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第12讲 新高考新结构命题下的
解三角形解答题综合训练
（10 类核心考点精讲精练）
在新课标、新教材和新高考的“三新”背景下，高考改革又一次具有深度的向前推进。这不仅仅是一
场考试形式的变革，更是对教育模式和教育理念的全面革新。
当前的高考试题设计，以“三维”减量增质为核心理念，力求在减少题目数量的同时，提升题目的质
量和考查的深度。这具体体现在以下三个方面：
（1）三考
题目设计着重考查学生的知识主干、学习能力和学科素养，确保试题能够全面、客观地反映学生的实
际水平。
（2）三重
强调对学生思维深度、创新精神和实际应用能力的考查，鼓励学生不拘泥于传统模式，展现个人的独
特见解和创造力。
（3）三突出
试题特别突出对学生思维过程、思维方法和创新能力的考查，通过精心设计的题目，引导学生深入思
考和探索，培养逻辑思维和创新能力。
面对新高考新结构试卷的5个解答题，每个题目的考查焦点皆充满变数，无法提前预知。解三角形版
块作为一个重要的考查领域，其身影可能悄然出现在第 15题中，作为一道13分的题目，难度相对较为适
中，易于学生入手。然而，同样不能忽视的是，解三角形版块也可能被置于第 16、17题这样的中等大题
中，此时的分值将提升至15分，挑战学生的解题能力和思维深度，难度自然相应加大。
面对如此多变的命题趋势，教师在教学备考过程中必须与时俱进。不仅要深入掌握不同题目位置可能
涉及的知识点及其命题方式，更要能够灵活应对，根据试题的实际情况调整教学策略。本文基于新高考新
结构试卷的特点，结合具体的导数解答题实例，旨在为广大师生提供一份详尽的导数解答题综合训练指
南，以期在新高考中取得更好的成绩。考点一、 面积及最值
1．（2024·河南焦作·模拟预测）记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知点 为线段
上的一点，且 ， ， .
(1)求 的值；
(2)求 面积的最大值.
2．（2024·贵州铜仁·模拟预测）在 中，已知 ， ， ．
(1)求角 ；
(2)若 为锐角三角形，且 ，求 的面积.
3．（2024·全国·模拟预测）在 中， .
(1)若 ，求 ；
(2)若 ，求 面积的最大值.
4．（2024·全国·模拟预测）在 中，内角 的对边分别为 ．已知
．(1)求 ．
(2)若点 为边 的中点，且 ，求 面积的最大值．
5．（2024·全国·模拟预测）在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 .
(1)若 ， ，求b；
(2)若 ，求 的面积S的最大值.
考点二、 周长及最值
1．（23-24高三·河北沧州·模拟） 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， ．
(1)求角 的大小；
(2)若 ， 的面积为 ，求 的周长．
2．（2024·河南新乡·二模）已知 的内角 的对边分别为 ．
(1)求 的值；
(2)若 的面积为 ，且 ，求 的周长．
3．（2024·陕西·模拟预测） 的内角 的对边分别为 ．
(1)求 ；
(2)若 ，求 的周长最小值．
4．（2024·全国·模拟预测）已知函数 .
(1)求 的最小正周期与图象的对称中心；
(2)在 中， ，求 周长的取值范围.
5．（2024·陕西汉中·二模）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，请从下列条件中选择一个
条件作答：（注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分．）
①记 的面积为S，且 ；②已知 ．
(1)求角A的大小；
(2)若 为锐角三角形，且 ，求 周长的取值范围．
考点三、 边长、线段及最值1．（2024·陕西西安·模拟预测）在平面四边形 中， ， ， ， .
(1)若 ，求 的面积.
(2)求 的最大值.
2．（2024·全国·模拟预测）在锐角 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
.
(1)证明： ；
(2)求 的取值范围.
3．（2024·江苏扬州·模拟预测）记 的内角 的对边分别为 ，若 ，
且 的面积为 .
(1)求角 ；
(2)若 ，求 的最小值.
4．（2024·江西鹰潭·二模） 的内角 的对边分别为 ， ， ，满足 .
(1)求证： ；
(2)求 的最小值.
