文档内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
专题 11 三角形中的重要模型-特殊三角形中的分类讨论模型
模型1、等腰三角形中的分类讨论模型
【知识储备】凡是涉及等腰三角形边、角、周长、面积等问题，优先考虑分类讨论，再利用等腰三角形的
性质与三角形三边关系解题即可。
1）无图需分类讨论
①已知边长度无法确定是底边还是腰时要分类讨论；②已知角度数无法确定是顶角还是底角时要分类讨论；
③遇高线需分高在△内和△外两类讨论；④中线把等腰△周长分成两部分需分类讨论。
2）“两定一动”等腰三角形存在性问题：
即：如图：已知A，B两点是定点，找一点 C 构成等腰 △ABC
方法：两圆一线
具体图解：①当 AB=AC 时，以点A为圆心， AB 长为半径作⊙A，点 C 在⊙A上（B， C 除外）
②当 AB=BC 时，以点B为圆心， AB 长为半径作⊙B，点 C 在⊙B上（A，E除外）
③当 AC=BC 时，作 AB 的中垂线，点 C 在该中垂线上（D除外）
例1．（2023春·四川成都·八年级校考期中）已知等腰三角形的两边长分别是 ， ，若 ， 满足
，那么它的周长是（ ）
A．11 B．13 C．11或13 D．11或15
例2．（2023春·黑龙江佳木斯·八年级校考期中）一个等腰三角形的周长为18cm，且一边长是4cm，则它
的腰长为（ ）
1关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A．4cm B．7cm C．4cm或7cm D．全不对
例3．（2023春·四川达州·八年级校考阶段练习）等腰三角形的一个角是 ，则它顶角的度数是（ ）
A． B． 或 C． 或 D．
例3．（2023·四川广安·八年级校考期中）等腰三角形的一个外角为 ，则它的底角为（ ）
A． B． C． 或 D．以上都不是
例4．（2023·四川绵阳·八年级校考阶段练习）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 ，则等腰三角
形的顶角度数为 ．
例5．（2023·山东滨州·八年级校考期末）我们称网格线的交点为格点．如图，在6行 列的长方形网格
中有两个格点A、B，连接 ，在网格中再找一个格点C，使得 是等腰直角三角形，则满足条件的
格点C的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
例6．（2023·北京·八年级期中）Rt ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，以AC为一边．在△ABC外部作等腰直
角三角形ACD，则线段BD的长为__△__．
例7．（2023·福建南平·八年级校考期中）已知△ABC中，如果过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两
个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为△ABC的关于点B的二分割线．
如图1，Rt△ABC中，显然直线BD是△ABC的关于点B的二分割线．在图2的△ABC中，∠ABC＝110°，
若直线BD是△ABC的关于点B的二分割线，则∠CDB的度数是 ．
2关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
例8．（2023·四川成都·八年级校考期中）如图，A、B两点的坐标分别为 ， ，点P是x轴上一点，
且 为等腰三角形，则点P的坐标为 ．
例9．（2023·江苏苏州·八年级校考期中）如图， 中， ， ， ，若点
从点 出发，以每秒 的速度沿折线 运动，设运动时间为 秒（ ）．
(1)若点 在 上，且满足 ，求此时 的值；(2)若点 恰好在 的角平分线上，求此时 的值：
(3)在运动过程中，当 为何值时， 为等腰三角形．
例10．（2022春·四川成都·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，经过
的直线交x轴正半轴于点B，交y轴于点 ，直线 交x轴负半轴于点D，若
的面积为
(1)求直线 的表达式和点D的坐标；(2)横坐标为m的点P在线段 上（不与点 重合），过点P作
3关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
x轴的平行线交 于点E，设 的长为 ，求y与m之间的函数关系式并直接写出相应的m取值
范围；(3)在（2）的条件下，在x轴上是否存在点F，使 为等腰直角三角形？若存在求出点F的坐标；
若不存在，请说明理由．
模型2、直角三角形中的分类讨论模型
【知识储备】凡是涉及直角三角形问题，优先考虑直角顶点（或斜边）分类讨论，再利用直角三角形的性
质或勾股定理解题即可。
1）无图需分类讨论：①已知边长度无法确定是直角边还是斜边时要分类讨论；②已知无法确定是哪个角
是直角时要分类讨论（常见与折叠、旋转中出现的直角三角形）。
2）“两定一动”直角三角形存在性问题：（常见于与坐标系综合出题，后续会专题进行讲解）
如图：已知A，B两点是定点，找一点 C 构成 Rt△ABC
即：
方法：两线一圆
具体图解：①当 ∠BAC=90° 时，过点A作 AB 的垂线，点 C 在该垂线上（A除外）
②当 ∠ABC=90° 时，过点B作 AB 的垂线，点 C 在该垂线上（B除外）。
③当 ∠ACB=90° 时，以 AB 为直径作圆，点 C 在该圆上（A，B除外）。
例1．（2023春·河南安阳·八年级校考期末）若三角形的两边长为4和5，要使其成为直角三角形，则第三
4关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
边的长为 ．
例2．（2023春·河南郑州·八年级校考期中）如图， 是 的角平分线， 是 的高，
