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专题40 重要的几何模型之12345模型
初中几何，直角三角形具有举足轻重的地位，贯彻初中数学的始终，无论是一次函数、平行四边形、
特殊平行四边形、反比例函数、二次函数、相似、圆，都离不开直角三角形。今天我们要重点介绍的
“12345”模型就是中考（选填题）解题神器，需要我们反复断钻研、领悟。现在带领大家领略一下，
“12345”模型的独特魅力。
【模型解读】
模型1、12345模型及其衍生模型
【模型来源】2019年北京市中考
如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA＝（ ）°（点A，B，P是网格交点）．
该类问题解法很多，这里我们就根据现有的方格纸来构造一个等腰直角三角形。
如图，即：∠PAB+∠PBA=∠BPQ=45°。
上面的∠PAB和∠PBA便是今天要说的特殊角，除了它们的和为45°之外，用三角函数的观点来看：
tan∠PAB= ，tan∠PBA= ，对于这里的数据，为了便于记忆，总结为“12345”模型。
【常见模型】下面模型中 ， ，2，3， ， 均为对应角的正切值。
∠α+∠β＝45°； ∠α+45°＝∠GAF； ∠DAF+45°＝∠EAH； ∠α+∠β＝135°；
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∠α+∠β＝90°； ∠ADB+∠DBA＝∠BAC； ∠ADB+∠DBA＝∠BAC；
切记：做题不光要知道题目告诉我什么，还要根据已知的信息，思考这里需要什么，而“12345”模型用
来解决相关的选填题非常方便。下面所列举的个别题，利用“12345”解题也许未必是最简，最巧妙的，
但至少可以成为一种通性通法，可以在短时间内快速破题。毕竟在考试的时候时间非常宝贵的。
例1．（2022·四川乐山·中考真题）如图，在 中， ， ，点D是AC上一点，连接
BD．若 ， ，则CD的长为（ ）
A． B．3 C． D．2
【答案】C
【分析】法1：先根据 ， ，再由12345 模型知：∠BDC＝45°，从而可求出CD．
法2：先根据锐角三角函数值求出 ，再由勾股定理求出 过点D作 于点E，依据三角
函数值可得 从而得 ，再由 得AE=2，DE=1，由勾股定理得AD=
，从而可求出CD．
【详解】解法1：∵ ， ，∴根据 12345 模型知：∠BDC＝45°，
∵ ，∴三角形BCD为等腰直角三角形，∵ ，∴CD=
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解法2（常规解法）：在 中， ， ，∴ ∴
由勾股定理得, 过点D作 于点E，如图，
∵ ， ，∴
∴ ∴ ∴
∵ ∴ ∴ ∴ ,
在 中, ∴
∵ ∴ 故选：C
【点睛】本题主要考查了勾股定理，由锐角正切值求边长，正确作辅助线求出DE的长是解答本题的关键．
例2.（2023.成都市中考模拟）如图，正方形 ， ，点E为 上一动点，将三角形 沿
折叠，点A落在点F处，连接 并延长，与边 交于点G，若点G为 中点，则 ．
【答案】
【详解】解法1：延长EF至H,易证△BFH≌△BCH(HL),则∠EBH=45°，
又因为HF=HC=HD，所以∠CFD=90°，则∠CBH=∠FBH=∠FCD=∠ADG，
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因为 ，根据“12345”模型，易知故
α
H
β
α α
α
解法2（常规解法）：如图，过点 作 的平行线，分别交 于点 ，
四边形 是正方形， ， ， ，四边形 是矩形，
， 点 为 中点， ，
， ， ，即 ，
设 ，则 ， ，
由折叠的性质得： ， ，
又 ， ， ，
在 和 中， ， ，
，即 ，解得 ， ， ，
又 ， ，解得 或 ，
经检验， 是所列方程的解， 不是所列方程的解，
例 3.（2023.湖北黄冈.中考真题）如图，矩形 中， ，以点B为圆心，适当长为半径画
弧，分别交 ， 于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于 长为半径画弧交于点P，作射线 ，
过点C作 的垂线分别交 于点M，N，则 的长为（ ）
【4 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A． B． C． D．4
【答案】A
【详解】解法1：因为 ，所以 ，
如图，根据“12345”模型，易知 ，故 。
α
α
α
解法2（常规解法）：如图，设 与 交于点O，与 交于点R，作 于点Q，
矩形 中， ， ， ．
由作图过程可知， 平分 ， 四边形 是矩形， ，
又 ， ，在 和 中， ， ，
， ，设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得 ，即 ，
解得 ， ． ．
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， ．
， ， ，
，即 ，解得 ．
例4.（2023.四川广元 中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知点 ，点 ，点 在 轴上，
且点 在点 右方，连接 ， ，若 ，则点 的坐标为 ．
【答案】
【详解】解法1：因为点 ，点 ，所以
因为 ，根据“12345”模型，易知 ,故 .
