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专题22 解直角三角形模型之实际应用模型
解直角三角形是中考的重要内容之一，直角三角形边、角关系的知识是解直角三角形的基础。将实际
问题转化为数学问题是关键，通常是通过作高线或垂线转化为解直角三角形问题，在解直角三角形时要注
意三角函数的选取，避免计算复杂。在解题中，若求解的边、角不在直角三角形中，应先添加辅助线,构造
直角三角形。为了提高解题和得分能力，本专题重点讲解解直角三角形的实际应用模型。
模型1、背靠背模型
图1 图2 图3
【模型解读】若三角形中有已知角时，则通过在三角形内作高CD，构造出两个直角三角形求解，其中公
共边（高）CD是解题的关键.
【重要关系】如图1，CD为公共边，AD+BD=AB；
如图2，CE=DA，CD=EA，CE+BD=AB；
如图3，CD=EF，CE=DF，AD+CE+BF=AB。
例1．（2023年四川省中考数学真题）“科技改变生活”，小王是一名摄影爱好者，新入手一台无人机用
于航拍．在一次航拍时，数据显示，从无人机A看建筑物顶部B的仰角为 ，看底部C的俯角为 ，无
人机A到该建筑物 的水平距离 为10米，求该建筑物 的高度．（结果精确到 米；参考数据：
， ）
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【答案】该建筑物 的高度约为 米
【分析】由题意可知， ， ， ，根据三角形内角和定理和等角对等边的性
质，得到 米，再利用锐角三角函数，求出 米，即可得到该建筑物 的高度．
【详解】解：由题意可知， ， ， ， ，
， 米，
在 中， 米，
米，答：该建筑物BC的高度约为 米．
【点睛】本题考查的是解直角三角形——仰俯角问题，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，锐角三角
函数，熟练掌握直角三角形的特征关键．
例2．（2023湖南省衡阳市中考数学真题）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，如代替人们
在高空测量距离和高度．圆圆要测量教学楼 的高度，借助无人机设计了如下测量方案：如图，圆圆在
离教学楼底部 米的C处，遥控无人机旋停在点C的正上方的点D处，测得教学楼 的顶部B处的俯
角为 ， 长为 米．已知目高 为 米．
【2 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(1)求教学楼 的高度．(2)若无人机保持现有高度沿平行于 的方向，以 米/秒的速度继续向前匀速
飞行，求经过多少秒时，无人机刚好离开圆圆的视线 ．
【答案】(1)教学楼 的高度为 米(2)无人机刚好离开视线 的时间为12秒
【分析】（1）过点B作 于点G，根据题意可得： ， 米， ，
通过证明四边形 为矩形，得出 米，进而得出 米，最后根据线
段之间的和差关系可得 ，即可求解；
（2）连接 并延长，交 于点H，先求出 米，进而得出 ，则
，则 米，即可求解．
【详解】（1）解：过点B作 于点G，
根据题意可得： ， 米， ，
∵ ， ， ，∴四边形 为矩形，∴ 米，
∵ ， ，∴ ，∴ ，∴ 米，
∵ 长为 米，∴ （米），
答：教学楼 的高度为 米．
（2）解：连接 并延长，交 于点H，
∵ 米， 米，∴ 米，
∵ 米， ，∴ ，
∴ ， 米，∴ （米），
∵无人机以 米/秒的速度飞行，∴离开视线 的时间为： （秒），
答：无人机刚好离开视线 的时间为12秒．
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【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形，熟
练掌握解直角三角形的方法和步骤．
例3．（2023年湖北中考数学真题）为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为
梯形 ，斜面坡度 是指坡面的铅直高度 与水平宽度 的比．已知斜坡 长度为20米，
，求斜坡 的长．（结果精确到米）（参考数据： ）
【答案】斜坡 的长约为10米
【分析】过点 作 于点 ，在 中，利用正弦函数求得 ，在 中，利用勾
股定理即可求解．
【详解】解：过点 作 于点 ，则四边形 是矩形，
在 中， ，
．∴ ．
∵ ，∴在 中， （米）．
答：斜坡 的长约为10米．
【点睛】此题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定
义是解题的关键．
例4．（2023年山东省菏泽市中考数学真题）无人机在实际生活中的应用广泛，如图所示，某人利用无人
机测最大楼的高度 ，无人机在空中点P处，测得点P距地面上A点80米，点A处俯角为 ，楼顶C
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点处的俯角为 ，已知点A与大楼的距离 为70米（点A，B，C，P在同一平面内），求大楼的高度
（结果保留根号）
【答案】大楼的高度 为 ．
【分析】如图，过 作 于 ，过 作 于 ，而 ，则四边形 是矩形，可
得 ， ，求解 ， ，可得
， ，可得 ．
【详解】解：如图，过 作 于 ，过 作 于 ，而 ，
则四边形 是矩形，∴ ， ，
由题意可得： ， ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，∴ ，
∴ ，∴大楼的高度 为 ．
【点睛】本题考查的是矩形的判定与性质，解直角三角形的实际应用，理解仰角与俯角的含义是解本题的
【5 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
关键．
模型2、母子模型
图1 图2 图3 图4
