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专题 12 全等模型-角平分线模型
角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各
类模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，本专题就角平分线的几类全
等模型作相应的总结，需学生反复掌握。
模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直）
【模型解读与图示】
条件：如图1， 为 的角平分线、 于点A时，过点C作 .
结论： 、 ≌ .
图1 图2
常见模型1（直角三角形型）
条件：如图2，在 中， ， 为 的角平分线，过点D作 .
结论： 、 ≌ .（当 是等腰直角三角形时，还有 .）
图3
常见模型2（邻等对补型）
条件：如图3，OC是∠COB的角平分线，AC=BC，过点C作CD⊥OA、CE⊥OB。
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结论：① ；② ；③ .
例1．（2022·北京·中考真题）如图，在 中， 平分 若 则
____．
例2．（2022·山东泰安·中考真题）如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于
点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
例3．（2023·广东中山·八年级校联考期中）如图， 中， 、 的角平分线 、 交于
点P，延长 、 ， ， ，则① 平分 ；② ；③
；④ ．上述结论中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③④ D．①②③④
例4．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，四边形 中， ，点O为 的中点，
且 平分 ．(1)求证： 平分 ；(2)求证： ；(3)求证： ．
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例5．（2022·河北·九年级专题练习）已知OP平分∠AOB，∠DCE的顶点C在射线OP上，射线CD交射
线OA于点F，射线CE交射线OB于点G．（1）如图1，若CD⊥OA，CE⊥OB，请直接写出线段CF与CG
的数量关系；（2）如图2，若∠AOB=120°，∠DCE=∠AOC，试判断线段CF与CG的数量关系，并说明理
由．
模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直）
【模型解读与图示】
条件：如图1， 为 的角平分线， ，
结论：△AOC≌△BOC， 是等腰三角形、 是三线合一等。
图1 图2 图3
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条件：如图2， 为 的角平分线， ，延长BA，CE交于点F.
结论：△BEC≌△BEF， 是等腰三角形、BE是三线合一等。
例1．（2023·山东淄博·校考二模）如图，点 在 内部， 平分 ，且 ，连接 ．
若 的面积为 ，则 的面积为 ．
例2．（2022秋·湖北黄冈·八年级校考期中）如图， 中， 是 的角平分线，
；若 的最大值为 ，则 长为 ．
例3．（2022·绵阳市·九年级期中）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90，BD平分∠ABC交AC于点D．
（1）如图1，点F为BC上一点，连接AF交BD于点E．若AB=BF，求证：BD垂直平分AF．
（2）如图2，CE⊥BD，垂足E在BD的延长线上．试判断线段CE和BD的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，点F为BC上一点，∠EFC= ∠ABC，CE⊥EF，垂足为E，EF与AC交于点M．直接写出线
段CE与线段FM的数量关系．
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例4．（2022·安徽黄山·九年级期中）如图，在 中， ， ， 是 边上一动点，
于 ．（1）如图（1），若 平分 时，①求 的度数；
②延长 交 的延长线于点 ，补全图形，探究 与 的数量关系，并证明你的结论；
（2）如图（2），过点 作 于点 ，猜想线段 ， ， 之间的数量关系，并证明你的猜想．
模型3.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等）
【模型解读与图示】
条件：如图， 为 的角平分线，A为任意一点，在 上截取 ，连结 .
结论： ≌ ，CB=CA。
条件：如图， 分别为 和 的角平分线， ，在 上截取 ，连结
.
