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专题 19 相似三角形重要模型之（双）A 字型与（双）8 字型
相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，
是中考的常考题型。本专题重点讲解相似三角形的（双）A字模型和（双）8（X）字模型．
A字型和8 (X )字型的应用难点在于过分割点(将线段分割的点)作平行线构造模型，有的是直接作平行
线，有的是间接作平行线(倍长中线就可以理解为一种间接作平行线) ， 这一点在模考中无论小题还是大
题都是屡见不鲜的。
模型1. “A”字模型
【模型解读与图示】
“A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角
相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似．
图1 图2 图3
1）“A”字模型 条件：如图1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC⇔＝＝.
2）反“A”字模型 条件：如图2，∠AED＝∠B；结论：△ADE∽△ACB⇔＝＝.
3）同向双“A”字模型
条件：如图3，EF∥BC；结论：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC⇔
例1．（2023·湖北十堰·统考中考真题）如图，在菱形 中，点E，F，G，H分别是 ，
， ， 上的点，且 ，若菱形的面积等于24， ，则
．
【1 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】6
【分析】连接 ，交 于点O，由题意易得 ， ， ， ，则有 ，
然后可得 ，设 ，则有 ，进而根据相似三角形的性质可进
行求解．
【详解】解：连接 ，交 于点O，如图所示：
∵四边形 是菱形， ，∴ ， ， ，
，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，同理可得 ，
设 ，则有 ，
∵ ，∴ ，∴ ，即 ，∴ ，
同理可得 ，即 ，∴ ，∴ ；故答案为6．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定及菱形的性质，熟练掌握菱形的性质及相似三角形的性质
与判定是解题的关键．
例2．（2023·安徽·九年级期末）如图，在三角形 中，点D、E分别在边 、 上， ，
， ， ．(1)求证： ；(2)若 的平分线交 于点F，交 于点G，
求 ．
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【答案】(1)见解析(2)
【分析】（1）证明 ， ，可得 ，结合 ，从而可得结论；
（2）由（1）可得 ，可得 ，证明 ，可得 ，再利
用相似三角形的性质可得答案．
【详解】（1）解：∵ ， ， ， ，
∴ ， ．∴ ， ，∴ ，
又∵ ，∴ ，∴ ．
（2）由（1）可得 ，∴ ，又∵ 平分 ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ．
【点睛】本题考查的是角平分线的定义，相似三角形的判定与性质，相似三角形的判定方法是解本题关键．
例3．（2022·山东东营·中考真题）如图，在 中，点F、G在 上，点E、H分别在 、 上，
四边形 是矩形， 是 的高． ，那么 的长为____________．
【答案】 ##4.8
【分析】通过四边形EFGH为矩形推出 ，因此△AEH与△ABC两个三角形相似，将AM视为
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△AEH的高，可得出 ，再将数据代入即可得出答案．
【详解】∵四边形EFGH是矩形，∴ ，∴ ，
∵AM和AD分别是△AEH和△ABC的高，
∴ ，∴ ，
∵ ，代入可得： ，解得 ，
∴ ，故答案为： ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质及矩形的性质，灵活运用相似三角形的性质是本题的关键．
例4．（2022·浙江宁波·中考真题）(1)如图1，在 中，D，E，F分别为 上的点，
交 于点G，求证： ．
(2)如图2，在（1）的条件下，连接 ．若 ，求 的值．
(3)如图3，在 中， 与 交于点O，E为 上一点， 交 于点G，
交 于点F．若 平分 ，求 的长．
【答案】(1)证明见详解(2) (3)
【分析】（1）利用 ，证明 ，利用相似比即可证明此问；
（2）由（1）得 ， ，得出 是等腰三角形，利用三角形相似即可求出 的值；
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（3）遵循第（1）、（2）小问的思路，延长 交 于点M，连接 ，作 ，垂足为N．构造
出等腰三角形、含30°、45°角的特殊直角三角形，求出 、 的值，即可得出 的长．
(1)解：∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ．∵ ，∴ ．
(2)解：由（1）得 ，∵ ，∴ ．
∵ ，∴ ．∵ ，∴ ．∴ ．
(3)解：如图，延长 交 于点M，连接 ，作 ，垂足为N．
在 中， ．∵ ，∴由（1）得 ，
∵ ，∴ ，∴ ．
∵ ，∴ ，∴ ．
∵ 平分 ，∴ ，∴ ．
∴．在 中， ．
∵ ，∴ ，∴ ．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质及判定、等腰三角形的性质及判定、解特殊的直角三角形等知识，
遵循构第（1）、（2）小问的思路，构造出等腰三角形和特殊的直角三角形是解决本题的关键．
例5. （2023•安庆一模）如图，在△ABC中，点 D、E、F分别在边 BC、AB、CA上，且 DE∥CA，
DF∥AB．（1）若点D是边BC的中点，且BE＝CF，求证：DE＝DF；（2）若AD⊥BC于D，且BD＝
CD，求证：四边形AEDF是菱形；（3）若AE＝AF＝1，求 + 的值．
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【分析】（1）根据中点和平行两个条件可得中点，从而可得DE是△ABC的中位线，进而可得DE＝FC，
同理可得DF＝BE，即可解答；（2）根据已知易证四边形AEDF是平行四边形，再利用等腰三角形的三线
合一性质可得∠BAD＝∠CAD，然后利用平行线的性质可得∠EDA＝∠CAD，从而可得∠BAD＝∠EDA，
进而可得EA＝ED，即可解答；（3）根据A字模型相似三角形可知△BED∽△BAC，△CDF∽△CBA，从
而可得 ＝ ， ＝ ，然后把两个式子相加进行计算，即可解答．
【解答】（1）证明：∵点D是边BC的中点，DE∥CA，
∴点E是AB的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝ AC，
∵点D是边BC的中点，DF∥AB，∴点F是AC的中点，
∴FC＝ AC，∴DE＝FC，同理可得：DF＝BE，∵BE＝FC，∴DE＝DF；
（2）证明：∵DE∥CA，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，
∵AD⊥BC，BD＝CD，∴AD是BC的垂直平分线，
∴AB＝AC，∴∠BAD＝∠CAD，∵DE∥AC，∴∠EDA＝∠CAD，
∴∠BAD＝∠EDA，∴EA＝ED，∴四边形AEDF是菱形；
（3）∵DE∥CA，∴∠EDB＝∠C，
∵∠B＝∠B，∴△BED∽△BAC，∴ ＝ ，∵DF∥AB，∴∠B＝∠FDC，
∵∠C＝∠C，∴△CDF∽△CBA，∴ ＝ ，∴ + ＝ + ＝ ＝1，
∵四边形AEDF是平行四边形，∴DE＝AF，DF＝AE，
∵AE＝AF＝1，∴DE＝DF＝1，∴ + ＝1，∴ + 的值为1．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，分式
的化简求值，菱形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定与性质，以及A字模型相似三角形的关键．
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模型2. “X”字模型（“8”模型）
【模型解读与图示】
“8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定
这两个三角形相似．
图1 图2 图3 图4
1）“8”字模型
条件：如图1，AB∥CD；结论：△AOB∽△COD⇔＝＝.