【模型解读】若三角形中有已知角，通过在三角形外作高BC，构造有公共直角的两个三角形求解，其中
公共边BC是解题的关键。
【重要等量关系】
如图1，BC为公共边，AD+DC=AC；如图2，BC为公共边，DC- BC= DB；
如图3，DF=EC，DE=FC，BF+DE=BC，AE+DF=AC；如图4，AF=CE，AC=FE，BC+AF= BE。
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图5 图6 图7 图8 图9
如图5，BE+EC= BC； 如图6，EC- BC= BE；
如图7，AC=FG，AF=CG，AD+DC=FG，BC+AF= BG；
如图8，BC=FG，BF=CG，AC+BF=AG，EF+ BC= EG；
如图9，BC=FG，BF=CG，EF+BC=EG，BD+DF= BF，AC+ BD+ DF=AG。
例1．（2023·河北沧州·模拟预测）如图1，嘉淇在量角器的圆心 处下挂一铅锤，制作了一个简易测角仪．
将此测角仪拿到眼前，使视线沿着仪器的直径刚好到达树的最高点 ．
(1)在图1中，过点 画出水平线，并标记观测 的仰角 ．若铅垂线在量角器上的读数为 ，求 的值；
(2)如图2，已知嘉淇眼睛离地 米，站在 处观测 的仰角为（1）中的 ，向前走 米到达 处，此
时观测点 的仰角为 ，求树 的高度．（注： ， ， ）
【答案】(1)
(2)树 的高度为5.25米
【分析】(1)根据互余的性质计算即可．
(2) 过点 作 ，垂足为 ，则 米．设 米．解直角三角形求解即可．
【详解】（1）如图1； ；
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（2）如图，过点 作 ，垂足为 ，则 米．设 米．
在 中， （米），在 中， （米），
（米），解得 ．
答：树 的高度为 米．
【点睛】本题考查了仰角的解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的基本步骤是解题的关键．
例2．（2023·内蒙古·统考中考真题）某数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度CD．如图所示，一
架水平飞行的无人机在A处测得河流左岸C处的俯角为，无人机沿水平线AF 方向继续飞行12米至B处，
D 30 AM 24 3 M C D
测得河流右岸 处的俯角为 ，线段 米为无人机距地面的铅直高度，点 ， ， 在同一
tan2 CD 31.7
条直线上，其中 ．求河流的宽度 （结果精确到1米，参考数据： ）．
【答案】河流的宽度CD约为64米
【分析】过点B作BEMD于点E，分别解Rt△AMC、Rt△BDE即可．
【详解】解：过点B作BEMD于点E．则四边形AMEB是矩形．
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BE AM 24 3 ME AB12 AF∥MD ACM
∴ ， ∵ ∴
AM 24 3
在 中， ∴tan 2，∴ 2∴
Rt△AMC AMC 90 MC MC MC 12 3
在Rt△BDE中，BED90，DBE903060
DE DE
∴tanDBE ，∴tan60 3，∴
BE 24 3 DE24 3 372
CDDECEDEMCME72 12 312 8412 384121.78420.464
∴ 米
答：河流的宽度CD约为64米．
【点睛】本题考查了关于俯仰角的解直角三角形的问题．作垂线构造直角三角形是解题关键．
例3．（2023年山东省青岛市中考数学真题）太阳能路灯的使用，既方便了人们夜间出行，又有利于节能
减排．某校组织学生进行综合实践活动——测量太阳能路灯电池板的宽度．如图，太阳能电池板宽为 ，
点O是 的中点， 是灯杆．地面上三点D，E与C在一条直线上， ， ．该校学生
在D处测得电池板边缘点B的仰角为 ，在E处测得电池板边缘点B的仰角为 ．此时点A、B与E在
一条直线上．求太阳能电池板宽 的长度．（结果精确到 ．参考数据： ， ，
， ）
【答案】
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【分析】过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，先证 和 均为等腰直角三角
形，四边形 为矩形， 为等腰直角三角形，设 ，则 ， ，
，然后在 中，利用 得 ，由此解出 ，再利用勾股
定理求出 即可得 的长．
【详解】解：过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，如图，
依题意得： ， ， ，
又 和 均为等腰直角三角形， ， ，
， ， ，
， ， ， 四边形 为矩形，
， ， ， ，
为等腰直角三角形， ，
设 ，则 ， ，
，在 中， ，
即： ， ，解得： ，
检验： 是原方程的根． ，
在等腰 中，由勾股定理得： ，
点 为 的中点， ，
答：太阳能电池板宽 的长度约为 ．
【点睛】此题主要考查了解直角三角形，理解题意，正确的作出辅助线构造直角三角形的，灵活运用锐角
三角函数及勾股定理进行计算是解答此题的关键．
例4．（2023年四川省内江市中考数学真题）某中学依山而建，校门A处有一坡角 的斜坡 ，长
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度为30米，在坡顶B处测得教学楼 的楼顶C的仰角 ，离B点4米远的E处有一个花台，
在E处测得C的仰角 ， 的延长线交水平线 于点D，求 的长（结果保留根号）．
【答案】 的长为 米
【分析】作 于点 ，首先根据坡度求出 ，并通过矩形的判定确定出 ，然后通过解
三角形求出 ，即可相加得出结论．
【详解】解：如图所示，作 于点 ，则由题意，四边形 为矩形，
∵在 中， ， ， ，
