2025年中考数学几何模型综合训练（通用版）专题24相似模型之（双）A字型与（双）8字型模型解读与提分精练（教师版）_02中考总复习（2026版更新中）_02-数学-中考总复习_2025中考复习资料

关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 专题24 相似模型之（双）A字型与（双）8字型模型 相似三角形是几何中重要的证明模型之一，是全等三角形的推广，分析图形间的关系离不开数量的计 算。相似和勾股是产生等式的主要依据（其他依据还有面积法，三角函数等），因此要掌握相似三角形的 基本图形，体会其各种演变和联系。相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综 合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。本专题重点讲解相似三角形的（双）A字模型和 （双）8（X）字模型． .........................................................................................................................................................................................1 模型1.“A”字模型............................................................................................................................................1 模型2.“X”字模型（“8”字模型）................................................................................................................6 模型3.“AX”字模型（“A8”字模型）.........................................................................................................10 ..................................................................................................................................................16 【知识储备】A字型和8（X）字型的应用难点在于过分割点（将线段分割的点）作平行线构造模型，有的 是直接作平行线，有的是间接作平行线（倍长中线就可以理解为一种间接作平行线），这一点在模考中无 论小题还是大题都是屡见不鲜的。 模型1.“A”字模型 “A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相 等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似。 1关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ①“A”字模型 ②反“A”字模型 ③同向双“A”字模型 ④内接矩形模型 图1 图2 图3 图4 ①“A”字模型 条件：如图1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC ＝＝。 证明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△⇔ABC，∴＝＝。 ②反“A”字模型 条件：如图2，∠AED＝∠B；结论：△ADE∽△ACB ＝＝。 证明:∵∠AED＝∠B，∴∠A=∠A，（公共角） ∴△ADE∽△ACB，∴＝⇔＝。 ③同向双“A”字模型 条件：如图3，EF∥BC； 结论：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC 。 证明:∵EF∥BC，∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∴△A⇔EF∽△ABC， 同理可证：△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，∴＝＝。 ④内接矩形模型 条件：如图4，△ABC的内接矩形DEFG的边EF在BC边上，D、G分别在AB、AC边 上，且AM⊥BC；结论：△ADG∽△ABC，△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM 。 证明:∵DEFG是矩形 ∴DG∥EF，∴∠ADG=∠ABC，∠AGD=∠ACB，∴△A⇔DG∽△ABC， 同理可证：△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM，∴ 。 例1．（2024·吉林长春·三模）如图，在 中，点 、 为边 的三等分点，点 、 在边 上， ， 交 于点 ．若 ，则 的长为 ． 【答案】 2关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【分析】本题主要考查了平行线的性质，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握 平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质是解题的关键．利用平行线的性质得到 ，利 用相似三角形的性质求得 的长度，利用平行线分线段成比例定理求得 ，再利用相似三角形的 判定与性质解答即可得出结论． 【详解】 点 ， 为边 的三等分点， ， ， ， ， ， 点 ， 为边 的三等分点， ， 点 ， 为边 的三等分点， ， ， ， ， ．故答案为： 例2．