专题3-6圆的综合（27类题型）（原卷版）_02中考总复习（2026版更新中）_02-数学-中考总复习_2024年中考复习资料_专项复习资料

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专题 3-6 圆的综合（27 类题型）
圆的综合问题常用的规律方法
模块一 圆中常见辅助线
【题型1】遇到弦时
【题型2】遇到有直径时
【题型3】遇到有切线时
【题型4】遇到两相交切线时
【题型5】遇到三角形的内切圆时
【题型6】遇到三角形的外接圆时
模块二 切线证明
类型1 有公共点：连半径，证垂直
【题型7】 特殊角计算证垂直
【题型8】 勾股定理逆定理证垂直
【题型9】 通过平行线代换证垂直
【题型10】利用等角代换法证明垂直
【题型11】利用三角形全等证明垂直
类型2 无公共点：作垂直，证半径
【题型12】角平分线的性质证半径
【题型13】特殊角计算证垂直
模块三 圆中求线段长度
【题型14】结合勾股定理求线段长
【题型15】结合三角函数求线段长
【题型16】结合相似求线段长
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【题型17】利用旋转变换求线段长
模块四 以圆为背景的阴影部分面积问题
【题型18】和差法（割补）
【题型19】拼接法（等积变形）
模块五 其它类型
【题型20】与圆锥的相关计算
【题型21】圆内接四边形
【题型22】圆与相似综合1：等积式相关证明
【题型23】圆与相似综合2：线段积问题
【题型24】圆中线段间的数量关系（和差倍分）
【题型25】选填压轴以圆为背景的多结论判断问题
【题型26】求圆周角的三角函数值
【题型27】圆中的翻折
圆的综合问题常用的规律方法：
技法01：第一问常考考点——切线，对应规律
①切线的判定：常用方法
有切点，连半径，证垂直！
无切点，作垂直，证半径！
☆特别地：题目中所需证的垂直，一般是由已知垂直转化而来的，故有“想证⊥，先找⊥”
②切线的性质：常用方法→见切点，连半径，得垂直！
因切线所得结论必为⊥，故常以直角三角形来展开后续问题
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技法02：考题常见结合考点
角平分线
①知2得1：

平行线 知2得1常用于第1问关联“切线”

等腰△

Rt△相似 
②三角形相似：  常因相似得对应边成比例
A字、8字相似结合的可能性最大
进而求长度

母子△相似

③三角函数：相似三角形与三角函数不分家，所以应用方法类似；
特殊之处是：给三角函数，必“找”Rt△
④特殊角及其转化：
 15推30、75、75的等腰△

 30推等边△（圆心角为60亦可得）
当圆周角为
45推等腰Rt△（圆心角为90亦可得）

 60推1:1：3型等腰△（圆心角为120亦可得）
技法03：常见辅助线
①连半径——有关切线时，连接的是过切点的半径
②作弦心距——构造Rt△，进而用知2得3
——或做两条弦心距，构造矩形或正方形
③连接弦——使直径所对的圆周角=90°，进而在Rt△中展开问题
技法04：圆中等积式证明（三角形相似）
圆中的等积式证明主要有下面几种形式：
BE·EF＝DE·AE
（1）
CF2＝CG·CE
（2）
CE2＝k·DE·BO
（3）
MN·MC＝a
（4） （证a为定值）
其中第（1）（2）的形式属最简单的形式，只需要将线段乘积写成比例的形式（
BE AE CF CE
 , 
3 DE EF CG CF关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
BE AE CF CE
 , 
）然后找到对应的两个三角形相似即可，稍复杂的题目还会有将等积式中
DE EF CG CF
的线段替换为其他相等的线段情况；
第（3）种形式和第（2）种类似，建议先写成线段比例的形式，然后再考虑数字的归属问题，将系
数分配给某一线段；
MN （）
=
第(4)种情况难度最大，题目中只给两条线段，另外两条需要自己找，建议写成（） MC 的形式，
括号内的一般填入的是题中可求值的线段，再根据题中条件具体分析即可。
【圆中的相似模型】
(1)圆周角定理推论(直径所对圆周角为90°;同弧所对圆周角相等)
(2)圆的内接四边形对角互补(通常是圆内外两个三角形相似)
(3)已知线段比例关系,利用公共角及两边对应成比例证相似
技法05：求阴影部分面积
求阴影部分面积主要有2种形式：①割补法，②等级变形（拼接）
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模块一 圆中常见辅助线
【题型1】遇到弦时
处理方式：常添加弦心距
1．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心
的圆，如图1．唐代陈廷章在《水轮赋》中写道“水能利物，轮乃曲成”．如图2，已知圆心
O在水面上方，且⊙O被水面截得弦AB长为8米，若点C为运行轨道的最低点，点C到弦
AB所在直线的距离是2，则⊙O的半径长为 米．
2．如图，⊙O的半径为10√2，弦AB的长为16√2，P是弦AB上一动点，则线段OP长的最小值
为（ ）
A．10 B．8√2 C．5 D．6√2
3．（2022·安徽中考）已知⊙O的半径为7，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上．若PA＝4，PB＝6，
则OP＝（ ）
14 23
A． B．4 C． D．5
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4．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，∠APC=30°，点P是OA的中点，且AP=2，
则CD= ．
5．已知⊙O的半径是5cm，弦AB∥CD，AB=6cm，CD=8cm，则AB与CD的距离是（ ）
A．7cm B．7cm或1cm C．5cm或2cm D．1cm
6．如图，已知⊙O的直径为26，弦AB=24，动点P、Q在⊙O上，弦PQ=10，若点M、N分
别是弦AB、PQ的中点，则线段MN的取值范围是（ ）