解法2（常规解法）：∵点 ，点 ，∴ ， ，
∵ ，∴ ，过点 作 于点 ，
∵ ， 是 的角平分线，∴
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∵ ∴ 设 ，则 ， ，
∴ 解得： 或 （舍去），∴
例5.（2022.四川泸州中考真题）如图，在边长为3的正方形 中，点 是边 上的点，且 ，
过点 作 的垂线交正方形外角 的平分线于点 ，交边 于点 ，连接 交边 于点 ，
则 的长为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【详解】解法1：因为AB=AD=3, ，所以AE=1,BE=2,所以
根据“12345”模型，易知 ， ，因为∠DEF=90°，所以 ，
所以 ，故 ，故
D C
3 N
2 H
M F
3
A E B G
2
3
1 2
解法2（常规解法）：在AD上截取AH＝AE，连接HE．
则∠AHE＝∠AEH＝45°，∴∠DHE＝135°．由题意，AD＝AB，∠EBF＝135°，∴DH＝BE，∠DHE＝
∠EBF．
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∵∠A＝∠DEF＝90°，∴∠HDE＝∠BEF＝90°－∠DEA，∴△HDE≌△BEF，∴DE＝EF，∴∠EDF＝45°．
∵BE＝2AE，AD＝AB＝3AE，∴tan∠ADE＝ ，∴tan∠CDN＝ ，BN＝CN＝ BC＝ ．
∵∠A＝∠DEM＝∠EBM＝90°，∴△ADE≌△BEM，∴BM＝ BE＝ ，∴MN＝BN－BM＝ ．
例6.（2023.内蒙古.中考真题）如图，在 中， ，将 绕点A逆时针
方向旋转 ，得到 ．连接 ，交 于点D，则 的值为 ．
【答案】5
【详解】解法1：因为 ，根据“12345”模型，易知 ，故 。
45°
α
解法 2（常规解法）：解：过点 D 作 于点 F，∵ ， ， ，∴
，
∵将 绕点A逆时针方向旋转 得到 ，
∴ ， ，∴ 是等腰直角三角形，∴ ，
又∵ ，∴ ，∴ 是等腰直角三角形，∴ ，
∵ ，即 ，
∵ ， ，∴ ，∴ ，即 ，
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又∵ ，∴ ，
∴ ， ，∴ ，故答案为：5．
例7.（2023.呼和浩特中考真题）如图，正方形 的边长为 ，点 是 的中点， 与 交于点
， 是 上一点，连接 分别交 ， 于点 ， ，且 ，连接 ，则 ，
．
【答案】 2
【详解】解法1：易知 ， ，接下来对△AME分析，如图易知 ，
过M作AE的垂线段，设EM=5x，则 ， ，则
M
5x
4x
E 3x 12x-2 H 2 A
解法2（常规解法）：如图，证明 ，得到 ，勾股定理求出 的长，等积法求出
的长，证明 ，相似比求出 的长，证明 ，求出 的长，证明
，求出 的长，再利用勾股定理求出 的长．
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【常规法】解：∵正方形 的边长为 ，点 是 的中点，
∴ ， ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ；
∵ ，∴ ， ，∴ ，
∴ ，∴ ，
故点 作 ，则： ，∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，∴
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课后专项训练
1.（2023·深圳市高级中学联考）如图，正方形 中， 是 中点，连接 ， ，作 交
于 ，交 于 ，交 于 ，延长 交 延长线于 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【简证】
m
3m
5m
10m
5m
1
2 45°
M
5m
【常规法详解】解：∵四边形 是正方形，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，
∵ 是 中点，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
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∴ ，设 ，则 ，
∴ ，∴ ；故选：C.