∴ ，∵四边形 为矩形，∴ ，
由题意， ， ， ， ，
∴ 为等腰直角三角形， ，设 ，则 ，
在 中， ，∴ ，即： ，
解得： ，经检验， 是上述方程的解，且符合题意，
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∴ ，∴ ，∴ 的长为 米．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，准确构造出直角三角形并求解是解题关键．
模型3、拥抱模型
图1 图2 图3 图4
【模型解读】分别解两个直角三角形，其中公共边BC是解题的关键。
【重要等量关系】如图1，BC为公共边；如图2，BF+ FC+CE=BE；如图3，BC+ CE= BE；
如图4，AB=GE，AG=BE，BC+CE=AG, DG+AB= DE。
例1．（2023•包河区三模）如图，校园内两栋教学楼AB和CD之间有一棵古树EF，从楼顶C处经过树顶
E点恰好看到教学楼AB的底部B点且俯角 为30°，从教学楼CD的底部D处经过树顶E点恰好看到教学
楼AB的顶部A点，且仰角 为53°，已知树α高EF＝6米，求DF的长及教学楼AB的高度．（结果精确到
β
0.1米，参考数据： ＝1.73、sin53°≈ 、cos53°≈ 、tan53°≈ ）
【解答】解：由题意可得∠CBD＝30°，∠ADB＝53°，在Rt△DEF中，EF＝6米，
tan∠ADB＝tan53°＝ ≈ ，tan∠CBD＝tan30°＝ ，
解得DF＝4.5，BF＝6 ，∴BD＝BF+DF＝（4.5+6 ）米，
在Rt△ABD中，tan∠ADB＝tan53°＝ ≈ ，解得AB＝6+8 ≈19.8，
∴DF的长约为4.5米，教学楼AB的高度约为19.8米．
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例2．（2022•巴中模拟）如图，小明和小亮周末到巴人广场测量两栋楼AB和CD的高度，小明将木杆EF
放在楼AB和CD之间（垂直于水平面），小亮将测角仪放在 G处（A、F、G三点在一条直线上），测得
楼AB顶部的仰角∠AGB＝30°，再将测角仪放在H处（D、F、H三点在一条直线上），测得楼CD顶部的
仰角∠DHC＝60°，同时测得BE＝15m，CE＝14m，EG＝6m．（点A、B、C、D、E、F、G、H均在同一
平面内，结果精确到0.1米， ≈1.732）（1）求楼AB的高度；（2）求楼CD的高度．
【解答】解：（1）∵BE＝15m，EG＝6m，∴BG＝BE+EG＝21m，
在Rt△ABG中，∠ABG＝90°，∠AGB＝30°，
∴AB＝BG•tan30°＝21× ＝7 ≈12.1（m），∴楼AB的高度约为12.1m；
（2）在Rt△FEG中，∠FEG＝90°，∠FGE＝30°，
∴EF＝EG•tan30°＝6× ＝2 （m），在Rt△FEH中，∠FEH＝90°，∠FHE＝60°，
∴HE＝ ＝ ＝2（m），∴HC＝HE+EC＝2+14＝16（m），
在Rt△DCH中，∠DCH＝90°，∠DHC＝60°，
∴DC＝HC•tan60°＝16 ≈27.7（m）．∴楼CD的高度约为27.7m．
例3．（2023年浙江省湖州市中考数学真题）某数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度，采用以下方法：
如图，把支架 放在离树 适当距离的水平地面上的点F处，再把镜子水平放在支架 上的点E
处，然后沿着直线 后退至点D处，这时恰好在镜子里看到树的顶端A，再用皮尺分别测量 ，
，观测者目高 的长，利用测得的数据可以求出这棵树的高度．已知 于点D，
于点F， 于点B， 米， 米， 米， 米，则这棵树的高度（
的长）是 米．
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【答案】4.1
【分析】过点 作水平线交 于点 ，交 于点 ，根据镜面反射的性质求出 ，再根据
对应边成比例解答即可．
【详解】过点 作水平线交 于点 ，交 于点 ，如图，
∵ 是水平线， 都是铅垂线．∴ 米， 米， 米，
∴ （米），又根据题意，得 ，
∴ ， ，即 ，解得： 米，
∴ (米)．故答案为： ．
【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，通过作辅助线构造相似三角形，并利用相似三角形的对应边成
比例是解答此题的关键．
例4．（2023年天津市中考数学真题）综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度．
如图，塔 前有一座高为 的观景台，已知 ，点E，C，A在同一条水平直线上．
某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为 ，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为 ．(1)求
的长；(2)设塔 的高度为h（单位：m）．①用含有h的式子表示线段 的长（结果保留根号）；②求
塔 的高度（ 取0.5， 取1.7，结果取整数）．
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【答案】(1) (2)① ；②
【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质求解即可；
（2）①分别在 和 中，利用锐角三角函数定义求得 ， ，进而可求解；
②过点 作 ，垂足为 ．可证明四边形 是矩形，得到 ，
．在 中，利用锐角三角函数定义得到 ，然后求解即可．
【详解】（1）解：在 中， ，∴ ．即 的长为 ．
（2）解：①在 中， ，∴ ．
在 中，由 ， ， ，
则 .∴ ．即 的长为 ．
②如图，过点 作 ，垂足为 ．
根据题意， ，∴四边形 是矩形．