2）反“8”字模型
条件：如图2，∠A＝∠D；结论：△AOB∽△DOC⇔＝＝.
3）平行双“8”字模型
条件：如图3，AB∥CD；结论：
4）斜双“8”字模型
条件：如图4，∠1＝∠2；结论：△AOD∽△BOC，△AOB∽△DOC⇔∠3＝∠4.
例1．（2022·辽宁·中考真题）如图，在正方形 中，E为 的中点，连接 交 于点F．若
，则 的面积为___________．
【答案】3
【分析】由正方形的性质可知 ， ，则有 ，然后可得
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，进而问题可求解．
【详解】解：∵四边形 是正方形， ，
∴ ， ，∴ ，∴ ，
∵E为 的中点，∴ ，
∴ ， ，∴ ，∴ ；故答案为3．
【点睛】本题主要考查正方形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质及相似三角形的
性质与判定是解题的关键．
例2．（2023·黑龙江·哈尔滨九年级阶段练习）如图， ， ， 分别交 于点G，
H，则下列结论中错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据平行线分线段成比例和相似三角形的性质与判定，进行逐一判断即可．
【详解】解：∵AB∥CD∴ ，∴A选项正确，不符合题目要求；
∵AE∥DF，∴∠CGE=∠CHD，∠CEG=∠D，∴△CEG∽△CDH，∴ ，∴ ，
∵AB∥CD，∴ ，∴ ，∴ ，∴ ，∴B选项正确，不符合题目要求；
∵AB∥CD，AE∥DF，∴四边形AEDF是平行四边形，∴AF=DE，
∵AE∥DF∴ ，∴ ； ∴C选项正确，不符合题目要求；
∵AE∥DF，∴△BFH∽△BAG，∴ ，
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∵AB＞FA，∴ ∴D选项不正确，符合题目要求． 故选D．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质和判定的应用，能根据定理得出比例式
是解此题的关键．
例3．（2021·上海·中考真题）如图，在梯形 中， 是对角线 的
中点，联结 并延长交边 或边 于E．
（1）当点E在边 上时，①求证： ；②若 ，求 的值；
（2）若 ，求 的长．
【答案】（1）①见解析；② ；（2） 或
【分析】（1）①根据已知条件、平行线性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可推导，
，由此可得 ；
②若 ，那么在 中，由 ．可得 ，作 于H．设
，那么 ．根据 所对直角边是斜边的一半可知 ，由此可得 的值．
（2）①当点E在 上时，可得四边形 是矩形，设 ，在 和 中，根据
，列方程 求解即可．
②当点E在 上时，设 ，由 ，得 ，所以 ，所以 ；
由 得 ，所以 ，解出x的值即可．
【详解】（1）①由 ，得 ．
由 ，得 ．
因为 是 斜边上的中线，所以 ．所以 ．
所以 ．所以 ．
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②若 ，那么在 中，由 ．可得 ．
作 于H．设 ，那么 ．
在 中， ，所以 ．
所以 ．所以 ．
（2）①如图5，当点E在 上时，由 是 的中点，可得 ，
所以四边形 是平行四边形．又因为 ，所以四边形 是矩形，
设 ，已知 ，所以 ．已知 ，所以 ．
在 和 中，根据 ，列方程 ．
解得 ，或 （ 舍去负值）．
②如图6，当点E在 上时，设 ，已知 ，所以 ．
设 ，已知 ，那么 ．
一方面，由 ，得 ，所以 ，所以 ，
另一方面，由 是公共角，得 ．
所以 ，所以 ．
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等量代换，得 ．由 ，得 ．
将 代入 ，整理，得 ．
解得 ，或 （舍去负值）．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，斜边上的中线，勾股定理等，能够运用相似三角形边的
关系列方程是解题的关键．
例4．（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，在四边形 中，对角线 与 相交于点O，记 的
面积为 ， 的面积为 ．（1）问题解决：如图①，若AB//CD，求证：
（2）探索推广：如图②，若 与 不平行，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请
说明理由．（3）拓展应用：如图③，在 上取一点E，使 ，过点E作 交 于点F，
点H为 的中点， 交 于点G，且 ，若 ，求 值．
【答案】（1）见解析；（2）（1）中的结论成立，理由见解析：（3）
【分析】（1）如图所示，过点D作AE⊥AC于E，过点B作BF⊥AC于F，求出
，然后根据三角形面积公式求解即可；
（2）同（1）求解即可；
（3）如图所示，过点A作 交OB于M，取BM中点N，连接HN，先证明△OEF≌△OCD，得到
OD=OF，证明△OEF∽△OAM，得到 ，设 ，则
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，证明△OGF∽△OHN，推出 ， ，则
，由（2）结论求解即可．
【详解】解：（1）如图所示，过点D作AE⊥AC于E，过点B作BF⊥AC于F，
∴ ，∴ ，
，
∵∠DOE=∠BOF，∴ ；∴ ；
（2）（1）中的结论成立，理由如下：如图所示，过点D作AE⊥AC于E，过点B作BF⊥AC于F，
∴ ，∴ ，
，
∵∠DOE=∠BOF，∴ ；∴ ；
（3）如图所示，过点A作 交OB于M，取BM中点N，连接HN，
∵ ，∴∠ODC=∠OFE，∠OCD=∠OEF，
又∵OE=OC，∴△OEF≌△OCD（AAS），∴OD=OF，
∵ ，∴△OEF∽△OAM，∴ ，
设 ，则 ，
∵H是AB的中点，N是BM的中点，∴HN是△ABM的中位线，
∴ ，∴△OGF∽△OHN，∴ ，
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∵OG=2GH，∴ ，∴ ，
∴ ， ，∴ ，