2.（2018湖北中考真题）如图，正方形ABCD中，AB=6，G是BC的中点，将△ABG沿AG对折至
△AFG，延长GF交DC于点E，则DE长是( )
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
【答案】C
【解析】根据 BG 是 AB 的一半，可得 tan∠BAG= ，
连接 AE，易证△AEF≌△AED，∴∠GAE＝45°，∴∠α+∠β＝45°，
根据 12345 模型知：tan∠DAE= ，∴DE=2，故此题选 C
3.（2021宜宾中考真题）如图，在矩形纸片ABCD中，点E，F分别在边AB，AD上，将矩形纸片沿CE，CF
折叠，点B落在H处，点D落在G处，点C，H，G恰好在同一直线上，若AB＝6，AD＝4，BE＝2，则DF
的长是（ ）．
7 3 2
A．2 B．4 C． 2 D．3
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C D
H F
G
B E A
【答案】A
【解析】由题意，∠BCE＝∠HCE，∠DCF＝∠GCF．∵∠BCD＝90°，∴∠BCE＋∠DCF＝45°．
∵tan∠BCE＝ ＝ ＝ ，∴tan∠DCF＝ ，∴ ＝ ，∴DF＝ CD＝2
4.（2023.湖北 九年级期中）如图，已知正方形ABCD的边长为4，E是AB边延长线上一点，BE＝2，F是
AB边上一点，将△CEF沿CF翻折，使点E的对应点G落在AD边上，连接EG交折痕CF于点H，则FH的长
是（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【简证】易知 ，故 ，
3m 5m
4m
5m
【常规法详解】解：∵四边形 是边长为 的正方形，
∴ ， ，∴ ，
由翻折得 ， ， 垂直平分 ，
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在 和 中， ，∴ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ ，且 ，∴ ，解得 ，
∵ ，∴ ，解得
5.（2023.浙江中考模拟）如图，A，B，C，D是边长为1的小正方形组成的6×5网格中的格点，连接 交
于点E，连接 ．给出4个结论：① ；② ；③ ；④ ．
其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】B
【简证】易知 ， ， ，故③错误，选B
【详解】解：连接 ， ， 为格点，如图，
由题意得： ， ， ， ．
在 和 中， ， ，
， ， ，
， 为等腰直角三角形， ．
， ， ， ， ，
， ， ， ． ①的结论正确；
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， ， ．
， ， ． ②的结论正确；
， ，
，在 中， ，
， ③的结论不正确；
， ， ，
， ， ④的结论正确．综上，正确的结论有：①②④．
6.（2023.山东九年级期中）如图，将已知矩形纸片ABCD的边BC斜着向AD边对折，使点B落在AD上，记
为点B'，折痕为CE，再将CD边斜向下对折，使点D落在B'C上，记为点D'，折痕为CF，若B'D'＝2，BE＝
1
BC
3 ，则矩形纸片ABCD的面积为_________．
B′ F
A D
E
D′
B C
【答案】15
【解析】由题意，BC＝B'C，CD＝C'D，∠BCE＝∠B'CE，∠DCF＝∠D'CF．
∵∠BCD＝90°，∴∠ECF＝∠B'CE＋∠D'CF＝45°．
∵BE＝ ，∴tan∠BCE＝ ，∴tan∠D'CF＝ ，tan∠B'CB＝ ．