∴ ， ．可得 ．
在 中， ， ，∴ ．即 ．
【15淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴ ．答：塔 的高度约为 ．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，涉及含30度角的直角三角形的性质、矩形判定与性质、锐角三角
函数，理解题意，掌握作辅助线构造直角三角形解决问题是解答的关键．
课后专项训练
1．（2023年浙江省衢州市中考数学真题）如图，一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上，调节
杆 ， ， 的最大仰角为 .当 时，则点 到桌面的最大高度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】过点 作 于 ，过点 作 于 ，利用解直角三角形可得 ， ，
根据点 到桌面的最大高度 ，即可求得答案．
【详解】如图，过点 作 于 ，过点 作 于 ，
【16淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
在 中， ，在 中， ，
点 到桌面的最大高度 ，故选：D．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题关键是添加辅助线，构造直角三角形，利用解直角三角形
解决问题．
2．（2022·浙江金华·中考真题）一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，已知 ，
，则房顶A离地面 的高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】过点A作AD⊥BC于D，根据轴对称图形得性质即可得BD=CD，从而利用锐角三角函数正切值即可
求得答案．
【详解】解：过点A作AD⊥BC于D，如图所示：
∵它是一个轴对称图形，∴ m， ，即 ，
房顶A离地面 的高度为 ，故选B．
【点睛】本题考查解直角三角形，熟练掌握利用正切值及一条直角边求另一条直角边是解题的关键．
3．（2023年山东省日照市中考数学真题）日照灯塔是日照海滨港口城市的标志性建筑之一，主要为日照
近海及进出日照港的船舶提供导航服务．数学小组的同学要测量灯塔的高度，如图所示，在点B处测得灯
塔最高点A的仰角 ，再沿 方向前进至C处测得最高点A的仰角 ， ，
【17淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
则灯塔的高度 大约是（ ）（结果精确到 ，参考数据： ， ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】在 中，得出 ，设 ，则 ， ，在 中，根据正
切得出 ，求解即可得出答案．
【详解】解：在 中， ， ，
设 ，则 ， ，在 中， ，
， ，
灯塔的高度AD大约是 ．故选：B．
【点睛】本题考查解直角三角形中的仰俯角问题，解题的关键是弄清有关的直角三角形中的有关角的度数．
4．（2022·黑龙江牡丹江·中考真题）小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°，小明在坡比为5∶12的山坡上
走1300米，此时小明看山顶的角度为60°，求山高( )
A．(600－250 )米 B．(600 －250)米 C．(350＋350 )米 D．500 米
【答案】B
【详解】解：如答图，∵BE：AE=5：12，∴可设BE=5k，AE=12k，
∵AB=1300米，∴在Rt△ABE中，由勾股定理，得AE2+BE2=AB2，
即 ，解得k=100．∴AE=1200米，BE=500米．
【18淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
设EC=x米，∵∠DBF=60°，∴DF= x米．又∵∠DAC=30°，∴AC= CD．
∴1200+x= （500+ x），解得x=600﹣250 ．∴DF= x=600 ﹣750．
∴CD=DF+CF=600 ﹣250（米）．∴山高CD为（600 ﹣250）米．故选B．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用（仰角俯角和坡度坡角问题）；勾股定理；锐角三角函数定义；特
殊角的三角函数值；待定系数法的应用．
5．（2022·贵州毕节·中考真题）如图，某地修建一座高 的天桥，已知天桥斜面 的坡度为 ，
则斜坡 的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】直接利用坡度的定义得出 的长，再利用勾股定理得出 的长．
【详解】∵ ， ，∴ ，解得： ，
则 ．故选：A．
【点睛】本题考查解直角三角形和勾股定理的实际应用．由坡度的定义得出AC的长是解答本题的关键．
6．（2023·云南昆明·校考模拟预测）为做好疫情防控工作，确保师生生命安全，学校每日都在学生进校前
进行体温检测．某学校大门 高6.5米，学生 身高1.5米，当学生准备进入体温检测有效识别区域时，
在点D处测得摄像头A的仰角为 ，当学生刚好离开体温检测有效识别区域 段时，在点C处测得摄
像头A的仰角为 ，则体温检测有效识别区域 段的长为（ ）
【19淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A． 米 B． 米 C．10米 D．5 米
【答案】B
【分析】由题意得 米，分别在 和 中，利用三角函数求出 ，即可得解．
【详解】解：由题意得， 米， 米，
在 中， ， ，
在 中， ， ，
米．故选B．
【点睛】此题考查解直角三角形的应用：仰角俯角问题，熟练掌握特殊角的三角函数值是解答此题的关键．
