专题37图形变换模型之翻折（折叠）模型（解析版）_02中考总复习（2026版更新中）_02-数学-中考总复习_2024年中考复习资料_专项复习资料_答案解析版

关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 专题37 图形变换模型之翻折（折叠）模型 几何变换中的翻折（折叠、对称)问题是历年中考的热点问题，试题立意新颖，变幻巧妙，主要考查 学生的识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力。 涉及翻折问题，以矩形对称最常见，变化形式多样。无论如何变化，解题工具无非全等、相似、勾股 以及三角函数，从条件出发，找到每种对称下隐藏的结论，往往是解题关键。本专题以各类几个图形（三 角形、平行四边形、菱形、矩形、正方形、圆等）为背景进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 【知识储备】 翻折和折叠问题其实质就是对称问题，翻折图形的性质就是翻折前后图形是全等的，对应的边和角都是相 等的。以这个性质为基础，结合三角形、四边形、圆的性质，三角形相似，勾股定理设方程思想来考查。 解决翻折题型的策略： 1）利用翻折的性质：①翻折前后两个图形全等；②对应点连线被对称轴垂直平分； 2）结合相关图形的性质(三角形，四边形等)；3）运用勾股定理或者三角形相似建立方程。 模型1.矩形中的翻折模型 【模型解读】 【1 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 例1．（2023·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形 的边 ， 分别在 轴、 轴正半轴上，点 在 边上，将矩形 沿 折叠，点 恰好落在边 上的点 处．若 ， ，则点 的坐标是 ． 【答案】 【分析】根据折叠的性质得出 ，在 中，勾股定理求得 ，进而得出 ， 在 中，勾股定理建立方程，求得 的长，即可求解． 【详解】解：∵四边形 是矩形，∴ ， ∵折叠，∴ ，在 中， ∴ ，∴设 ，则 ， ∵折叠，∴ ，在 中， ， ∴ ，解得： ，∴ ，∴ 的坐标为 ，故答案为： ． 【点睛】本题考查矩形与折叠，勾股定理，坐标与图形，熟练掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键． 例2．（2023春·江苏泰州·八年级统考期中）如图，在矩形 中， ， ，E是 的中点， 将 沿直线 翻折，点落B在点F处，连结 ，则 的长为（ ） A．6 B． C． D． 【答案】B 【分析】连接 交 于点 ，根据三角形的面积公式求出 ，得到 ，根据直角三角形的判定得到 【2 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ，根据勾股定理求出答案． 【详解】解：连接 交 于点 ， 将 沿直线 翻折，点落 在点 处， 点 、 关于 对称， ， ， ，点 为 的中点， ， 又 ， ， ，则 ， ， ， ．故选：B． 【点睛】本题考查的是翻折变换的性质和矩形的性质，掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前 后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键． 例3．（2023·湖北·统考中考真题）如图，将边长为3的正方形 沿直线 折叠，使点 的对应点 落在边 上（点 不与点 重合），点 落在点 处， 与 交于点 ，折痕分别与边 ， 交于点 ，连接 ．(1)求证： ；(2)若 ，求 的长． 【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）由折叠和正方形的性质得到 ，则 ，进而证 明 ，再由平行线的性质证明 即可证明 ； （2）如图，延长 交于点 ．证明 得到 ， ， 设 ，则 ， ．由 ，得到 ．则 【3 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ．由勾股定理建立方程 ，解方程即可得到 ． 【详解】（1）证明：由翻折和正方形的性质可得， ． ∴ ．∴ ，即 ， ∵四边形 是正方形，∴ ．∴ ．∴ ． （2）解：如图，延长 交于点 ．∵ ，∴ ． 又∵ ，正方形 边长为3，∴ ∴ ， ∴ ， ，设 ，则 ，∴ ． ∵ ，即 ，∴ ．∴ ． 在 中， ，∴ ．解得： （舍）， ．∴ ． 【点睛】本题主要考查了正方形与折叠问题，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股 定理等等，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键． 例4．（2023春·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，在矩形 中， ， ．点O为矩形 的对称中心，点E为边 上的动点，连接 并延长交 于点F．将四边形 沿着 翻折， 得到四边形 ，边 交边 于点G，连接 ，则 的面积的最小值为（ ） 【4 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 A．18－3 B． C． D． 【答案】D 【分析】在 上截取 ，连接 ，证明 ，所以 ，即可得 最短时， 也就最短，而当 时， 最短，且 ，再过点 作 ，得 ，又因为 ，就可以根据勾股定理计算 、 的长，从而计算出最小面积． 【详解】解：在 上截取 ，连接 ， 由折叠得： ，又 ， ， ， 最短时， 也就最短，而当 时， 最短， 此时， 点 为矩形 的对称中心， ，即 的最小值是4， 在 中， 点 为矩形 的对称中心， 长度是矩形对角线长度的一半，即是5，定值， 度数也不变，是定值， 当 最小值时， 面积最小．过点 作 ， 点 为矩形 的对称中心， ， 中， ， 【5 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 中， ， ， 面积的最小值是 ．故选：D． 【点睛】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质及垂线段最短等知识，解题关键是找到 最小 值． 例5．（2023春·辽宁抚顺·八年级校联考期中）如图，矩形纸片 中， ， ，点E、G分 别在 上，将 、 分别沿 翻折，翻折后点C与点F重合，点B与点P重合．当 A、P、F、E四点在同一直线上时，线段 长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】据矩形的性质得到 ， ， ，据折叠的性质得到 ， ， ，根据勾股定理得到 ，设 ，由勾股定理列方程 得到 ，由折叠的性质得到 ， ， ，求得 ，设 ，则 ，据勾股定理列方程即可得到结论． 【详解】解：在矩形纸片 中， ， ，∴ ， ， ， ∵将 沿 翻折，翻折后点C与点F重合， ∴ ， ， ，∴ ， 设 ，∴ ， ， ∵ ，∴ ，解得： ，∴ ， ∵将 沿 翻折，翻折后点B与点P重合， ∴ ， ， ，∴ ，设 ，则 ， 【6 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵ ，∴ ，∴ ，∴线段GP长为 ，故选：B． 【点睛】本题考查翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，根据勾股定理列方程是解题关键． 例6．（2023·江苏盐城·统考中考真题）综合与实践 【问题情境】如图1，小华将矩形纸片 先沿对角线 折叠，展开后再折叠，使点 落在对角线 上，点 的对应点记为 ，折痕与边 ， 分别交于点 ， . 【活动猜想】（1）如图2，当点 与点 重合时，四边形 是哪种特殊的四边形？答：_________. 【问题解决】（2）如图3，当 ， ， 时，求证：点 ， ， 在同一条直线上. 【深入探究】（3）如图4，当 与 满足什么关系时，始终有 与对角线 平行？请说明理由. （4）在（3）的情形下，设 与 ， 分别交于点 ， ，试探究三条线段 ， ， 之间满足 的等量关系，并说明理由. 