A．7≤MN≤17 B．14≤MN≤34 C．7<MN<17 D．6≤MN≤16
【题型2】遇到直径时
处理方式：常添加（画）直径所对的圆周角
作用：利用圆周角的性质得到直角或直角三角形。
BD
7．如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=70°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，则
的度数
为 °．
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8．如图，点A、B、C、D均在⊙O上，AB为直径，BC=CD．若∠A=50°，求∠B的度数．
9．如图，在△ABD中，AB=AD，以AB为直径作⊙O，交线段BD于点C，过点C作CF⊥AD
于点E．
(1)求证：CF是⊙O的切线．
(2)当∠D=30°，CE=√3时，求A´C的长．
【题型3】遇到有切线时
处理方式：添加过切点的半径（连结圆心和切点）
10．如图，CD切⊙O于B，若∠C=30°，则∠ABD的度数是 ．
11．如图，在⊙O中，AB切⊙O于点A，连接OB交⊙O于点C．过点A作AD∥OB交⊙O于点
D，连接CD．若∠B=48°．则∠OCD为（ ）
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A．21° B．24° C．25° D．30°
12．如图，半圆⊙O的圆心在BC上，AC、AB分别与⊙O相切于点C、D，半圆⊙O交BC于
另一点E．连接DE、AO，求证：DE∥AO．
【题型4】遇到两相交切线时
处理方式：常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点（切线长定理）
13．如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，连接AB．若AB=PB，点C为圆上一点（异于
A、B），则∠ACB= 度．
14．如图，从点P向⊙O引两条切线PA，PB，切点为A，B，作直径BC，连接AC，若
∠P=60°，PB=2，则AC= ．
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15．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠OAB=30°．
(1)求∠APB的度数；
(2)当AP=3时，求⊙O的半径．
【题型5】遇到三角形的内切圆时
处理方式：连结内心到各三角形顶点，或过内心作三角形各边的垂线段
作用：利用内心的性质，可得①内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线；
②内心到三角形三条边的距离相等。
16．（2023·湖北天门中考）如图，在ABC中，ACB70，△ABC的内切圆O与AB，BC分别
相切于点D，E，连接DE，AO的延长线交DE于点F ，则AFD ．
17．如图，在一张Rt△ABC纸片中，∠ACB=90°，BC=5，AC=12，⊙O是它的内切圆．小
明用剪刀沿着⊙O的切线DE剪下一块三角形ADE，则△ADE的周长为（ ）
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A．19 B．17 C．22 D．20
18．已知：如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠C=90°．若AC=12cm，BC=9cm，求⊙O的
半径r；若AC=b，BC=a，AB=c，求⊙O的半径r．
【题型6】遇到三角形的外接圆时
处理方式：连结外心和各顶点
作用：外心到三角形各顶点的距离相等（角平分线交点）
19．如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，连接AO．
(1)求证：AO⊥BC；
(2)若OA=5，BC=8，求AB的长．
20．如图，一块等腰三角形钢板的底边长为80cm，腰长为50cm．
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(1)求能从这块钢板上截得的最大圆的半径：
(2)用一个圆完整覆盖这块钢板，这个圆的最小半径是多少cm？
(3)求这块等腰三角形钢板的内心与外心之间距离．
模块二 切线证明
解题模板：
类型1 有公共点：连半径，证垂直
【题型7】 特殊角计算证垂直
21．如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，^AC=C^D=^DB，DE⊥AC．
求证：DE是⊙O的切线．
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22．如图，AC是⊙O的直径，B在⊙O上，BD平分∠ABC交⊙O于点D，过点D作DE∥AC交
BC的延长线于点E．
求证：DE是⊙O的切线．
23．如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，AC为弦，OC＝4，
∠OAC＝60°．
（1）求∠AOC的度数；
（2）在图（1）中，P为直径BA的延长线上一点，且S =4√3，求证：PC为⊙O的切线；
△PAC
24．已知：在⊙O中，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠D=60°，点P是AB延长线上一点，且
CP=AC．
(1)求证：PC是⊙O的切线；
(2)若PB=√5，求⊙O的直径．
【题型8】 勾股定理逆定理证垂直
25．如图，C是⊙O上一点，点P在直径AB的延长线上，⊙O的半径为6，PB=4，PC=8． 求证：PC
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是⊙O的切线；
26．如图，C是⊙O上一点，点D在直径AB的延长线上，⊙O的半径为6，DB=4，DC=8．求
证：DC是⊙O的切线．
27． 如图，AD, BD是⊙O的弦，AD⊥BD，且BD=2AD=8 ,点C是BD的延长线上的一点，CD=2，
求证：AC是⊙O的切线.