7．（2023年湖北省黄石市中考数学真题）如图，某飞机于空中 处探测到某地面目标在点 处，此时飞
行高度 米，从飞机上看到点 的俯角为 飞机保持飞行高度不变，且与地面目标分别在两条平
行直线上同向运动．当飞机飞行 米到达点 时，地面目标此时运动到点 处，从点 看到点 的仰角
为 ，则地面目标运动的距离 约为 米．（参考数据： ）
【答案】
【20淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【分析】根据题意可得， ， ， ， ， ， ，
如图所述，过点 作 于点 ，在 中，根据正切的计算方法可求出 的值，在
中根据角的正切值可求出 的值，由此即可求解．
【详解】解：根据题意可得， ， ， ， ， ，
，
∴如图所述，过点 作 于点 ，
∵ ，即 ，且 ， ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，即 ， ，
在 ， ， ，
∴ ，则 ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，则 ，
∴ ，故答案为： ．
【点睛】本题主要考查运用仰俯角的正切值计算边的长度，掌握构成直角三角形，三角函数的计算方法是
解题的关键．
8．（2023年湖北省黄冈市中考数学真题）综合实践课上，航模小组用航拍无人机进行测高实践．如图，
无人机从地面 的中点A处竖直上升30米到达B处，测得博雅楼顶部E的俯角为 ，尚美楼顶部F的
俯角为 ，已知博雅楼高度 为15米，则尚美楼高度 为 米．（结果保留根号）
【21淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】 /
【分析】过点E作 于点M，过点F作 于点N，首先证明出四边形 是矩形，得到
，然后根据等腰直角三角形的性质得到 ，进而得到 ，然后
利用 角直角三角形的性质和勾股定理求出 ，即可求解．
【详解】如图所示，过点E作 于点M，过点F作 于点N，
由题意可得，四边形 是矩形，∴ ，∵ ，∴ ，
∵博雅楼顶部E的俯角为 ，∴ ，∴ ，∴ ，
∵点A是 的中点，∴ ，由题意可得四边形 是矩形，∴ ，
∵尚美楼顶部F的俯角为 ，∴ ，∴ ，∴ ，
∴在 中， ，∴ ，∴解得 ，
∴ ．故答案为： ．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，锐角三角函数，勾股定理等知识，解题的关键是学
会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用构建方程的思想思考问题．
9．（2023·浙江·校考三模）如图1是两扇推拉门，AB是门槛，AD，BC是可转动门宽，且AB＝2AD＝
2BC．现将两扇门推到如图2（图1的平面示意图）的位置，其中 ，且点A，C，D在一条直线上，
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测得A，C间的距离为 cm，则门宽AD＝_______．如图3，已知∠A＝30°，∠B＝60°，点P在AB上，
且AP＝54cm，点M是AD上一动点，将点M绕点P顺时针旋转60°至M′，则CM′的最小距离是
_______cm．
【答案】 90cm
【分析】（1）过点C作CE⊥AB，根据 ，设CE＝4x，BE＝3x，可以把三角形三边表示出来，再根
据勾股定理可求出x，即可求解；（2）根据垂线段最短，可以连接CD，连接 ，判断当AP＝MP时，
，此时 最小，通过解直角三角形即可求解．
【详解】解：（1）如图，过点C作CE⊥AB，
在Rt△BCE中，∵ ，∴设CE＝4x，BE＝3x，∴BC＝5x，
∵AB＝2AD＝2BC＝10x，∴AE＝10x﹣3x＝7x，在Rt△AEC中，AD2+CD2＝AC2，
∴ ，解得x＝18，∴AD＝5x＝90（cm），故答案为：90cm；
（2）如图，连接CD，可知∠ACB＝90°，
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当AP＝MP时， ，此时 最小，
∵∠PAM＝∠PMA＝30°，∴ ，点 在AB边上，
连接 ，此时 ，∴ ，∴ ．故答案为： ．
【点睛】本题考查勾股定理，解直角三角形，解题的关键是构造出直角三角形进行求解．
10．（2023年浙江省绍兴市中考数学真题）图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱 垂直地面 ，
支架 与 交于点 ，支架 交 于点 ，支架 平行地面 ，篮筺 与支架 在同一
直线上， 米， 米， ．
(1)求 的度数．
(2)某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在発子上，最高可以把篮网挂到离地面 米处，那么他能挂上
篮网吗？请通过计算说明理由．（参考数据： ）
【答案】(1) (2)该运动员能挂上篮网，理由见解析
【分析】（1）根据直角三角形的两个锐角互余即可求解；（2）延长 交于点 ，根据题意得出
，解 ，求得 ，根据 与 比较即可求解．
【详解】（1）解：∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ．
（2）该运动员能挂上篮网，理由如下．如图，延长 交于点 ，
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∵ ，∴ ，
又∵ ，∴ ，
在 中， ，
∴ ，∴该运动员能挂上篮网．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握三角函数的定义是解题
的关键．
11．（2023年浙江省温州市中考数学真题）根据背景素材，探索解决问题．
测算发射塔的高度
某兴趣小组在一幢楼房窗口测算远处小山坡上发
射塔的高度 （如图1）．他们通过自制的测
