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专题 20 全等三角形【十六大题型】
【题型1 利用全等三角形的性质求解】..................................................................................................................2
【题型2 添加一个条件使两个三角形全等】.........................................................................................................3
【题型3 结合尺规作图的全等问题】......................................................................................................................4
【题型4 全等三角形模型-平移模型】....................................................................................................................6
【题型5 全等三角形模型-对称模型】....................................................................................................................7
【题型6 全等三角形模型-旋转模型】....................................................................................................................8
【题型7 全等三角形模型-一线三等角模型】......................................................................................................10
【题型8 全等三角形模型-手拉手模型】..............................................................................................................11
【题型9 构造辅助线证明两个三角形全等-倍长中线法】..................................................................................13
【题型10 构造辅助线证明两个三角形全等-截长补短法】..................................................................................14
【题型11 构造辅助线证明两个三角形全等-作平行线】......................................................................................16
【题型12 构造辅助线证明两个三角形全等-作垂线】..........................................................................................17
【题型13 利用角平分线的性质求解】..................................................................................................................18
【题型14 角平分线的判定定理】............................................................................................................................19
【题型15 利用全等三角形的性质与判定解决测量问题】...................................................................................21
【题型16 利用全等三角形的性质与判定解决动点问题】...................................................................................22
【知识点 全等三角形】
1.全等三角形的概念
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对
应角。
2.全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。
3.三角形全等的判定
(1)边边边(SSS)：三边分别相等的两个三角形全等。
(2)边角边(SAS)：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。
(3)角边角(ASA)：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等。
(4)角角边(AAS)：两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等。
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(5)斜边.直角边(HL)：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。