28． 如图，AD，BD是⊙O的弦，AD⊥BD，且BD＝2AD＝8，点C是BD的延长线上的一点，CD
＝2，求证：AC是⊙O的切线．
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【题型9】 通过平行线代换证垂直
29．已知：AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使AB＝AC，连结AC，过点D作
DE⊥AC，垂足为E．求证：DE为⊙O的切线．
30．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点
E，延长EC，AB交于点F，∠ECD＝∠BCF．
求证：CE为⊙O的切线；
31．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作
DE⊥AC于点E．
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(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若∠CAB＝120°，⊙O的半径等于5，求线段DE的长．
【题型10】利用等角代换法证明垂直
32．如图，AB是⊙O的直径，点D在直径AB上（D与A，B不重合），CD⊥AB，且CD＝AB，
连接CB，与⊙O交于点F，在CD上取一点E，使得EF＝EC．
求证：EF是⊙O的切线；
33．如图，AB是⊙O的弦，OD⊥OB，交AB于E，且AD=ED，求证：AD是⊙O的切线．
34．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在AC边上，以AD为直径作⊙O交AB于点E，
连接CE，且CB=CE．求证：CE是⊙O的切线．
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35．如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，CD⊥AB于点D，点E是圆外一点，CA平分
∠ECD．求证：CE是⊙O的切线．
36．如图，△ABC内接于半圆，AB是直径，过A作直线MN，∠MAC＝∠ABC，D是弧AC的中
点，连接BD交AC于G，过D作DE⊥AB于E，交AC于F．
（1）求证：MN是半圆的切线．
（2）求证：FD＝FG．
【题型11】利用三角形全等证明垂直
37．如图，AC是⊙O的直径，PA相切于⊙O，点B是圆上一点，且PA=PB，连接AB，
∠BAC=30°，求证：PB是⊙O的切线．
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38．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC，过B作BD∥OC交⊙O于点D，连
接CD并延长，交AB延长线于E，求证：CE是⊙O的切线．
39．如图，AB为⊙O的直径，点C和点D是⊙O上的两点，连接BC，DC，BC＝CD，CE⊥DA
交DA的延长线于点E．
求证：CE是⊙O的切线；
40．如图，已知AB是⊙O的直径，BC⊥AB，连接OC，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点
E．
求证：CD是⊙O的切线；
41．如图，AB为⊙O的直径，四边形OBCD是矩形，连接AD，延长AD交⊙O于E，连接CE．
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求证：CE为⊙O的切线．
类型2 无公共点：作垂直，证半径
【题型12】角平分线的性质证半径
42．如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点
M．求证：CD与⊙O相切．
43．如图，BD是∠ABC的角平分线，点O是BD上一点，⊙O与AB相切于点M，与BD交于点
E、F．求证：BC是⊙O的切线．
44．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AO是△ABC的角平分线，以O为圆心，OC为半径
作⊙O，求证：AB是⊙O的切线．
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45．如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D．求证：AC是
⊙O的切线．
46．如图，在ΔABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为
圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC、AB于点E，F．
(1)试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若BD=2√5，BF=2，求⊙O的半径．
【题型13】特殊角计算证垂直
47．如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD+BC=CD，以AB为直径作⊙O，
求证：CD与⊙O相切．
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模块三 圆中求线段长度
解题模板：
【题型14】结合勾股定理求线段长
48．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，过点A、D的圆的圆心O在
边AB上，⊙O与边AB交于另一点E．
(1)证明：BC与⊙O相切；
(2)若AC=6，∠B=30°．则AD= ．
49．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是A´B的中点，CD与AB交于点E．F是AB延长线上
的一点，且CF=EF．
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(1)求证：CF为⊙O的切线；
(2)连接BD．若CF=4，BF=2，求BD的长．
50．如图，在Rt ABC中，∠C＝90°，BD是角平分线，点O在BA上，以点O为圆心，BO长为
半径的圆经过△点D，交BC于点E．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若OB=10,CD=8，求EB的长．
51．如图，四边形ABCD是菱形，以AB为直径作⊙O，交CB于点F，点E在CD上，且CE＝
CF，连接AE．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）连接AC交⊙O于点P，若AP=√3，BF＝1，求⊙O的半径．
52．如图，在Rt ABC中，∠BAC＝90°，BD是角平分线，以点D为圆心，DA为半径的⊙D与
AC相交于点E△.
(1)求证：BC是⊙D的切线；
(2)若AB＝5，BC＝13，求CE的长．
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53．如图，AB是⊙O的直径，AM，BN分别切⊙O于点A，B，CD交AM，BN于点D，C，DO平