倾仪（如图2）在 ， ， 三个位置观测，测
倾仪上的示数如图3所示．
背
景
素
材
经讨论，只需选择其中两个合适的位置，通过测量、换算就能计算发射塔的高度．
问题解决
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分析规划 选择两个观测位置：点_________和点_________
任
务
写出所选位置观测角的正切值，并量出观测点之
1 获取数据
间的图上距离．
任
务 推理计算 计算发射塔的图上高度 ．
2
任
楼房实际宽度 为 米，请通过测量换算发射
务 换算高度
塔的实际高度．
3
注：测量时，以答题纸上的图上距离为准，并精确到1 ．
【答案】规划一：[任务 1]选择点 和点 ； ， ， ，测得图上 ；
[任务 2] ；[任务 3]发射塔的实际高度为 米；规划二：[任务 1]选择点 和点 ．[任务 2]
；[任务 3]发射塔的实际高度为 米；
【分析】规划一：[任务 1]选择点 和点 ,根据正切的定义求得三个角的正切值，测得图上
[任务 2]如图1，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，设 ．根据
， ，得出 ， ．由 ，解得 ，根
据 ，得出 ，即可求解；
[任务3 ]测得图上 ，设发射塔的实际高度为 米．由题意，得 ，解得 ，
规划二：[任务 1]选择点 和点 ．根据正切的定义求得三个角的正切值，测得图上 ；
[任务 2]如图2，过点 作 于点 ，过点 作 ，交 的延长线于点 ，则
，设 ．根据 ， ，得出 ，
．根据 ，得出 ，然后根据 ，得出 ，进而即可求
解．[任务 3]测得图上 ，设发射塔的实际高度为 米．由题意，得 ，解得 ，即可
求解．
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【详解】解：有以下两种规划，任选一种作答即可．
规划一：[任务 1]选择点 和点 ．
， ， ，测得图上 ．
[任务 2]如图1，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，
则 ，设 ．
∵ ， ，∴ ， ．
∵ ，∴ 解得 ，∴ ．
∵ ，∴ ，∴ ．
[任务3 ]测得图上 ，设发射塔的实际高度为 米．
由题意，得 ，解得 ，∴发射塔的实际高度为 米．
规划二：[任务 1]选择点 和点 ．
， ， ，测得图上 ．
[任务 2]如图2，过点 作 于点 ，过点 作 ，交 的延长线于点 ，则
，设 ．
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∵ ， ，∴ ， ．
∵ ，∴ ，解得 ，∴ ．
∵ ，∴ ，∴ ．
[任务 3]测得图上 ，设发射塔的实际高度为 米．
由题意，得 ，解得 ．∴发射塔的实际高度为 米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数关系是解题的关键．
12．（2023年浙江省丽水市中考数学真题）如图，某工厂为了提升生产过程中所产生废气的净化效率，需
在气体净化设备上增加一条管道 ，已知 ， ，求管
道 的总长．
【答案】18m
【分析】如图：过点 作 于点 ，由题意易得 ，进而求得 ，再通过解直角三
角形可得 ，然后求出 即可解答．
【详解】解：如图：过点 作 于点 ， 由题意，得 ，
∵ ，∴ ．∵ ，∴ ．
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∴ ．即管道 的总长为 ．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，理解题意求得 是解答本题的关键．
13．（2023年浙江省台州市中考数学真题）教室里的投影仪投影时，可以把投影光线 ， 及在黑板上
的投影图像高度 抽象成如图所示的 ， ．黑板上投影图像的高度 ， 与
的夹角 ，求 的长．（结果精确到1cm．参考数据： ， ，
）
【答案】 的长约为
【分析】在 中，由 ，再代入数据进行计算即可．
【详解】解：在 中， ， ， ，
∴ ．∴ 的长约为 ．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的实际应用，熟练的利用锐角的正切求解直角三角形的边长是解本题
的关键．
14．（2023年浙江省宁波市中考数学真题）某综合实践研究小组为了测量观察目标时的仰角和俯角，利用
量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示．
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(1)如图2，在 点观察所测物体最高点 ，当量角器零刻度线上 两点均在视线 上时，测得视线与
铅垂线所夹的锐角为 ，设仰角为 ，请直接用含 的代数式示 ．
(2)如图3，为了测量广场上空气球 离地面的高度，该小组利用自制简易测角仪在点 分别测得气球
的仰角 为 ， 为 ，地面上点 在同一水平直线上， ，求气球 离地
面的高度 ．（参考数据： ， ）
【答案】(1) (2)
【分析】（1）如图所示，铅垂线与水平线相互垂直，从而利用直角三角形中两锐角互余即可得到答案；
（2）根据题意， ，在 中， ，由等腰直角三角形性质得到 ；在
中， ，由 ，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：如图所示：
由题意知 ，在 中， ，则 ，即 ， ；
（2）解：如图所示：
，在 中， ，由等腰直角三角形性质得到 ，
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在 中， ，由 ，
即 ，解得 ， 气球 离地面的高度 ．