4.全等变换
只改变图形的位置，二不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。
全等变换包括一下三种：
（1）平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。
（2）对称变换：将图形沿某直线翻折180°，这种变换叫做对称变换。
（3）旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换。
【题型1 利用全等三角形的性质求解】
【例1】（2023·四川德阳·统考二模）如图△AOB≌△ADC，∠O=∠D=90°，记∠OAD=α，
∠ABO=β，当AO∥BC时，α与β之间的数量关系为（ ）．
A．α+β=90° B．α+2β=180° C．α=β D．α=2β
【变式1-1】（2023·河南·模拟预测）已知下图中的两个三角形全等，则∠α等于（ ）
A．72° B．58° C．60° D．50°
【变式1-2】（2023·北京海淀·校考模拟预测）图中的小正方形边长都相等，若△MNP≌△MFQ，则点Q
可能是图中的 ．
【变式1-3】（2023·浙江·模拟预测）如图，已知Rt△ABC≌Rt△≝¿，∠C=∠F=90°，AC=DF=3，
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BC=EF=4，△≝¿绕着斜边AB的中点D旋转，DE、DF分别交AC、BC所在的直线于点P、Q．当
△BDQ为等腰三角形时，AP的长为 ．
【题型2 添加一个条件使两个三角形全等】
【例2】（2023·湖南长沙·统考中考真题）人教版初中数学教科书八年级上册第35-36页告诉我们作一个三
角形与已知三角形全等的方法：
已知：△ABC．
求作：△A'B'C'，使得△A'B'C'≌△ABC．
作法：如图．
（1）画B'C'=BC；
（2）分别以点B'，C'为圆心，线段AB，AC长为半径画弧，两弧相交于点
A'；
（3）连接线段A'B'，A'C'，则△A'B'C'即为所求作的三角形．
请你根据以上材料完成下列问题：
（1）完成下面证明过程（将正确答案填在相应的横线上）：
证明：由作图可知，在△A'B'C'和△ABC中，
¿
∴△A'B'C'≌______．
（2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是______．（填序号）
①AAS；②ASA；③SAS；④SSS
【变式2-1】（2023·湖南岳阳·统考一模）如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是BC边上的点．请从以
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下三个条件：①BD=CE；②∠B=∠C；③∠BAD=∠CAE中，选择一个合适的作为已知条件，使得
AD=AE．
(1)你添加的条件是______（填序号）；
(2)添加了条件后，请证明AD=AE．
【变式2-2】（2023·河南·模拟预测）如图，给出下列四组条件：①AB=DE，BC=EF，AC=DF；②
AB=DE， ∠B=∠E，BC=EF；③∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F；④AB=DE，AC=DF，
∠B=∠E．其中，能使△ABC≌△≝¿的条件共有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
【变式2-3】（2023·广西柳州·统考中考真题）如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BC＝
EF．有下列三个条件：①AC＝DF，②∠ABC＝∠DEF，③∠ACB＝∠DFE．
(1)请在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF．你选取的条件为（填写序号）______（只需选
一个条件，多选不得分），你判定△ABC≌△DEF的依据是______（填“SSS”或“SAS”或“ASA”或
“AAS”）；
(2)利用（1）的结论△ABC≌△DEF．求证：AB∥DE．
【题型3 结合尺规作图的全等问题】
【例3】（2023·浙江衢州·统考中考真题）如图，在△ABC中，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别
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1
交AB，AC于点D，E．分别以点D，E为圆心，大于 DE长为半径画弧，交于∠BAC内一点F.连结AF
2
并延长，交BC于点G．连结DG，EG.添加下列条件，不能使BG=CG成立的是（ ）
A．AB=AC B．AG⊥BC C．∠DGB=∠EGC D．AG=AC
【变式3-1】（2023·河南·统考中考真题）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，AD=4，
1
BC=3．分别以点A，C为圆心，大于 AC长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交
2
AC于点O．若点O是AC的中点，则CD的长为（ ）
A．2√2 B．4 C．3 D．√10
【变式3-2】（2023·广东广州·统考二模）如图，四边形ABCD是矩形，以点B为圆心，BA长为半径的半
圆，交BC于点M．
(1)作线段BC的垂直平分线交BC于点O；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)以点O为圆心，以OB为半径作⊙O，交弧AM于点E（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），