分∠ADC．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AD＝4，BC＝9，求⊙O的半径R．
54．如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，DE⊥PO交PO延长
线于点E，连接OC，PB，已知PB＝6，DB＝8，∠EDB＝∠EPB．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）求⊙O的半径．
（3）连接BE，求BE的长．
55．（2023·辽宁大连中考）如图1，在O中，AB为O的直径，点C为O上一点，AD为
CAB的平分线交O于点D，连接OD交BC于点E．
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(1)求BED的度数；
(2)如图2，过点A作O的切线交BC延长线于点F ，过点D作DG∥AF 交AB于点G．若
AD2 35 DE4 DG
， ，求 的长．
【题型15】结合三角函数求线段长
56．（2023·四川成都中考）如图，以ABC的边AC为直径作O，交BC边于点D，过点C作
CE∥AB交O于点E，连接AD，DE，BADE．
(1)求证：ACBC；
(2)若tanB2，CD3，求AB和DE的长．
57．（2022·内蒙古鄂尔多斯中考）如图，以AB为直径的⊙O与△ABC的边BC相切于点B，且与
AC边交于点D，点E为BC中点，连接DE、BD．
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(1)求证：DE是⊙O的切线；
4
(2)若DE＝5，cos∠ABD＝ ，求OE的长．
5
58．（2023·四川乐山中考）如图，已知O是Rt△ABC的外接圆，ACB90，D是圆上一点，
E是DC延长线上一点，连结AD，AE，且AD AE，CACE．
(1)求证：直线AE是O是的切线；
2
(2)若sinE ， 的半径为3，求 的长．
3 O AD
59．（2023·内蒙古赤峰中考）如图，AB是O的直径，C是O上一点过点C作CD AB于点
E，交O于点D，点F 是AB延长线上一点，连接CF，AD，FCD2DAF ．
(1)求证：CF是O切线；
2
sinF 
(2)若 ， ，求 的长．
AF=10 3 CD
60．（2023·甘肃武威中考）如图，ABC内接于O，AB是O的直径，D是O上的一点，
CO平分BCD，CE AD，垂足为E，AB与CD相交于点F ．
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(1)求证：CE是O的切线；
3
(2)当 的半径为 ，sinB 时，求 的长．
O 5 5 CE
AB O AC AC DEAB
61．（2023·湖南衡阳中考）如图， 是 的直径， 是一条弦，D是 的中点，
于点E，交AC于点F，交O于点H，DB交AC于点G．
(1)求证：AF DF．
5 5
AF  ,sinABD
(2)若 2 5 ，求O的半径．
62．如图，已知AB是⊙O的直径，PB是⊙O切线，C是⊙O上的点且AC∥OP．
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(1)求证：PC是⊙O的切线；
(2)若∠A=60°，AB=4，求PC长．
63．（2023·宁夏中考）如图，已知AB是O的直径，直线DC是O的切线，切点为C，
AEDC，垂足为E．连接AC．
(1)求证：AC平分BAE；
3
tanACE
(2)若 ， ，求 的半径．
AC 5 4 O
64．（2023·辽宁沈阳中考）如图，AB是O的直径，点C是O上的一点（点C不与点A，B
重合），连接AC、BC，点D是AB上的一点，AC  AD，BE交CD的延长线于点E，且
BEBC．
(1)求证：BE是O的切线；
1
tanE
(2)若 的半径为 ， ，则 的长为______ ．
O 5 2 BE
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65．（2023·浙江湖州中考）如图，在Rt△ABC 中，ACB90，点O在边AC上，以点O为圆
心，OC为半径的半圆与斜边AB相切于点D，交OA于点E，连结OB．
(1)求证：BDBC．
(2)已知OC 1，A30，求AB的长．
66．（2023·湖南湘西中考）如图，点D，E在以AC为直径的O上，ADC的平分线交O于
点B，连接BA，EC，EA，过点E作EH AC，垂足为H，交AD于点F．
(1)求证：AE2  AFAD；
2 5
sinABD ,AB5
(2)若 5 ，求AD的长．
67．如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O外一点，PA切⊙O于点A，连接OP，过点B作
BC∥OP交⊙O于点C，点E是A´B的中点，且AB=10，BC=6．
(1)PC与⊙O有怎样的位置关系？为什么？
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(2)求CE的长．
68．（2023·山东济南中考）如图，AB，CD为O的直径，C为O上一点，过点C的切线与
AB的延长线交于点P，ABC 2BCP，点E是BD的中点，弦CE，BD相交于点E．
(1)求OCB的度数；
(2)若EF 3，求O直径的长．
69．（2023·辽宁锦州中考）如图，AE为O的直径，点C在O上，AB与O相切于点A，与
OC延长线交于点B，过点B作BDOB，交AC的延长线于点D．
(1)求证：ABBD；
3
(2)点F为 上一点，连接 ， ， 与 交于点G．若 ， ，tanABG ，
O EF BF BF AE E45 AB5 7
求O的半径及AD的长．
70．（2023·辽宁丹东中考）如图，已知AB是O的直径，BD是O的弦，点P是O外的一点，
PC  AB，垂足为点C，PC与BD相交于点E，连接PD，且PDPE，延长PD交BA的延长
线于点F．
(1)求证：PD是O的切线；
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7 4
(2)若 ， PE ，cosPFC  ，求 的长．
DF 4 2 5 BE
71．（2023·辽宁丹东中考）如图，已知AB是O的直径，BD是O的弦，点P是O外的一点，
PC  AB，垂足为点C，PC与BD相交于点E，连接PD，且PDPE，延长PD交BA的延长
线于点F．
(1)求证：PD是O的切线；
7 4
(2)若 ， PE ， cosPFC  ，求 的长．
DF 4 2 5 BE
72．（2023·辽宁鞍山中考）如图，四边形ABCD内接于O，AB为O的直径，过点D作
DF  BC，交BC的延长线于点F，交BA的延长线于点E，连接BD．若
EADBDF 180．
(1)求证：EF为O的切线．
2
(2)若 ，sinBDC  ，求 的半径．
BE10 3 O
73．（2023·四川内江中考）如图，以线段AB为直径作O，交射线AC于点C，AD平分CAB
交O于点D，过点D作直线DEAC，交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F．连接
BD并延长交AC的延长线于点M．