【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，涉及直角三角形性质、等腰直角三角形性质和正切函数测高
等，熟练掌握解直角三角形的方法及相关知识点是解决问题的关键．
15．（2023年浙江省金华市中考数学真题）问题：如何设计“倍力桥”的结构？
图1是搭成的“倍力桥”，纵梁 夹住横梁 ，使
得横梁不能移动，结构稳固．
图 是长为 ，宽为 的横梁侧面示意图，三
个凹槽都是半径为 的半圆．圆心分别为
，纵梁是底面
半径为 的圆柱体．用相同规格的横梁、纵梁搭
“桥”，间隙忽略不计．
探究 ：图 是“桥”侧面示意图， 为横梁与地面的交点， 为圆心， 是横梁侧面两边的
交点．测得 ，点 到 的距离为 ．试判断四边形 的形状，并求 的值．
探究2：若搭成的“桥”刚好能绕成环，其侧面示意图的内部形成一个多边形．
①若有12根横梁绕成环，图4是其侧面示意图，内部形成十二边形 ，求 的值；
②若有 根横梁绕成的环（ 为偶数，且 ），试用关于 的代数式表示内部形成的多边形
的周长．
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【答案】探究1：四边形 是菱形， ；探究2：① ；②
【分析】探究1：根据图形即可判断出 形状；根据等腰三角形性质可求出 长度，利用勾股定理
即可求出 长度，从而求出 值．
探究2：①根据十二边形的特性可知 ，利用特殊角正切值求出 长度，最后利用菱形的性
质求出 的长度，从而求得 值．②根据正多边形的特性可知 的度数，利用特殊角正切值求出
和 长度，最后利用菱形的性质求出 的长度，从而求得 值．
【详解】解：探究1：四边形 是菱形，理由如下：
由图1可知， ， ， 为平行四边形．
桥梁的规格是相同的，∴桥梁的宽度相同，即四边形 每条边上的高相等，
∵ 的面积等于边长乘这条边上的高， 每条边相等， 为菱形．
②如图1，过点 作 于点 ．
【32淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
由题意，得 ， ．∴ ．
在 中， ，∴ ．
∴ ．故答案为： ．
探究2：①如图2，过点 作 于点 ．
由题意，得 ， ．
．
又 四边形 是菱形，∴ ．∴ ．
故答案为： ．
②如图3，过点 作 于点 ．
由题意，形成的多边形为正 边形， 外角 ．
在 中， ．
又 ，∴ ．
【33淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
形成的多边形的周长为 ．故答案为： ．
【点睛】本题是一道生活实际应用题，考查的是菱形的性质和判定、锐角三角函数、勾股定理，解题的关
键在于将生活实际和有关数学知识有效结合以及熟练掌握相关性质．
16．（2023年浙江省嘉兴（舟山）市中考数学真题）图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在
摄像头视角围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头 的仰角、俯角均为 ，摄像头高度 ，
识别的最远水平距离 ．
(1)身高 的小杜，头部高度为 ，他站在离摄像头水平距离 的点C处，请问小杜最少需要
下蹲多少厘米才能被识别．(2)身高 的小若，头部高度为 ，踮起脚尖可以增高 ，但仍无法被
识别．社区及时将摄像头的仰角、俯角都调整为 （如图3），此时小若能被识别吗？请计算说明．（精
确到 ，参考数据 ）
【答案】(1) (2)能，见解析
【分析】（1）根据正切值求出 长度，再利用三角形全等可求出 ，最后利用矩形的
性质求出 的长度，从而求出蹲下的高度．
（2）根据正切值求出 长度，再利用三角形全等可求出 ，最后利用矩形的性质求出
的长度，即可求出 长度，与踮起脚尖后的高度进行比较，即可求出答案．
【详解】（1）解：过点 作 的垂线分别交仰角、俯角线于点 ， ，交水平线于点 ，如图所示，
【34淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
在 中， ． ．
， ． ．
， ，
小杜下蹲的最小距离 ．
（2）能，理由如下：过点 作 的垂线分别交仰角、俯角线于点 ， ，交水平线于点 ，如图所示，
在 中， ． ，
，
． ，
．小若垫起脚尖后头顶的高度为 ．
小若头顶超出点N的高度 ． 小若垫起脚尖后能被识别．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的实际应用，涉及到的知识点有锐角三角函数中的正切值、矩形的性
质、三角形的全等，解题的关键在于是否能根据生活实际题结合数学相关知识．解题的重点在于熟练掌握
相关概念、性质和全等方法．
17．（2022·浙江嘉兴·中考真题）小华将一张纸对折后做成的纸飞机如图1，纸飞机机尾的横截面是一个轴
对称图形，其示意图如图2．已知 ， ， ， ， ．
（结果精确到0.1 ，参考数据： ， ， ， ，
， ）。(1)连结 ，求线段 的长．(2)求点A，B之间的距离．
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【答案】(1) (2)
【分析】（1）过点C作 于点F，根据等腰三角形的性质可得 ， ，
再利用锐角三角函数，即可求解；（2）连结 ．设纸飞机机尾的横截面的对称轴为直线l，可得对称轴l
经过点C．从而得到四边形DGCE是矩形，进而得到DE=CG，然后过点D作 于点G，过点E作
EH⊥AB于点H，可得 ，从而得到
，再利用锐角三角函数，即可求解．
(1)解：如图2，过点C作 于点F，
∵ ，∴ ， 平分 ．∴ ，
∴ ，∴ ．
(2)解：如图3，连结 ．设纸飞机机尾的横截面的对称轴为直线l，
∵纸飞机机尾的横截面示意图是一个轴对称图形，
∴对称轴l经过点C．∴ ， ，∴AB∥DE．
过点D作 于点G，过点E作EH⊥AB于点H，