由（2）可知 ．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形中
位线定理，正确作出辅助线是解题的关键．
模型3. “AX”字模型（“A8”模型）
【模型解读与图示】
图1 图2 图3
1）一“A”一“8”模型
条件：如图1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC，△DEF∽△CBF⇔
2）两“A”一“8”模型
条件：如图2，DE∥AF∥BC；结论： .
3）四“A”一“8”模型
条件：如图3，DE∥AF∥BC, ；结论：AF=AG
例1．（2022·山东东营·中考真题）如图，点D为 边 上任一点， 交 于点E，连接
相交于点F，则下列等式中不成立的是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平行线分线段成比例定理即可判断A，根据相似三角形的性质即可判断B、C、D．
【详解】解：∵ ，
∴ ，△DEF∽△CBF，△ADE∽△ABC，故A不符合题意；
∴ ， ，故B不符合题意，C符合题意；
∴ ，故D不符合题意；故选C．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例定理，熟知相似三角形的性质与
判定，平行线分线段成比例定理是解题的关键．
例2．（2021·江苏南京·中考真题）如图， 与 交于点O， ，E为 延长线
上一点，过点E作 ，交 的延长线于点F．
（1）求证 ；（2）若 ，求 的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）
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【分析】（1）直接利用“AAS”判定两三角形全等即可；
（2）先分别求出BE和DC的长，再利用相似三角形的判定与性质进行计算即可．
【详解】解：（1）∵ ，
又∵ ，∴ ；
（2）∵ ，
∴ ， ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ 的长为 ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线分线段成比例的推论、相似三角形的判定与性质等，
解决本题的关键是牢记相关概念与公式，能结合图形建立线段之间的关联等，本题较基础，考查了学生的
几何语言表达和对基础知识的掌握与应用等．
例3. （2022·重庆九年级期中）如图，AD与BC相交于点E，点F在BD上，且AB∥EF∥CD，
求证：＋＝.
证明：∵AB∥EF，∴△DEF∽△DAB，∴＝.
又∵EF∥CD，∴△BEF∽△BCD.∴＝.
∴＋＝＋＝＝1.∴＋＝.
例4．（2022•安庆模拟）在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．
（1）如图①，若四边形ABCD为矩形，过点O作OE⊥BC，求证：OE＝ CD．
（2）如图②，若AB∥CD，过点O作EF∥AB分别交BC、AD于点E、F．求证： ＝2．
（3）如图③，若OC平分∠AOB，D、E分别为OA、OB上的点，DE交OC于点M，作MN∥OB交OA于
一点N，若OD＝8，OE＝6，直接写出线段MN长度．
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【分析】（1）由OE⊥BC，DC⊥BC，可知EO∥CD，且OB＝OD，可得结论；
（2）由△DFO∽△DAB，得 ，同理 ， ， ，利用等式的性质将比例式相加，
从而得出结论；（3）作DF∥OB交OC于点F，连接EF，可知△ODF是等腰三角形，得DO＝DF＝8，由
△DMF∽△EMO，可得EM＝ ，由△DMN∽△DOE，得 ，从而得出答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴O是AC中点，AB⊥BC，
∵OE⊥BC，∴OE∥AB，∴E是BC中点，∴OE＝ ；
（2）证明：∵EF∥AB，∴△DFO∽△DAB，∴ ，
同理 ， ， ，∴ ＝ ，
∴ ，即 ；
（3）解：作DF∥OB交OC于点F，连接EF，
∵OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC，∵DF∥OB，∴∠DFO＝∠BOC＝∠AOC，
∴△ODF是等腰三角形，∴DO＝DF＝8，∵DF∥OE，∴△DMF∽△EMO，
∴ ，∴EM＝ ，∴ ，
∵MN∥OE，∴△DMN∽△DOE，∴ ，∴ ，∴MN＝ ．
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【点评】本题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，
对比例式进行恒等变形是解题的关键．
课后专项训练
1. （2021·山东淄博·中考真题）如图， 相交于点 ，且 ，点 在同一条直线上．
已知 ，则 之间满足的数量关系式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
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【分析】由题意易得 ， ，则有 ， ，然后可得 ，
进而问题可求解．
【详解】解：∵ ，∴ ， ，
∴ ， ，∴ ，
∵ ，∴ ，即 ；故选C．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
2．（2023秋·山西阳泉·九年级统考期末）如图，在四边形 中， ，对角线 与 相交于
点E， ， ， ， ，则对角线 与 的长分别是（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】D
【分析】过点B作 交 于点O，证明 ，可求得 ， ，根据勾股
定理求出 的长，进而可求出 的长，再根据勾股定理求出 的长，进而求出 的长．
【详解】过点B作 交 于点O，如图所示：
∵ ， ，∴ ．
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∵ ，∴ ，∴ ．
∵ ，∴ ．∵ ，∴ ，∴ ．
∵ ， ，∵ ，∴ ，∴ ．
在 中， ，即 ，解得： ，∴ ．