（2023·广东广州·模拟预测）如图，正方形 内接于 ，点 ， 在 上，点 ， 分 别在 和 边上，且 边上的高 ， ，则正方形 的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，线段的和与差等知识．解题的关键是根据比 例表示出相应线段列方程．根据三角形相似，找到对应线段成比例列方程求解即可． 【详解】解：设正方形 的边长为 ，则 ， ∵四边形 是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得： ，正方形 的面积为 故答案为： 例3．（2024·湖南永州·模拟预测）如图： 中， ， ， ，把边长分别为 ， ， ，… 的n个正方形依次放在 中；第一个正方形 的顶点分别放在 的各边上； 3关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 第二个正方形 的顶点分别放在 的各边上，其他正方形依次放入，则第2024个正方形的 边长 为 ． 【答案】 / 【分析】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，图形类的规律型问题．先由正方形的 性质得到 ， ，则 ， ，即可推出 ，即 ，从而求出 ，同理可证 ， 得到 ，即 ，推出 ，即可得到规律可推出第n个正方形的边长 ，由 此即可得到答案． 【详解】解：∵四边形 是正方形， ∴ ， ，∴ ， ∴ ，即 ，∴ ，∴ ， 同理可证 ， ∴ ，即 ，∴ ，同理可求得 ， 4关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴可以推出第n个正方形的边长为 ，∴第2024个正方形的边长 为 ，故答案为： ． 例4．（2024·山东·中考真题）如图，点 为 的对角线 上一点， ， ，连接 并 延长至点 ，使得 ，连接 ，则 为（ ） A． B．3 C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，平行证明相似等知识点，正确作辅助 线是解题关键． 作辅助线如图，由平行正相似先证 ，再证 ，即可求得结果． 【详解】解：延长 和 ，交于 点， ∵四边形 是平行四边形，∴ ， 即 ，∴ ∴ ，∵ ， ，∴ ，∴ ， 又∵ ， ，∴ ， ∵ ， ，∴ ，∴ ， ∴ ∴ ，∴ ，∴ ；∵ ，∴ ．故选：B． 例5．（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）如图， ，垂足为 ， ，垂足为 ， 与 相交于点 ，(1)判断 与 是相似三角形吗？请说明理由；(2)连接 ，求证： ； (3)若 ， ， ，求 的长． 5关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【答案】(1) ，理由见解析；(2)证明见解析；(3) ． 【分析】（ ）由垂直的定义得到 ，再利用两角对应相等的两个三角形相似即可求解； （ ）根据相似三角形的性质和判定定理即可得到求证；（ ）利用等腰三角形的“三线合一”定理可得 ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出 长，最后代入 ， 解方程即可；本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和相似三角形的判 定和性质的应用，能熟练地运用定理进行推理是解题的关键． 【详解】（1） ，理由如下， ∵ ， ，∴ ， ∵ ， ，∴ ； （2）由（ ）得 ，∴ ，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ，∴ ； （3）∵ ， ，∴ ，∴ ，∴ ，由（ ）得 ， ∵ ，∴ ，∵ ，∴ ，∴ ． 模型2.“X”字模型（“8”字模型） “8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两 个三角形相似． ①“8”字模型 ②反“8”字模型 ③平行双“8”字模型 ④斜双“8”字模型 6关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 图1 图2 图3 图4 ①“8”字模型 条件：如图1，AB∥CD；结论：△AOB∽△COD ＝＝。 证明:∵AB∥CD，∴∠A=∠C，∠B=∠D，∴△AO⇔B∽△COD，∴＝＝。 ②反“8”字模型 条件：如图2，∠A＝∠D；结论：△AOB∽△DOC ＝＝。 证明:∵∠A＝∠D，∴∠AOB=∠DOC，（对顶角）⇔ ∴△AOB∽△DOC，∴＝＝。 ③平行双“8”字模型 条件：如图3，AB∥CD；结论： 。 证明:∵AB∥CD，∴∠A=∠D，∠AEO=∠DFO，∴△AEO∽△DFO， 同理可证：△BEO∽△CFO，△ABO∽△DCO，∴ 。 ④斜双“8”字模型 条件：如图4，∠1＝∠2；结论：△AOD∽△BOC，△AOB∽△DOC 3＝∠4。 证明:∵∠1＝∠2，∠AOD=∠BOC（对顶角）， ∴△AOD⇔∽∠△BOC，∴AO:BO=DO:CO，即 AO:DO=BO:CO； ∵∠AOB=∠DOC（对顶角），∴△AOB∽△DOC，∴∠3＝∠4。 例1．（2024·吉林·中考真题）如图，正方形 的对角线 相交于点O，点E是 的中点，点 F是 上一点．连接 ．若 ，则 的值为 ． 7关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的性质与判定，正方形的性质，先由正方形的性质得到 ， ，再证明 ，进而可证明 ，由相似三角形的性质可得 ，即 ． 【详解】解：∵正方形 的对角线 相交于点O，∴ ， ， ∵点E是 的中点，∴ ，∵ ，∴ ，∴ ， ∴ ，即 ，故答案为： ． 例2.（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图， 与 交于点O， 过点O，交 于点E，交 于点 ， ．（1）求证： ．（2）若 ，求 ． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】(1)证明△OAB∽△ODC，可得出结论；(2) 证得AB//CD，可得 ，则可得结果 . 【详解】证明：（1） ． ， 8关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ． （2） 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，熟悉并灵活运用以上性质是解 题的关键． 例3．（2024·四川眉山·中考真题）如图，菱形 的边长为6， ，过点 作 ，交 的延长线于点 ，连结 分别交 ， 于点 ， ，则 的长为 ． 【答案】 / 【分析】此题考查菱形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识 点．首先根据菱形的性质得到 ， ， ，然后勾股定理求出 ， ，然后证明出 ，得到 ， 求出 ，然后证明出 ，得到 ，求出 ，进而求解即可． 【详解】解： 菱形 的边长为6， ， ， ， ， ， ， ，在 中， ， ， ， ， ， ，在 中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 9关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ．故答案为： ． 例4．（23-24九年级上·安徽蚌埠·期中）阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形 的重心．(1)特例感知：如图 一 ，已知边长为3的等边 的重心为点O，求 与 的面积； (2)性质探究：如图 二 ，已知 的重心为点O，请判断 、 是否都为定值？如果是，分别求 出这两个定值；如果不是，请说明理由； (3)性质应用：如图 三 ，在正方形ABCD中，点E是CD的中点，连接BE交对角线AC于点M． 若正方形ABCD的边长为4，求EM的长度； 若 ，求正方形ABCD的面积 【答案】(1) (2)是定值；是定值；详见解析(3)① ；② 【分析】（1）连接 ，可证 ，可推出 ，即可求解；（2）由（1）中结论 即可求解；（3）①证 即可求解；②根据 求出 即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接 由题意可知： 为 的中位线∴ ∴ ∴ 由题意得： ∴ ∴ 10关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ， ； （2）解：由（1）同理可得 ，是定值；∵ ∴ 故点 到 的距离和点 到 的距离之比也为 的底 相等 故 ，是定值； （3）解： 四边形ABCD是正方形， ， ， ， ， 为CD的中点， ， ， ， ，即 ； ，且 ， ， ， ， ， ， 正方形ABCD的面积为： ． 【点睛】本题以三角形重心为背景，考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点．掌握相关结论 是解题关键． 模型3.“AX”字模型（“A8”字模型） ①一“A”+“8”模型 ②两“A”+“8”模型（反向双“A”字模型） ③四“A”+“8”模型 图1 图2 图3 ①一“A”+“8”模型 条件：如图1，DE∥BC； 11关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 结论：△ADE∽△ABC，△DEF∽△CBF，⇔ 。 证明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝。 ∵DE∥BC，∴∠FDE=∠FCB，∠DEF=∠CBF，∴△DEF∽△CBF，∴ 。 ∴ 。 ②两“A”+“8”模型 条件：如图2，DE∥AF∥BC； 结论：△DAF∽△DBC，△CAF∽△CED，⇔ 。 证明:∵AF∥BC，∴∠DAF=∠B，∠DFA=∠DCB，∴△DAF∽△DBC，∴ 。 ∵DE∥AF，∴∠CAF=∠E，∠CFA=∠CDE，∴△CAF∽△CED，∴ 。 ，即 ，故 。 两式相加得到： ③四“A”+“8”模型3 条件：如图3，DE∥GF∥BC；结论：AF=AG， 。 证明:同②中的证法，易证： ， ， ∴ ，即AF=AG，故 。 例1．（2022·山东东营·中考真题）如图，点D为 边 上任一点， 交 于点E，连接 相交于点F，则下列等式中不成立的是（ ） 12关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例定理即可判断A，根据相似三角形的性质即可判断B、C、D． 【详解】解：∵ ，∴ ，△DEF∽△CBF，△ADE∽△ABC，故A不符合题意； ∴ ， ，故B不符合题意，C符合题意；∴ ，故D不符合题意；故选 C． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例定理，熟知相似三角形的性质与 判定，平行线分线段成比例定理是解题的关键． 例2．（2023·安徽·三模）如图，已知 、 ， 与 相交于点 ，作 于点 ， 点 是 的中点， 于点 ，交 于点 ，若 ， ，则 值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】证明 ， ， ， ，求出 ，求出 ， ，得出 即可得出答案． 【详解】解： 、 ， ，∴ ， ， ， ∴ ， ，∴ ， ，∴ ， ，∴ ， 点 是 的中点， ， ， ， ∴ ， ，∴ ，∴ ，故选： ． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的 13关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 判定，求出 ． 例3．（2024·湖北·模拟预测）（1）【问题背景】如图1， ， 与 相交于点E，点F在 上．求证： ； 小雅同学的想法是将结论转化为 来证明，请你按照小雅的思路完成原题的证明过程． （2）【类比探究】如图2， ， ， ， 与 相交于点G，点H在 上， ．