∵DG⊥AB，HE⊥AB，∴∠EDG =∠DGH=∠EHG=90°，∴四边形DGCE是矩形，
∴DE=HG，∴DG∥l， EH∥l，∴ ，
∵ ，BE⊥CE， ∴ ，
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∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键．
18．（2022·浙江绍兴·中考真题）圭表（如图 是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文
仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表” 和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为
“圭” ，当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，
日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表 垂直圭 ，
已知该市冬至正午太阳高度角（即 为 ，夏至正午太阳高度角（即 为 ，圭面上冬至线
与夏至线之间的距离（即 的长）为4米．(1)求∠BAD的度数．(2)求表AC的长（最后结果精确到0.1
米）．（参考数据：sin37°≈ ，cos37°≈ ，tan37°≈ ，tan84°≈ ）
【答案】(1)47°(2)3.3米
【分析】（1）根据三角形的外角等于与它不相邻两个内角的和解答即可；（2）分别求出 和
的正切值，用 表示出 和 ，得到一个只含有 的关系式，再解答即可．
(1)解： ， ， ，答： 的度数是 ．
(2)解：在Rt ABC中， ，∴ ．同理，在Rt ADC中，有 ．
△ △
∵ ，∴ ．∴ ，∴ （米）．
答：表AC的长是3.3米．
【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质和三角函数，解题的关键是熟练掌握建模思想来解决．
19．（2022·浙江金华·中考真题）图1是光伏发电场景，其示意图如图2， 为吸热塔，在地平线 上
的点B， 处各安装定日镜（介绍见图3）．绕各中心点 旋转镜面，使过中心点的太阳光线经镜面
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反射后到达吸热器点F处．已知 ，在点A观测点F的仰角为 ．
（1）点F的高度 为______m．（2）设 ，则 与 的数量关系是_______．
【答案】 9
【分析】（1）过点A作AG⊥EF，垂足为G，证明四边形ABEG是矩形，解直角三角形AFG，确定FG，EG
的长度即可．（2）根据光的反射原理画出光路图，清楚光线是平行线，运用解直角三角形思想，平行线
的性质求解即可．
【详解】（1）过点A作AG⊥EF，垂足为G．∵∠ABE=∠BEG=∠EGA=90°，
∴四边形ABEG是矩形，∴EG=AB=1m，AG=EB=8m，
∵∠AFG=45°，∴FG=AG=EB=8m，∴EF=FG+EG=9(m)．故答案为：9；
（2） ．理由如下：∵∠ E=∠ EG=∠EG =90°，
∴四边形 EG是矩形，∴EG= =1m， G=E = ，
∴tan∠ FG= ，∴∠ FG=60°，∠F G=30°，
根据光的反射原理，不妨设∠FAN=2m，∠F M=2n，
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∵ 光线是平行的，∴AN∥ M，∴∠GAN=∠G M，∴45°+2m=30°+2n，解得n-m=7.5°，
根据光路图，得 ，∴ ，
故 ，故答案为： ．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，特殊角的三角函数值，光的反射原理，熟
练掌握解直角三角形，灵活运用光的反射原理是解题的关键．
20．（2023·浙江金华·校考一模）金华新金婺大桥是华东第一的独塔斜拉桥，如图1是新金婺大桥的效果
图．2022年4月13日开始主塔吊装作业．如图2，我们把吊装过程抽象成如下数学问题：线段 为主塔，
在离塔顶10米处有一个固定点 米 ．在东西各拉一根钢索 和 ，已知 等于214米．吊
装时，通过钢索 牵拉，主塔 由平躺桥面的位置，绕点O旋转到与桥面垂直的位置．中午休息时
，此时一名工作人员在离M 米的B处，在位于B点正上方的钢索上A点处挂彩旗． 正
好是他的身高 米．（1）主塔 的高度为 _____米，（精确到整数米）（2）吊装过程中，钢索 也
始终处于拉直状态，因受场地限制和安全需要， 与水平桥面的最大张角在 到 之间 即
， 的取值范围是 _____．（注： ， ）．
【答案】 82 ##
【分析】（1）过点Q作 交于G点，得到 ，则 ，再由
，可得 ，求出 ，再求 米，即求 的长；
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（2）在 中， ，在 中， 米， 米，
，再由 ，由题可知 ，则
．
【详解】解：过点Q作 交于G点，
∵ 米， 米，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ 米，∴ ，解得 米，∴ 米，
∵ 米，∴ 米，故答案为：82；
（2）解：在 中， ，在 中， 米， 米，
∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，故答案为： ．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握直角三角形的三角函数值定义，准确计算是解题的关键．
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