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专题 19 相似三角形重要模型之（双）A 字型与（双）8 字型
相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，
是中考的常考题型。本专题重点讲解相似三角形的（双）A字模型和（双）8（X）字模型．
A字型和8 (X )字型的应用难点在于过分割点(将线段分割的点)作平行线构造模型，有的是直接作平行
线，有的是间接作平行线(倍长中线就可以理解为一种间接作平行线) ， 这一点在模考中无论小题还是大
题都是屡见不鲜的。
模型1. “A”字模型
【模型解读与图示】
“A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角
相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似．
图1 图2 图3
1）“A”字模型 条件：如图1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC⇔＝＝.
2）反“A”字模型 条件：如图2，∠AED＝∠B；结论：△ADE∽△ACB⇔＝＝.
3）同向双“A”字模型
条件：如图3，EF∥BC；结论：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC⇔
例1．（2023·湖北十堰·统考中考真题）如图，在菱形 中，点E，F，G，H分别是 ， ， ，
上的点，且 ，若菱形的面积等于24， ，则 ．
例2．（2023·安徽·九年级期末）如图，在三角形 中，点D、E分别在边 、 上， ，
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， ， ．(1)求证： ；(2)若 的平分线交 于点F，交 于点G，
求 ．
例3．（2022·山东东营·中考真题）如图，在 中，点F、G在 上，点E、H分别在 、 上，
四边形 是矩形， 是 的高． ，那么 的长为____________．
例4．（2022·浙江宁波·中考真题）(1)如图1，在 中，D，E，F分别为 上的点，
交 于点G，求证： ．
(2)如图2，在（1）的条件下，连接 ．若 ，求 的值．
(3)如图3，在 中， 与 交于点O，E为 上一点， 交 于点G，
交 于点F．若 平分 ，求 的长．
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例5. （2023•安庆一模）如图，在△ABC中，点 D、E、F分别在边 BC、AB、CA上，且 DE∥CA，
DF∥AB．（1）若点D是边BC的中点，且BE＝CF，求证：DE＝DF；（2）若AD⊥BC于D，且BD＝
CD，求证：四边形AEDF是菱形；（3）若AE＝AF＝1，求 + 的值．
模型2. “X”字模型（“8”模型）
【模型解读与图示】
“8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定
这两个三角形相似．
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图1 图2 图3 图4
1）“8”字模型 条件：如图1，AB∥CD；结论：△AOB∽△COD⇔＝＝.
2）反“8”字模型 条件：如图2，∠A＝∠D；结论：△AOB∽△DOC⇔＝＝.
3）平行双“8”字模型 条件：如图3，AB∥CD；结论：
4）斜双“8”字模型
条件：如图4，∠1＝∠2；结论：△AOD∽△BOC，△AOB∽△DOC⇔∠3＝∠4.
例1．（2022·辽宁·中考真题）如图，在正方形 中，E为 的中点，连接 交 于点F．若
，则 的面积为___________．
例2．（2023·黑龙江·哈尔滨九年级阶段练习）如图， ， ， 分别交 于点G，
H，则下列结论中错误的是（ ）
A． B． C． D．
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例3．（2021·上海·中考真题）如图，在梯形 中， 是对角线 的
中点，联结 并延长交边 或边 于E．（1）当点E在边 上时，①求证： ；②若
，求 的值；（2）若 ，求 的长．
例4．（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，在四边形 中，对角线 与 相交于点O，记 的
面积为 ， 的面积为 ．（1）问题解决：如图①，若AB//CD，求证：
（2）探索推广：如图②，若 与 不平行，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请
说明理由．（3）拓展应用：如图③，在 上取一点E，使 ，过点E作 交 于点F，
点H为 的中点， 交 于点G，且 ，若 ，求 值．
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模型3. “AX”字模型（“A8”模型）
【模型解读与图示】
图1 图2 图3
1）一“A”一“8”模型
条件：如图1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC，△DEF∽△CBF⇔
2）两“A”一“8”模型
条件：如图2，DE∥AF∥BC；结论： .
3）四“A”一“8”模型
条件：如图3，DE∥AF∥BC, ；结论：AF=AG
例1．（2022·山东东营·中考真题）如图，点D为 边 上任一点， 交 于点E，连接
相交于点F，则下列等式中不成立的是（ ）
A． B． C． D． 例2．（2021·江苏南京·中考真题）如图，
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与 交于点O， ，E为 延长线上一点，过点E作 ，交 的延
长线于点F．（1）求证 ；（2）若 ，求 的长．
例3. （2022·重庆九年级期中）如图，AD与BC相交于点E，点F在BD上，且AB∥EF∥CD，
求证：＋＝.
