋1
∴{c}是等差数列．
n
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(2)解 当n＝1时，a＝a，∵a>0，∴a＝1.
1 1
a＋a＋a＋…＋a＝S，①
当n≥2时，a＋a＋a＋…＋a＝S，②
①－②得，a＝S－S＝(S－S )(S＋S )．
n n－1 n n－1
∵a>0，∴a＝S＋S ＝2S－a，③
n n n－1 n n
∵a＝1也符合上式，∴当n≥2时，a＝2S －a ，④
1 n－1 n－1
③－④得a－a＝2(S－S )－a＋a ＝2a－a＋a ＝a＋a ，
n n－1 n n－1 n n n－1 n n－1
∵a＋a >0，∴a－a ＝1，
n n－1 n n－1
∴数列{a}是首项为1，公差为1的等差数列，可得a＝n.
n n
题型三 等差数列的性质
命题点1 等差数列项的性质
例3 (1)已知在等差数列{a}中，若a＝8且log ( )＝22，则S 等于( )
n 8 2 13
A．40 B．65 C．80 D．40＋log 5
2
答案 B
解析 log ( )＝log ＋log ＋…＋log ＝a ＋a ＋…＋a ＝11a ＝
2 2 2 2 1 2 11 6
22，所以a＝2，则S ＝＝＝65.
6 13
(2)已知数列{a}，{b}都是等差数列，且a＝2，b＝－3，a－b＝17，则a －b 的值为
n n 1 1 7 7 2 024 2 024
________．
答案 4 051
解析 令c ＝a －b ，因为{a}，{b}都是等差数列，所以{c}也是等差数列．设数列{c}的
n n n n n n n
公差为d，由已知，得c ＝a －b ＝5，c ＝17，则5＋6d＝17，解得d＝2.故a －b ＝c
1 1 1 7 2 024 2 024 2
＝5＋2 023×2＝4 051.
024
思维升华 等差数列项的性质的关注点
(1)在等差数列题目中，只要出现项的和问题，一般先考虑应用项的性质．
(2)项的性质常与等差数列的前n项和公式S＝相结合．
n
跟踪训练3 (1)若等差数列{a}的前15项和S ＝30，则2a－a－a ＋a 等于( )
n 15 5 6 10 14
A．2 B．3 C．4 D．5
答案 A
解析 ∵S ＝30，∴(a＋a )＝30，
15 1 15
∴a＋a ＝4，∴2a＝4，∴a＝2.
1 15 8 8
∴2a－a－a ＋a ＝a＋a－a－a ＋a ＝a－a ＋a ＝a ＋a－a ＝a＝2.
5 6 10 14 4 6 6 10 14 4 10 14 10 8 10 8
(2)(2023·保定模拟)已知等差数列{a}满足＝－2，则下列结论一定成立的是( )
n
A.＝－1 B.＝－1
C.＝－1 D.＝－1
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答案 C
解析 由＝－2得a≠0,2a＋a＝a＋a＋a＝3a＝0，
5 5 8 4 6 8 6
所以a＝0，a＋a＝2a＝0，
6 3 9 6
因为a≠0，a＝0，
5 6
所以a≠0，＝－1.
3
命题点2 等差数列前n项和的性质
例4 (1)设等差数列{a}，{b}的前n项和分别为S ，T ，若对任意的n∈N*，都有＝，则＋
n n n n
的值为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 由题意可知b＋b ＝b＋b ＝b＋b ＝2b，
3 13 5 11 1 15 8
∴＋＝＝＝＝＝＝.
(2)已知等差数列{a}共有(2n＋1)项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则a 的
n n＋1
值为( )
A．30 B．29 C．28 D．27
答案 B
解析 奇数项共有(n＋1)项，其和为·(n＋1)＝·(n＋1)＝290，
∴(n＋1)a ＝290.
n＋1
偶数项共有n项，其和为·n＝·n＝na ＝261，
n＋1
∴a ＝290－261＝29.
n＋1
思维升华 等差数列前n项和的常用的性质是：
在等差数列{a}中，数列S ，S －S ，S －S ，…也是等差数列，且有S ＝n(a ＋a )＝…
n m 2m m 3m 2m 2n 1 2n
＝n(a＋a )；S ＝(2n－1)a.
n n＋1 2n－1 n
跟踪训练4 (1)设等差数列{a}的前n项和为S ，若S ＝20，S ＝30，a ＝40，则m等于(
n n 4 5 m
)
A．6 B．10 C．20 D．40
答案 C
解析 由S ＝20，S ＝30，得a ＝ S －S ＝10，由等差数列的性质，得S ＝30＝5a ，故a
4 5 5 5 4 5 3 3
＝6，而a－a＝10－6＝4＝2d，故d＝2，a ＝40＝a＋2(m－5)，解得m＝20.
