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专题40 重要的几何模型之12345模型
初中几何，直角三角形具有举足轻重的地位，贯彻初中数学的始终，无论是一次函数、平行四边形、
特殊平行四边形、反比例函数、二次函数、相似、圆，都离不开直角三角形。今天我们要重点介绍的
“12345”模型就是中考（选填题）解题神器，需要我们反复断钻研、领悟。现在带领大家领略一下，
“12345”模型的独特魅力。
【模型解读】
模型1、12345模型及其衍生模型
【模型来源】2019年北京市中考
如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA＝（ ）°（点A，B，P是网格交点）．
该类问题解法很多，这里我们就根据现有的方格纸来构造一个等腰直角三角形。
如图，即：∠PAB+∠PBA=∠BPQ=45°。
上面的∠PAB和∠PBA便是今天要说的特殊角，除了它们的和为45°之外，用三角函数的观点来看：
tan∠PAB= ，tan∠PBA= ，对于这里的数据，为了便于记忆，总结为“12345”模型。
【常见模型】下面模型中 ， ，2，3， ， 均为对应角的正切值。
∠α+∠β＝45°； ∠α+45°＝∠GAF； ∠DAF+45°＝∠EAH； ∠α+∠β＝135°；
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∠α+∠β＝90°； ∠ADB+∠DBA＝∠BAC； ∠ADB+∠DBA＝∠BAC；
切记：做题不光要知道题目告诉我什么，还要根据已知的信息，思考这里需要什么，而“12345”模型用
来解决相关的选填题非常方便。下面所列举的个别题，利用“12345”解题也许未必是最简，最巧妙的，
但至少可以成为一种通性通法，可以在短时间内快速破题。毕竟在考试的时候时间非常宝贵的。
例1．（2022·四川乐山·中考真题）如图，在 中， ， ，点D是AC上一点，连接
BD．若 ， ，则CD的长为（ ）
A． B．3 C． D．2
例2.（2023.成都市中考模拟）如图，正方形 ， ，点E为 上一动点，将三角形 沿
折叠，点A落在点F处，连接 并延长，与边 交于点G，若点G为 中点，则 ．
例 3.（2023.湖北黄冈.中考真题）如图，矩形 中， ，以点B为圆心，适当长为半径画
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弧，分别交 ， 于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于 长为半径画弧交于点P，作射线 ，
过点C作 的垂线分别交 于点M，N，则 的长为（ ）
A． B． C． D．4
例4.（2023.四川广元 中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知点 ，点 ，点 在 轴上，
且点 在点 右方，连接 ， ，若 ，则点 的坐标为 ．
例5.（2022.四川泸州中考真题）如图，在边长为3的正方形 中，点 是边 上的点，且 ，
过点 作 的垂线交正方形外角 的平分线于点 ，交边 于点 ，连接 交边 于点 ，
则 的长为（ ）
A． B． C． D．1
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例6.（2023.内蒙古.中考真题）如图，在 中， ，将 绕点A逆时针
方向旋转 ，得到 ．连接 ，交 于点D，则 的值为 ．
例7.（2023.呼和浩特中考真题）如图，正方形 的边长为 ，点 是 的中点， 与 交于点
， 是 上一点，连接 分别交 ， 于点 ， ，且 ，连接 ，则 ，
．
课后专项训练
1.（2023·深圳市高级中学联考）如图，正方形 中， 是 中点，连接 ， ，作 交
于 ，交 于 ，交 于 ，延长 交 延长线于 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
2.（2018湖北中考真题）如图，正方形ABCD中，AB=6，G是BC的中点，将△ABG沿AG对折至
△AFG，延长GF交DC于点E，则DE长是( )
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
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3.（2021宜宾中考真题）如图，在矩形纸片ABCD中，点E，F分别在边AB，AD上，将矩形纸片沿CE，CF
折叠，点B落在H处，点D落在G处，点C，H，G恰好在同一直线上，若AB＝6，AD＝4，BE＝2，则DF
的长是（ ）．
7 3 2
A．2 B．4 C． 2 D．3
C D
H F
G
B E A
4.（2023.湖北 九年级期中）如图，已知正方形ABCD的边长为4，E是AB边延长线上一点，BE＝2，F是
AB边上一点，将△CEF沿CF翻折，使点E的对应点G落在AD边上，连接EG交折痕CF于点H，则FH的长
是（ ）
A． B． C．1 D．
5.（2023.浙江中考模拟）如图，A，B，C，D是边长为1的小正方形组成的6×5网格中的格点，连接 交
于点E，连接 ．给出4个结论：① ；② ；③ ；④ ．
其中正确的是（ ）
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A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
6.（2023.山东九年级期中）如图，将已知矩形纸片ABCD的边BC斜着向AD边对折，使点B落在AD上，记
为点B'，折痕为CE，再将CD边斜向下对折，使点D落在B'C上，记为点D'，折痕为CF，若B'D'＝2，BE＝
1
BC
3 ，则矩形纸片ABCD的面积为_________．
B′ F
A D
E
D′
B C
7.（2022.贵州中考真题）如图，折叠边长为4cm的正方形纸片 ，折痕是 ，点 落在点 处，分
别延长 、 交 于点 、 ，若点 是 边的中点，则 cm．
8.（2023.成都市九年级期中）如图，在正方形ABCD中，点E在BC上，点F是CD的中点，∠EAF＝45°，连
DH
接AE与BF交于点G，连接AF与DG交于点H，则 HG 的值为_________．
A D
H
F
G
B E C
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9.（2022.北部湾中考真题）如图，在正方形ABCD中，AB＝4 2，对角线AC，BD相交于点O．点E是对角
线AC上一点，连接BE，过点E作EF⊥BE，分别交CD，BD于点F，G，连接BF交AC于点H，将△EFH沿EF
翻折，点H的对应点H′恰好落在BD上，得到△EFH′．若点F为CD的中点，则△EGH′的周长是_________．
A D
H′
E
O G F
H
B C
10.（2023.成都市九年级期中）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点E、F分别在BC、CD上，若
√5
AE= ∠EAF=45°，则AF的长为 .