， ，点F为边 上一点，当 为直角三角形时，则 的度数为 ．
例3．（2022秋·河南新乡·八年级校考期末）如图，在4×4的正方形网格中有两个格点A，B，连接AB，在
网格中再找一个格点C，使得△ABC是等腰直角三角形，则满足条件的格点C的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
例4．（2022·江西九江·八年级期末）已知在平面直角坐标系中A（﹣2 ，0）、B（2，0）、C（0，
2）．点P在x轴上运动，当点P与点A、B、C三点中任意两点构成直角三角形时，点P的坐标为________．
例5．（2022秋·辽宁丹东·八年级校考期中）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，以AC为一边，在
△ABC外作等腰直角△ACD，则线段BD的长为 ．
例6.（2023春·山东东营·八年级校考阶段练习）如图，长方形 中， ， ，点
为射线 上的一个动点，若 与 关于直线 对称，若 为直角三角形，则 的长为
．
例7.（2023秋·浙江绍兴·八年级统考期末）如图，在 中， ， ，点D是边
5关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
上的点，将 沿 折叠得到 ，线段 与边 交于点F．若 为直角，则 的长
是 ．
例8．（2023秋·河南商丘·八年级校考期中）如图， 中， cm，现有两点M、N分别
从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为 ，点N的速度为 ．当点N第
一次到达B点时，M、N同时停止运动．
(1)点M、N运动几秒后，M、N两点重合？(2)点M、N运动几秒后，可得到等边三角形 ？
(3)当点M、N在 边上运动时，能否得到以 为底边的等腰三角形 ？如存在，请求出此时M、N
运动的时间．(4)点M、N运动______________________后，可得到直角三角形 ．
例9．（2023秋·河南漯河·八年级校考期末）如图，等边三角形 中，D、E分别是 、 边上的点，
， 与 相交于点P， ，Q是射线 上的动点．
(1)图中共有__________组全等，请选择其中的一组全等予以证明．(2)若 为直角三角形，求 的值．
例10．（2023·四川成都·八年级校考期末）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（-4，4），点B
的坐标为（0，2）．（1）求直线AB的解析式；（2）以点A为直角顶点作∠CAD=90°，射线AC交x轴的负
6关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
半轴于点C，射线AD交y轴的负半轴于点D．当∠CAD绕着点A旋转时，OC-OD的值是否发生变化？若不
变，求出它的值；若变化，求出它的变化范围；（3）如图2，点M（-4，0）和N（2，0）是x轴上的两个
点，点P是直线AB上一点．当 PMN是直角三角形时，请求出满足条件的所有点P的坐标．
△
课后专项训练
1．（2023·福建龙岩·八年级校考期中）在平面直角坐标系xOy中，点 ， ，若点C在x轴上，
且 为等腰三角形，则满足条件的点C的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2022·山东青岛·统考二模）在平面直角坐标系中， 为坐标原点，点 的坐标为 ，若 为 轴
上一点，且使得 为等腰三角形，则满足条件的点 有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．（2022·安徽淮北·九年级阶段练习）如图，在 中， ， ， ．若点P为直线
BC上一点，且 为等腰三角形，则符合条件的点P有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
4．（2022·四川广元·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB=36°，以C为原点，C所在直
线为y轴，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系 ，在坐标轴上取一点M使△MAB 为等腰三角形，符合
条件的 M 点有（ ）
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
5．（2023·四川凉山·八年级校考期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是 ，则底角是 ．
6．（2023春·四川达州·八年级校考阶段练习）我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫作等
腰三角形的“特征值”，记作k．若 ，则该等腰三角形的顶角为 度．
7．（2022·河南平顶山·八年级期末）如图， 中， ， ， 的平分线与线段 交
于点 ，且有 ，点 是线段 上的动点（与A、 不重合），连接 ，当 是等腰三角形
时，则 的长为___________．
8．（2023·上虞市初二月考）在如图所示的三角形中，∠A＝30°，点P和点Q分别是边AC和BC上的两个
动点，分别连接BP和PQ，把△ABC分割成三个三角形△ABP，△BPQ，△PQC，若分割成的这三个三角形
都是等腰三角形，则∠C有可能的值有________个．
8关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
9．（2022·河南·郑州八年级阶段练习）如图，已知等腰 ABC中，ABAC5，BC8，E是BC上的一个动
点，将 ABE沿着AE折叠到 ADE处，再将边AC折叠△到与AD重合，折痕为AF，当 DEF是等腰三角形