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(1)求证：直线DE是O的切线；
(2)当F 30时，判断ABM 的形状，并说明理由；
(3)在（2）的条件下，ME1，连接BC交AD于点P，求AP的长．
74．（2023·新疆中考）如图，AB是O的直径，点C，F 是O上的点，且CBF BAC，连
接AF ，过点C作AF 的垂线，交AF 的延长线于点D，交AB的延长线于点E，过点F 作
FGAB于点G，交AC于点H ．
(1)求证：CE是O的切线；
3
tanE
(2)若 ， ，求 的长．
4 BE 4 FH
AB O BC DEAB
75．（2023·山东中考）如图， 为 的直径，C是圆上一点，D是 的中点，弦 ，
垂足为点F．
(1)求证：BC DE；
� AE AC 6,BF 2 tanBPC
(2)P是 上一点， ，求 ；
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(3)在（2）的条件下，当CP是ACB的平分线时，求CP的长．
76．（2023·内蒙古呼和浩特中考）已知在Rt△ABC中，ACB90，BC 6，AC 8，以边
AC为直径作O，与AB边交于点D，点M 为边BC的中点，连接DM ．
(1)求证：DM 是O的切线；
P BC AP O Q CQ
(2)点 为直线 上任意一动点，连接 交 于点 ，连接 ．
1
tanBAP
①当 时，求 的长；
3 BP
CQ
②求 的最大值．
AP
77．（2023·四川雅安中考）如图，在Rt△ABC 中，ABC 90，以AB为直径的O与AC交于
点D，点E是BC的中点，连接BD，DE．
(1)求证：DE是O的切线；
1
tanBAC
(2)若 ， ，求 的长；
DE2 2 AD
(3)在（2）的条件下，点P是O上一动点，求PAPB的最大值．
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【题型16】结合相似求线段长
78．如图，ABC是O的内接三角形，AB AC，BAC 120，D是BC边上一点，连接AD
并延长交O于点E．若AD2，DE3，则O的半径为（ ）
3
10
A． B． C． D．
10 2 2 10 3 10
AB O AB2 10 O CD AB E
79．（2023·四川泸州中考）如图， 是 的直径， ， 的弦 于点 ，
CD6．过点C作O的切线交AB的延长线于点F ，连接BC．
(1)求证：BC平分DCF ；
G  AD CG AB H CH 3GH BH
(2) 为 上一点，连接 交 于点 ，若 ，求 的长．
80．（2023·四川眉山中考）如图，ABC中，以AB为直径的O交BC于点E．AE平分BAC，
过点E作ED AC于点D，延长DE交AB的延长线于点P．
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(1)求证：PE是O的切线；
1
(2)若 sinP ,BP4 ，求 的长．
3 CD
81．（2023·青海西宁中考）如图，AB是⊙O的弦，半径OCAB，垂足为D，弦CE与AB交于
点F，连接AE，AC，BC．
(1)求证：BACE；
AB8 DC2 CE 3 10 CF
(2)若 ， ， ，求 的长．
82．（2023·江苏苏州中考）如图，ABC是O的内接三角形，AB是O的直径，
AC  5,BC 2 5 F AB CF O D BD BECD
，点 在 上，连接 并延长，交 于点 ，连接 ，作 ，
垂足为E．
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(1)求证：△DBE∽△ABC；
(2)若AF 2，求ED的长．
83．（2023·河南中考）如图，PA与O相切于点A，PO交O于点B，点C在PA上，且
CBCA．若OA5，PA12，则CA的长为 ．
ABCD O AB C BD
84．（2023·湖南常德中考）如图，四边形 是 的内接四边形， 是直径， 是 的中
点，过点C作CE AD交AD的延长线于点E．
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(1)求证：CE是O的切线；
BC 6 AC 8 CE,DE
(2)若 ， ，求 的长．
85．（2023·山东聊城中考）如图，在Rt△ABC中，ACB90，BAC的平分线AD交BC于
点D，ADC的平分线DE交AC于点E．以AD上的点O为圆心，OD为半径作O，恰好过
点E．
(1)求证：AC是O的切线；
3
(2)若 ， tanABC  ，求 的半径．
CD12 4 O
86．（2023·四川中考）如图，AB为O的直径，C为O上一点，连接AC，BC，过点C作O
的切线交AB延长线于点D，OF BC于点E，交CD于点F．
(1)求证：BCDBOE；
3
sinCAB
(2)若 ， ，求 的长．
5 AB10 BD
87．（2022·新疆中考）如图，⊙O是ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，
ACCD，连接AD，延长DB交过点C的切线于点E．
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(1)求证：ABC CAD；
(2)求证：BECE；
(3)若AC 4，BC 3，求DB的长．
88．（2022·湖北恩施中考）如图，P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，切点分别为A、B，
直线PO交⊙O于点D、E，交AB于点C．
(1)求证：∠ADE=∠PAE．
(2)若∠ADE=30°，求证：AE=PE．
(3)若PE=4，CD=6，求CE的长．
89．（2022·四川遂宁中考）如图，O是ABC的外接圆，点O在BC上，BAC的角平分线交
O于点D，连接BD，CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P．
(1)求证：PD是O的切线；
(2)求证：△ABD∽DCP；
(3)若AB6，AC 8，求点O到AD的距离．
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AB O E F BEEF E
90．（2023·四川宜宾中考）如图，以 为直径的 上有两点 、 ， ，过点 作直
线CD AF 交AF 的延长线于点D，交AB的延长线于点C，过C作CM 平分ACD交AE于
点M ，交BE于点N ．
(1)求证：CD是O的切线；
(2)求证：EM EN；
N CM AB9 5 EN
(3)如果 是 的中点，且 ，求 的长．
91．（2022·广西柳州中考）如图，已知AB是⊙O的直径，点E是⊙O上异于A，B的点，点F是
�
EB
的中点，连接AE，AF，BF，过点F作FC⊥AE交AE的延长线于点C，交AB的延长线于
点D，∠ADC的平分线DG交AF于点G，交FB于点H．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)求sin∠FHG的值；
4 2
(3)若GH＝ ，HB＝2，求⊙O的直径．
92．（2022·贵州安顺中考）如图，AB是O的直径，点E是劣弧BD上一点，PADAED，
DE 2 AE BAD AE BD F