【答案】（1）菱形；（2）证明见解答；（3） ，证明见解析；（4） ，理由 见解析 【分析】（1）由折叠可得： ， ，再证得 ，可得 ，利用菱形 的判定定理即可得出答案；（2）设 与 交于点 ，过点 作 于 ，利用勾股定理可得 ，再证明 ，可求得 ，进而可得 ，再由 ，可求 得 ， ， ，运用勾股定理可得 ，运用勾股定理逆定理可得 ，进而可得 ，即可证得结论； （3）设 ，则 ，利用折叠的性质和平行线性质可得： ， 再运用三角形内角和定理即可求得 ，利用解直角三角形即可求得答案； （4）过点 作 于 ，设 交 于 ，设 ， ，利用解直角三角形可得 【7 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ， ，即可得出结论． 【详解】解：（1）当点 与点 重合时，四边形 是菱形． 理由：设 与 交于点 ，如图， 由折叠得： ， ， ， 四边形 是矩形， ， ， ， ， 四边形 是菱形．故答案为：菱形． （2）证明： 四边形 是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， 如图，设 与 交于点 ，过点 作 于 ， 由折叠得： ， ， ， ， ， ， ，即 ， ， ， ， ， ， ，即 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点 ， ， 在同一条直线上． （3）当 时，始终有 与对角线 平行． 理由：如图，设 、 交于点 ， 【8 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 四边形 是矩形， ， ， ， 设 ，则 ，由折叠得： ， ， ， ， ， ， ， ， ，即 ， ， ， ， ； （4） ，理由如下：如图，过点 作 于 ，设 交 于 ， 由折叠得： ， ， ，设 ， ， 由（3）得： ， ， ， ， ， ， 四边形 是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即 ． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质和判定，菱形的判定，勾股定理，直角三角形性质，等 腰三角形性质，平行线性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等，涉 及知识点多，综合性强，难度较大． 模型2.正方形中的翻折模型 【9 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【模型解读】 例1．（2023·河南洛阳·统考二模）如图，正方形 的边长为4，点F为 边的中点，点P是 边上 不与端点重合的一动点，连接 ．将 沿 翻折，点A的对应点为点E，则线段 长的最小值为 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定线段EF的最小值的临界点，然后结合正方形的性质，折叠的性质，以及勾股定理，即可 【10淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 求出答案． 【详解】连接BF，则EF≥BF－BE，当点B、E、F在同一条直线上时，EF的长度有最小值，如图 由翻折的性质，BE=AB=4，在正方形ABCD中，BC=CD=4，∠C=90°， ∵点F为 边的中点，∴CF=2，∴ ， ∴ ；故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，最短路径问题，解题的关键掌握所学的知识， 正确找出线段最小值的临界点，从而进行解题． 例2．（2023·广西玉林·统考模拟预测）如图，在正方形ABCD的边AB上取一点E，连接CE，将△BCE沿CE 翻折，点B恰好与对角线AC上的点F重合，连接DF，若BE＝2，则△CDF的面积是（ ） A．1 B．3 C．6 D． 【答案】B 【分析】由折叠可得EF＝BE＝2，∠CFE＝∠B＝90°，且∠FAE＝45°可得AF＝2，AE＝2 ，即可求对角线 BD的长，则可求△CDF面积. 【详解】如图连接BD交AC于O， 【11淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵ABCD为正方形，∴∠ABC＝90°，AB＝BC，AC⊥BD，DO＝BO，∠BAC＝45°， ∵△BCE沿CE翻折，∴BE＝EF＝2，BC＝CF，∠EFC＝90°， ∵∠BAC＝45°，∠EFC＝90°，∴∠EAF＝∠AEF＝45°，∴AF＝EF＝2，∴AE＝2 ， ∴AB＝2 +2＝BC＝CF，∴BD＝ AB＝4+2 ，∴OD＝2+ ，∵S ＝ ×CF×DO＝3 +4，故选B． CDF △ 【点睛】本题考查翻折变换、正方形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是 熟练应用所学知识解决问题． 例3．（2023·广东九年级课时练习）如图，正方形 中， ，点E在边 上，且 ．将 沿 对折至 ，延长 交边 于点G，连接 ，则下列结论：① ； ② ③ ；④AG//CF；其中正确的有 （填序号）． 【答案】①②③④ 【分析】根据折叠，得到AD=AF，∠D=∠AFE=90°，推出AB=AF，∠AFG=∠B=90°，可证明 Rt ABG≌Rt AFG，即可判断①正确；根据 ，进而可得 ，根据 △ △ 三角形内角和定理即可得∠AEF+∠ADF＝135°，得到∠AGB+∠AED＝135°，进而判断②正确；设BG＝GF ＝x，则CG＝6﹣x，EG＝x+2， CE＝4，在Rt EGC中，根据勾股定理建立方程（x+2）2＝（6﹣x）2+42， 解方程可得 ，即可判断③正确；根据BG△=FG=3，得到CG=BC-BG=6-3=3，得到CG=FG，推出 ∠GCF=∠GFC，根据∠AGB=∠AGF，得到∠BGF=2∠AGF=2∠GFC，得到∠AGF=∠GFC，推出AG∥CF，即 可判断④正确 【详解】∵四边形 是正方形，∴ ，AB＝BC＝CD=AD＝6， 【12淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵ ，∴DE＝2，∴CE＝4， ∵将 ADE沿AE对折至 AFE， ∴∠AFE＝∠ADE＝90°，AF＝AD，EF＝DE△＝2，∴∠AFG＝∠△ABG＝90°，AF＝AB， 在Rt ABG和Rt AFG中， ，∴Rt ABG≌Rt AFG（HL），∴①正确； △ △ △ △ ∵将 ADE沿AE对折至 AFE，∴ ，∵Rt ABG≌Rt AFG，∴ ， △ △ △ △ ∵ ，∴ ， ∴∠AEF+∠ADF＝135°，∴∠AGB+∠AED＝135°，∴②正确； 设BG＝GF＝x，则CG＝6﹣x， EG＝x+2， ∵ CE＝4，∴（x+2）2＝（6﹣x）2+42，解得x＝3，∴BG＝GF＝3，∴③正确； ∵BG=FG=3,∴CG=BC-BG=6-3=3，∴CG=FG，∴∠GCF=∠GFC， ∵∠AGB=∠AGF，∴∠BGF=2∠AGF=2∠GFC，∴∠AGF=∠GFC，∴AG∥CF∴④正确； 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查了正方形性质，折叠图形全等的性质，三角形全等的判断和性质，三角形内角和定理， 勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 例4．（2023·江苏扬州·统考中考真题）如图，已知正方形 的边长为1，点E、F分别在边 上，将正方形沿着 翻折，点B恰好落在 边上的点 处，如果四边形 与四边形 的面积比 为3∶5，那么线段 的长为 ． 【答案】 【分析】连接 ，过点 作 于点 ，设 ，则 ，则 ，根据已知条件， 分别表示出 ，证明 ，得出 ，在 中， ，勾股定理建立方程，解方程即可求解． 【13淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【详解】解：如图所示，连接 ，过点 作 于点 ， ∵正方形 的边长为1，四边形 与四边形 的面积比为3∶5， ∴ ，设 ，则 ，则 ∴ 即 ∴ ∴ ，∴ ， ∵折叠，∴ ，∴ ，∵ ，∴ ， 又 , ∴ ，∴ 在 中， 即 解得： ，故答案为： ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知 识是解题的关键． 