求证： ． （3）【拓展运用】如图3，在 四边形 中， ，连接， 交于点M，过点M作 ， 交 于点E，交 于点F，连接 交于点N，过点N作 ，交 于点G，交 于点 H，若 ， ，直接写出 的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】（1）由 ，可证 ，则 ，同理可得： ，则 ，两边同时除以 ，可得 ． （2）由 ， ， ， ，可得 ， ，证明 ，则 ，同理， ，则 ，两 边同时除以 得， ，进而可得 ；（3）由（1）可知， 14关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ， ，则 ，解得， ，则 ，计算求解即可． 【详解】（1）证明：∵ ，∴ ，∴ ．同理可得： ， ∴ ，两边同时除以 ，得 ． （2）证明：∵ ， ， ， ，∴ ， ， ∵ ，∴ ，∴ ，同理， ， ∴ ，∴ ， 两边同时除以 得， ，∴ ； （3）解：由（1）可知， ， ， ∴ ，解得， ，∴ ，解得， ，∴ ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等式的性质，平行线的判定．解题的关键在于明确相似三 角形的判定条件． 例4．（2024·江苏泰州·三模）综合与实践 在初中物理学中，凸透镜成像原理与相似三角形有密切的联系．请耐心阅读以下材料： 【光学模型】如图1，通过凸透镜光心 的光线 ，其传播方向不变，经过焦点 的光线 经凸透镜 折射后平行于主光轴 沿 射出，与光线 交于点 ，过点 作主光轴 的垂线段 ，垂足为 ，即可得出物体 所成的像 ． 15关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【模型验证】设焦点 到光心的距离 称为焦距，记为 ；物体 到光心的距离 称为物距，记为 ； 像 到光心的距离 称为像距，记为 ． 已知 ， ，当 时，求证： ． 证明：∵ ， ，∴ 又∵ ，∴ ， ∴ ，即 ，同理可得 ， ∴ ，即 ① ，∴ ② ， ∴ ，∴ ，即 ． 请结合上述材料，解决以下问题： (1)请补充上述证明过程中①②所缺的内容(用含 的代数式表示)；(2)若该凸透镜 的焦距为20 ，物 体距凸透镜 的距离为30 ，物高为10 ，则物体 所成的像 的高度为__________ ； (3)如图2，由物理学知识知“经过点 且平行于主光轴 的光线 经凸透镜 折射后经过点 ”，小 明在做凸透镜成像实验时，不断改变物距发现光线 始终经过主光轴 上一定点．若该凸透镜 的焦 距为20 ，物高为10 ，试说明这一物理现象． 【答案】(1)① ② (2)20(3)见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，理解题意，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． （1）分别证明 ， ，由相似三角形的性质可得 ，整理可得 ，等号两边同时除以 ，即可获得答案； （2）结合（1），首先解得 ，结合 ，代入数值求解即可； （3）设 与 交于点 ，证明四边形 为矩形，易得 ，再证明 ，由相似 16关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 三角形的性质可得 ，结合（1）可得 ，等号两边同时加1，整理可得 ，结合 可得出 ，即可说明这一物理现象． 【详解】（1）证明：∵ ， ，∴ 又∵ ，∴ ，∴ ，即 ， 同理可得 ，∴ ，即 ，∴ ， ∴ ，∴ ，即 ．故答案为：① ；② ； （2）由（1）可知， ， ， 当 ， ， 时，可得 ，解得 ， ∴可有 ，解得 ，即物体 所成的像 的高度为 ．故答案为：20； （3）如下图，设 与 交于点 ，根据题意， ， ∵ ，∴ ， ∴四边形 为矩形，∴ ， ∵ ， ，∴ ， ∴ ，即 ，由（1）可知， ，∴ ， ∴ ，∴ ，即 ，∴ ， 17关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵ ，∴ ， ∴小明在做凸透镜成像实验时，不断改变物距，光线 始终经过主光轴 上一定点，该定点透镜为焦 点． 1．（2024·浙江温州·三模）如图，在 中， 平分 分别交 ， ， 延长线于点 ， ， ，记 与 的面积分别为 ， ，若 ，则 的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由平行四边形的性质结合角平分线的定义得出 ，推出 ，设 ， ，则 ， ， ，证明 ，得出 ，证 明 ，得出 ，推出 ， ，从而得出 ， ，求出 得到 ，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形 是平行四边形，∴ ， ，∴ ， ∵ 平分 ，∴ ，∴ ，∴ ， ∵ ，∴设 ， ，则 ， ，∴ ， 18关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵ ，∴ ，∴ ，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ，∴ ， ， ∴ ， ，∴ ， ∴ ，∴ ，即 ，故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定 与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，正确表示出三角形之间的面积关系是解此题的关键． 2．（2024·安徽合肥·三模）如图，已知四边形 是平行四边形，点 是AD的中点，连接 ， 相 交于点 ，过 作AD的平行线交AB于点 ，若 ，则 的值是（ ） A．6 B．5 C．8 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，形似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质即 可得解，由四边形 是平行四边形，得 ，在证明 ， ，利用相似三角形的性质即可得解． 