5．（2024·全国·一模）已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且AD是BC边上的高．
．
(1)求角A；
(2)若 ， ，求AD．
6．（2024·陕西西安·模拟预测）在 中，角 的对边分别为 ，已知
，
(1)求角 的大小；
(2)若 的角平分线交 于点 ，且 ，求 的最小值，
考点 四 、 三角函数值及最值
1．（2024·上海·三模）已知在 中，角 所对的边分别为 ，且满足
．(1)若 ，求 的面积 ；
(2)求 的最大值，并求其取得最大值时 的值．
2．（2024·全国·模拟预测）设 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若
．
(1)求 的值；
(2)若 为锐角三角形，求 的取值范围．
3．（2024·广东广州·模拟预测）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
且 .
(1)求证： ；
(2)求 的取值范围.
4．（23-24高三上·重庆·阶段练习）在 中，内角 所对的边分别为 ，满足
(1)求证： ；
(2)若 为锐角三角形，求 的最大值．
5．（23-24高三上·重庆·阶段练习）在 中，内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，已知
．
(1)若 ， ，求 的面积；
(2)求 的最小值，并求出此时 的大小．
考点 五 、 内切圆、外接圆半径问题
1．（22-23高一下·浙江·阶段练习）在 中，角 的对边分别为 ，在以下条件中选择一个条
件：① ；② ；③ ．求解以下问题．
（选择多个条件的，以所选的第一个计分）
(1)求角 ；
(2)若 ，且 ，求 的内切圆半径．
2．（2024·全国·模拟预测）已知 中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，
．
(1)求角 的大小；(2)若 ， 外接圆的半径为 ，内切圆半径为 ，求 的最小值．
2．3．（2022·湖北·三模）在 中，内角 所对的边分别为 ， ， ，已知 ，
．
(1)求角 的大小；
(2)求 外接圆半径的最小值.
4．4．（2024·吉林·二模）已知 的三个内角 的对边分别为 的外接圆半径为 ，
且 .
(1)求 ;
(2)求 的内切圆半径 的取值范围
5．（2023·广西南宁·一模）在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ，且
．
(1)求 的外接圆半径R；
(2)求 内切圆半径r的取值范围．
6．（2023·山东·一模）如图，平面四边形 中， ， ， ． 的内角
的对边分别为 ，且满足 ．
(1)判断四边形 是否有外接圆？若有，求其半径 ；若无，说明理由；
(2)求 内切圆半径 的取值范围．
考点 六 、 中线、角平分线、高线问题
1．（2024·四川成都·三模）在 中， ．
(1)求 的长；
(2)求 边上的高．
2．（23-24高三上·河北保定·阶段练习）记 的内角 的对边分别为 ，面积为 ，且 ．
(1)求 的外接圆的半径；(2)若 ，且 ，求 边上的高．
3．（23-24高三上·黑龙江·期中）在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，
.
(1)求角 ；
(2)若 ，求 边上高的最大值.
4．（2023·广东广州·模拟预测）在锐角 中，角 所对的边分别为 ，且
.
(1)求角 的大小；
(2)若边 ，边 的中点为 ，求中线 长的取值范围.
5．（2023·浙江·模拟预测）在 中，角 的对边分别为 且
，
(1)求 ；
(2)求 边上中线长的取值范围．
6．（2023·安徽马鞍山·模拟预测）在① ；② ；
③ ，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.在 中，
内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且满足________.
(1)求 ；
(2)若 的面积为 ， 为 的中点，求 的最小值.
7．（23-24高一下·辽宁·期中）在 中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且 ，
．
(1)若 ，求边 上的角平分线 长；
(2)若 为锐角三角形，求边 上的中线 的取值范围．
8．（23-24高一下·四川成都·期中）已知 的内角 ， ， 的对边为 ， ， ，且
，
(1)求 ；
(2)若 的面积为 ；
①已知 为 的中点，且 ，求 底边 上中线 的长：
②求内角 的角平分线 长的最大值．考点 七 、 三角形中的证明问题
1．（2024·内蒙古包头·一模）如图，在 中， ，D是斜边 上的一点， ，
.
(1)若 ，求 和 ；
(2)若 ，证明： .
