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专题 3-6 圆的综合（27 类题型）
圆的综合问题常用的规律方法
模块一 圆中常见辅助线
【题型1】遇到弦时
【题型2】遇到有直径时
【题型3】遇到有切线时
【题型4】遇到两相交切线时
【题型5】遇到三角形的内切圆时
【题型6】遇到三角形的外接圆时
模块二 切线证明
类型1 有公共点：连半径，证垂直
【题型7】 特殊角计算证垂直
【题型8】 勾股定理逆定理证垂直
【题型9】 通过平行线代换证垂直
【题型10】利用等角代换法证明垂直
【题型11】利用三角形全等证明垂直
类型2 无公共点：作垂直，证半径
【题型12】角平分线的性质证半径
【题型13】特殊角计算证垂直
模块三 圆中求线段长度
【题型14】结合勾股定理求线段长
【题型15】结合三角函数求线段长
【题型16】结合相似求线段长
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【题型17】利用旋转变换求线段长
模块四 以圆为背景的阴影部分面积问题
【题型18】和差法（割补）
【题型19】拼接法（等积变形）
模块五 其它类型
【题型20】与圆锥的相关计算
【题型21】圆内接四边形
【题型22】圆与相似综合1：等积式相关证明
【题型23】圆与相似综合2：线段积问题
【题型24】圆中线段间的数量关系（和差倍分）
【题型25】选填压轴以圆为背景的多结论判断问题
【题型26】求圆周角的三角函数值
【题型27】圆中的翻折
圆的综合问题常用的规律方法：
技法01：第一问常考考点——切线，对应规律
①切线的判定：常用方法
有切点，连半径，证垂直！
无切点，作垂直，证半径！
☆特别地：题目中所需证的垂直，一般是由已知垂直转化而来的，故有“想证⊥，先找⊥”
②切线的性质：常用方法→见切点，连半径，得垂直！
因切线所得结论必为⊥，故常以直角三角形来展开后续问题
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技法02：考题常见结合考点
角平分线
①知2得1：
平行线 知2得1常用于第1问关联“切线”
等腰△
Rt△相似
②三角形相似： 常因相似得对应边成比例
A字、8字相似结合的可能性最大
进而求长度
母子△相似
③三角函数：相似三角形与三角函数不分家，所以应用方法类似；
特殊之处是：给三角函数，必“找”Rt△
④特殊角及其转化：
15推30、75、75的等腰△
30推等边△（圆心角为60亦可得）
当圆周角为
45推等腰Rt△（圆心角为90亦可得）
60推1:1：3型等腰△（圆心角为120亦可得）
技法03：常见辅助线
①连半径——有关切线时，连接的是过切点的半径
②作弦心距——构造Rt△，进而用知2得3
——或做两条弦心距，构造矩形或正方形
③连接弦——使直径所对的圆周角=90°，进而在Rt△中展开问题
技法04：圆中等积式证明（三角形相似）
圆中的等积式证明主要有下面几种形式：
BE·EF＝DE·AE
（1）
CF2＝CG·CE
（2）
CE2＝k·DE·BO
（3）
MN·MC＝a
（4） （证a为定值）
其中第（1）（2）的形式属最简单的形式，只需要将线段乘积写成比例的形式（
BE AE CF CE
,
3 DE EF CG CF关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
BE AE CF CE
,
）然后找到对应的两个三角形相似即可，稍复杂的题目还会有将等积式中
DE EF CG CF
的线段替换为其他相等的线段情况；
第（3）种形式和第（2）种类似，建议先写成线段比例的形式，然后再考虑数字的归属问题，将系
数分配给某一线段；
MN （）
=
第(4)种情况难度最大，题目中只给两条线段，另外两条需要自己找，建议写成（） MC 的形式，
括号内的一般填入的是题中可求值的线段，再根据题中条件具体分析即可。
【圆中的相似模型】
(1)圆周角定理推论(直径所对圆周角为90°;同弧所对圆周角相等)
(2)圆的内接四边形对角互补(通常是圆内外两个三角形相似)
(3)已知线段比例关系,利用公共角及两边对应成比例证相似
技法05：求阴影部分面积
求阴影部分面积主要有2种形式：①割补法，②等级变形（拼接）
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模块一 圆中常见辅助线
【题型1】遇到弦时
处理方式：常添加弦心距
1．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心
的圆，如图1．唐代陈廷章在《水轮赋》中写道“水能利物，轮乃曲成”．如图2，已知圆心
O在水面上方，且⊙O被水面截得弦AB长为8米，若点C为运行轨道的最低点，点C到弦
AB所在直线的距离是2，则⊙O的半径长为 米．
2．如图，⊙O的半径为10√2，弦AB的长为16√2，P是弦AB上一动点，则线段OP长的最小值
为（ ）
A．10 B．8√2 C．5 D．6√2
3．（2022·安徽中考）已知⊙O的半径为7，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上．若PA＝4，PB＝6，
则OP＝（ ）
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A． B．4 C． D．5
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4．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，∠APC=30°，点P是OA的中点，且AP=2，
则CD= ．
5．已知⊙O的半径是5cm，弦AB∥CD，AB=6cm，CD=8cm，则AB与CD的距离是（ ）
A．7cm B．7cm或1cm C．5cm或2cm D．1cm
6．如图，已知⊙O的直径为26，弦AB=24，动点P、Q在⊙O上，弦PQ=10，若点M、N分
别是弦AB、PQ的中点，则线段MN的取值范围是（ ）
A．7≤MN≤17 B．14≤MN≤34 C．7