∵ ， ，∴ ，∴ ，
∴ ．故选D ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股
定理以及平行线的性质，解题的关键是利用勾股定理求出BE的长度．
3．（2023·福建福州·校考二模）在数学综合实践课上，某学习小组计划制作一个款式如图所示的风筝．在
骨架设计中，两条侧翼的长度设计 ，风筝顶角 的度数为 ，在 上取D，
E两处，使得 ，并作一条骨架 ．在制作风筝面时，需覆盖整个骨架，根据以上数据，B，
C两点间的距离大约是（ ）（参考数据： ）
A．41 B．57 C．82 D．143
【答案】C
【分析】设 与 交于点 ，连接 ，交 于点 ，根据已知易证 ，然后利用相似
三角形的性质可得 ，从而可得 ，进而可得 ，再利用等腰三角形的三线
合一性质可得 ， ，最后在 中，利用锐角三角函数的定义求出 的
长，即可解答．
【详解】解：设 与 交于点 ，连接 ，交 于点 ，
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， ， ，
， ， ， ，
， ， ， ， ， ，
在 中， ， ，
， ， 两点间的距离大约是 ，故选：C．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，相似三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添
加适当的辅助线是解题的关键．
4．（2022·湖北十堰·中考真题）如图，某零件的外径为10cm，用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相
等）可测量零件的内孔直径AB．如果OA：OC=OB：OD=3，且量得CD=3cm，则零件的厚度x为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出 AOB和 COD相似，利用相似三角形对应边成比例列式计算求出AB，再
根据外径的长△度解答．△
【详解】解：∵OA：OC=OB：OD=3，∠AOB=∠COD，
∴△AOB∽△COD，∴AB：CD=3，∴AB：3=3，∴AB=9（cm），
∵外径为10cm，∴19+2x=10，∴x=0.5（cm）．故选：B．
【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是利用相似三角形的性质求出AB的长．
5．（2022·湖南怀化·中考真题）如图，△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若S ADE＝2，则S ABC
△ △
＝_____．
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【答案】8
【分析】根据三角形中位线定理求得DE∥BC， ，从而求得△ADE∽△ABC，然后利用相似三角形的性
质求解．
【详解】解：∵D、E分别是AB、AC的中点，则DE为中位线，
所以DE∥BC， 所以△ADE∽△ABC∴
∵S =2，∴S =8故答案为：8．
ADE ABC
△ △
【点睛】本题考查中位线及平行线性质，本题难度较低，主要考查学生对三角形中位线及平行线性质等知
识点的掌握．
6．（2023·广东梅州·九年级统考期末）如图，在 中，点 在 上，点 分别在 、
上，四边形 是矩形， ， 是 的高， ， ，那么 的长为 ．
【答案】6
【分析】通过四边形 为矩形推出 ，因此 与 两个三角形相似，将 视为
的高，可得出 ，再将数据代入即可得出答案．
【详解】解：设 与 交于点M．
∵四边形 是矩形，∴ ，∴ ，
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∵ 和 分别是 和 的高，∴ ，
∴ ，
∵ ，代入可得： ，解得 ，
∴ ，故答案为： ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质及矩形的性质，灵活运用相似三角形的性质是本题的关键．
7.（2023·广东深圳·校考三模）如图，在 中， ，D是 上一点，点E在
上，连接 交于点F，若 ，则 ＝ ．
【答案】2
【分析】过D作 垂直 于H点，过D作 交BC于G点，先利用解直角三角形求出 的长，
其次利用 ，求出 的长，得出 的长，最后利用 求出 的长，最后得出
答案．
【详解】解：如图：过D作 垂直 于H点，过D作 交 于G点，
∵在 中， ，∴ ，
又∵ ，∴ ，∴在等腰直角三角形 中， ，∴ ，
在 中， ，
∵ ， ∴ ， ，∴ ，
又∵ ，∴ ，∴ ，
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∴ ，即 ，∴ ，∴ ，
又∵ ，∴ ，又∵ ，∴ ，
又 ，∴ ，∴ ，故答案为：2．
【点睛】本题考查勾股定理，等腰直角三角形性质及相似三角形的判定与性质综合，解题关键在于正确做
出辅助线，利用相似三角形的性质得出对应边成比例求出答案．
8．（2022·四川宜宾·中考真题）如图， 中，点E、F分别在边AB、AC上， ．若 ，
， ，则 ______．
【答案】
【分析】易证 AEF∽ ABC，得 即 即可求解．
△ △
【详解】解：∵∠1=∠2，∠A=∠A，∴ AEF∽ ABC，
△ △
∴ ，即
∵ ， ， ，∴ ，∴EF= ，故答案为： ．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质定理是解题的关键．
9．（2022·辽宁阜新·中考真题）如图，在矩形 中， 是 边上一点，且 ， 与 相
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交于点 ，若 的面积是 ，则 的面积是______．
【答案】27
【分析】根据矩形 的性质，很容易证明 ∽ ，相似三角形之比等于对应边比的平方，即
可求出 的面积．
【详解】解： 四边形 是矩形， ， ，
， ∽ ， ， ， ： ： ，
： ： ，即 ： ： ， ．故答案为： ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，综合性比较强，学生要灵活应用．掌握相似