例4．（2022•安庆模拟）在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．
（1）如图①，若四边形ABCD为矩形，过点O作OE⊥BC，求证：OE＝ CD．
（2）如图②，若AB∥CD，过点O作EF∥AB分别交BC、AD于点E、F．求证： ＝2．
（3）如图③，若OC平分∠AOB，D、E分别为OA、OB上的点，DE交OC于点M，作MN∥OB交OA于
一点N，若OD＝8，OE＝6，直接写出线段MN长度．
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课后专项训练
1. （2021·山东淄博·中考真题）如图， 相交于点 ，且 ，点 在同一条直线上．
已知 ，则 之间满足的数量关系式是（ ）
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A． B． C． D．
2．（2023秋·山西阳泉·九年级统考期末）如图，在四边形 中， ，对角线 与 相交于
点E， ， ， ， ，则对角线 与 的长分别是（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
3．（2023·福建福州·校考二模）在数学综合实践课上，某学习小组计划制作一个款式如图所示的风筝．在
骨架设计中，两条侧翼的长度设计 ，风筝顶角 的度数为 ，在 上取D，
E两处，使得 ，并作一条骨架 ．在制作风筝面时，需覆盖整个骨架，根据以上数据，B，
C两点间的距离大约是（ ）（参考数据： ）
A．41 B．57 C．82 D．143
4．（2022·湖北十堰·中考真题）如图，某零件的外径为10cm，用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相
等）可测量零件的内孔直径AB．如果OA：OC=OB：OD=3，且量得CD=3cm，则零件的厚度x为（ ）
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A． B． C． D．
5．（2022·湖南怀化·中考真题）如图，△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若S ADE＝2，则S ABC
△ △
＝_____．
6．（2023·广东梅州·九年级统考期末）如图，在 中，点 在 上，点 分别在 、
上，四边形 是矩形， ， 是 的高， ， ，那么 的长为 ．
7.（2023·广东深圳·校考三模）如图，在 中， ，D是 上一点，点E在
上，连接 交于点F，若 ，则 ＝ ．
8．（2022·四川宜宾·中考真题）如图， 中，点E、F分别在边AB、AC上， ．若 ，
， ，则 ______．
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9．（2022·辽宁阜新·中考真题）如图，在矩形 中， 是 边上一点，且 ， 与 相
交于点 ，若 的面积是 ，则 的面积是______．
10．（2022·湖北荆门·中考真题）如图，点G为△ABC的重心，D，E，F分别为BC，CA，AB的中点，具
有性质：AG：GD＝BG：GE＝CG：GF＝2：1．已知△AFG的面积为3，则△ABC的面积为 _____．
11．（2023·福建·统考中考真题）阅读下列材料，回答问题
任务：测量一个扁平状的小水池的最大宽度，该水池东西走向的最大宽度 远大于南北走向的最大宽度，
如图1．
工具：一把皮尺（测量长度略小于 ）和一台测角仪，如图2．皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点
间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度）；
测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点 处，对其视线可及的 ， 两点，可测得 的大小，如
图3．
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小明利用皮尺测量，求出了小水池的最大宽度 ，其测量及求解过程如下：测量过程：
（ⅰ）在小水池外选点 ，如图4，测得 ， ；
（ⅱ）分别在 ， ，上测得 ， ；测得 ．求解过程：
由测量知， ， ， ， ，
∴ ，又∵①___________，
∴ ，∴ ．
又∵ ，∴ ②___________ ．
故小水池的最大宽度为___________ ．
(1)补全小明求解过程中①②所缺的内容；(2)小明求得 用到的几何知识是___________；
(3)小明仅利用皮尺，通过5次测量，求得 ．请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何
量，并利用解直角三角形的知识求小水池的最大宽度 ，写出你的测量及求解过程．要求：测量得到的
长度用字母 ， ， 表示，角度用 ， ， 表示；测量次数不超过4次（测量的几何量能求出 ，
且测量的次数最少，才能得满分）．
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12．（2023秋·山西运城·九年级统考期末）综合与实践
问题情境：如图1，在 中， ， ， ，点 是 上一点，将 沿直线
折叠，点 落在 上的点 ，连接 ．
独立思考(1)如图 ，求 的值；
问题拓展 如图 ，点 是图1中AB上一动点，连接 ，交 于点 ．
(2)当点 是 的中点时，求证： ；(3)当点 是 的中点时，请你直接写出 的值．
13．（2023·湖南郴州·统考中考真题）已知 是等边三角形，点 是射线 上的一个动点，延长