例5．（2023·江苏·统考中考真题）综合与实践 定义：将宽与长的比值为 （ 为正整数）的矩 形称为 阶奇妙矩形．（1）概念理解：当 时，这个矩形为1阶奇妙矩形，如图（1），这就是我们学 习过的黄金矩形，它的宽（ ）与长 的比值是_________． （2）操作验证：用正方形纸片 进行如下操作（如图（2））： 第一步：对折正方形纸片，展开，折痕为 ，连接 ； 第二步：折叠纸片使 落在 上，点 的对应点为点 ，展开，折痕为 ； 第三步：过点 折叠纸片，使得点 分别落在边 上，展开，折痕为 ． 【14淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 试说明：矩形 是1阶奇妙矩形． （3）方法迁移：用正方形纸片 折叠出一个2阶奇妙矩形．要求：在图（3）中画出折叠示意图并作 简要标注．（4）探究发现：小明操作发现任一个 阶奇妙矩形都可以通过折纸得到．他还发现：如图 （4），点 为正方形 边 上（不与端点重合）任意一点，连接 ，继续（2）中操作的第二步、 第三步，四边形 的周长与矩形 的周长比值总是定值．请写出这个定值，并说明理由． 【答案】（1） ；（2）见解析；（3） ，理由见解析 【分析】（1）将 代入 ，即可求解．（2）设正方形的边长为 ，根据折叠的性质，可得 ，设 ，则 ，在 中，勾股定理建立方程，解方程，即可求解； （3）仿照（2）的方法得出2阶奇妙矩形．（4）根据（2）的方法，分别求得四边形 的周长与矩形 的周长，即可求解． 【详解】解：（1）当 时， ，故答案为： ． （2）如图（2），连接 ， 【15淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 设正方形的边长为 ，根据折叠的性质，可得 设 ，则 根据折叠，可得 ， ， 在 中， ，∴ ， 在 中， ∴ 解得： ∴ ∴矩形 是1阶奇妙矩形． （3）用正方形纸片 进行如下操作（如图）： 第一步：对折正方形纸片，展开，折痕为 ，再对折，折痕为 ，连接 ； 第二步：折叠纸片使 落在 上，点 的对应点为点 ，展开，折痕为 ； 第三步：过点 折叠纸片，使得点 分别落在边 上，展开，折痕为 ． 矩形 是2阶奇妙矩形， 理由如下，连接 ，设正方形的边长为 ，根据折叠可得 ，则 ， 设 ，则 根据折叠，可得 ， ， 在 中， ，∴ ， 在 中， ∴ 解得： ∴ 当 时， ∴矩形 是2阶奇妙矩形． （4）如图（4），连接诶 ，设正方形的边长为1，设 ，则 ， 设 ，则 根据折叠，可得 ， ， 在 中， ，∴ ， 在 中， ∴ 整理得， 【16淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴四边形 的边长为 矩形 的周长为 ，∴四边形 的周长与矩形 的周长比值总是定值 【点睛】本题考查了正方形的折叠问题，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 模型3.菱形中的翻折模型 【模型解读】 例1．（2023·四川成都·模拟预测）如图，在菱形 中， ，将菱形折叠，使点 恰好落在 对角线 上的点 处 不与 、 重合 ，折痕为 ，若 ， ，则 的长为 ． 【答案】 【17淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【分析】作 于 ，根据折叠的性质得到 ，根据菱形的性质、等边三角形的判定定理得到 为等边三角形，得到 ，根据勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】解：作 于 ，由折叠的性质可知， ，由题意得， ， 四边形 是菱形， ， ， 为等边三角形， ，设 ，则 ， 在 中， ， ，在 中， ， 即 ，解得， ，即 ，故答案为： ． 【点睛】本题考查的是翻转变换的性质、菱形的性质、勾股定理、解直角三角形，掌握翻转变换是一种对 称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键． 例2．（2023·安徽·统考一模）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，点M是AD边的中点，点N是 AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A’MN，连结A’C，则A’C长度的最小值是（ ）. A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据题意，在N的运动过程中A′在以M为圆心、AD为直径的圆上的弧AD上运动，当A′C取最小 值时，由两点之间线段最短知此时M、A′、C三点共线，得出A′的位置，进而利用锐角三角函数关系求出 A′C的长即可． 【详解】如图所示： 【18淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵MA′是定值，A′C长度取最小值时，即A′在MC上时，过点M作MF⊥DC于点F， ∵在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M为AD中点，∴2MD=AD=CD=2，∠FDM=60°， ∴∠FMD=30°，∴FD= MD= ，∴FM=DM×cos30°= ， ∴MC= ，∴A′C=MC-MA′= -1．故选B． 例3．（2023·山东枣庄·九年级校考阶段练习）如图，在菱形纸片 中， ， ，将菱形 纸片翻折，使点A落在 的中点 处，折痕为 ，点 ， 分别在边 ， 上，则 的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接 、 ，根据菱形的性质可知 是等边三角形，由 是 中点，可求得 ， ， 又因为CD∥AB，可得 ，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：连接 、 ， 四边形 为菱形， ， ， ， 是等边三角形， 是 中点， ， ， ， ， ∵CD∥AB， ，由折叠可得 ， 【19淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ， ， ．故选：A． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是根据题意作 出辅助线得到等边三角形再由勾股定理求解． 例4．（2023春·湖北十堰·八年级校联考期中）如图，在菱形纸片 中， ，E是 边的中 点，将菱形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在直线 上的点G处，折痕为 ， 与 交于点 H，有如下结论：① ；② ；③ ；④ ，上述结论中， 所有正确结论的序号是（ ） A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】连接 ，得到 是等边三角形，根据三线合一的性质得到 ，由折叠得 ，求出 的度数即可判断①；利用30度角的性质求出 ，勾股定理求出 ， 即可判断②；连接 ，由折叠得 ，根据等边对等角求出 ，得到 ，即可判断③；过点F作 于点M，先求出 ，由折叠得 ， ，设 ，则 ，求出 ，再得到 ，根据 求出四边形 的面积，即可判断④． 【详解】解：连接 ，∵四边形 是菱形，∴ ， ，∴ 是等边三角 形， ∵E是 边的中点，∴ ，∴ ， 由折叠得 ，∴ ，∵ ，∴ ，故①正确； 【20淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵ ，∴ ，∴ ， ∴ ，即 ，故②正确；连接 ，由折叠得 ，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ，故③正确； 过点F作 于点M，∵ ， ∴ ，由折叠得 ，∴ ，∴ ， ∵ ，∴ ，设 ，则 ， ∴ ， ，∵ ，∴ ，∴ ， ∴四边形 的面积 ， ∴ ，故④错误；故选：B． 【点睛】此题考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形30度角的性质，三线合一的性质，等边三角形的 判定和性质，熟练掌握各知识点并综合应用是解题的关键． 