【详解】解：∵ 是AD的中点，∴ ， ∵四边形 是平行四边形，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ， ， ∴ ， ，∴ ，解得 ，故选： ． 3．（2024·四川成都·中考真题）如图，在 中，按以下步骤作图：①以点 为圆心，以适当长为半 径作弧，分别交 ， 于点 ， ；②分别以 ， 为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧在 内交于点 ；③作射线 ，交 于点 ，交 延长线于点 ．若 ， ，下列结论 19关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的尺规作图、平行四边形的性质、等腰三角形的判定以及相似性质与判定的综 合．先由作图得到 为 的角平分，利用平行线证明 ，从而得到 ， 再利用平行四边形的性质得到 ，再证明 ，分别求出 ， ，则各选项可以判定． 【详解】解：由作图可知， 为 的角平分，∴ ，故A正确； ∵四边形 为平行四边形，∴ ， ∵ ∴ ，∴ ， ∴ ，∴ ，故B正确； ∵ ，∴ ，∵ ，∴ ， ∴ ，∴ ，∴ ， ，故D错误； ∵ ，∴ ，故C正确，故选：D． 4．（2024九年级下·广东·专题练习）如图，在 中， ，高 ，正方形 一边在 上，点E，F分别在 ， 上， 交 于点N，则 的长为（ ） A．15 B．20 C．25 D．30 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，证明相似三角形是解题的关键．设正方形 的边长 ,先证明四边形 是矩形，则 ，根据正方形的性质得出 ， 20关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 推出 ，根据相似三角形的性质计算即可得解． 【详解】解：设正方形 的边长 ， ∵四边形 是正方形， ， ， ， ∵ 是 的高， ，∴四边形 是矩形， ， ， （相似三角形对应边上的高的比等于相似比）， ， ， ，解得： ， ．故选： B． 5．（2024·云南楚雄·模拟预测）如图，在 中，E线段 上一点，且 ，过点C作 ，交 的延长线于点D．若 的面积为 ，则 的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形判定与性质．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．由 ，得 ，则 ，证明 ，则 ，即 ，计算求解即可． 【详解】解：∵ ，∴ ， ∵ ，∴ ，∵ ，∴ ， ，∴ ， ∴ ，即 ，解得， ，∴ 的面积为 ，故选：C． 21关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 6．（2024·浙江·模拟预测）如图，矩形 中， 是 上的点，连接 交对角线 于点 ，若 ， ，则 的值为（ ） A． B． C．2 D．1．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，矩形的性质，解直角三角形，先由矩形的性质得到 ， ，再解直角三角形得到 ， ，证明 ，即可 得到 ． 【详解】解：设 ， 四边形 是矩形， ， ， ，∴ ， ， ， ， ， ，∴ ， ，故选： ． 7．（2024·河南·中考真题）如图，在 中，对角线 ， 相交于点O，点E为 的中点， 交 于点F．若 ，则 的长为（ ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识，利用平行四边形的性质、线段 中点定义可得出 ，证明 ，利用相似三角形的性质求解即可． 22关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【详解】解∶∵四边形 是平行四边形，∴ ，∵点E为 的中点，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ，即 ，∴ ，故选：B． 8．（2024·山东威海·中考真题）如图，在 中，对角线 ， 交于点 ，点 在 上，点 在 上，连接 ， ， ， 交 于点 ．下列结论错误的是（ ） A．若 ，则 B．若 ， ， ，则 C．若 ， ，则 D．若 ， ，则 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，菱形的性质与判定，垂直平分线的性质，全等三角形的性 质与判定；根据相似三角形的性质与判定即可判断A，根据题意可得四边形 是 的角平分线，进 而判断四边形 是菱形，证明 可得 则 垂直平分 ，即可判断B选项， 证明四边形 是菱形，即可判断C选项，D选项给的条件，若加上 ，则成立，据此，即可求 解． 【详解】解：∵四边形 是平行四边形，∴ A. 若 ，即 ，又 ， ∴ ∴ ∴ ，故A选项正确， B. 若 ， ， ，∴ 是 的角平分线，∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴四边形 是菱形，∴ 在 中， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ，故B选项正确， C. ∵ ，∴ ∵ ，∴ ∴ ∴ ∴四边形 是菱形，∴ ， 23关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 又∵ ∴ ，∵ ，∴ 垂直平分 ， ∴ ∴ ，故C选项正确； D. 若 ，则四边形 是菱形，由 ，且 时，可得 垂直平分 ， ∵ ∴ ，故D选项不正确故选：D． 9．（2024·陕西西安·一模）如图，在 中，D，M是边 的三等分点，N，E是边 的三等分点． 连接 并延长与 的延长线相交于点P．若 ，则线段 的长为（ ） A．5 B．7 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，中位线．熟练掌握相似三角形 的判定与性质，全等三角形的判定与性质，中位线是解题的关键． 证明 ，则 ，证明 ，则 ， 是 的中位线，根 据 ，求解作答即可． 