∵AD∥BC，∴∠FB'D'＝∠B'CB，∴tan∠FB'D'＝ ，
∴DF＝D'F＝ BD’＝ ，∴CD＝CD'＝2D'F＝3，
∴BC＝B'C＝B'D'＋CD'＝2＋3＝5，∴S矩形ABCD ＝BC·CD＝5×3＝15．
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7.（2022.贵州中考真题）如图，折叠边长为4cm的正方形纸片 ，折痕是 ，点 落在点 处，分
别延长 、 交 于点 、 ，若点 是 边的中点，则 cm．
【答案】
【简证】连接 易知△ADF≌△EDF（HL），记 ， ，则
故 ,
【常规法】解：连接 如图，
∵四边形ABCD是正方形，∴
∵点M为BC的中点，∴
由折叠得， ∠
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∴∠ ， 设 则有 ∴
又在 中， ，
∵ ∴ ∴
在 中， ∴
解得， （舍去）∴ ∴ ∴
∵∠ ∴∠ ∴∠
又∠ ∴△ ∴ 即 ∴
8.（2023.成都市九年级期中）如图，在正方形ABCD中，点E在BC上，点F是CD的中点，∠EAF＝45°，连
DH
接AE与BF交于点G，连接AF与DG交于点H，则 HG 的值为_________．
A D
H
F
G
B E C
【答案】
【解析】过点G作GM⊥AF于点M，过点D作DN⊥AF于点N．
A D
M
H
N F
G
B E C
∵四边形ABCD是正方形，点F是CD的中点，∴tan∠DAF＝∠tan∠CBF＝ ．
∵∠AFB＝180°－∠AFD－∠BFC＝2( 90°－∠AFD )＝2∠DAF，∴ ＝tan∠AFB＝tan2∠DAF＝ ．
设AM＝GM＝4a，则FM＝3a，AF＝7a，AN＝2DN＝4FN，
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FN＝ AF＝ ，DN＝2FN＝ ，∴ ＝ ＝ ＝ ．
9.（2022.北部湾中考真题）如图，在正方形ABCD中，AB＝4 2，对角线AC，BD相交于点O．点E是对角
线AC上一点，连接BE，过点E作EF⊥BE，分别交CD，BD于点F，G，连接BF交AC于点H，将△EFH沿EF
翻折，点H的对应点H′恰好落在BD上，得到△EFH′．若点F为CD的中点，则△EGH′的周长是_________．
A D
H′
E
O G F
H
B C
【答案】5＋ 5
【解析】过点E作EP⊥AC，交CB的延长线于点P．
A D
H′
E
O G F
H
P B C
∵四边形ABCD是正方形，∴∠ECB＝∠ECF＝45°．∴∠P＝45°，∴∠P＝∠ECF，∴EP＝EC．
∵∠BEF＝90°，∴∠PEB＝∠CEF，∴△EPB≌△ECF，∴EB＝EF，∴∠EBH＝∠EFH＝45°．
∵∠OBC＝45°，∴∠EBO＝∠FBC．∵点F为CD的中点，∴tan∠EBO＝tan∠FBC＝ ．
∵AB＝ ，∴OB＝4，∴OE＝2．∵∠H′EF＝∠HEF＝90°－∠BEO＝∠EBO，
∴tan∠HEF＝tan∠EBO＝ ，∴tan∠H′EO＝ ，
∴OG＝ OE＝1，OH′＝ OE＝ ，EH′＝ OE＝ ，∴EG＝ 5 ，GH′＝ －1＝ ，
∴△EGH′ 的周长＝EH'＋EG＋GH'＝ ＋ ＋ ＝5＋
10.（2023.成都市九年级期中）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点E、F分别在BC、CD上，若
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√5
AE= ∠EAF=45°，则AF的长为 .