例5．（2023·浙江·九年级期末）对角线长分别为6和8的菱形 如图所示，点O为对角线的交点，过 点O折叠菱形，使B， 两点重合， 是折痕．若 ，则 的长为 ． 【21淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【答案】4 【分析】连接 、 ，如图，利用菱形的性质得 ， ， ，再利 用勾股定理计算出 ，接着证明 得到 ，然后根据折叠的性质得 ， 从而有 ，于是计算 即可． 【详解】解：连接 、 ，如图， 点 为菱形 的对角线的交点， ， ， ， 在 中， ， ， ， 在 和 中 ， ， ， 过点 折叠菱形，使 ， 两点重合， 是折痕， ， ， ，故答案为：4． 【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变， 位置变化，对应边和对应角相等．也考查了菱形的性质． 例6．（2023秋·重庆·九年级专题练习）如图，在菱形 中， ， ，点 是 的中点， 点 是 上一点，以 为对称轴将 折叠得到 ，以 为对称轴将 折叠得到 ， 使得点 落到 上，连接 ．下列结论错误的是（ ） 【22淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】A.由折叠的性质可以知道 和 分别是 和 的平分线，同时 是平角，所以 可知 ，故选项A正确；B.由题意和折叠的性质可以知道 、 ，就可以得到 ，选项B正确；C和D.过点 作 于点 ， ，可得 ， ． 设 ，可以得到 ， ．根据折叠的性质可得 ，根据勾 股定理，求得 ，即可得到 ， ，所以 ．故选项C正确，选项D错误． 【详解】解：A.由折叠可知 和 分别是 和 的平分线． 又 ， ，故选项A正确． B.又 点 与点 关于 对称， ，又 ， ，故选项B正确． C和D.如答图，过点 作 于点 ． ， ， ， 易知 ， ， 设 ， ， ， 点 是 的中点，折叠后点 落到 上， 点 与点 重合， ． 易知点 共线， ． ， ，解得 ． ， ， 【23淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ，故选项C正确，选项D错误．综上，故选：D． 【点睛】本题考查翻折变换（折叠问题）、菱形的性质、勾股定理，熟练掌握翻折的性质是解答本题的关 键． 模型4.三角形中的翻折模型 【模型解读】 例1．（2023·内江九年级期中）如图，在RtABC的纸片中，∠C＝90°，AC＝7，AB＝25．点D在边BC上， 以AD为折痕将ADB折叠得到ADB，AB与边BC交于点E．若△DEB为直角三角形，则BD的长是 _____． 【24淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 75 【答案】17或 4 【分析】由勾股定理可以求出BC的长，由折叠可知对应边相等，对应角相等，当DEB为直角三角形时， 可以分为两种情况进行考虑，分别利用勾股定理可求出BD的长． RtABC BC AB2AC2  6254924 【详解】解：在 中， ， （1）当EDB90时，如图1，过点B′作BF  AC，交AC的延长线于点F ， 由折叠得：ABAB25，BDBDCF，设BDx，则BDCF x，BF CD24x， RtAFB (7x)2(24x)2 252 在 中，由勾股定理得： ， 即： x217x0 ，解得： x 1 0 （舍去）， x 2 17 ，因此， BD17 ． （2）当DEB90时，如图2，此时点E与点C重合， 由折叠得：ABAB25，则BC25718，设BDx，则BDx，CD24x， 75 75 75 在 Rt △ B�CD 中，由勾股定理得： (24x)2182 x2，解得： x 4 ，因此BD 4 ．故答案为：17或 4 ． 【点睛】本题考查了翻折变换，直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是：分类讨论思想的应 用注意分类的原则是不遗漏、不重复． 例2．（2023年四川省成都市数学中考真题）如图，在 中， ， 平分 交 于点 ，过 作 交 于点 ，将 沿 折叠得到 ， 交 于点 ．若 ， 则 ． 【25淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【答案】 【分析】过点 作 于 ，证明 ，得出 ，根据 ，得 ，设 ， ，则 ，则 ，在 中， ，在 中， ，则 ，解方程求得 ， 则 ， ，勾股定理求得 ，根据正切的定义，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点 作 于 ， ∵ 平分 交 于点 ， ∴ , ∴ ∴ ∵折叠，∴ ，∴ ,又∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ， ，则 ，∴ ∴ ， ， ∵ 设 ， ，则 ，则 ， ∵ ∴ 在 中， 在 中， ∴ 即 解得： ∴ ， 【26淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 则 ∴ 故答案为： ． 【点睛】本题考查了求正切，折叠的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定， 熟练掌握以上知识是解题的关键． 例3．（2023·湖北襄阳·统考中考真题）如图，在 中， ，点 是 的中点，将 沿 折叠得到 ，连接 .若 于点 ， ，则 的长为 ． 【答案】 【分析】取 中点 ，连接 ，取 中点 ，连接 ，作 于点 ．设 ，由折叠可 知 则 ，得到 ，从而推导出 ，由三角形中位线定理得到 ，从而推导出 ，得到四边形 是正方形， ， ，最后利 用勾股定理解答即可． 【详解】解：取 中点 ，连接 ，取 中点 ，连接 ，作 于点 ． ∵ ， 为 的中点，∴ ， ， ． ∵点 是 的中点，∴ 是 的中位线，∴ ，则 于点 ， 设 ，由折叠可知 则 ，∵ ，∴ ， ， 【27淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 又由折叠得 ， ，∴ ， ∴ ，即 ，∴ ，解得： ，∴ ， ∵ 是 的中位线，∴ ， ，∴ ，由折叠知 ， ， 在 和 中， ，∴ ，∴ ． ∵ ，∴ ，∴ ． 又∵ ，且 ，∴ ，∴ ， ∴ ，∴四边形 是正方形，∴ ，∴ ． 在 中， ，∴ ，解得： ， ∴ ， ，即 ， ， 在 中， ．故答案为： ． 【点睛】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解直角三角形，正方形的判定及性质等， 解答本题的关键是设边长，根据勾股定理列方程求解． 例4．（2023·湖北武汉·统考中考真题）如图， 平分等边 的面积，折叠 得到 分 别与 相交于 两点．若 ，用含 的式子表示 的长是 ． 【答案】 【分析】先根据折叠的性质可得 ， ，从而可得 ，再根据相 【28淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 似三角形的判定可证 ，根据相似三角形的性质可得 ， ，然后将两个等式相加即可得． 【详解】解： 是等边三角形， ， ∵折叠 得到 ， ， ， ， 平分等边 的面积， ， ， 又 ， ， ， ， ， ， 解得 或 （不符合题意，舍去），故答案为： ． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相似 三角形的判定与性质是解题关键． 模型5.圆中的翻折模型（弧翻折必出等腰） 如图，以圆O的一条弦BC为对称轴将弧BC折叠后与弦AB交于点D，则CD=CA 特别的，若将弧BC折叠后过圆心，则CD=CA，∠CAB=60° 【29淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 例1．（2022秋·浙江宁波·九年级校考期末）如图， 是 的外接圆， ，把弧 沿弦 向下折叠交 于点D，若点D为 中点，则 长为（ ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】由等腰三角形的性质可得 ，由折叠的性质和圆周角定理可得 可得 ，可证 ，可得 ，即可求解． 