证明：BE⊥CE；
(3)在（2）的条件下，延长线段CE交AD于点F，从条件①或者条件②这两个条件中选择一个作为已知条
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件，求cos∠EBC的值．
条件①：AF:DF=1:3；
条件②：S =3S ；
△CDF △ABF
注明：如果选择条件①与条件②分别作答，按第一个解答计分．
【变式3-3】（2023·福建福州·福建省福州屏东中学校考二模）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC
于点D，∠BAC为锐角．
1
(1)将线段AD绕点A顺时针旋转（旋转角小于90°），在图中求作点D的对应点E，使得BE= BC；（要
2
求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
5 EF
(2)在（1）的条件下，过点C作CF⊥AB于点F，连接EF，BE，若sin∠EBA= ，求 的值．
7 CF
【题型4 全等三角形模型-平移模型】
【例4】（2023·江苏常州·统考一模）如图，将Rt△ABC沿BC所在直线平移得到△DEF．
(1)如图①，当点E移动到点C处时，连接AD，求证：△CDA≌△ABC；
(2)如图②，当点E移动到BC中点时，连接AD、AE、CD，请你判断四边形AECD的形状，并说明理由．
【变式4-1】（2023上·河南南阳·八年级统考期末）如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，AB=DE，
∠ABC=∠≝¿．给出下列三个条件：①AC=DF，②BC=EF，③∠BAC=∠EDF．
(1)请在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF．你选取的条件序号为______，你判定
△ABC≌△DEF的依据是______（填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”）；
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(2)请用（1）中所选条件证明△ABC≌△DEF；
(3)△≝¿可看作是由△ABC沿AC方向平移得到的，过B作BM⊥AC于M，当AB=10，BM=8，
△ABD是以BD为腰的等腰三角形时，直接写出平移距离AD的长．
【变式4-2】（2023·云南德宏·统考模拟预测）如图，将△ABC沿射线AB平移4cm后能与△BDE完全重合，
连接CE、CD交BE于点O，OB＝OC．
(1)求证：四边形CBDE为矩形；
4√3
(2)若S BOC＝ cm2，求∠ACD的度数．
△ 3
【变式4-3】（2023·北京门头沟·二模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D在BC延长线上，且
DC=AC，将△ABC延BC方向平移，使点C移动到点D，点A移动到点E，点B移动到点F，得到△EFD，
连接CE，过点F作FG⊥CE于G．
(1)依题意补全图形；
(2)求证：CG=FG；
(3)连接BG，用等式表示线段BG，EF的数量关系，并证明．
【题型5 全等三角形模型-对称模型】
【例5】（2023·云南昆明·统考三模）如图，AC平分∠BAD，CB⊥AB，CD⊥AD，垂足分别为B、D．
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(1)求证：△ABC≌△ADC；
(2)若AB=4，CD=3，求BD的长．
【变式5-1】（2023·重庆渝中·统考二模）如图，已知∠C=∠F=90°，AC=DF，AE=DB，BC与EF
交于点O，
（1）求证：Rt△ABC≌Rt△≝¿；
（2）若∠A=50°，求∠BOF的度数．
【变式5-2】（2023·浙江湖州·统考二模）如图，点A、E、B、D在一条直线上，∠A=∠D，AC=DF，
AE=DB．求证：∠C=∠F．
【变式5-3】（2023·辽宁大连·统考二模）如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD＝BC．AD，BC交于点O．求证：
OC＝OD．
【题型6 全等三角形模型-旋转模型】
【例6】（2023·湖南益阳·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC>BC，点D在边
AC上，将线段DA绕点D按顺时针方向旋转90°得到DA'，线段DA'交AB于点E，作A'F⊥AB于点
F，与线段AC交于点G，连接FC,GB．
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(1)求证：△ADE≌△A'DG；
(2)求证：AF⋅GB=AG⋅FC；
1
(3)若AC=8，tanA= ，当A'G平分四边形DCBE的面积时，求AD的长．
2
【变式6-1】（2023·辽宁阜新·统考中考真题）已知，四边形ABCD是正方形，△≝¿绕点D旋转（
DE、=、<”）
2
【变式7-1】（2023·重庆·统考二模）如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=∠C=40°，点D在线段
BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于E．
(1)当∠BDA=115°时，∠EDC= °，∠DEC= °；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变
（填“大”或“小”）；