，
11.（2019盐城中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=2x-1的图像分别交x、y轴于点A、B，
将直线AB绕点B顺时针旋转45°，交x轴于点C，则直线BC的函数表达式是_______________．
12.（2017无锡中考真题）在如图的正方形方格纸上，每个小的四边形都是相同的正方形，A、B、C、D都
在格点处，AB与CD相交于O，则tan∠BOD的值等于__________．
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13.（2023甘肃天水中考模拟）如图，把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA、OC分别落在x轴、
y轴上，连接OB，将纸片OABC沿OB折叠，使点A落在点A’位置，OB= ，tan∠BOC= ，则点A’的
坐标为____________．
14.（2023.广东九年级期中）如图，折叠边长为4cm的正方形纸片ABCD，折痕是DM，点C落在点E处，
分别延长ME，DE交AB于点F，G，若点M是BC边的中点，则FG＝_________cm．
D C
M
E
A F G B
15.（2017浙江丽水中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=-x+m分别交x轴、y轴于A、B两
点，已知点C（2，0），点P为线段OB的中点，连接PA、PC，若∠CPA=∠ABO，则m的值是
__________．
16.（2023·龙华区九年级上期末）如图，已知正方形ABCD的边长为 6，E 为BC的中点，将△ABE沿直线
AE折叠后，点B落在点F处，AF交对角线BD于点G，则FG的长是________．
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A D
G
F
B E C
17.（2023·山东·中考模拟）如图，在矩形 ABCD 中，AB＝4，AD＝6，点 E，F 分别在边 BC，CD 上，
∠EAF＝45°，BE＝2，则DF的长为_________．
A D
F
B E C
18.（2023.广东九年级期中）如图，已知点 ， ， 为坐标原点，点 关于直线 的对称点
恰好落在反比例函数 的图象上，则 ．
19．（21·22·深圳·模拟预测）如图，已知点A的横坐标与纵坐标相等，点B（0，2），点A在反比例函数y
的图象上．作射线AB，再将射线AB绕点A按逆时针方向旋转 ，交y轴于C点，则△ABC面积为
．
20．（2023上·绍兴·期中）如图，已知点A（3，3 ），点B（0， ），点A在二次函数y＝ x2+ x
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﹣9 的图象上，作射线AB，再将射线AB绕点A按逆时针方向旋转30°，交二次函数图象于点C，则点C
的坐标为 ．
21．（21·22下·江苏·专题练习）如图，在平面直角坐标系 中，直线 的解析式为 分别交
轴， 轴于 ， 两点，已知点 ．（1）当直线 经过点 时， ；
（2）设点 为线段 的中点，连接 ， ，若 ，则 的值是 ．
22．（22·23下·泰安·一模）如图，把一个矩形纸片 放入平面直角坐标系中，使 分别落在x
轴，y轴上，连接 ，将纸片 沿 翻折，点A落在点 位置，若 ， ，直线
与y轴交于点F，则点F的坐标为 ．
23．（22·23上·齐齐哈尔·期末）如图，在 中， ，点 是 边的中点，
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，则 的值为 ．
24．（2023·运城·期末）仿照例题完成任务：例：如图1，在网格中，小正方形的边长均为 ，点 , , ,
都在格点上， 与 相交于点 ，求 的值.
解析：连接 , ，导出 ，再根据勾股定理求得三角形各边长，然后利用三角函数解决问
题.具体解法如下：连接 , ，则 ，
，根据勾股定理可得： , , ,
， 是直角三角形， ，
即 .
任务：（1）如图2， , , , 四点均在边长为 的正方形网格的格点上，线段 , 相交于点 ，求
图中 的正切值；（2）如图3， , , 均在边长为 的正方形网格的格点上，请直接写出
的值.
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