【详解】解：如图，连接 ， ∵ ，∴ ，∵点D为 中点，∴ ， ∵弧 沿弦 向下折叠交 于点D，∴ ，∴ ， ∵ ，∴ ，又∵ ，∴ ， ∴ ，∴ ，∴ （负值舍去），故选：C． 【30淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【点睛】本题考查了三角形外接圆与外心，等腰三角形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质， 证明三角形相似是解题的关键． 例2．（2023·广东广州·统考一模）如图， 为 的直径，点 为圆上一点， ，将劣弧 沿弦 所在的直线翻折，交 于点 ，则 的度数等于( )． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接 ，根据直径所对的圆周角是直角求出 ，根据直角三角形两锐角互余求出 ，再根 据优弧 所对的圆周角为 ，得到 ，然后根据 ，计算求得 的度数． 【详解】解：如图，连接 ， 是直径， ， ， ． 根据翻折的性质， 所对的圆周角为 ，优弧 所对的圆周角为 ， ， ， ，故选:B． 【点睛】本题考查的是翻折变换，圆周角定理，圆内接四边形的性质．根据题意作出直径所对的圆周角， 构造出直角三角形是解答此题的关键．难点是理解 . 例3．（2023·浙江宁波·校考一模）如图， 的半径为4．将 的一部分沿着弦AB翻折，劣弧恰好经过 圆心O．则这条劣弧的弧长为 ． 【31淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【答案】 【分析】过O作垂直于AB的半径OC，设交点为D，连接 ,根据折叠的性质可求出OD的长；根据 勾股定理可求出AD的长，由垂径定理知AB=2AD，解 ，求得 ,即可求得 ， 进而求得劣弧 的长． 【详解】解：过O作OC⊥AB于D，交⊙O于C，连接OA， RtOAD中，OD=CD= OC=2，OA=4，根据勾股定理，得：AD= =2 ， 故答案 ： 【点睛】本题考查的是翻转变换的性质、解直角三角形，求弧长，掌握翻转变换是一种对称变换，折叠前 后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键． 例4．（2022春·湖北荆州·九年级专题练习）如图， 为 的直径，将 沿 翻折，翻折后的弧交 于D．若 ， ，则图中阴影部分的面积为（ ） 【32淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 A． B． C．8 D．10 【答案】C 【分析】连结AC，DC，过点C作CE⊥AB与E，点D关于BC的对称点D′，连结CD′，BD，设AC=x，根 据直径时圆周角性质得出∠ACB=90°，利用三角函数求出 ，然后利用勾股定理构建方程 ，即 ，求出 ， ，利用面积桥求出斜边上高CE与 AE，根据BC为折痕，点D与点D′对称，得出∠ABC=∠D′BC， ，可得AC=CD，利用等腰 三角形性质求出AE=DE=2，利用弓形AC=弓形DC进行面积转化求即即可． 【详解】解：连接AC，DC，过点C作CE⊥AB与E，点D关于BC的对称点D′，连接CD′，BD′ 设AC=x，∵AB为直径，∴∠ACB=90°， ∵ ，∴ ， ∴ ，即 ，解得 ， ， ∴ ，∴ ，∴AE= ， ∵BC为折痕，点D与点D′对称，∴∠ABC=∠D′BC， ， ∴ ，∴AC=CD，∵CE⊥AD，∴AE=DE=2，AD=4，∴弓形AC=弓形DC， ∴S =S ACD= ．故选：C． 阴影 △ 【33淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【点睛】本题考查圆周角的性质综合，折叠性质，等腰三角形三线合一性质，不规则图形的面积，掌握圆 周角的性质综合，折叠性质，等腰三角形三线合一性质，不规则图形的面积是解题关键． 例5．（2023·河南商丘·统考二模）如图，在扇形 中， ，点C，D分别是 和 上的点， 且 ，将扇形沿 翻折，翻折后的 恰好经过点O．若 ，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【详解】过点O作 交 于点E，连接OC，CE，由折叠的性质结合所作辅助线可得出 为 等边三角形，即 ．再根据平行线的性质可求出 ，从而可求出 ，进而 可求出 ，利用锐角三角函数可求出 ，最后根据 ，结合扇形面积公式和三角形面积公式求解即可． 【分析】解：过点O作 交 于点E，连接 ，如图， 【34淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴ ，∴ 为等边三角形，∴ ． ∵ ， ，∴ ． ∵ ，∴ ，∴ ， ∴ ， ∴ ．故答案为： ． 【点睛】本题考查折叠的性质，扇形的面积公式，平行线的性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角 形等知识．正确作出辅助线并利用数形结合的思想是解题关键． 例6．（2023·吉林长春·统考模拟预测）如图，在⊙O中，点C在优弧 上，将 沿BC折叠后刚好经过 AB的中点D，连接AC，CD．则下列结论中错误的是（ ） ①AC＝CD；②AD＝BD；③ + ＝ ；④CD平分∠ACB A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据折叠的性质可得AD＝CD；根据线段中点的定义可得AD＝BD；根据垂径定理可作判断③；延 长OD交⊙O于E，连接CE，根据垂径定理可作判断④． 【详解】过D作DD'⊥BC，交⊙O于D'，连接CD'、BD'， 【35淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 由折叠得：CD＝CD'，∠ABC＝∠CBD'，∴AC＝CD'＝CD，故①正确； ∵点D是AB的中点，∴AD＝BD，∵AC＝CD'，故②正确； ∴ ，由折叠得： ，∴ ；故③正确； 延长OD交⊙O于E，连接CE，∵OD⊥AB， ∴∠ACE＝∠BCE，∴CD不平分∠ACB，故④错误；故选：A． 【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变， 位置变化，对应边和对应角相等．也考查了圆周角定理和垂径定理． 例7．（2021·湖北武汉·统考中考真题）如图， 是 的直径， 是 的弦，先将 沿 翻折交 于点 ．再将 沿 翻折交 于点 ．若 ，设 ，则 所在的范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将⊙O沿BC翻折得到⊙O′，将⊙O′沿BD翻折得到⊙O″，则⊙O、⊙O′、⊙O″为等圆．依据在同 圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等可证明 ，从而可得到弧AC的度数，由弧AC的度 数可求得∠B的度数． 【详解】解：将⊙O沿BC翻折得到⊙O′，将⊙O′沿BD翻折得到⊙O″，则⊙O、⊙O′、⊙O″为等圆． 【36淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵⊙O与⊙O′为等圆，劣弧AC与劣弧CD所对的角均为∠ABC，∴ ．同理： ． 又∵F是劣弧BD的中点，∴ ．∴ ． ∴弧AC的度数=180°÷4=45°．∴∠B= ×45°=22.5°． ∴ 所在的范围是 ；故选：B． 【点睛】本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了翻折的性质、弧、弦、圆周角之间的关系、 圆内接四边形的性质，等腰三角形的判定，找出图形中的等弧是解题的关键． 例8．（2022·江苏扬州·统考一模）如图，将⊙O沿弦AB折叠，使折叠后的弧恰好经过圆心O，点P是优 弧 上的一个动点（与A、B两点不重合），若⊙O的半径是2cm，则△APB面积的最大值是 cm2 【答案】 【分析】过点P作 于点T，过点O作 于点H，交 于点K，连接AO，AK，PO，解直 角三角形求出AB，求出PT的最大值，可得结论． 【详解】解：如图，过点P作 于点T，过点O作 于点H，交 于点K，连接AO， AK，PO． 