(2)当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；
(3)在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数．若不
可以，请说明理由．
【变式7-2】（2023·山西晋中·统考一模）通过对数学模型“K字”模型或“一线三等角”模型的研究学习，
解决下列问题：
[模型呈现]如图1，∠BAD=90°，AB=AD，过点B作BC⊥AC于点C，过点D作DE⊥AC于点E．
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求证：BC=AE．
[模型应用]如图2，AE⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中
实线所围成的图形的面积为________________．
[深入探究]如图3，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AC=AE，连接BC，DE，且BC⊥AF于点F，
DE与直线AF交于点G．若BC=21，AF=12，则△ADG的面积为_____________．
【变式7-3】（2023下·山东威海·一模）已知：CD是经过∠BCA的顶点C的一条直线，CA＝CB，E、F是
直线CD上两点，∠BEC＝∠CFA＝∠α．
（1）若直线CD经过∠BCA的内部，∠BCD＞∠ACD．
①如图1，∠BCA＝90°，∠α＝90°，写出BE，EF，AF间的等量关系： ．
②如图2，∠α与∠BCA具有怎样的数量关系，能使①中的结论仍然成立？写出∠α与∠BCA的数量关系
．
（2）如图3．若直线CD经过∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，①中的结论是否成立？若成立，进行证明；
若不成立，写出新结论并进行证明．
【题型8 全等三角形模型-手拉手模型】
【例8】（2023·江苏扬州·统考二模）点D为△ABC外一点，∠ACB=90°，AC=BC．
(1)如图1，∠DCE=90°，CD=CE，求证：∠ADC=∠BEC；
(2)如图2，若∠CDB=45°，AE∥BD，CE⊥CD，求证：AE=BD；
(3)如图3，若∠ADC=15°，CD=√2，BD=n，请直接用含n的式子表示AD的长．
【变式8-1】（2023·山东淄博·模拟预测）如图，△ABC是一个锐角三角形，分别以AB、AC为边向外作
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等边三角形△ABD、△ACE，连接BE、CD交于点F，连接AF．
(1)求证：△ABE≌△ADC；
(2)求∠EFC的度数；
(3)求证：AF平分∠DFE．
【变式8-2】（2023下·陕西咸阳·模拟预测）△ABC和△ADE如图所示，其中
∠ABC=∠ACB,∠ADE=∠AED,∠BAC=∠DAE．
(1)如图①，连接BE、CD，求证：BE=CD；
(2)如图②，连接BE、CD、BD，若∠BAC=∠DAE=60°，CD⊥AE，AD=3，CD=5，求BD的长．
【变式8-3】（2023上·山东临沂·二模）已知在△ABC中，AB=AC，过点B引一条射线BM，D是BM上
一点
【问题解决】
(1)如图1，若∠ABC=60°，射线BM在∠ABC内部，∠ADB=60°，求证：∠BDC=60°，小明同学
展示的做法是：在BM上取一点E使得AE=AD，通过已知的条件，从而求得∠BDC的度数，请你帮助
小明写出证明过程；
【类比探究】
(2)如图2，已知∠ABC=∠ADB=30°．
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①当射线BM在∠ABC内，求∠BDC的度数
②当射线BM在BC下方，如图3所示，请问∠BDC的度数会变化吗?若不变，请说明理由，若改变，请求
出∠BDC的度数；
【题型9 构造辅助线证明两个三角形全等-倍长中线法】
【例9】（2023上·北京通州·二模）如图，O为四边形ABCD内一点，E为AB的中点，OA＝OD，OB＝
OC，∠AOB+∠COD＝180°．
（1）若∠BOE＝∠BAO，AB＝2√2，求OB的长；
（2）用等式表示线段OE和CD之间的关系，并证明．
【变式9-1】（2023·湖北十堰·统考一模）如图，在△ABC中，AD为BC边的中线，E为AD上一点，连接
BE并延长交AC于点F，若∠AEF=∠FAE，BE=4，EF=1.6，则CF的长为 ．
【变式9-2】（2023上·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，△ABC中，点D在AC上，AD=3,AB+AC=10，
点E是BD的中点，连接CE,∠ACB=∠ABC+2∠BCE，则CD= ．
【变式9-3】（2023上·湖北武汉·一模）（1）如图1，已知△ABC中，AD是中线，求证：
AB+AC>2AD；
（2）如图2，在△ABC中，D，E是BC的三等分点，求证：AB+AC>AD+AE；
（3）如图3，在△ABC中，D，E在边BC上，且BD=CE．求证：AB+AC>AD+AE．
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【题型10 构造辅助线证明两个三角形全等-截长补短法】
【例10】（2023上·四川南充·二模）(1)阅读理解：
问题：如图1，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠A+∠C=180°．求证：DA=DC．
思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．
方法1：在BC上截取BM=BA，连接DM，得到全等三角形，进而解决问题；
方法2：延长BA到点N，使得BN=BC，连接DN，得到全等三角形，进而解决问题．