，
【答案】
√5
【解析】根据 AB=2，AE= ，∠B=90°得到：BE=2，可得 tan∠BAE= ，
∵∠FAE＝45°，∠BAD＝90°，∴∠BAE+∠DAF＝45°，
根据 12345 模型知：tan∠DAF= ，∴DF= ，
再根据勾股定理求得：AF= ，故答案为：
11.（2019盐城中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=2x-1的图像分别交x、y轴于点A、B，
将直线AB绕点B顺时针旋转45°，交x轴于点C，则直线BC的函数表达式是_______________．
【答案】
【解析】∵一次函数y=2x-1的图像分别交x、y轴于点A、B。
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∴A（ ，0）B（0，-1），AO= ，BO=1，可得 tanα= ，
∵∠α+∠β+∠ABC＝90°，∠ABC＝45°，∴∠α+∠β＝45°，
根据 12345 模型知：tanβ= ，∴OC=3，C（3，0）
∵B（0，-1），C（3，0），∴直线BC的函数表达式为： ，故答案为： 。
12.（2017无锡中考真题）在如图的正方形方格纸上，每个小的四边形都是相同的正方形，A、B、C、D都
在格点处，AB与CD相交于O，则tan∠BOD的值等于__________．
【答案】3
【解析】如图所示，取点E，设∠OAE=α，易知∠OEA=45°，tanα=
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∵根据外角定理：∠BOD=α+45°，根据 12345 模型知：tan∠BOD=3，故答案为：3。
13.（2023甘肃天水中考模拟）如图，把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA、OC分别落在x轴、
y轴上，连接OB，将纸片OABC沿OB折叠，使点A落在点A’位置，OB= ，tan∠BOC= ，则点A’的
坐标为____________．
【答案】（- ， ）
【解析】设∠OAB=α，过点A’作A’H⊥AB. ∵OB= ，tan∠BOC= ，∴OA=1，AB=2.
根据翻折知：∠ABO=∠BOC，∴tan∠ABO=tan∠BOC= ，A’B=AB=2.
根据 12345 模型知：tan∠ABA’= ，即BH：A’H：A’B=3:4:5，故A’H= ，BH= ，A坐标（- ， ）．
14.（2023.广东九年级期中）如图，折叠边长为4cm的正方形纸片ABCD，折痕是DM，点C落在点E处，
分别延长ME，DE交AB于点F，G，若点M是BC边的中点，则FG＝_________cm．
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D C
M
E
A F G B
【答案】
【解析】连接DF．由题意，DE＝DC＝DA，∠DEF＝∠A＝90°．
∵DF＝DF，∴△DEF≌△DAF，∴∠EDF＝∠ADF．
∵∠CDM＝∠EDM，∠ADC＝90°，∴∠FDM＝45°．
∵tan∠CDM＝ ＝ ，∴tan∠ADF＝ ＝ ，tan∠DGA＝tan∠CDG＝ ．
∵AD＝AB＝4cm，∴EF＝AF＝ cm，∴FG＝ ＝ cm．
15.（2017浙江丽水中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=-x+m分别交x轴、y轴于A、B两
点，已知点C（2，0），点P为线段OB的中点，连接PA、PC，若∠CPA=∠ABO，则m的值是
__________．
【答案】2
【解析】∵一次函数y=2x-1的图像分别交x、y轴于点A、B。
∴A（m，0）B（0，m），AO=m，BO=m，∴∠ABO=45°，
∵∠CPA=∠ABO，∴∠APC=45°，设∠PAO=α，∠OPC=β，
∵∠α+∠β+∠APC＝90°，∠APC＝45°，∴∠α+∠β＝45°，
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∵点P为线段OB的中点，∴P（0， ），PO= ，可得 tanα= ，
根据 12345 模型知：tanβ= ，∴3OC=OP，∵C（2,0）∴OP=6，∴OA=12，m=12．
16.（2023·龙华区九年级上期末）如图，已知正方形ABCD的边长为 6，E 为BC的中点，将△ABE沿直线
AE折叠后，点B落在点F处，AF交对角线BD于点G，则FG的长是________．
A D
G
F
B E C
【答案】
【解析】∵E 为BC的中点，AB=6，∴BE=3，可得 tan∠BAE= ，由翻折知：tan∠FAE= ，
根据 12345 模型知：tan∠GAD= ，过点 G 作 GH⊥AD，∵ABCD是正方形，∴DH=GH
设AH=4x，则GH=DH=3x，AG=5x，AD=7x，故 AB=AF=7x，GF=2x。
∵AB=6，∴7x=6，x= ，GH= ，故答案为： 。
17.（2023·山东·中考模拟）如图，在矩形 ABCD 中，AB＝4，AD＝6，点 E，F 分别在边 BC，CD 上，
∠EAF＝45°，BE＝2，则DF的长为_________．
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A D
F
B E C
【答案】2
【解析】∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，∴∠BAE＋∠DAF＝45°．
∵tan∠BAE＝ ＝ ＝ ，∴tan∠DAF＝ ，∴ ＝ ，∴DF＝ ＝2．
18.（2023.广东九年级期中）如图，已知点 ， ， 为坐标原点，点 关于直线 的对称点
恰好落在反比例函数 的图象上，则 ．
【答案】
【详解】法一：易知 ，故 .