【37淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 由题意得AB垂直平分线段OK，∴ ． ∵ ，∴ ，∴ ． ∴ ，∴ ． ∵ ，∴ ，∴ ． ∵ ，∴ ，∴PT的最大值为3， ∴ 的面积的最大值为 ．故答案为： ． 【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，三角形的面积，垂线段最短等知识，解题关键是求出PT的最大 值． 课后专项训练 1．（2023·浙江·一模）如图，在矩形 中， ，点E为 的中点，点F在 上，连 接 ，将 沿 翻折，使点B的对应点恰为点E，则 的长为（ ） 【38淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据矩形性质、折叠性质以及勾股定理求解即可． 【详解】解：∵四边形 是矩形，∴ ， ， ， 由折叠性质得 ，∵点E为 的中点，∴ ， 在 中， ， ， 由勾股定理得 ，解得 ， 在 中， ，故选：C． 【点睛】本题考查矩形的性质、折叠性质、勾股定理，熟练掌握折叠性质和勾股定理建立方程思想是解答 的关键． 2．（2023年湖北省黄石市中考数学真题）如图，有一张矩形纸片 ．先对折矩形 ，使 与 重合，得到折痕 ，把纸片展平．再一次折叠纸片，使点 落在 上，并使折痕经过点 ，得到折 痕 ﹐同时得到线段 ， ．观察所得的线段，若 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据折叠的性质，得出 ， ，进而得到 ， 在 中，由特殊锐角的三角函数可求 即可． 【详解】解：根据折叠的性质可知： ， ， ， ，∴ 【39淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵四边形 是矩形，∴ ， ， ∴ ，在 中， ， ∴ ，∴ ∴ ， 在 中， ，∴ ，∴ ，故选： ． 【点睛】此题考查了矩形的性质，折叠轴对称，掌握折叠前后对应边相等，对应角相等，以及直角三角形 的边角关系是解题的关键． 3．（2023·黑龙江·统考中考真题）如图，在平面直角坐标中，矩形 的边 ，将 矩形 沿直线 折叠到如图所示的位置，线段 恰好经过点 ，点 落在 轴的点 位置，点 的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先证明 ，求出 ，连结 ，设 与 交于点F，然后求出 ，可得 ，再用含 的式子表示出 ，最后在 中，利用勾股定理 构建方程求出 即可解决问题． 【详解】解：∵矩形 的边 ， ， ∴ ， ， ，由题意知 ，∴ ， 【40淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 又∵ ，∴ ，∴ ， 由折叠知 ， ，∴ ，∴ ，即 ， 连接 ，设 与 交于点F，∴ ， ∵ ，∴四边形 是矩形， ∴ ， ， ，∴ ， 由折叠知 ， ，∴ ， ∵在 中， ，∴ ， 解得： ，∴点 的坐标是 ，故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质以及勾股定理的应用等知 识，通过证明三角形相似，利用相似三角形的性质求出 的长是解题的关键． 4．（2023·福建莆田·九年级校考期末）如图，在 中，点 在优弧 上，将弧 沿 折叠后刚好经 过 的中点 ．若 的半径为5， ，则 的长是（ ） 【41淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接AC、OB、OD、CD，作 于点F，作 于点E，由垂径定理可知 于点 D，由勾股定理可知OD的值，再利用折叠性质判断AC=DC，利用等腰三角形性质得出 ，再证明四边形ODFE为正方形，得到△CFB为等腰三角形，计算出弧AC所对圆 周角度数，进而得弧AC所对圆周角度数，再代入弧长公式可得弧长． 【详解】解：连接AC、OB、OD、CD，作 于点F，作 于点E， 由垂径定理可知 于点D， 又 CA、CD所对的圆周角为 、 ，且 ，△CAD为等腰三角形 又 四边形ODFE为矩形且OD=DF= 四边形ODFE为正方形 故△CFB为等腰三角形， 所对的圆心角为 故选A． 【点睛】本题考查了弧长的计算、圆的折叠的性质、圆周角定理和垂径定理，熟练掌握性质定理和弧长公 式是解题的关键． 5．（2022·浙江宁波·统考一模）如图， 是半径为4的 的弦，且 ，将 沿着弦 折叠，点 C是折叠后的 上一动点，连接并延长 交 于点D，点E是 的中点，连接 .则 的最小值为 ． 【42淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【答案】 【分析】如解析中的图，连结AD、AC，过点O作AB的垂线交AB于点F，过点C作AB对称点C’，连结 EF、AC’，可得AC’=AD=AC，EO EF - OF，根据当E、O、F三点共线时，EO的值最小为EF-OF，求出 EF的长，最后根据勾股定理可得答案． 【详解】解：连结AD、AC，过点O作AB的垂线交AB于点F，过点C作AB对称点C’，连结EF、AC’， 则AC’=AD=AC，EO EF - OF，∴EO的最小值为EF - OF， 当E、O、F三点共线时，EO的值最小为EF-OF， ∵AD=AC，且E为DC的中点，∴AE DC， ∴EF= AB= ，OF= ，∴OE的最小值为 ，故答案为： ． 【点睛】本题考查了圆的有关性质，最路线的问题，直角三角形的性质，勾股定理的应用，解题的关键是 添加辅助线． 6．（2023·辽宁盘锦·统考中考真题）如图，四边形 是矩形， ， ．点E为边 的中 点，点F为边 上一点，将四边形 沿 折叠，点A的对应点为点 ，点B的对应点为点 ，过点 作 于点H，若 ，则 的长是 ． 【43淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【答案】 或 【分析】分两种情况：当点 在点 左侧时，设 交 于点 ，过点 作 于点 ，则四边 形 为矩形 ， ，由折叠可知 ， ，由平行线的性 质可得 ，于是 ， ，利用勾股定理求得 ，证明 ，利用相似三角形的性质求得 ， ，于是 ， ，则 ，代入计算即可得到答案；当点 在点 右侧时，设 交 于点 ，过 点 作 于点 ，同理可得 ， ，四边形 为矩形， ，利用相似三 角形的性质求得 ， ，进而去除 ，则 ， 代入计算即可求解． 【详解】解：当点 在点 左侧时，如图，设 交 于点 ，过点 作 于点 ， 则 ， 点 为边 的中点， ， 四边形 为矩形， ， ， ， ， ， 四边形 为矩形， ， ， 由折叠可知， ， ， ， ， ，即 ， ， ， ， 在 中， ， ， ， ， 【44淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ， ， ， ，即 ， ， ， ， ， ； 当点 在点 右侧时，如图，设 交 于点 ，过点 作 于点 ， 同理可得： ， ，四边形 为矩形， ， ， 在 中， ， ， ，即 ， ， ， ， ． 综上， 的长是 或 ．故答案为： 或 ． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判 定与性质，灵活运用相关知识解决问题是解题关键． 7．（2023·山东济南·统考中考真题）如图，将菱形纸片 沿过点 的直线折叠，使点 落在射线 上的点 处，折痕 交 于点 ．若 ， ，则 的长等于 ． 【45淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【答案】 【分析】过点A作 于点Q，根据菱形性质可得 ，根据折叠所得 ，结合 三角形的外角定理得出 ，最后根据 ， 即可求解． 【详解】解：过点A作 于点Q，∵四边形 为菱形， ， ∴ ， ，∴ ， ∵ 由 沿 折叠所得，∴ ，∴ ， ∵ ， ，∴ ，则 ， ∴ ，∴ ，故答案为： ． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，折叠的性质，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握菱形和折叠的 性质，正确画出辅助线，构造直角三角形求解． 8．（2023·山东淄博·统考一模）如图所示，有一块直角三角形纸片， ，将 斜边 翻折，使点B落在直角边 的延长线上的点E处，折痕为 ，则 的长是 ___________． 