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结论： ≌ ， ≌ ，AB+CD=BC。
例1．（2022秋·江苏·八年级专题练习）在△ABC中，AD为△ABC的角平分线，点E是直线BC上的动点．
（1）如图1，当点E在CB的延长线上时，连接AE，若∠E＝48°，AE＝AD＝DC，则∠ABC的度数为
．
（2）如图2，AC＞AB，点P在线段AD延长线上，比较AC+BP与AB+CP之间的大小关系，并证明．
（3）连接AE，若∠DAE＝90°，∠BAC＝24°，且满足AB+AC＝EC，请求出∠ACB的度数（要求：画图，
写思路，求出度数）．
例2．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，在 中， ， ， 是 的平分线，
延长 至点 ， ，试求 的度数．
例3．（2022·北京九年级专题练习）在四边形 中， 是 边的中点．
（1）如图（1），若 平分 ， ，则线段 、 、 的长度满足的数量关系为
______；（直接写出答案）；（2）如图（2）， 平分 ， 平分 ，若 ，则线
段 、 、 、 的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明．
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例4．（2022·湖北十堰·九年级期末）在△ABC中，∠ACB＝2∠B，如图①，当∠C＝90°，AD为∠BAC的角
平分线时，在AB上截取AE＝AC，连结DE，易证AB＝AC＋CD．
（1）如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB，AC，CD又有怎样的数量关系？不需要证
明，请直接写出你的猜想；（2）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB，AC，CD又有怎样的
数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．
课后专项训练
1．（2022秋·福建厦门·九年级校考期中）如图， （ 是常量）．点P在 的平分线上，且
，以点P为顶点的 绕点P逆时针旋转，在旋转的过程中， 的两边分别与 ，
相交于M，N两点，若 始终与 互补，则以下四个结论：① ；② 的值不
变；③四边形 的面积不变；④点M与点N的距离保持不变．其中正确的为（ ）
A．①③ B．①②③ C．①③④ D．②③
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2．（2022·江苏常州·一模）如图，已知四边形 的对角互补，且 ， ， ．
过顶点C作 于E，则 的值为（ ）
A． B．9 C．6 D．7．2
3．（2023·成都·中考模拟）已知，如图，BC=DC，∠B+∠D=180°． 连接AC，在AB，AC，AD上分别取点
E，P，F，连接PE，PF． 若AE=4，AF=6，△APE的面积为4，则△APF的面积是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
4．（2023·福建厦门·九年级校考期中）如图， （ 是常量）．点P在 的平分线上，且
，以点P为顶点的 绕点P逆时针旋转，在旋转的过程中， 的两边分别与 ，
相交于M，N两点，若 始终与 互补，则以下四个结论：① ；② 的值不
变；③四边形 的面积不变；④点M与点N的距离保持不变．其中正确的为（ ）
A．①③ B．①②③ C．①③④ D．②③
5．（2022·安徽合肥·一模）如图， 中，AD平分 ，E是BC中点， ， ， ，
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则DE的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
6．（2022·福建·福州一模）如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于点D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于
点B，交CD于点F，H是BC边的中点，连接DH交BE于点G，现给出以下结论：①△ACD≌△FBD；
②AE=CE；③△DGF为等腰三角形；④S ADGE=S GHCE．其中正确的有_________（写出所有正
四边形 四边形
确结论序号）．
7．（2023·黑龙江哈尔滨·统考模拟预测）如图，四边形 中 ， ， 为 上
一点，连接 ， ， ，若 ，则线段 的长为 ．
8．（2023·达州·校考一模）如图，已知四边形 中， 平分 ， ， 求证：
．
9．（2022·安徽芜湖·九年级期中）如图，已知， 是 的平分线，且 交
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的延长线于点E．求证： ．
10．（2022·江苏扬州·中考真题）如图，在 中， 分别平分 ，交 于点
．
(1)求证： ；