2．（2022·广东·二模）如图，已知△ABC内有一点P，满足 ．
(1)证明： ．
(2)若 ， ，求PC．
3．（22-23高一下·北京·期中）在 ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 .
△
(1)求角C的大小；
(2)CD为 ACB的内角平分线，且CD与直线AB交于点D.
△
（i）求证: ；
（ii）若 ， ，求CD的长.
4．（2024·全国·模拟预测）在 中，点D，E都是边BC上且与B，C不重合的点，且点D在B，E之
间， ．
(1)求证： ．
(2)若 ，求证： ．
5．（2022·湖北·模拟预测）已知 的外心为 ， 为线段 上的两点，且 恰为 中点.
(1)证明：(2)若 ， ，求 的最大值.
6．（22-23高一下·山东枣庄·期中） 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知
.
(1)求 的值；
(2)若BD是 的角平分线.
（i）证明： ；
（ii）若 ，求 的最大值.
考点 八 、 图形类综合
1．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知平面四边形ABDC中，对角线CB为钝角 的平分线，CB与
AD相交于点O， ， ， .
(1)求CO的长；
(2)若 ，求 的面积.
2．（21-22高三上·广东珠海·期末）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
．
(1)求B；
(2)已知 ，D为边 上的一点，若 ， ，求 的长．
3．（23-24高三上·江苏扬州·阶段练习）如图，在 中，角A，B，C所对的边分别为 ， ， ，且
．(1)求 ；
(2)已知 ， 为边 上的一点，若 ， ，求 的长．
4．如图，在 中， ， ， 为 内一点， ．
(1)若 ，求 ；
(2)若 ，求 的面积 ．
5．（2023·河南信阳·模拟预测）在 中， ， 的面积为 ， 为 的中点，
于点 于点 .
(1)求 的面积；
(2)若 ，求 的值.
考点 九 、 参数类问题
1．（2024·全国·模拟预测）在锐角三角形 中，角 所对的边分别为 ， ，且
．
(1)求 ；
(2)若 ，且 ，求实数 的取值范围．2．（2023·全国·模拟预测）已知在 中，角 所对的边分别为 ，且
.
(1)求 的值；
(2)若 ，且 ，求实数 的取值范围.
3．（2023·湖北咸宁·模拟预测）在 中，角 所对的边分别为 ，满足 ， .
(1)证明： 外接圆的半径为 ；
(2)若 恒成立，求实数 的取值范围.
4．（2024·江苏苏州·三模）在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 .
(1)若 ，求 的面积;
(2)若 ，求使得 恒成立时，实数 的最小值.
考点 十 、 解三角形与其他知识点杂糅问题
1．（2022·陕西宝鸡·模拟预测）已知 ， ，
(1)求 的单调递增区间；
(2)设 的内角 所对的边分别为 ，若 ，且 ，求 的取值范围.
2．（2022·山东淄博·模拟预测）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足
．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的最小值．
3．（2022·江苏南通·模拟预测）已知圆的内接四边形ABCD中， ，BC=2， ．
(1)求四边形ABCD的面积；
(2)设边AB，CD的中点分别为E，F，求 的值．
4．（2022·浙江杭州·模拟预测） 的内角 的对边分别为 ,已知 ,
(1)若 为 边上一点, ,且 ,求 ;
(2)若 为平面上一点, ,其中 ,求 的最小值.5．（22-23高三上·四川内江·阶段练习）已知函数 ．
(1)求 的最小正周期和单调增区间；
(2)在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ．若 ， ，求 的面积的最大
值．
6．（22-23高三上·重庆南岸·阶段练习）在 中，内角 所对的边分别为 ，
．
(1)求角A的大小；
(2)求 的取值范围．
7．（2023·浙江金华·模拟预测）在 中，角A，B，C所对应的边为a，b，c．已知 的面积
，其外接圆半径 ，且 ．
(1)求 ；
(2)若A为钝角，P为 外接圆上的一点，求 的取值范围．
8．（2024·广东·二模）已知正项数列 ，满足 （其中 ）.
(1)若 ，且 ，证明：数列 和 均为等比数列；
(2)若 ，以 为三角形三边长构造序列 （其中 ），
记 外接圆的面积为 ，证明： ；
(3)在（2）的条件下证明：数列 是递减数列.