4m 5m
D 3m
法二：常规法解：作 轴于点 ，连接 ，如图所示，
点 ， ， ， ，
点 关 于 直 线 的 对 称 点 为 点 ， ， ， 即
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，
， ， ，
， ，设 ， ，
，解得： ， ，
19．（21·22·深圳·模拟预测）如图，已知点A的横坐标与纵坐标相等，点B（0，2），点A在反比例函数y
的图象上．作射线AB，再将射线AB绕点A按逆时针方向旋转 ，交y轴于C点，则△ABC面积为
．
【答案】20
【分析】过B作BF⊥AC于F，过F作FD⊥y轴于D，过A作AE⊥DF延长线于E，证明△AEF≌△FDB
（AAS），设BD＝a，则EF＝a，由点A（4，4）和点B（0，2）可得AE+OD＝4，求得 ，可得F（3，
1），进而求得直线AC的解析式为y＝3x﹣8，令x＝0，得出C（0，﹣8），即可求解．
【详解】解：∵点A在反比例函数y 的图象上，且点A的横坐标与纵坐标相等，∴A（4，4），
过B作BF⊥AC于F，过F作FD⊥y轴于D，过A作AE⊥DF延长线于E，
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∵ ，则△ABF为等腰直角三角形，∴
在△AEF与△FDB中 ∴△AEF≌△FDB（AAS），
设BD＝a，则EF＝a，∵点A（4，4）和点B（0，2），∴DF＝4﹣a＝AE，OD＝OB﹣BD＝2﹣a，
∵AE+OD＝4，∴4﹣a+2﹣a＝4，解得a＝1，∴F（3，1），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，则 ，解得 ，
∴y＝3x﹣8，令x＝0，则y＝﹣8，∴C（0，﹣8），∴BC＝10，
∴ 20，故答案为：20．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，坐标与图形，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角
形的性质，一次函数与几何图形，数形结合是解题的关键．
20．（2023上·绍兴·期中）如图，已知点A（3，3 ），点B（0， ），点A在二次函数y＝ x2+ x
﹣9 的图象上，作射线AB，再将射线AB绕点A按逆时针方向旋转30°，交二次函数图象于点C，则点C
的坐标为 ．
【答案】
【分析】过点B作 轴，过点A作 于点E， 交 于点 ，过 点作 于点 ，根
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据勾股定理求出 的长度，设 ，则 ，则 ，
根据三角函数得出 ，则 ，解之可得 ，求得直线 的解析式，
与抛物线解析式联立可得点C的坐标．
【详解】解：过点B作 轴，过点A作 于点E， 交 于点 ，过 点作 于点 ，
根据题意可得 ,∴ ,设 ，则 ，
∴ ，∴ ,
∴ ，∵ ,∴ ，
∴ ，两边平方得： ，
解得： (舍)，∴ , ，∴ ,
∴ ,∴点 的坐标为： ，
设直线 的解析式为： ，则 ，解得 ，
∴ 表达式为 ，将其代入抛物线方程y＝ x2+ x﹣9 ，
解得 或 ， 即为点A，将 代入直线AC得 ，
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∴点C坐标为： ，故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的交点问题，求一次函数解析式，根据题意求得一次函数解析式
与二次函数解析式联立是解题的关键．
21．（21·22下·江苏·专题练习）如图，在平面直角坐标系 中，直线 的解析式为 分别交