至点 ，使 ，连接 交射线 于点 ．
(1)如图1，当点 在线段 上时，猜测线段 与 的数量关系并说明理由；
(2)如图2，当点 在线段 的延长线上时，①线段 与 的数量关系是否仍然成立？请说明理由；
②如图3，连接 ．设 ，若 ，求四边形 的面积．
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14．（2023·浙江·九年级专题练习）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，在边AB的延长线上截取
BE＝AB，点F在AE的延长线上，CE和DF交于点M，BC和DF交于点N，联结BD．
（1）求证：△BND∽△CNM；（2）如果AD2＝AB•AF，求证：CM•AB＝DM•CN．
15．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）问题背景：如图1，在四边形 中，点F，E，G分别在
上， ， ，求证：
尝试应用：如图 2， 是 的中线，点E在 上，直线 交 于点G，直线 交 于点F，
若 ，求 的值．
迁移拓展：如图3，在等边 中，点D在 上，点E在 上，若 ， ，直接
写出 的值．（用含m的式子表示）
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16．（2023·浙江杭州·统考中考真题）在边长为 的正方形 中，点 在边 上（不与点 ， 重
合），射线 与射线 交于点 ．(1)若 ，求 的长．(2)求证： ．
(3)以点 为圆心， 长为半径画弧，交线段 于点 ．若 ，求 的长．
17．（2022·四川内江·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，点M、N分别在AB、AD上，
且MN⊥MC，点E为CD的中点，连接BE交MC于点F．
(1)当F为BE的中点时，求证：AM＝CE；(2)若 ＝2，求 的值；(3)若MN∥BE，求 的值．
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18．（2023•重庆中考模拟）问题提出：如图1，D、E分别在△ABC的边AB、AC上，连接DE，已知线段
AD＝a，DB＝b，AE＝c，EC＝d，则S ，S 和a，b，c，d之间会有怎样的数量关系呢？
△ADE △ABC
问题解决：探究一：（1）看到这个问题后，我们可以考虑先从特例入手，找出其中的规律．如图2，若
DE∥BC，则∠ADE＝∠B，且∠A＝∠A，所以△ADE∽△ABC，可得比例式： 而根据相似三角形面
积之比等于相似比的平方．可得 ．根据上述这两个式子，可以推出：
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．
（2）如图3，若∠ADE＝∠C，上述结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；着不成立，请说明理由．
探究二：回到最初的问题，若图1中没有相似的条件，是否仍存在结论： ？方法回顾：
两个三角形面积之比，不仅可以在相似的条件下求得，当两个三角形的底成高具有一定的关系时，也可以
解决．如图4，D在△ABC的边上，做AH⊥BC于H，可得： ．借用这个结论，请
你解决最初的问题．
延伸探究：（1）如图5，D、E分别在△ABC的边AB、AC反向延长线上，连接DE，已知线段AD＝a，AB＝
b，AE＝c，AC＝d，则 ．（2）如图6，E在△ABC的边AC上，D在AB反向延长线上，连接
DE，已知线段AD＝a，AB＝b，AE＝c，AC＝d， ．
结论应用：如图7，在平行四边形ABCD中，G是BC边上的中点，延长GA到E，连接DE交BA的延长线于
F，若AB＝5，AG＝4，AE＝2， ▱ABCD的面积为30，则△AEF的面积是 ．
19．（2023·河南郑州·校考三模）【问题发现】小明在一次利用三角板作图的过程中发现了一件有趣的事
情：如图 ，在 中， ，点 和点 分别是斜边 上的动点，并且满足
，分别过点 和点 作 边的垂线，垂足分别为点 和点 ，那么 的值是一个定值．
问题：若 时， 值为___________ ；
【操作探究】如图 ，在 中， ；
爱动脑筋的小明立即拿出另一个三角板进行了验证，发现果然和之前发现的结论一样，于是他猜想，对于
任意一个直角三角形，当 时， 的值都是固定的，小明的猜想对吗？如果对，请利用图
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进行证明，并用含 和 的式子表示 的值．
【解决问题】如图 ，在菱形 中， 若 、 分别是边 、 上的动点，且
，作 ，垂足分别为 、 ，则 的值为__________ ．
20．（2022·湖北武汉·中考真题）问题提出：如图（1）， 中， ， 是 的中点，延长
至点 ，使 ，延长 交 于点 ，探究 的值．
(1)先将问题特殊化．如图（2），当 时，直接写出 的值；
(2)再探究一般情形．如图（1），证明（1）中的结论仍然成立．
问题拓展：如图（3），在 中， ， 是 的中点， 是边 上一点， ，延
长 至点 ，使 ，延长 交 于点 ．直接写出 的值（用含 的式子表示）．
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21．（2023·浙江温州·统考中考真题）如图，已知矩形 ，点E在 延长线上，点F在 延长线上，
过点F作 交 的延长线于点H，连结 交 于点G， ．
(1)求证： ．(2)当 ， 时，求 的长．
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