【答案】 【分析】先利用勾股定理求出 ，根据折叠的性质可知： ， ，进一步求出 【46淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ，设 ，则 ，由勾股定理得 ，解得 ，则 ． 【详解】解：在 中，由勾股定理得 ， 根据折叠的性质可知： ， ，∵ ，∴ ， 设 ，则 ，在 中，由勾股定理得 ∴ ，解得 ∴ ．故答案为： ． 【点睛】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，正确利用勾股定理结合方程的思想求解是解题的关键． 9．（2023秋·四川雅安·八年级统考期末）在 中， ，点D在边 上，连接 ，将 沿直线 翻折，点A恰好落在 边上的点E处，若 ， ，则 的长是 ． 【答案】 【分析】过点 作 于 ， 于 ，由折叠的性质可得 ， ，由勾股定理可求 ，由面积法可求 的长，由勾股定理可求 的长． 【详解】解：如图，过点 作 于 ， 于 ， 【47淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 将 沿直线 翻折， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故答案为： ． 【点睛】本题考查了翻折变换，直角三角形的性质，角平分线的性质，勾股定理等知识，求出 的长是 本题的关键． 10．（2023·湖北宜昌·统考中考真题）如图，小宇将一张平行四边形纸片折叠，使点 落在长边 上的点 处，并得到折痕 ，小宇测得长边 ，则四边形 的周长为 ． 【答案】 【分析】可证 ，从而可得 ，再证四边形 是平行四边形，可得 ，即可求解． 【详解】解： 四边形 是平行四边形， ， ， 由折叠得： ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形 是平行四边形， ． 故答案： ． 【点睛】本题考查了平行四边形判定及性质，折叠的性质，掌握相关的判定方法及性质是解题的关键． 11．（2023·新疆·统考中考真题）如图，在 中， ， ， ，点 是 上一 动点，将 沿 折叠得到 ，当点 恰好落在 上时， 的长为 ． 【48淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【答案】 / 【分析】过点 作 交 的延长线于点 ，根据平行四边形的性质以及已知条件得出 ，进而求得 ，根据折叠的性质得出 ，进而在 中，勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，过点 作 交 的延长线于点 ， ∵在 中， ， ， ， ∴ ，∴ ， 在 中， ∵将 沿 折叠得到 ，当点 恰好落在 上时，∴ 又 ∴ ∴ ∴ 设 ，∴ 在 中， ∴ 解得： （负整数）故答案为： ． 【点睛】本题考查了折叠的性质，平行四边形的性质，解直角三角形，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 12．（2023春·浙江宁波·八年级统考期末）如图，在矩形 中， ， ，现将矩形沿 折叠，点C翻折后交 于点G，点D的对应点为点H，当 时，线段 的长为 ． 【49淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【答案】5 【分析】由矩形的性质可知 ，由折叠可知 ， ，易得 ，设 ，则 ，由勾股定理可得 ，即 ，可得 ， ，可证 ，可得 ． 【详解】解：由矩形的性质可知： ， 由折叠可知： ， ，则 ，∴ ， ∵ ， ， ，∴ ， 设 ，则 ， 由勾股定理可得： ，即 ，解得 ， ∴ ， ，∴ ，∴ ，故答案为：5． 【点睛】本题考查矩形与折叠，勾股定理，全等三角形的判定及性质，证明 是解决问题关键． 13．（2023春·安徽安庆·九年级校联考阶段练习）如图，长方形 沿着对角线 翻折，点C落在点 处， 与 相交于点E，若 ， ，则 的长为 ． 【答案】 【分析】根据翻折的性质，证明 ，然后求出 ，最后根据勾股定理即可求出结果． 【50淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【详解】由翻折的性质可知，在 与 中， ， ， ， ， ， 长方形 ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质、勾股定理和矩形的性质，掌握全等三角形的判定及性质是 解题的关键． 14．（2023春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图（1），在等腰直角三角形纸片 中， ， ，点D，E分别为 上的动点，将纸片沿 翻折，点B的对应点 恰好落在边 上，如 图（2），再将纸片沿 翻折，点C的对应点为 ，如图（3）.当 ， 的重合部分（即阴影 部分）为直角三角形时， 的长为______． 【答案】1或 【分析】分两种情况：当 时，此时可得E是 的中点，得 ；当 时，此时D、A 重合， 是 的平分线，由勾股定理易得结果． 【详解】解：∵ ， ，∴ ； ①如图，当 时，由折叠性质得： ， ， ∴ ； ∵ ， ， ∴ ，∴ ，∴ ， 【51淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 此时B、 重合，则 ，即点E是 的中点，∴ ； ②如图，当 时， 所在直线重合， ∴ ，∴ ，此时D、A重合， 在 边上， ∴ 是 的平分线，∴ ， 由勾股定理 ，∴ ． 在 中， ，由勾股定理得： ；故答案为：1或 ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理，角平分线的性质定理等知识，熟 练掌握这些知识是关键，注意分类讨论． 15．（2022·浙江嘉兴·统考中考真题）如图，在扇形 中，点C，D在 上，将 沿弦 折叠后恰 【52淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 好与 ， 相切于点E，F．已知 ， ，则 的度数为 ；折痕 的长为 ． 【答案】 60°/60度 【分析】根据对称性作O关于CD的对称点M，则点D、E、F、B都在以M为圆心，半径为6的圆上，再 结合切线的性质和垂径定理求解即可． 【详解】作O关于CD的对称点M，则ON=MN 连接MD、ME、MF、MO，MO交CD于N ∵将 沿弦 折叠∴点D、E、F、B都在以M为圆心，半径为6的圆上 ∵将 沿弦 折叠后恰好与 ， 相切于点E，F． ∴ME⊥OA，MF⊥OB∴ ∵ ∴四边形MEOF中 即 的度数为60°；∵ ， ∴ （HL）∴ 【53淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴ ∴ ∵MO⊥DC∴ ∴ 故答案为：60°； 【点睛】本题考查了折叠的性质、切线的性质、垂径定理、勾股定理；熟练掌握折叠的性质作出辅助线是 解题的关键． 16．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图， 的半径为 ， 为 的弦，点 为 上的一点， 将 沿弦 翻折，使点 与圆心 重合，则阴影部分的面积为 ．（结果保留 与根号） 【答案】 【分析】根据折叠的性质得出 是等边三角形，则 ， ，根据阴影部分面积 即可求解． 【详解】解：如图所示，连接 ，设 交于点 ∵将 沿弦 翻折，使点 与圆心 重合，∴ ， 又 ∴ ，∴ 是等边三角形， 【54淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴ ， ，∴ , ∴阴影部分面积 故答案为： ． 17．（2023·湖北·统考中考真题）如图，将边长为3的正方形 沿直线 折叠，使点 的对应点 落 在边 上（点 不与点 重合），点 落在点 处， 与 交于点 ，折痕分别与边 ， 交 于点 ，连接 ． (1)求证： ；(2)若 ，求 的长． 【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）由折叠和正方形的性质得到 ，则 ，进而证 明 ，再由平行线的性质证明 即可证明 ； （2）如图，延长 交于点 ．