结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明．
(2)问题解决：如图2，在(1)的条件下，连接AC，当∠DAC=60°时，探究线段AB，BC，BD之间的数
量关系，并说明理由；
(3)问题拓展：如图3，在四边形ABCD中，∠A+∠C=180°，DA=DC，过点D作DE⊥BC，垂足为
点E，请写出线段AB、CE、BC之间的数量关系并说明理由．
【变式10-1】（2023·浙江绍兴·统考一模）如图，在五边形ABCDE中，AB=AE，CA平分∠BCD，
1
∠CAD= ∠BAE．
2
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(1)求证：CD=BC+DE；
(2)若∠B=75°，求∠E的度数．
【变式10-2】（2023上·辽宁抚顺·三模）如图，在平面直角坐标系中，A(−2,0)，C(6,0)，B为y轴正半
轴上一点，D在第四象限，且BC⊥CD，CA平分∠BCD，∠ABC+∠ADC=180°．
(1)直接写出B点坐标；
(2)求证：AB=AD；
(3)求四边形ABCD的面积．
【变式10-3】（2023下·辽宁阜新·一模）问题背景：
如图1：在四边形ABCD中，AB=AD．∠BAD=120°．∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC．CD上的点，且
∠EAF=60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．
(1)小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G．使DG=BE．连接AG，先证明 ABE≌△ADG，再证明
AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 ；（直接写结论，不需证明） △
△探索延伸：
1
(2)如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADF=180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=
2
∠BAD，（1）中结论是否仍然成立，并说明理由；
(3)如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且
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1
∠EAF= ∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请直接写出它们之间的数量
2
关系．
【题型11 构造辅助线证明两个三角形全等-作平行线】
【例11】（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在△ABC中，AB=AC，点E在BC上，点H在AC上，连接
AE和BH交于点F，∠ABH=∠CAE．
(1)如图1，求证：∠AFB=2∠ACB；
(2)如图2，连接FC，若FC平分∠EFH，求证：AH=CH；
(3)如图3，在（2）的条件下，点D在BH的延长线上，连接CD，∠ACD+3∠EFC=180°时，若
AE+DF=14，BH+AF=16，求HF的长．
【变式11-1】（2023上·福建龙岩·一模）如图所示：△ABC是等边三角形，D、E分别是AB及AC延长线
上的一点，且BD=CE，连接DE交BC于点M．
求让：MD=ME
【变式11-2】（2023·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图，在等边△ABC中，点E为边AB上任意一点，点D在边
CB的延长线上，且ED=EC．
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(1)当点E为AB的中点时（如图1），则有AE______DB（填“>”“<”或“=”）；
(2)猜想如图2，AE与DB的数量关系，并证明你的猜想．
【变式11-3】（2023·山东·统考二模）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在边AC上，
CD⊥DE，且CD＝DE，连接BE，取BE的中点F，连接DF．
(1)请直接写出∠ADF的度数及线段AD与DF的数量关系；
(2)将图1中的 CDE绕点C按逆时针旋转，
①如图2，（1△）中∠ADF的度数及线段AD与DF的数量关系是否仍然成立？请说明理由；
②如图3，连接AF，若AC＝3，CD＝1，求S ADF的取值范围．
△
【题型12 构造辅助线证明两个三角形全等-作垂线】
1
【例12】（2023·山西晋中·三模）如图，直线l :y= x+2和直线l 与x轴分别相交于A，B两点，且两直
1 2 2
线相交于点C，直线l 与y轴相交于点D(0,−4)，OA=2OB．
2
(1)求点A的坐标及直线l 的函数表达式；
2
(2)求△ABC的面积；
(3)试探究在x轴上是否存在点P，使得∠BDP=45°，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说
明理由．
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【变式12-1】（2023上·陕西西安·二模）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=6，点D为
AC中点，点P为AB上的动点，将点P绕点D逆时针旋转90°得到点Q，连接CQ，当线段CQ的最小时，
则DP= ．
【变式12-2】（2023·湖北鄂州·一模）如图，已知AD为△ABC的中线，点E为AC上一点，连接BE交
AD于点F，且AE＝FE.