三角形的面积比是相似比的平方是解题的关键．
10．（2022·湖北荆门·中考真题）如图，点G为△ABC的重心，D，E，F分别为BC，CA，AB的中点，具
有性质：AG：GD＝BG：GE＝CG：GF＝2：1．已知△AFG的面积为3，则△ABC的面积为 _____．
【答案】18
【分析】根据线段比及三角形中线的性质求解即可．
【详解】解：∵CG：GF＝2：1，△AFG的面积为3，
∴△ACG的面积为6，∴△ACF的面积为3+6＝9，
∵点F为AB的中点，∴△ACF的面积＝△BCF的面积，
∴△ABC的面积为9+9＝18，故答案为：18．
【点睛】题目主要考查线段比及线段中点的性质，熟练掌握线段中点的性质是解题关键．
11．（2023·福建·统考中考真题）阅读下列材料，回答问题
任务：测量一个扁平状的小水池的最大宽度，该水池东西走向的最大宽度 远大于南北走向的最大宽度，
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如图1．
工具：一把皮尺（测量长度略小于 ）和一台测角仪，如图2．皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点
间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度）；
测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点 处，对其视线可及的 ， 两点，可测得 的大小，如
图3．
小明利用皮尺测量，求出了小水池的最大宽度 ，其测量及求解过程如下：测量过程：
（ⅰ）在小水池外选点 ，如图4，测得 ， ；
（ⅱ）分别在 ， ，上测得 ， ；测得 ．求解过程：
由测量知， ， ， ， ，
∴ ，又∵①___________，
∴ ，∴ ．
又∵ ，∴ ②___________ ．
故小水池的最大宽度为___________ ．
(1)补全小明求解过程中①②所缺的内容；(2)小明求得 用到的几何知识是___________；
(3)小明仅利用皮尺，通过5次测量，求得 ．请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何
量，并利用解直角三角形的知识求小水池的最大宽度 ，写出你的测量及求解过程．要求：测量得到的
长度用字母 ， ， 表示，角度用 ， ， 表示；测量次数不超过4次（测量的几何量能求出 ，
且测量的次数最少，才能得满分）．
【答案】(1)① ；② (2)相似三角形的判定与性质(3)最大宽度为 ，见解析
【分析】（1）根据相似三角形的判定和性质求解即可；（2）根据相似三角形的判定和性质进行回答即可；
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（3）测量过程：在小水池外选点 ，用测角仪在点 处测得 ，在点 处测得 ；用皮
尺测得 ；求解过程：过点 作 ，垂足为 ，根据锐角三角函数的定义推得 ，
， ，根据 ，即可求得．
【详解】（1）∵ ， ， ， ，∴ ，
又∵ ，∴ ，∴ ．
又∵ ，∴ ．故小水池的最大宽度为 ．
（2）根据相似三角形的判定和性质求得 ，故答案为：相似三角形的判定与性质．
（3）测量过程：（ⅰ）在小水池外选点 ，如图，用测角仪在点 处测得 ，在点 处测得
；
（ⅱ）用皮尺测得 ．求解过程：由测量知，在 中， ， ， ．
过点 作 ，垂足为 ．在 中， ，
即 ，所以 ．同理， ．在 中， ，
即 ，所以 ．所以 ．
故小水池的最大宽度为 ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形的实际应用，根据题意画出几何图形，建立
数学模型是解题的关键．
12．（2023秋·山西运城·九年级统考期末）综合与实践
问题情境：如图1，在 中， ， ， ，点 是 上一点，将 沿直线
折叠，点 落在 上的点 ，连接 ．
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独立思考(1)如图 ，求 的值；
问题拓展 如图 ，点 是图1中AB上一动点，连接 ，交 于点 ．
(2)当点 是 的中点时，求证： ；(3)当点 是 的中点时，请你直接写出 的值．
【答案】（1） ；（2）见解析；（3）
【分析】（1）由折叠性质可知 ，利用等面积求出 长即可；
（2）添加辅助线构造全等三角形和相似三角形，利用性质即可证明；
（3）作平行线构造全等三角形和相似三角形，利用性质即可求解．
【详解】解：（1）方法一：在 中， ， ，
由折叠可知： ，∵ ，
∴ ，∴ ，∴ ，
在 中， ， ，
方法二：在 中， ， ，
由折叠可知： ， ， ，∴ ，
∵ ， ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ，∴ ，
在 中， ，∴ ，
方法三：在 中， ， ，
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由折叠可知： ， ． ，∴ ，
在 中， ， ，在 中， ， ，
∴ ，∴ ∴ ，∴ ，
在 中， ，∴ ，
（2）方法一：延长 到点 ，使 ，连接 ，
∵ ， ，∴ ．
∴ ， ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ，
方法二：过点 作 交 的延长线于点 ，
∴ ， ， ，
又∵ ，∴ ，∴ ， ，∴ ，
∴ ，∴ ．
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方法三：作 于点 ，∴ ，∴ ∴
∵ ， ．∴ ，∴ ，
在 中， ， ，∴
设 ，在 中， ， ．∴ ，
在 中， ， ．∴ ．∴
(3)如图，过 作 ，交 延长线于点 ，
∴ ， ，∵ 为 中点，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
由 得： ，∴ ．
【点睛】此题考查了全等三角形和相似三角形，解题的关键是如何添加辅助线，熟练掌握以上知识的性质
及其应用．
13．（2023·湖南郴州·统考中考真题）已知 是等边三角形，点 是射线 上的一个动点，延长
至点 ，使 ，连接 交射线 于点 ．
(1)如图1，当点 在线段 上时，猜测线段 与 的数量关系并说明理由；