5 3 m 5
(2)已知S 是等差数列{a}的前n项和，若a＝－2 020，－＝6，则S 等于( )
n n 1 2 023
A．2 023 B．－2 023
C．4 046 D．－4 046
答案 C
解析 ∵为等差数列，设公差为d′，
则－＝6d′＝6，∴d′＝1，
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首项为＝－2 020，
∴＝－2 020＋(2 023－1)×1＝2，
∴S ＝2 023×2＝4 046，故选C.
2 023
课时精练
1．首项为－21的等差数列从第8项起为正数，则公差d的取值范围是( )
A．(3，＋∞) B.
C. D.
答案 D
解析 a ＝－21＋(n－1)d，因为从第8项起为正数，所以a ＝－21＋6d≤0，a ＝－21＋
n 7 8
7d>0，解得30.则使S<0的n的最小值为( )
n n 5 11 1 n
A．30 B．31 C．32 D．33
答案 B
解析 根据题意，设等差数列{a}的公差为d，
n
若3a＝7a ，且a>0，
5 11 1
则3(a＋4d)＝7(a＋10d)，
1 1
变形可得4a＋58d＝0，则a＝－d，
1 1
所以S＝na＋
n 1
＝－nd＋＝(n2－30n)，
因为a＝－d>0，所以d<0，
1
若S<0，必有n2－30n>0，又由n∈N*，则n>30，故使S<0的n的最小值为31.
n n
6．(多选)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，依次成等差数列，
则下列结论中不一定成立的是( )
A．a，b，c依次成等差数列
B.，，依次成等差数列
C．a2，b2，c2依次成等差数列
D．a3，b3，c3依次成等差数列
答案 ABD
解析 在△ABC中，若，，依次成等差数列，则＝＋，整理得＝＋，利用正弦定理和余弦
定理得2·＝＋，整理得2b2＝a2＋c2，即a2，b2，c2依次成等差数列，此时对等差数列 a2，
b2，c2的每一项取相同的运算得到数列a，b，c或，，或a3，b3，c3，这些数列都不一定是等
差数列，除非a＝b＝c，但题目中未说明△ABC是等边三角形．
7．(2022·全国乙卷)记S 为等差数列{a}的前n项和．若2S＝3S＋6，则公差d＝________.
n n 3 2
答案 2
解析 由2S＝3S＋6，
3 2
可得2(a＋a＋a)＝3(a＋a)＋6，
1 2 3 1 2
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化简得2a＝a＋a＋6，
3 1 2
即2(a＋2d)＝2a＋d＋6，
1 1
解得d＝2.
8．设S 是等差数列{a}的前n项和，S ＝16，S －S ＝24，则S ＝________.
n n 10 100 90 100
答案 200
解析 依题意，S ，S －S ，S －S ，…，S －S 依次成等差数列，设该等差数列的公差
10 20 10 30 20 100 90
为d.又S ＝16，S －S ＝24，因此S －S ＝24＝16＋(10－1)d＝16＋9d，解得d＝，因此
10 100 90 100 90
S ＝10S ＋d＝10×16＋×＝200.
100 10
9．已知{a}是公差为d的等差数列，其前n项和为S ，且a ＝1，________.若存在正整数
n n 5
n，使得S 有最小值．
n
(1)求{a}的通项公式；
n
(2)求S 的最小值．
n
从①a ＝－1，②d＝2，③d＝－2这三个条件中选择符合题意的一个条件，补充在上面的
3
问题中并作答．
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
解 选择①作为补充条件：(1)因为a ＝1，a ＝－1，所以d＝1，所以a ＝1＋(n－5)×1＝n
5 3 n
－4(n∈N*)．
(2)由(1)可知a＝－3，所以S＝＝n(n－7)．
1 n
因为n∈N*，所以当n＝3或4时，S 取得最小值，且最小值为－6.故存在正整数n＝3或4，
n
使得S 有最小值，且最小值为－6.
n
选择②作为补充条件：(1)因为a＝1，d＝2，所以a＝1＋(n－5)×2＝2n－9(n∈N*)．
5 n
(2)由(1)可知a＝－7，所以S＝＝n2－8n.