证明 得到 ， ， 设 ，则 ， ．由 ，得到 ．则 ．由勾股定理建立方程 ，解方程即可得到 ． 【详解】（1）证明：由翻折和正方形的性质可得， ． ∴ ．∴ ，即 ， ∵四边形 是正方形，∴ ．∴ ．∴ ． （2）解：如图，延长 交于点 ．∵ ，∴ ． 又∵ ，正方形 边长为3，∴ ∴ ， ∴ ， ，设 ，则 ，∴ ． 【55淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵ ，即 ，∴ ．∴ ． 在 中， ，∴ ．解得： （舍）， ．∴ ． 【点睛】本题主要考查了正方形与折叠问题，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股 定理等等，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键． 18．（2023·宁夏·统考中考真题）综合与实践 问题背景：数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为 的等腰三角形，对此三角形产生了极大兴 趣并展开探究． 探究发现：如图1，在 中， ， ． （1）操作发现：将 折叠，使边 落在边 上，点 的对应点是点 ，折痕交 于点 ，连接 ， ，则 _______ ，设 ， ，那么 ______（用含 的式子表示）； （2）进一步探究发现： ，这个比值被称为黄金比．在（1）的条件下试证明： ； 拓展应用：当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫黄金三角形．例如，图1中的 是黄金三角形．如图2，在菱形 中， ， ．求这个菱形较长对角线的长． 【56淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【答案】（1） （2）证明见解析，拓展应用： 【分析】（1）利用等边对等角求出 的长，翻折得到 ， ，利用三角形内角和定理求出， ， ，表示出 即可； （2）证明 ，利用相似比进行求解即可得出 ； 拓展应用：连接 ，延长 至点 ，使 ，连接 ，得到 为黄金三角形，进而得到 ，求出 的长即可． 【详解】解：（1）∵ ， ，∴ ， ∵将 折叠，使边 落在边 上， ∴ ， ， ∴ ， ；故答案为： ； （2）证明：∵ ，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ， ∴ ，整理，得： ，解得： （负值已舍掉）； 【57淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 经检验 是原分式方程的解．∴ ； 拓展应用：如图，连接 ，延长 至点 ，使 ，连接 ， ∵在菱形 中， ， ，∴ ， ∴ ， ∴ ，∴ ，∴ 为黄金三角形， ∴ ，∴ ．即菱形的较长的对角线的长为 ． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，菱形的性质，相似三角形的判定和性质．解题的关键是理解 并掌握黄金三角形的定义，利用相似三角形的判定和性质，得到黄金三角形的底边与腰长的比为 ． 19．（2023秋·山西·九年级专题练习）综合与实践： 在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动． 在矩形 中，E为 边上一点，F为 边上一点，连接 、 ，分别将 和 沿 、 翻折，点D、B的对应点分别为点G、H，且C、H、G三点共线． 【58淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 (1)如图1，若F为 边的中点， ，点G与点H重合，则 ＝ °， ＝ ； (2)如图2，若F为 的中点， 平分 ， ， ，求 的度数及 的长； (3) ， ，若F为 的三等分点，请直接写出 的长 ． 【答案】(1)45；2(2) ； (3)2或 【分析】（1）根据正方形的性质和翻折的性质，可得出 ；设 ，用x 表示出 的三条边，然后根据勾股定理列出方程，即可得出 的长；（2）如图，由折叠性质和 平分 ，得出 ，即可求出 的度数；先证明 和 是等腰直角三角 形，得出 ， ，即可求出 的长； （3）根据F为 的三等分点，分两种情况： 当 时，过点E作 ，交 的延长线于点P，连接 ，证明 ，得出 ，进而求出 的长；当 时，点E作 ，交 的延长线于点P，连接 ，根 据 ，计算即可求出 的长． 【详解】（1）∵ ，四边形 是矩形， ∴四边形 是正方形，∴ ， ， ∵将 和 沿 、 翻折，点D、B的对应点分别为点G、H， ∴ ， ，∵ ，∴ ， ∵F为 的中点，∴ ， ∵将 和 沿 、 翻折，点D、B的对应点分别为点G、H， ∴ ， ，设 ，则 ，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ，∴ ．故答案为：45；2； （2）如图2，延长 ，交 于点M， 【59淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵ 平分 ，∴ ，由折叠的性质可知， ， ， ∴ ，∴ ， ∵ ， ，∴ 和 均为等腰直角三角形， ∴ ， ，∴ ，即 ，解得 ． （3）分两种情况：①当 时，如图3，过点E作 ，交 的延长线于点P，连接 ，则 四边形 为矩形， ， ， 由折叠的性质可知， ， ，∴ ， ∵ ，∴ ， ，∴ ， 在 和 中， ，∴ ，∴ ， 设 ， ， ，∴ ，解得 ，∴ ． ②当 时，如图4，过点E作 ，交 的延长线于点P，连接 ，则四边形 为矩 形， ， ， 由折叠的性质可知， ， ，∴ ， ∵ ，∴ ， ，设 ， ， ， ∵ ，∴ ，解得 ，∴ ． 【60淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 综上可知， 的长为2或 ． 【点睛】本题主要综合考查了矩形的折叠问题，涉及到正方形的性质，矩形的判定和性质，轴对称的性质， 全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，属于压轴题，难度较大，熟练掌握并灵活运用相关知识进行 分类讨论是解题的关键． 20．（2022·广西南宁·统考三模）综合实践：在数学综合实践课上，第一小组同学展示了如下的操作及问 题：如图1，同学们先画出半径为 的 ，将圆形纸片沿着弦 折叠，使对折后劣弧 恰好过圆心 ，同学们用尺子度量折痕 的长约为 ，并且同学们用学过的知识验证度量的结果是正确的． 验证如下：如图1，过点 作 于点 ，并延长 交虚线劣弧 于点 ，∴ ， 由折叠知， ，连接 ，在 中， ， 根据勾股定理得， ， ∴ ， 通过计算： ，同学们用尺子度量折痕 的长约为 是正确的． 请同学们进一步研究以下问题： (1)如图2， 的半径为 ， 为 的弦， ，垂足为点 ，劣弧 沿弦 折叠后经过 的中点 ，求弦 的长（结果保留根号）；(2)如图3，在 中劣弧 沿弦 折叠后与直径 相 交于点 ，若 ， ，求弦 的长（结果保留根号）． 【61淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接 ，延长 交 于点 ，求出 ，再根据勾股定理可得出结论； （2）作点 关于弦 的对称点 ，连接 并延长与 的延长线相交于 ，连接 ，先证明 ，可得 ， ， 再证明 ，根据相似三角形的性质求出 ，利用勾股定理可得出结论． 【详解】（1）解：连接 ，延长 交 于点 ，由题意可知 ， ∵ 是 的中点，∴ ，∴ ， ∵ ，∴ ， ， ∴ ，∴ ； （2）解：作点 关于弦 的对称点 ，连接 并延长与 的延长线相交于 ，连接 ， ， ， ， 有折叠性质可知： ， ， ，∴ ， ∴ ， ，∴ ， ． ∵四边形 是圆内接四边形，∴ ， ，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ， 即 ．则 ， 【62淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 又∵ ，∴ ，∴ ． 【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的 判定与性质，构造出直角三角形是解本题的关键． 【63淘宝店铺：向阳百分百】