轴， 轴于 ， 两点，已知点 ．（1）当直线 经过点 时， ；
（2）设点 为线段 的中点，连接 ， ，若 ，则 的值是 ．
【答案】
【分析】（1）将点点 代入直线 的解析式即可求解；
（2）如图所示（见详解），作 ，连接 ．则 ，由（1）可知 ， ，
由此得 ， ，当 时， ，由此即可求解．
【详解】解：（1）当直线 经过点 时，点 与点 重合，
当 时， ，即 ，故答案为2．
（2）如图所示，
作 ，连接 ．则 ， 且又 可得 ， ．
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∴ ， ，则 ，
当 时， ，∴ ，不符合题意；
当 时，∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，∴ ，即 ，解得 ．故答案是：12．
【点睛】本题考查一次函数与几何图形的综合，掌握一次函数图形的特点，几何图像的变换是解题的关键．
22．（22·23下·泰安·一模）如图，把一个矩形纸片 放入平面直角坐标系中，使 分别落在x
轴，y轴上，连接 ，将纸片 沿 翻折，点A落在点 位置，若 ， ，直线
与y轴交于点F，则点F的坐标为 ．
【答案】
【分析】根据题意首先求出 的长度，再证 ，由勾股定理可求出答案．
【详解】解： 四边形 是矩形，
， ， ，
， ，
∵ 由 翻折得到， ， ，
又 ， ， ，
， ，解得： ，
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点F的坐标为 ，故答案为： ．
【点睛】本题考查了矩形的性质、三角函数的定义、勾股定理，三角形全等，解题的关键是求出
．
23．（22·23上·齐齐哈尔·期末）如图，在 中， ，点 是 边的中点，
，则 的值为 ．
【答案】
【分析】作高线DE，利用勾股定理求出AD，AB的值，然后证明 ，求DE的长，再利用三
角函数定义求解即可．
【详解】过点D作 于E
∵点 是 边的中点， ∴ ，
在 中，由 ∴ ∴
由勾股定理得
∵ ∴ ∵ ∴
∴ ∴ ∴ ∴ 故答案为： ．
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【点睛】本题考查了三角函数的问题，掌握勾股定理和锐角三角函数的定义是解题的关键．
24．（2023·运城·期末）仿照例题完成任务：例：如图1，在网格中，小正方形的边长均为 ，点 , , ,
都在格点上， 与 相交于点 ，求 的值.
解析：连接 , ，导出 ，再根据勾股定理求得三角形各边长，然后利用三角函数解决问
题.具体解法如下：连接 , ，则 ，
，根据勾股定理可得： , , ,
， 是直角三角形， ，
即 .
任务：（1）如图2， , , , 四点均在边长为 的正方形网格的格点上，线段 , 相交于点 ，求
图中 的正切值；（2）如图3， , , 均在边长为 的正方形网格的格点上，请直接写出
的值.
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【答案】（1）2；（2）1.
【分析】（1）如图所示，连接 , , 与 交于点 ，则 ，可得出 ，再
证明 是直角三角形即可得出；
（2）连接BC，根据勾股定理可得AB,AC,BC的值，可判断 为等腰直角三角形，即可得出.
【详解】解：（1）如图所示，连接 , , 与 交于点 ，则 ,
，根据勾股定理可得： ， ， ，
， 是直角三角形， ，
, .
（2）连接BC，根据勾股定理可得：AC= = ，BC= = ，AB= = .
, . 为等腰直角三角形 .
【点睛】本题考查了解直角三角形，构造直角三角形是解题的关键.
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