时，BE△的长是___________．△ △
10．（2022·河南南阳·二模）如图，在 的纸片中， ， ， ．点 在边 上，
以 为折痕将 折叠得到 ， 与边 交于点 ．若 为直角三角形，则 的长是
_______．
11．（2022·江西萍乡·二模）如图，在 ABC 中，AB＝BC＝2，AO＝BO，P 是射线 CO 上的一个动点，
∠AOC＝60°，则当 PAB为直角三角形△时，AP 的长为____．
△
12．（2023春·江西鹰潭·八年级校考阶段练习）如图，在 中，已知 ， ，
． ， 在直线 上．现将 在直线 上进行平移，当 为直角三角形时， 的长为
．
13．（2022秋·四川成都·八年级校考期中）如图，四边形 是一张长方形纸片，将其放在平面直角坐
标系中，使得点 与坐标原点重合，点 、 分别在 轴、 轴的正半轴上，点 的坐标为 ， 的坐
9关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
标为 ，现将纸片沿过 点的直线折叠，使顶点 落在线段 上的点 处，折痕与 轴的交点记为 ．
(1)求点 的坐标和 的大小；(2)在 轴正半轴上是否存在点 ，满足 ，若存在，求出
点坐标，若不存在请说明理由；(3)点 在直线 上，且 为等腰三角形，请直接写出点 的坐标．
14．（2023秋·浙江杭州·八年级校联考期末）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，长方形 的
顶点A、B分别在x轴与y轴上，已知 ， ，点D为y轴上一点，其坐标为 ，点P从点A
出发以每秒1个单位的速度沿线段 的方向运动，当点P与点B重合时停止运动．
(1)当点P与点C重合时，求直线 的函数解析式；(2)设运动时间为t秒．当点P在运动过程中，
①求 的面积S关于t的函数解析式；②是否存在等腰三角形 ？若存在，请求出点P的坐标；
若不存在，请说明理由．
10关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
15．（2022春·四川成都·八年级校考阶段练习）如图，平面直角坐标系 中，直线 交 轴于
点 ，交 轴于点 ，点 是线段 上一动点（不与点 重合），过点 作 于点 ．
(1)当点 是 中点时，求 的面积；(2)连接 ，若 平分 ，求此时点 的坐标；
(3) 平分 ，在 轴上有一动点 ， 横坐标为 ，过点 作直线 轴， 与线段 有交点，求
的取值范围；(4) 平分 ， 为 轴上动点， 为等腰三角形，求 坐标．
16．（2023春·吉林长春·八年级校考阶段练习）如图，在 的正方形网格中，每个小正方形的边长为1
个单位长度，存在线段 ，端点A，B均落在格点上，构建如图所示平面直角坐标系．
(1)直接写出点A，B的坐标：A（______，______）， B（______，______）；
(2)请在网格中找到点C，连接 ， ，使 为等腰直角三角形，此时点C的坐标为______；
(3)如图所示，网格中（包括网格的边界）存在点P，点P的横纵坐标均为整数，连接 ， ，得到锐角
，且 为等腰三角形，则满足条件的点P有_____个．
11关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
17．（2023秋·浙江金华·八年级校联考阶段练习）在平面直角坐标系中，点A的坐标为(-1，0)，点B是直
线 上的动点，连接AB，设点B的横坐标为 ．
(1)如图1，当 时，以AB为直角边在AB下方作等腰直角三角形ABC，使 ，求点C的坐标．
(2)如图2，把线段AB绕点A顺时针旋转 得到线段AD，当点B在直线 上运动时，点D也随之
运动，连接OD，求 AOD的面积（用含 的代数式表示）．
(3)在图3中以AB为直角边作等腰直角三角形ABE，当点E落在直线 上时，求 的值．
18．（2023秋·四川成都·八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，经过A(-2，6)
的直线交x轴正半轴于点B，交y轴于点C，OB=OC，直线AD交x轴负半轴于点D，若 ABD的面积为27．
（1）求直线AD的解析式；（2）横坐标为m的点P在AB上（不与点A，B重合），过△点P作x轴的平行
线交AD于点E，设PE的长为y（y≠0），求y与m之间的函数关系式并直接写出相应的m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，在x轴上是否存在点F，使 PEF为等腰直角三角形？若存在求出点F的坐标，若
不存在，请说明理由． △
12关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
19．（2023秋·四川成都·八年级统考期末）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为 ，点B的坐
标为 ．(1)求直线 的表达式；(2)点M是坐标轴上的一点，若以 为直角边构造 ，请求
出满足条件的所有点M的坐标；(3)如图2，以A为直角顶点作 ，射线 交x轴的正半轴于点
C，射线 交y轴的负半轴于点D，当 绕点A旋转时，求 的值．
20．（2022秋·四川成都·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，直线 与x轴交于点A，
与y轴交于点B，过点B的直线交x轴的正半轴于点C，且 面积为10．
13关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(1)求直线BC的解析式；(2)如图1，若点M为线段BC上一点，且满足 ，求点M的坐标；
(3)如图2，点F为线段AB中点，点G为y轴上任意一点，连接FG，以FG为腰，G为直角顶点，在FG右
侧作等腰直角 ，当顶点Q落在直线BC上时，求点的坐标．
14