且 ， 平分 ， 与 交于点 ．
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(1)求证：PA是O的切线；
2
(2)若tanDAE ，求 的长；
2 EF
(3)延长DE，AB交于点C，若OBBC，求O的半径．
93．（2023·湖北中考）如图，等腰ABC内接于O，AB AC，BD是边AC上的中线，过点C
作AB的平行线交BD的延长线于点E，BE交O于点F ，连接AE,FC．
(1)求证：AE为O的切线；
(2)若O的半径为5，BC 6，求FC的长．
94．（2023·内蒙古通辽中考）如图，AB为O的直径，D，E是O上的两点，延长AB至点C，
连接CD，BDC A．
(1)求证：ACD∽DCB；
(2)求证：CD是O的切线；
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3
(3)若tanE  ,AC 10，求 的半径．
5 O
AB O E O C � AE
95．（2023·内蒙古中考）如图， 是⊙ 的直径， 为⊙ 上的一点，点 是 的中点，连
接BC，过点C的直线垂直于BE的延长线于点D，交BA的延长线于点P．
(1)求证：PC为⊙O的切线；
PC 2 2BO PB10 BE
(2)若 ， ，求 的长．
96．（2023·陕西中考）如图，ABC内接于O，BAC45，过点B作BC的垂线，交O于
点D，并与CA的延长线交于点E，作BFAC，垂足为M ，交O于点F ．
(1)求证：BDBC；
(2)若O的半径r 3，BE6，求线段BF的长．
97．（2023·辽宁盘锦中考）如图，ABC内接于O，AB为O的直径，延长AC到点G，使得
CGCB，连接GB，过点C作CD∥GB，交AB于点F，交点O于点D，过点D作
DE∥AB．交GB的延长线于点E．
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(1)求证：DE与O相切．
(2)若AC 4，BC 2，求BE的长．
【题型17】利用旋转变换求线段长
98．（2023·内蒙古呼和浩特中考）如图，ABC内接于O且ACB90，弦CD平分ACB，
连接AD，BD．若AB5，AC 4，则BD ，CD ．
模块四 以圆为背景的阴影部分面积问题
【题型18】和差法（割补）
99．如图，以边长为2的等边△ABC顶点A为圆心、一定的长为半径画弧，恰好与BC边相切，分
别交AB，AC于D，E，则图中阴影部分的面积是（ ）
π (6−π)√3 π
A．√3− B．2√3− C． D．√3−
4 3 2
π
如图，在扇形OAB中，已知∠AOB＝90°，OA＝2，过^AB的中点C作CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分
别为点D，E，则图中阴影部分的面积为（ ）
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π
A． ﹣1 B． ﹣2 C． ﹣4 D． −1
2
π π π
100．（2022·山西·中考真题）如图，扇形纸片AOB的半径为3，沿AB折叠扇形纸片，点O恰好
AB
落在 上的点C处，图中阴影部分的面积为（ ）
9 3 9 3
3π 6π
A．3π3 3 B． 2 C．2π3 3 D． 2
101．如图所示的曲边三角形可按下述方法作出：作等边△ABC，分别以点A，B，C为圆心，以
AB长为半径作^BC，^AC，^AB，三弧所围成的图形就是一个曲边三角形．如果一个曲边三角形
的周长为2 ，则此曲边三角形的面积为（ ）
π
A．2 ﹣2√3 B．2 −√3 C．2 D． −√3
102．（π2023·湖北鄂州中考）π如图，在ABC中，AπBC 90，ACBπ30，AB4，点O为
BC的中点，以O为圆心，OB长为半径作半圆，交AC于点D，则图中阴影部分的面积是（
）
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3
5 3 
A． 3 B．5 34 C．5 32 D．10 32
∴ ．
2
103．如图，在 ABCD中，AD= AB，∠BAD＝45°，以点A为圆心、AD为半径画弧交AB于点
3
▱
E，连接CE，若AB＝3√2，则图中阴影部分的面积是 ．
104．如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′，则图中阴影部分
的面积是 ．
105．在△ABC中，已知∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1．如图所示，将△ABC绕点A按逆时
针方向旋转90°后得到△AB'C'．则图中阴影部分的面积为 ．
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106．（2023·浙江衢州中考）如图，在Rt△ABC 中，ACB90，O为AC边上一点，连结OB，
以OC为半径的半圆与AB边相切于点D，交AC边于点E．
(1)求证：BC BD；
(2)若OBOA，AE2，①求半圆O的半径；②求图中阴影部分的面积．
ABCD O AB AE DE
107．（2023·山东潍坊中考）如图，正方形 内接于 ，在 上取一点E，连接 ， ．
过点A作AG AE，交O于点G，交DE于点F，连接CG，DG．
(1)求证：△AFD≌△CGD；
(2)若AB2，BAE30，求阴影部分的面积．
108．（2022·内蒙古通辽中考）如图，在RtAOB中，AOB90，以O为圆心，OB的长为半
径的圆交边AB于点D，点C在边OA上且CD AC，延长CD交OB的延长线于点E．
(1)求证：CD是圆的切线；
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4
sinOCD
(2)已知 ， ，求 长度及阴影部分面积．
5 AB4 5 AC
109．（2023·湖南怀化中考）如图，AB是O的直径，点P是O外一点，PA与O相切于点A，
点C为O上的一点．连接PC、AC、OC，且PC PA．
(1)求证：PC为O的切线；
(2)延长PC与AB的延长线交于点D，求证：PDOC PAOD；
(3)若CAB30，OD8，求阴影部分的面积．
110．（2022·湖南益阳中考）如图，C是圆O被直径AB分成的半圆上一点，过点C的圆O的切线
交AB的延长线于点P，连接CA，CO，CB．
(1)求证：∠ACO＝∠BCP；
(2)若∠ABC＝2∠BCP，求∠P的度数；
(3)在（2）的条件下，若AB＝4，求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．
【题型19】拼接法（等积变形）
111．如图，菱形OABC的三个顶点A，B，C在 O上，对角线AC，OB交于点D，若 O的半径
是2√3，则图中阴影部分的面积是（ ） ⊙ ⊙
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√3
A．2 B．6 C． D．√3
3
π π π π
112．如图，在边长为6的正方形ABCD中，以BC为直径画半圆，则阴影部分的面积是（ ）
A．9 B．6 C．3 D．12
113．如图，等边三角形ABC内接于 O，BC＝2√3，则图中阴影部分的面积是 ．