【详解】解：由题意知， ， ， ∵ ， ，∴ ， ∴ ，∴ ，∴ ， ， 又∵ ，∴ ，∴ ， ∴ 是 的中位线，∴ ，故选：D． 10．（2024·江苏南京·一模）如图， ， 分别垂直 ，垂足分别为 ， ，连接 ， 交于点 ， 作 ，垂足为 ．设 ， ， ，若 ，则下列等式：① ；② ；③ ，其中一定成立的是（ ） 24关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】此题重点考查相似三角形的判定与性质、等式的性质、乘法公式等知识．由 ， ， ， ，则 ， ，所以 ， ，则 ，所以 ，则 ， ，由 ，得 ，所以 ， 则 ，可判断①符合题意；由 得 ，因为 不一定等于 ，所以 与 不 一定相等，可判断②不符合题意；由 ，且 ，得 ，可判断③符合题意，于是得到 问题的答案． 【详解】解： ， ， ， ， ， ， ∴ ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故①符合题意； 由 得 ， 与 不一定相等， 不一定等于 ， 与 不一定相等，故②不符合题意； ，且 ， ，故③符合题意，故选：B． 11．（2024·陕西·中考真题）如图，正方形 的顶点G在正方形 的边 上， 与 交于点 H，若 ， ，则 的长为（ ） 25关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质．证明 ，利用相似三角形 的性质列式计算即可求解． 【详解】解：∵正方形 ， ，∴ ， ∵正方形 ， ，∴ ，∴ ，由题意得 ， ∴ ，∴ ，即 ，解得 ，故选：B． 12．（2024·江苏苏州·中考真题）如图， ， ， ， ，点D，E分别在 边上， ，连接 ，将 沿 翻折，得到 ，连接 ， ．若 的 面积是 面积的2倍，则 ． 【答案】 / 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、折叠性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的 判定与性质、三角形的面积公式等知识，是综合性强的填空压轴题，熟练掌握相关知识的联系与运用是解 答的关键． 设 ， ，根据折叠性质得 ， ，过E作 于H，设 与 相交于M，证明 得到 ，进而得到 ， ，证明 是 等腰直角三角形得到 ，可得 ，证明 得到 ，则 ，根据三角形的面积公式结合已知可得 26关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ，然后解一元二次方程求解x值即可． 【详解】解：∵ ，∴设 ， ， ∵ 沿 翻折，得到 ，∴ ， ， 过E作 于H，设 与 相交于M， 则 ，又 ，∴ ，∴ ， ∵ ， ， ，∴ ， ∴ ， ，则 ，∴ 是等腰直角三角形， ∴ ，则 ，∴ ， 在 和 中， ，∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ， ∵ 的面积是 面积的2倍，∴ ，则 ， 解得 ， （舍去），即 ，故答案为： ． 27关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 13．（2024·云南·中考真题）如图， 与 交于点 ，且 ．若 ，则 ． 【答案】 /0.5 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，证明 ，根据相似三角形周长之比等于相似比， 即可解题． 【详解】解： ， ， ，故答案为： ． 14．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，在平行四边形 中， ，E、F分别是边 上的动点，且 ．当 的值最小时，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，相似三角形的判定和性质．延长 ，截取 ，连接 ， ，证明 ，得出 ，说明当 最小时， 最小，根据两点之间线段最短，得出当A、E、G三点共线时， 最小，即 最小， 再证明 ，根据相似三角形的性质，求出结果即可． 【详解】解：延长 ，截取 ，连接 ， ，如图所示： 28关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵四边形 为平行四边形，∴ ， ， ，∴ ， ∵ ， ，∴ ，∴ ，∴ ， ∴当 最小时， 最小，∵两点之间线段最短， ∴当A、E、G三点共线时， 最小，即 最小，且最小值为 的长， ∵ ，∴ ，∴ ，即 ，解得 ．故答案为： ． 15．（23-24九年级上·河南驻马店·期中）如图， ，点 在 上， 与 交于点 ， 若 ，则 ． 【答案】 /0.25 【分析】证明 ，据相似三角形的性质用 表示出 ，同理用 表示出 ，计算即可． 【详解】解： ， ， ， ， ， ， ， ， ，故答案为： ． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 16．（2023·吉林长春·统考三模）【阅读理解】构造“平行八字型”全等三角形模型是证明线段相等的一 种方法，我们常用这种方法证明线段的中点问题．例如：如图， 是 边 上一点， 是 的中点， 过点 作 ，交 的延长线于点 ，则易证 是线段 的中点． 【经验运用】请运用上述阅读材料中所积累的经验和方法解决下列问题． （1）如图1，在正方形 中，点 在 上，点 在 的延长线上，且满足 ，连接 交 29关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 于点 ．求证：① 是 的中点；②CG与BE之间的数量关系是：____________________________； 【拓展延伸】（2）如图2，在矩形 中， ，点 在 上，点 在 的延长线上，且满足 ，连接 交 于点 ．探究 和 之间的数量关系是：____________________________； 【答案】（1）①见解析② （2） 【分析】（1）①过点 作 交 于点 ，证明 ，得出 即可； ②由等腰直角三角形的性质得出 ，由平行线得出 ，证出 ，由全等三角形 的性质得出 ，即可得出结论；（2）作 交 于点 ，由三角函数证出 ，得 出 ，证 ，得出 ， ，设 ，则 ，求出 ，则 ，得出 ，即可得出结果． 