(2)如图2，当点 在线段 的延长线上时，
①线段 与 的数量关系是否仍然成立？请说明理由；
②如图3，连接 ．设 ，若 ，求四边形 的面积．
【答案】(1) ，理由见解析(2)①成立，理由见解析②
【分析】（1）过点 作 ，交 于点 ，易得 ，证明 ，得到
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，即可得出结论．（2）①过点 作 ，交 的延长线于点 ，易得 ，
证明 ，得到 ，即可得出结论；②过点 作 ，交 的延长线于点
，过点 作 ，交 于点 ，交 于点 ，根据已知条件推出 ，得到
，证明 ，得到 ，求出 的长，利用四边形 的面
积为 进行求解即可．
【详解】（1）解： ，理由如下：
∵ 是等边三角形，∴ ，
过点 作 ，交 于点 ，
∴ ， ，
∴ 为等边三角形，∴ ，
∵ ， ，∴ ， ，
又 ，∴ ，∴ ，∴ ；
（2）①成立，理由如下：∵ 是等边三角形，∴ ，
过点 作 ，交 的延长线于点 ，
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∴ ， ，
∴ 为等边三角形，∴ ，
∵ ， ，∴ ， ，
又 ，∴ ，∴ ，∴ ；
②过点 作 ，交 的延长线于点 ，过点 作 ，交 于点 ，交 于点 ，则：
，由①知： 为等边三角形， ， ，
∵ 为等边三角形，∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ， ，
∴ ，∴ ，∴ ，
设 ，则： ， ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，即： ②，
联立①②可得： （负值已舍去），经检验 是原方程的根，
∴ ， ， ，
∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴四边形 的面积为
．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角
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形．本题的综合性强，难度大，属于中考压轴题，解题的关键是添加辅助线构造特殊三角形，全等和相似
三角形．
14．（2023·浙江·九年级专题练习）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，在边AB的延长线上截取
BE＝AB，点F在AE的延长线上，CE和DF交于点M，BC和DF交于点N，联结BD．
（1）求证：△BND∽△CNM；
（2）如果AD2＝AB•AF，求证：CM•AB＝DM•CN．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）利用平行四边形的性质得AB=CD，AB∥CD，再证明四边形BECD为平行四边形得到
BD∥CE，根据相似三角形的判定方法，由CM∥DB可判断△BND∽△CNM；
（2）先利用AD2=AB•AF可证明△ADB∽△AFD，则∠1=∠F，再根据平行线的性质得∠F=∠4，∠2=∠3，所
以∠3=∠4，加上∠NMC=∠CMD，于是可判断△MNC∽△MCD，所以MC：MD=CN：CD，然后利用CD=AB
和比例的性质即可得到结论．
【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，而BE=AB， ∴BE=CD，而BE∥CD，
∴四边形BECD为平行四边形，∴BD∥CE，∵CM∥DB，∴△BND∽△CNM；
（2）∵AD2=AB•AF，∴AD：AB=AF：AD，而∠DAB=∠FAD，
∴△ADB∽△AFD，∴∠1=∠F，
∵CD∥AF，BD∥CE，∴∠F=∠4，∠2=∠3，∴∠3=∠4，
而∠NMC=∠CMD，∴△MNC∽△MCD，∴MC：MD=CN：CD，
∴MC•CD=MD•CN，而CD=AB，∴CM•AB=DM•CN．
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【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共
角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相
似三角形．在运用相似三角形的性质时主要利用相似比计算线段的长．也考查了平行四边形的判定与性质．
15．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）问题背景：如图1，在四边形 中，点F，E，G分别在
上， ， ，求证：
尝试应用：如图 2， 是 的中线，点E在 上，直线 交 于点G，直线 交 于点F，
若 ，求 的值．
迁移拓展：如图3，在等边 中，点D在 上，点E在 上，若 ， ，直接
写出 的值．（用含m的式子表示）
【答案】问题背景：见解析；尝试应用： ；迁移拓展：
【分析】问题背景：根据 ， ，推出 ，根据对应边成比例即
可得到结论；尝试应用：延长 至D，使得 ，连接 ， 证得四边形 是平行四边
形，得到 ，由图（1）得， ，即可得到 ，利用
，得到 ；迁移拓展：过点E作 ，交 于点M，交 于点N，得到 也
是等边三角形，推出 ，证明 ，得到 ，即
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，由图（1）可得 ，设 ，则 ，求出 ，即可得到
．
【详解】问题背景：如图（1），证明：∵ ， ，
∴ ，∴ ，∴ ；
尝试应用：如图（2），解：延长 至D，使得 ，连接 ，
∵ 是 的中线，∴ ，∵ ，∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
由图（1）得， ，∴ ，∴ ，∵ ，∴ ；
迁移拓展：如图（3），过点E作 ，交 于点M，交 于点N，
∵ 是等边三角形，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ 也是等边三角形，
∴ ∴ ，
又∵
∴ ∴ ，即 ，
∴ 由图（1）可得 ，
设 ，则 ，∴ ，∴ ，∴ ．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质，应用类比的方法解决问题，正确掌握相似三角形的判定和