⊙
114．如图，点A，B，C是 O上的点，连接AB，AC，BC，且∠ACB＝15°，过点O作OD∥AB
交 O于点D，连接AD，⊙BD，已知 O半径为2，则图中阴影面积为 ．
⊙ ⊙
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115．如图，正方形ABCD的边长为4，O为对角线的交点，点E，F分别为BC，AD的中点，以C
为圆心，4为半径作圆弧BD，再分别以E，F为圆心，2为半径作圆弧BO，OD，则图中阴影
部分的面积为 ．（结果保留 ）
π
AB O  AD BD
116．（2023·山东枣庄中考）如图， 为 的直径，点C是 的中点，过点C做射线 的
垂线，垂足为E．
(1)求证：CE是O切线；
(2)若BE3，AB4，求BC的长；
(3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积（用含有π的式子表示）．
BC
117．（2022·四川绵阳中考）如图，AB为⊙O的直径，C为圆上的一点，D为劣弧 的中点，过
点D作⊙O的切线与AC的延长线交于点P，与AB的延长线交于点F，AD与BC交于点E．
(1)求证：BC∥PF；
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5
(2)若⊙O的半径为 ，DE＝1，求AE的长度；
(3)在（2）的条件下，求DCP的面积．
模块五 其它类型
【题型20】与圆锥的相关计算
118．（2023·内蒙古赤峰中考）某班学生表演课本剧，要制作一顶圆锥形的小丑帽．如图，这个
圆锥的底面圆周长为20π cm，母线AB长为30cm，为了使帽子更美观，要粘贴彩带进行装饰，
其中需要粘贴一条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），这条
彩带的最短长度是（ ）
v
30cm 30 3 cm 60 cm 20π cm
A． B． C． D．
119．一个圆锥的侧面积为36π，其底面圆的半径为4，则该圆锥的母线长为（ ）
A．3 B．4 C．9 D．12
120．如图，在矩形ABCD中，以点A为圆心，以AD长为半径画弧交BC于点E，将扇形ADE剪
下来做成圆锥，若AB=BE=2√2，则该圆锥底面半径为（ ）
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1 1
A． B． C．1 D．2
2 4
121．如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周
长为30πcm，侧面积为360πcm2，则这个扇形的圆心角的度数是（ ）
A．150° B．165° C．135° D．225°
【题型21】圆内接四边形
122．（2023·山东泰安中考）如图，AB是O的直径，D，C是O上的点，ADC 115，则
BAC的度数是（ ）
A．25 B．30 C．35 D．40
123．（2023·江苏中考）如图，四边形ABCD是O的内接四边形，BC是O的直径，
BC 2CD，则BAD的度数是 ．
124．（2023·山东青岛中考）如图，四边形ABCD是O的内接四边形，B58，ACD40．
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O DC
若 的半径为5，则 的长为（ ）
13 10 1
A．  B．  C． D． π
3 9  2
125．（2023·北京中考）如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BD平分
ABC，BAC ADB．
(1)求证DB平分ADC，并求BAD的大小；
(2)过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F ．若AC  AD，BF 2，求此圆半径的长．
【题型22】圆与相似综合1：等积式相关证明
126．（2022·山东滨州中考）如图，已知AC为O的直径，直线PA与O相切于点A，直线PD
经过O上的点B且CBDCAB，连接OP交AB于点M．求证：
(1)PD是O的切线；
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AM2 OMPM
(2)
127．（2023·四川广安中考）如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作O，交斜边AC于点D，
点E是BC的中点，连接OE、DE．
(1)求证：DE是O的切线．
4
(2)若sinC  ,DE 5，求 的长．
5 AD
2DE2 CDOE
(3)求证： ．
128．（2023·湖北黄石中考）如图，AB为O的直径，DA和O相交于点F，AC平分DAB，
点C在O上，且CDDA，AC交BF于点P．
(1)求证：CD是O的切线；
ACPC BC2
(2)求证： ；
AF
(3)已知BC2 3FPDC，求AB的值．
129．（2023·湖南永州中考）如图，以AB为直径的O是ABC的外接圆，延长BC到点D．使
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得BACBDA，点E在DA的延长线上，点A在线段AC上，CE交BM 于N，CE交AB于
G．
(1)求证：ED是O的切线；
AC  6,BD5,AC CD BC
(2)若 ，求 的长；
(3)若DEAM  ACAD，求证：BM CE．
130．（2023·四川遂宁中考）如图，四边形ABCD内接于O，AB为O的直径，ADCD，过
点D的直线l交BA的延长线于点M ，交BC的延长线于点N ，且ADM DAC．
(1)求证：MN是O的切线；
AD2  ABCN
(2)求证： ；
3
sinDCA
(3)当AB6， 3 时，求AM 的长．
131．（2023·黑龙江大庆中考）如图，AB是O的直径，点C是圆上的一点，CD AD于点D，
AD交O于点F ，连接AC，若AC平分DAB，过点F 作FGAB于点G，交AC于点H ，
延长AB，DC交于点E．
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(1)求证：CD是O的切线；
(2)求证：AFAC  AEAH ；
4 AH
sinDEA
(3)若 ，求 的值．
5 FH
132．（2023·山东滨州中考）如图，点E是ABC的内心，AE的延长线与边BC相交于点F ，与
ABC的外接圆相交于点D．
S :S  AB:AC
△ABF △ACF
(1)求证： ；
(2)求证：AB:AC BF:CF ；
AF2  ABACBFCF
(3)求证： ；
(4)猜想：线段DF,DE,DA三者之间存在的等量关系．（直接写出，不需证明．）
【题型23】圆与相似综合2：线段积问题
133．（2023·江苏无锡中考）如图，AB是O的直径，CD与AB相交于点E．过点D的圆O的
切线DF∥AB，交CA的延长线于点F ，CF CD．
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(1)求F的度数；
(2)若DEDC 8，求O的半径．
134．（2022·湖南株洲中考）如图所示，ABC的顶点A、B在⊙O上，顶点C在⊙O外，边AC