【详解】解：证明：①过点 作 交 于点 ，如图1所示： 四边形 是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， 是 的中点； ②在 中， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 30关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ， ， ， ， ， ，即 ． （2）解： 和 之间的数量关系为： ；理由如下： 过点 作 交 于点 ，如图2所示： 四边形 是矩形， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， ， 设 ，则 ，在 中， ， ， ，即 ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、矩形的性质、勾股定理、三角函数、全等三角 形的判定与性质、平行线的性质、相似三角形的判定与性质等知识；作辅助线构建全等三角形与相似三角 形是解题的关键． 17．（2024·辽宁大连·二模）【问题初探】（1）在数学活动课上，李老师给出如下问题： 如图1，在 中，点 是 的中点，点 是 的一个三等分点，且 ，连接 ， 交于 点 ，求证： ． ①如图2，小鹏同学利用“三角形中位线的性质”的解题经验，取 的中点 ，连接 ，再通过“全等 三角形的性质”解决问题；②如图3，小亮同学利用“三角形相似的性质”的解题经验，过点 作 ，交 的延长线于点 ，再通过“全等三角形的性质”解决问题． 31关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】（2）李老师发现之前两名同学都运用了数学的转化思想，将证明三角形线段的关系转化为 我们熟悉的角度去理解．为了帮助同学们更好地感悟转化思想，李老师又提出了一个问题，请你解答：如 图4，在 中，点 是 的中点，点 ， 是 的三等分点， ， 与 分别交于点 ， ， 求 的值． 【学以致用】（3）如图5，在 中， ，在射线 上取点 ，使 ，连接 ，在 上取点 ，射线 ， 相交于点 ，当 时，求 的值． 【答案】（1）详见解析（2） （3） 【分析】（1）选择小鹏同学的解题思路．如图1，取 的中点 ，连接 ．得出 是 的中位线， 根据中位线性质定理得出 ， ，根据平行线性质得出 ， ， 再结合 ，得出 ，证明 ，根据全等三角形的性质即可证明 ． 选择小亮同学的解题思路．如图2，过点 作 ，交 的延长线于点 ，根据平行线性质得出 ， ，证明 ，根据相似三角形的性质得出 ．再结合 ，证出 ，根据 ，得出 ．证明 ，根据全等三角形的 性质即可证明 ．（2）如图3，连接 ．根据点 ， 是 的三等分点，得出 ． 由（1）可知 ，即可得出 是 的中位线，根据中位线的性质得出 ．再证 是 的中位线，根据中位线的性质得出 ， ，证明 ，根据 相似三角形的性质即可得出 ．（3）如图4，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，过点 作 的延长线于点 ．根据等腰三角形的性质得出 ， ．设 ，得出 ，即可得 ，证明 ，得出 32关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ，设 ，则 ，再证明 ，根据相似三角形的性质 得出 ，设 ，即可得出 ，再证明 ，即可得出 ， 列方程即可得出 ， ， ．根据 ，即可得出 ． 【详解】（1）选择小鹏同学的解题思路． 证明：如图1，取 的中点 ，连接 ．∵点 是 的中点，∴ 是 的中位线， ∴ ， ，∴ ， ． ∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，∴ ． 选择小亮同学的解题思路． 证明：如图2，过点 作 ，交 的延长线于点 ， ∴ ， ，∴ ，∴ ． ∵ ，∴ ，∴ ．∵点 是 的中点，∴ ，∴ ． 又∵ ，∴ ，∴ ． （2）解：如图3，连接 ．∵点 ， 是 的三等分点，∴ ． 由（1）可知 ，∴ 是 的中位线，∴ ． ∵点 是 的中点，∴ ，∴ 是 的中位线，∴ ， ， ∴ ， ， ，∴ ，∴ ． （3）解：如图4，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，过点 作 的延长线 于点 ．∵ ， ，∴ ， ． 设 ，∵ ，∴ ，∴ ． 33关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵ ， ，∴ ． 又∵ ，∴ ，∴ ． 设 ，则 ．∵ ，∴ ． 又∵ ，∴ ，∴ ． 设 ，∴ ，∴ ． ∵ ， ，∴ ， ∴ ，∴ ，∴ ，∴ ，∴ ，∴ ， ． ∵ ，∴ ，∴ ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，三角形的中位线的判定与性质，相似 三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，本题是阅读型题目，利用题干中的方法构造“A”型图或“8”字 形图解答是解题的关键． 18．（2023·湖北随州·模拟预测）[初步尝试]（1）如图①，在三角形纸片 中， ，将 折叠，使点B与点C重合，折痕为 ，则 与 的数量关系为________； [思考说理]（2）如图②，在三角形纸片 中， ，将 折叠，使点B与点C重 合，折痕为 ，求 的值； [拓展延伸]（3）如图③，在三角形纸片 中， ，将 沿过顶点C的 直线折叠，使点B落在边 上的点 处，折痕为 ．①求线段 的长；②若点O是边 的中点， 点P为线段 上的一个动点，将 沿 折叠得到 点A的对应点为点 与 交于点 F，求 的取值范围． 【答案】（1） ；（2） ；（3）① ；② 【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．