(2)过点 作 ，垂足为 ．若 的周长为56， ，求 的面积．
11．（2022秋·湖北武汉·九年级校联考阶段练习）如图，在△ABE中，D、C分别在AE、BE上且CD＝
CB，AC平分∠EAB，CH⊥AB于点H．(1)求证： ；(2)若AD＝3，AB＝8，求AH的长．
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12．（2023·宁夏银川·校考二模）问题提出
（1）如图①，已知 ，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交 于点M，交 于点N，分别以点
M，N为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧在 的内部交于点C，画射线 ，连接
，则图①中与 全等的是___________；
问题探究（2）如图②，在 中， 平分 ，过点D作 于点M，连接 ， ，若
，求证： ；
问题解决（3）如图③，工人刘师傅有块三角形铁板 ， ，他需要利用铁板的边角裁出一个四
边形 ，并要求 ， ．刘师傅先在纸稿上画出了三角形铁板的草图，再用尺规作
出 的平分线 交 于点D，作 的平分线 交 于点E， 交于点F，得到四边形
．请问，若按上述作法，裁得的四边形 是否符合要求？请证明你的结论．
13．（2022·江苏·一模）如图，已知 ，AE，BD是 的角平分线，且交于点P．
（1）求 的度数．（2）求证：点 在 的平分线上．（3）求证：① ；② ．
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14．（2022·北京西城·二模）在 ABC中，AB=AC，过点C作射线CB′，使∠ACB′=∠ACB（点B′与点B在
直线AC的异侧）点D是射线C△B′上一动点（不与点C重合），点E在线段BC上，且∠DAE+∠ACD=90°．
(1)如图1，当点E与点C重合时，AD 与 的位置关系是______，若 ，则CD的长为______；
（用含a的式子表示）(2)如图2，当点E与点C不重合时，连接DE．①用等式表示 与 之间的
数量关系，并证明；②用等式表示线段BE，CD，DE之间的数量关系，并证明．
15．（2022·重庆·二模）已知：如图1，四边形ABCD中， ，连接AC、BD，交于点E，
．(1)求证： ；(2)如图2，过点B作 ，交DC于点F，交AC于点
G，若 ，求证： ；(3)如图3，在（2）的条件下，若 ，求线段GF的长．
16．（2022·陕西西安·一模）如图， ABD和 BCE都是等边三角形，∠ABC＜105°，AE与DC交于点F．
△ △
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（1）求证：AE＝DC；（2）求∠BFE的度数；（3）若AF＝9.17cm，BF＝1.53cm，CF＝7.53cm，求
CD．
17．（2022·自贡市九年级月考）根据图片回答下列问题．
(1)如图①，AD平分∠BAC，∠B+∠C=180°，∠B=90°，易知：DB____DC．
(2)如图②，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD=180°，∠ABD<90°，求证：DB=DC．
18．（2023·山东·九年级专题练习）【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材96页的部分内容．
已知：如图13.5.4， 是 的平分线，P是 上任意一点， ，垂足分别为点D
和点E．
求证： ．
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分析：图中有两个直角三角形 和 ，只要证明这两个三角形全等便可证得
【问题解决】请根据教材分析，结合图①写出证明 的过程．
【类比探究】（1）如图②， 是 的平分线，P是 上任意一点，点 分别在 和 上，
连接 和 ，若 ，求证： ；（2）如图③， 的周长是12，
分别平分 和 于点D，若 ，则 的面积为 ．
19．（2023·安徽·九年级期末）如图，在 中， ， 平分 ．
（1）如图1，若 ，求证： ；（2）如图2，若 ，求 的度
数；
（3）如图3，若 ，求证： ．
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20．（2023·湖北孝感·九年级校联考阶段练习）（情景呈现）画 ，并画 的平分线 ．
（I）把三角尺的直角顶点落在OC的任意一点 上，使三角尺的两条直角边分别与 的两边 ，
垂直，垂足为 ， （如图1）．则 ；若把三角尺绕点 旋转（如图2），则 ________ ．
（选填：“<”、“>”或“=”）
（理解应用）（2）在（1）的条件下，过点 作直线 ，分别交 ， 于点 ， ，如图3．
①图中全等三角形有________对．（不添加辅助线）；②猜想 ， ， 之间的关系为________．
（拓展延伸）（3）如图4，画 ，并画 的平分线 ，在 上任取一点 ，作
， 的两边分别与 ， 相交于 ， 两点， 与 相等吗？请说明理由．
15