与⊙O相交于点D，BAC 45，连接OB、OD，已知OD∥BC．
(1)求证：直线BC是⊙O的切线；
(2)若线段OD与线段AB相交于点E，连接BD．
①求证：ABD∽DBE；
②若ABBE 6，求⊙O的半径的长度．
135．（2022·湖北黄石中考）如图CD是O直径，A是O上异于C，D的一点，点B是DC延长
线上一点，连接AB、AC、AD，且BAC ADB．
(1)求证：直线AB是O的切线；
(2)若BC 2OC，求tanADB的值；
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CAD AP O CD PC PD AB2 6
(3)在（2）的条件下，作 的平分线 交 于P，交 于E，连接 、 ，若 ，
求AEAP的值．
【题型24】圆中线段间的数量关系（和差倍分）
136．（2022·贵州黔西中考）如图，在ABC中，AB AC，以AB为直径作⊙O，分别交BC于
点D，交AC于点E，DH  AC，垂足为H，连接DE并延长交BA的延长线于点F．
(1)求证：DH是⊙O的切线；
EF
(2)若E为AH的中点，求 的值．
FD
137．（2022·广西桂林中考）如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上的一点，CD⊥AD于点D，AD
交⊙O于点F，连接AC，若AC平分∠DAB，过点F作FG⊥AB于点G交AC于点H．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)延长AB和DC交于点E，若AE＝4BE，求cos∠DAB的值；
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FH
(3)在（2）的条件下，求 的值．
AF
138．（2022·黑龙江绥化中考）如图所示，在O的内接AMN 中，MAN 90，AM 2AN ，
ABMN O � AM
作 于点P，交 于另一点B，C是 上的一个动点（不与A，M重合），射线
MC交线段BA的延长线于点D，分别连接AC和BC，BC交MN于点E．
(1)求证：△CMA∽△CBD．
MN 10 M C NC BC
(2)若 ， ，求 的长．
3 ME
(3)在点C运动过程中，当tanMDB 时，求 的值．
4 NE
139．（2023·湖北宜昌中考）如图1，已知AB是O的直径，PB是O的切线，PA交O于点
C，AB4，PB3．
(1)填空：PBA的度数是_________，PA的长为_________；
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(2)求ABC的面积；
CD AB D E AC AE5EC AE DC BP
(3)如图2， ，垂足为 ． 是 上一点， ．延长 ，与 ， 的延长线
EF
分别交于点 ，求 的值．
F,G FG
【题型25】选填压轴以圆为背景的多结论判断问题
140．如图，点E是ABC的内心，AE的延长线和ABC的外接圆相交于点D，与BC相交于点
G，则下列结论：①BADCAD；②若BAC60，则BEC 120；③若点G为BC的中
点，则BGD90；④BDDE．其中一定正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
O AB APB
141．（2022·湖北武汉中考）如图，点P是 上一点， 是一条弦，点C是 上一点，与点
D关于AB对称，AD交O于点E，CE与AB交于点F，且BD∥CE．给出下面四个结论：①
CD平分BCE； ②BEBD； ③AE2  AFAB； ④BD为O的切线．其中所有正确结
论的序号是 ．
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【题型26】求圆周角的三角函数值
142．（2023·山东中考）如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限内，P与x轴相切于点C，
y
A0,8 B0,2
AC BC
与 轴相交于点 ， ．连接 ， ．
(1)求点P的坐标；
(2)求cosACB的值．
AB O C,D CDD B
143．（2023·江苏苏州中考）如图， 是半圆 的直径，点 在半圆上， ，连接
OC,CA,OD B EB AB OD E OAC S 1 ,△OBE
，过点 作 ，交 的延长线于点 ．设 的面积为 的面积
S 2
1 
为S ，若S 3，则tanACO的值为（ ）
2 2
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2 2 7 3
A． 2 B． 3 C．5 D．2
144．如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠DAB=90°，AB是⊙O的直径，CO平分
∠BCD．
(1)求证：直线CD与⊙O相切；
(2)如图2，记（1）中的切点为E，P为优弧A´E上一点，AD=1，BC=2．求tan∠APE的值．
145．（2022·广西梧州中考）如图，以AB为直径的半圆中，点O为圆心，点C在圆上，过点C
CD∥AB CDOB OC,BC O
作 ，且 ．连接AD，分别交 于点E，F，与 交于点G，若
ABC 45．
(1)求证：①ABF∽DCF ；
②CD是O的切线．
EF
(2)求 的值．
FG
【题型27】圆中的翻折
146．如图，以圆O的一条弦BC为对称轴将弧BC折叠后与弦AB交于点D，则CD=CA
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特别的，若将弧BC折叠后过圆心，则CD=CA，∠CAB=60°
147．如图， 为 的直径，点 为圆上一点， ，将劣弧 沿弦 所在的直线
翻折，交 于点 ，则 的度数等于( )．
A． B． C． D．
148．如图，将⊙O上的 沿弦BC翻折交半径OA于点D，再将 沿BD翻折交BC于点E，连
接DE． 若AD＝2OD，则 的值为（ ）
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A． B． C． D．
149．如图，已知 内接于 ， ，将弧 沿弦 翻折后恰好经过弦 的中
点 ，则 的半径为( )
A． B． C．5 D．
150．如图， 为 的直径，将 沿 翻折，翻折后的弧交 于D．若 ，
，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C．8 D．10
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151．如图，在 中，点 在优弧 上，将弧 沿 折叠后刚好经过 的中点 ．若
的半径为5， ，则 的长是（ ）
A． B． C． D．
152．如图，在扇形 中， ，点C，D分别是 和 上的点，且 ，将扇
形沿 翻折，翻折后的 恰好经过点O．若 ，则图中阴影部分的面积是 ．
153．如图，AB是 的直径，点C是 上一点，将劣弧BC沿弦BC折叠交直径AB于点D，连
接CD，若 ，则下列式子正确的是（ ）
A． B． C． D．
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