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性质及类比方法是解题的关键．
16．（2023·浙江杭州·统考中考真题）在边长为 的正方形 中，点 在边 上（不与点 ， 重
合），射线 与射线 交于点 ．(1)若 ，求 的长．(2)求证： ．
(3)以点 为圆心， 长为半径画弧，交线段 于点 ．若 ，求 的长．
【答案】(1) (2)见解析(3)
【分析】（1）证明 ，利用相似三角形的对应边成比例求解；
（2）证明 ，利用相似三角形的对应边成比例证明；
（3）设 ，则 ， ，在 中，利用勾股定理求解．
【详解】（1）解：由题知， ，
若 ，则 ． 四边形 是正方形， ，
又 ， ， ，即 ， ．
（2）证明： 四边形 是正方形， ， ，
， ， ， ．
（3）解：设 ，则 ， ．
在 中， ，即 ，解得 ． ．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理的应用，正方形的性质等，熟练掌握相关性质定
理是解题的关键．
17．（2022·四川内江·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，点M、N分别在AB、AD上，
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且MN⊥MC，点E为CD的中点，连接BE交MC于点F．
(1)当F为BE的中点时，求证：AM＝CE；(2)若 ＝2，求 的值；(3)若MN∥BE，求 的值．
【答案】(1)见解析(2) (3)
【分析】(1)根据矩形的性质，证明△BMF≌ △ECF，得BM＝CE，再利用点E为CD的 中点，即可证明结
论； (2)利用△BMF∽△ECF，得 ，从而求出BM的长，再利用△ANM∽△BMC ，得
，求出AN的长，可得答案； (3)首先利用同角的余角相等得 CBF＝ CMB，则tan∠CBF＝
∠ ∠
tan∠CMB，得 ，可得BM的长，由（2）同理可得答案．
(1)证明：∵F为BE的中点，∴BF＝EF，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD
∴∠BMF＝∠ECF，∵∠BFM＝∠EFC，∴△BMF≌△ECF（AAS），∴BM＝CE，
∵点E为CD的中点，∴CE＝ CD，∵AB＝CD，∴ ，∴ ，∴AM＝CE；
(2)∵∠BMF＝∠ECF，∠BFM＝∠EFC，∴△BMF∽△ECF，∴ ，
∵CE＝3，∴BM＝ ，∴AM＝ ，∵CM⊥MN，∴∠CMN＝90°，∴∠AMN+∠BMC＝90°，
∵∠AMN+∠ANM＝90°，∴∠ANM＝∠BMC，
∵∠A＝∠MBC，∴△ANM∽△BMC，∴ ，∴ ，∴ ，
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∴DN＝AD﹣AN＝4﹣ ＝ ，∴ ；
(3)∵MN∥BE，∴∠BFC＝∠CMN，∴∠FBC+∠BCM＝90°，
∵∠BCM+∠BMC＝90°，∴∠CBF＝∠CMB，∴tan∠CBF＝tan∠CMB，
∴ ，∴ ，∴ ，∴ ，
由（2）同理得， ，∴ ，解得：AN＝ ，
∴DN＝AD﹣AN＝4﹣ ＝ ，∴ ．
【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与
性质，三角函数等知识，求出BM的长是解决（2）和（3）的关键．
18．（2023•重庆中考模拟）问题提出：如图1，D、E分别在△ABC的边AB、AC上，连接DE，已知线段
AD＝a，DB＝b，AE＝c，EC＝d，则S ，S 和a，b，c，d之间会有怎样的数量关系呢？
△ADE △ABC
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问题解决：探究一：（1）看到这个问题后，我们可以考虑先从特例入手，找出其中的规律．如图2，若
DE∥BC，则∠ADE＝∠B，且∠A＝∠A，所以△ADE∽△ABC，可得比例式： 而根据相似三角形面
积之比等于相似比的平方．可得 ．根据上述这两个式子，可以推出：
．
（2）如图3，若∠ADE＝∠C，上述结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；着不成立，请说明理由．
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探究二：回到最初的问题，若图1中没有相似的条件，是否仍存在结论： ？方法回顾：
两个三角形面积之比，不仅可以在相似的条件下求得，当两个三角形的底成高具有一定的关系时，也可以
解决．如图4，D在△ABC的边上，做AH⊥BC于H，可得： ．借用这个结论，请
你解决最初的问题．
延伸探究：（1）如图5，D、E分别在△ABC的边AB、AC反向延长线上，连接DE，已知线段AD＝a，AB＝
b，AE＝c，AC＝d，则 ．（2）如图6，E在△ABC的边AC上，D在AB反向延长线上，连接
DE，已知线段AD＝a，AB＝b，AE＝c，AC＝d， ．
结论应用：如图7，在平行四边形ABCD中，G是BC边上的中点，延长GA到E，连接DE交BA的延长线于
F，若AB＝5，AG＝4，AE＝2， ▱ABCD的面积为30，则△AEF的面积是 ．
【答案】探究一：（2）见解析；延伸探究：（1） ;（2） ；结论应用：
【分析】问题解决：探究一（2）：参照（1）中证明方法解答即可；
探究二，过D、B点分别作 ,垂足分别为M、N，然后按照探究一中方法证明即可；
延伸探究：（1）过D、B点分别作 ,垂足分别为M、N，然后按照探究一中方法证明即可；
（2）过D、B点分别作 ,垂足分别为M、N，然后按照探究一中方法证明即可；
结论应用：取AD的中点M，连接GM并延长交DE于点N，连接DG，可得 ,根据题意，进而得出
,根据AM=DM, ,可得FN=DN，根据AE=2，AG=4， ，可得FN=2EF，进而可得
ED=5EF，即可得出 ．
【详解】解：问题解决：探究一：
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（2）成立，理由如下：∵∠ADE＝∠C，∠A＝∠A，∴ ,∴ ，
∴ ；