1 n
所以当n＝4时，S 取得最小值，且最小值为－16.
n
故存在正整数n＝4，使得S 有最小值，最小值为－16.
n
不可以选择③作为补充条件．
10．在数列{a}中，a＝8，a＝2，且满足a －2a ＋a＝0(n∈N*)．
n 1 4 n＋2 n＋1 n
(1)求数列{a}的通项公式；
n
(2)设T＝|a|＋|a|＋…＋|a|，求T.
n 1 2 n n
解 (1)∵a －2a ＋a＝0，
n＋2 n＋1 n
∴a －a ＝a －a，
n＋2 n＋1 n＋1 n
∴数列{a}是等差数列，设其公差为d，
n
∵a＝8，a＝2，
1 4
∴d＝＝－2，
∴a＝a＋(n－1)d＝10－2n，n∈N*.
n 1
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(2)设数列{a}的前n项和为S，则由(1)可得，
n n
S＝8n＋×(－2)＝9n－n2，n∈N*.
n
由(1)知a＝10－2n，令a＝0，得n＝5，
n n
∴当n>5时，a<0，
n
则T＝|a|＋|a|＋…＋|a|
n 1 2 n
＝a＋a＋…＋a－(a＋a＋…＋a)
1 2 5 6 7 n
＝S－(S－S)＝2S－S
5 n 5 5 n
＝2×(9×5－25)－(9n－n2)＝n2－9n＋40；
当n≤5时，a≥0，
n
则T＝|a|＋|a|＋…＋|a|
n 1 2 n
＝a＋a＋…＋a＝9n－n2，
1 2 n
∴T＝
n
11．(多选)已知数列{a}是公差不为0的等差数列，前n项和为S ，满足a ＋5a ＝S ，下列
n n 1 3 8
选项正确的有( )
A．a ＝0 B．S 最小
10 10
C．S＝S D．S ＝0
7 12 20
答案 AC
解析 根据题意，数列{a}是等差数列，若a＋5a＝S，
n 1 3 8
即a＋5a＋10d＝8a＋28d，变形可得a＝－9d.
1 1 1 1
又由a＝a＋(n－1)d＝(n－10)d，
n 1
得a ＝0，故A正确；
10
不能确定a 和d的符号，不能确定S 最小，故B不正确；
1 10
又由S＝na＋＝－9nd＋＝×(n2－19n)，
n 1
得S＝S ，故C正确；
7 12
S ＝20a＋d＝－180d＋190d＝10d.
20 1
因为d≠0，
所以S ≠0，故D不正确．
20
12．已知等差数列{a}的前n项和为S，且＝，则等于( )
n n
A. B. C. D.
答案 D
解析 ＝＝＝，所以＝，
所以＝＝＝.
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13．将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{a}，则{a}的前n项和为
n n
________．
答案 3n2－2n
解析 将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{a}，则{a}是以1为首项，
n n
以6为公差的等差数列，故它的前n项和为S＝n×1＋×6＝3n2－2n.
n
14．设等差数列{a}的前 n 项和为 S ，若 S>S>S ，则满足 SS <0 的正整数 n 的值为
n n 6 7 5 n n＋1
______．
答案 12
解析 由S>S>S ，得S ＝S ＋aS ，所以a<0，a ＋a>0，所以S ＝
6 7 5 7 6 7 6 7 5 6 7 5 7 6 7 13
＝13a<0，S ＝＝6(a＋a)>0，所以S S <0，即满足SS <0的正整数n的值为12.
7 12 6 7 12 13 n n＋1
15．将正奇数排成一个三角形阵，按照如图排列的规律，则第15行第3个数为( )
A．213 B．215 C．217 D．219
答案 B
解析 由题意知，在三角形数阵中，前14行共排了1＋2＋3＋…＋14＝＝105个数，则第15
行第3个数是数阵的第108个数，即所求数字是首项为1，公差为2的等差数列的第108项，
则a ＝1＋(108－1)×2＝215.
108
16．对于数列{a}，定义H ＝为{a}的“优值”，已知数列{a}的“优值”H ＝2n＋1，记数
n n n n n
列{a－20}的前n项和为S，则S 的最小值为( )
n n n
A．－70 B．－72 C．－64 D．－68
答案 B
解析 ∵数列{a}的“优值”H＝2n＋1，
n n
∴H＝＝2n＋1，
n
∴a＋2a＋…＋2n－1a＝n·2n＋1，
1 2 n
∴2n－1a＝n·2n＋1－(n－1)·2n(n≥2)，
n
∴a＝4n－2(n－1)＝2n＋2(n≥2)，又a＝4，满足上式，
n 1
∴a＝2n＋2(n∈N*)，
n
∴a－20＝2n－18，
n
∴{a－20}是以－16为首项，2为公差的等差数列，
n
所以{a－20}的前n项和S＝n2－17n.
n n
由得8≤n≤9，
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∴S 的最小值为S＝S＝－72.
n 8 9
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