（2）利用相似三角形的性质求出 ， 34关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 即可．（3）①证明 ，推出 ，由此即可解决问题．②设 ．证明 ，推出 ，因为 ，推出 ，判断出 的取值范围，即可解决 问题． 【详解】解：（1）如图①中， 折叠，使点 与点 重合，折痕为 ， 垂直平分线段 ， ， ， ， ， ．故答案为 ． （2）如图②中， ， ，由题意 垂直平分线段 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （3）①如图③中，由折叠的性质可知， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． ②如图③ 中，设 ． ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 当 时， ．综上所述， ． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，等腰三角形的判定 和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题． 19．（2024·江苏泰州·二模）图算法是根据几何原理，将某一已知函数关系式中的各变量，分别编成有刻 35关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 度的直线（或曲线），并把它们按一定的规律排列在一起的一种图形，可以用来解函数式中的未知量，这 样的图形叫诺模图．设有两只电阻， 千欧， 千欧，问并联后的总电阻值R是多少千欧？ 我们可以利用公式求得R的值，也可以设计一种图算法（如图1）直接得出结果：我们先来画出一个 的角，再画一条角平分线，在角的两边及角平分线上用同样的单位长度进行刻度，这样就制好了一张算图． 我们只要把角的两边刻着6和4的两点连成一条直线，这条直线与角平分线的交点的刻度值就是并联后的 总电阻值R． (1)① 千欧， 千欧，计算 千欧；②如图1，已知 ， 是 的角平 分线， ， ， ．用你所学的几何知识说明： ； (2)如图2，已知 ， 是 的角平分线， ， ， ．此时关系式可以 写成 ，其中 的常数，求m的值； (3)如图3，若 ，（2）中其余条件不变，请探索 ， ，R之间的关系．（用含 的代数式表 示） 【答案】(1)① ；②见解析(2) (3) 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形，作出正确的辅 助线是解题的关键．（1）①根据并联电路电阻公式，即可解答； ②过点 作 的平行线，交 于点 ，证明 为等边三角形，利用相似三角形的性质，即可解答； （2）过点 作 的平行线，交 于点 ，得到 与 的关系，利用相似三角形的性质，即可解答； 36关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 （3）过点 作 的平行线，交 于点 ，过点 作 ，交 于点 ，得到求得 的长，利 用相似三角形的性质，即可解答． 【详解】（1）解：①根据并联电路电阻公式可得 ，即 千欧，故答案： 证明：②如图1，过点 作 的平行线，交 于点 ， ， 是 的角平分线， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ，即 ，可得 ， ,故 ； （2）解：如图2，过点 作 的平行线，交 于点 ， 同上述原理可得 ， ， ， 可得 ，即 ，整理后可得 ，即 ， ； （3）解：过点 作 的平行线，交 于点 ，过点 作 ，交 于点 ， 同上述原理可得 ， ， ， ，可得 ，即 ， 37关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 整理后可得 ，即 ． 20．（2024·湖北武汉·中考真题）问题背景：如图（1），在矩形 中，点 ， 分别是 ， 的 中点，连接 ， ，求证： ． 问题探究：如图（2），在四边形 中， ， ，点 是 的中点，点 在边 上， ， 与 交于点 ，求证： ． 问题拓展：如图（3），在“问题探究”的条件下，连接 ， ， ，直接写出 的值． 【答案】问题背景：见解析；问题探究：见解析；问题拓展： 【分析】问题背景：根据矩形的性质可得 ，根据点 ， 分别是 ， 的 中点，可得 ，即可得证； 问题探究：取 的中点 ，连接 ，得 是 的中位线，根据已知条件可得 平行且等于 ，进而可得 是平行四边形，得 ，则 ，根据直角三角形中斜边上的中线 等于斜边的一半得出 ，进而可得 ，等量代换可得 ，等角对等边，即 可得证； 问题拓展：过点 作 ，则四边形 是矩形，连接 ，根据已知以及勾股定理得出 ；根据（2）的结论结合已知可得 ，证明 垂直平分 ，进而得出 ， 证明 ，进而证明 ， 进而根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】问题背景：∵四边形 是矩形，∴ ， ∵ ， 分别是 ， 的中点∴ ，即 ，∴ ； 问题探究：如图所示，取 的中点 ，连接 ， 38关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵ 是 的中点， 是 的中点，∴ ， 又∵ ，∴ ，∵ ，∴ ∴四边形 是平行四边形，∴ ∴ 又∵ ， 是 的中点，∴ ∴ ∴ ，∴ ； 问题拓展：如图所示，过点 作 ，则四边形 是矩形，连接 ， ∵ ， ∴ ，设 ，则 ， 在 中， ，∵ ，由（2） ∴ ， 又∵ 是 的中点，∴ 垂直平分 ∴ ， ， 在 中， ∴ 设 ，则 ∴ ， 又∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，直角三角形中斜 边上的中线等于斜边的一半，全等三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 39关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 40