探究二：过D、B点分别作 ,垂足分别为M、N，
∵ ，∴ ,∴ ,
；
延伸探究：（1）过D、B点分别作 ,垂足分别为M、N，
∵ ，∴ ,∴ , ；
（2）过D、B点分别作 ,垂足分别为M、N，
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∵ ，∴ ,∴ , ;
结论应用：取AD的中点M，连接GM并延长交DE于点N，连接DG，
∴AM=DM， ，∵AE=2，AG=4，∴ ,
∵AM=DM, ,∴FN=DN，∵AE=2，AG=4， ,
∴ ,即：FN=2EF,∴ED=5EF，∴ ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例等知识点，熟练运用相似三角形的性
质是解题的关键．
19．（2023·河南郑州·校考三模）【问题发现】小明在一次利用三角板作图的过程中发现了一件有趣的事
情：如图 ，在 中， ，点 和点 分别是斜边 上的动点，并且满足
，分别过点 和点 作 边的垂线，垂足分别为点 和点 ，那么 的值是一个定值．
问题：若 时， 值为___________ ；
【操作探究】如图 ，在 中， ；
爱动脑筋的小明立即拿出另一个三角板进行了验证，发现果然和之前发现的结论一样，于是他猜想，对于
任意一个直角三角形，当 时， 的值都是固定的，小明的猜想对吗？如果对，请利用图
进行证明，并用含 和 的式子表示 的值．
【解决问题】如图 ，在菱形 中， 若 、 分别是边 、 上的动点，且
，作 ，垂足分别为 、 ，则 的值为__________ ．
【答案】【问题发现】3；【操作探究】 ；【解决问题】 ．
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【问题发现】由 ， ，得 ， ，而
，则 ，于是得到问题的答案．
【操作探究】由 ， ，可证明 ， ，得
， ，因为 ，则 ，于是可推导出
，所以 ；
【解决问题】连 交 于点 ，在 上截取 ，作 于点 ，由菱形的性质得
， ， ，可求得 ，再由 ，
，证明 ，再证明 ，得 ， ，则 ，由
， ， ，得 ，则 ．
【详解】解：【问题发现】 于点 ， 于点 ， ，
， ， ，
， ， ，
， ，故答案为：3．
解：【操作探究】对，证明： 于点 ， 于点 ， ，
，
， ， ，
， ，
， ，
， ，
， ， ， ，
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， 的值为定值， ．
解：【解决问题】如图3，连 交 于点 ，在 上截取 ，作 于点 ，
四边形 是菱形， ， ，
， ， ，
， ，
， ， ， ，
， ， 于点 ， ，
， ， ， ， ，
， ， ， ， ，故答案为： ．
【点睛】此题重点考查直角三角形中 角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、锐角三角函数、全
等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、菱形的性质等知识，此题综合性强，难度较大，属于
考试压轴题．
20．（2022·湖北武汉·中考真题）问题提出：如图（1）， 中， ， 是 的中点，延长
至点 ，使 ，延长 交 于点 ，探究 的值．
(1)先将问题特殊化．如图（2），当 时，直接写出 的值；
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(2)再探究一般情形．如图（1），证明（1）中的结论仍然成立．
问题拓展：如图（3），在 中， ， 是 的中点， 是边 上一点， ，延
长 至点 ，使 ，延长 交 于点 ．直接写出 的值（用含 的式子表示）．
【答案】(1)[问题提出]（1） ；（2）见解析 (2)[问题拓展]
【分析】[问题探究]（1）根据等边三角形的性质结合已知条件，求得 ， ，
根据含30度角的直角三角形的性质，可得 ，即可求解；
（2）取 的中点 ，连接 ．证明 ，可得 ，根据 ，证明
，根据相似三角形的性质可得 ，进而可得 ；
[问题拓展]方法同（2）证明 ，得出， ，证明 ，得到
，进而可得 ．
(1)[问题探究]：（1）如图，
中， ， 是 的中点， ，
是等边三角形， ， ，
， ， ，
，
， ， ， ．
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（2）证明：取 的中点 ，连接 ．
∵ 是 的中点，∴ ， ．
∵ ，∴ ，∴ ．
∵ ，∴ ．∴ ．
∴ ．∴ ．∴ ．
∵ ，∴ ．∴ ．∴ ．∴ ．
(2)[问题拓展]如图，取 的中点 ，连接 ．∵ 是 的中点，∴ ， ．
∵ ，∴ ，∴ ．∵ ，∴ ．∴ ．
∴ ．∴ ． ，
∴ ．
∵ ，∴ ．∴ ．
∴ ．∴ ． ．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，等边对等
角，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
21．（2023·浙江温州·统考中考真题）如图，已知矩形 ，点E在 延长线上，点F在 延长线上，
过点F作 交 的延长线于点H，连结 交 于点G， ．
(1)求证： ．(2)当 ， 时，求 的长．
【答案】(1)见解析(2)
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【分析】（1）根据等边对等角得出 ，根据矩形的性质得出 ， ，
即可证明 ，根据全等三角形的性质得出 ，进而即可求解；
（2）根据 ，得出 ，设 ，则 ， ， ，
根据相似三角形的性质列出等式，解方程即可求解．
【详解】（1）解：∵ ， ，∴ ，∴ ．
∵四边形 是矩形，∴ ， ，
∴ ，∴ ，∴ ，即 ．
（2）∵ ，∴ ，∴ ．
∵ ，∴ ．设 ，∵ ，
∴ ， ，∴ ，解得 ，∴ ．
【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，相似三角形的性
质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
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