求证：BF＝AC．
【变式12-3】（2023·湖北·一模）定义：三角形一个内角的平分线所在的直线与另一个内角相邻的外角的
平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．
(1)如图1所示，∠E是△ABC中∠A的遥望角，直接写出∠E与∠A的数量关系__________；
(2)如图1所示，连接AE，猜想∠BAE与∠CAE的数量关系，并说明理由；
(3)如图2，四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，点E在BD的延长线上，连CE，若己知
DE=DC=AD，求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．
【题型13 利用角平分线的性质求解】
【例13】（2023·辽宁阜新·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8．连接AC，在AC
1
和AD上分别截取AE，AF，使AE=AF．分别以点E和点F为圆心，以大于 EF的长为半径作弧，两
2
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弧交于点G．作射线AG交CD于点H，则线段DH的长是 ．
【变式13-1】（2023·广东广州·统考中考真题）如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是
△ABD和△ACD的高，AE=12，DF=5，则点E到直线AD的距离为 ．
【变式13-2】（2023·四川·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知点A(1,0)，点B(0,−3)，
1
点C在x轴上，且点C在点A右方，连接AB，BC，若tan∠ABC= ，则点C的坐标为 ．
3
【变式13-3】（2023·山东·统考中考真题）已知：射线OP平分∠MON,A为OP上一点，⊙A交射线OM
于点B,C，交射线ON于点D,E，连接AB,AC,AD．
(1)如图1，若AD∥OM，试判断四边形OBAD的形状，并说明理由；
(2)如图2，过点C作CF⊥OM，交OP于点F；过点D作DG⊥ON，交OP于点G．求证：AG=AF．
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【题型14 角平分线的判定定理】
【例14】（2023·安徽亳州·校考模拟预测）在△ABC中，∠ABC=60°，AB=4，BC=6，P为AB上一
点，Q为△ABC内部一点，且S :S =2:3，当AQ+PQ的值最小时，则BP的长是（ ）
△ABQ △QBC
A．4 B．3√3 C．2 D．2√3
【变式14-1】（2023·福建泉州·校考模拟预测）（1）如图1，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=3，
3
BC=4，D为BC边上一点，CD= ．求证：AD平分∠CAB．
2
（2）如图2，矩形ABCD中，AB=5，BC=4，点E是CD边上一点，DE=2，连接AE，请用无刻度的
直尺和圆规在AB边上找一点F，使得∠AFD=2∠DAE．（保留作图痕迹，不要求写出作法）
【变式14-2】（2023·江西·中考真题）在图1，2，3中，已知▱ABCD，∠ABC=120°，点E为线段BC
上的动点，连接AE，以AE为边向上作菱形AEFG，且∠EAG=120°．
（1）如图1，当点E与点B重合时，∠CEF=________°；
（2）如图2，连接AF．
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①填空：∠FAD_________∠EAB（填“>”，“<”，“=”）；
②求证：点F在∠ABC的平分线上；
（3）如图3，连接EG，DG，并延长DG交BA的延长线于点H，当四边形AEGH是平行四边形时，求
BC
的值．
AB
【变式14-3】（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−x2+4x经过坐标原
点，与x轴正半轴交于点A，点M(m,n)是抛物线上一动点．
（1）如图1，当m>0，n>0，且n=3m时，
①求点M的坐标：
(15 )
②若点B ,y 在该抛物线上，连接OM，BM，C是线段BM上一动点（点C与点M，B不重合），过
4
点C作CD//MO，交x轴于点D，线段OD与MC是否相等？请说明理由；
( 7)
（2）如图2，该抛物线的对称轴交x轴于点K，点E x, 在对称轴上，当m>2，n>0，且直线EM交x
3
( 18)
轴的负半轴于点F时，过点A作x轴的垂线，交直线EM于点N，G为y轴上一点，点G的坐标为 0, ，
5
连接GF．若EF+NF=2MF，求证：射线FE平分∠AFG．
【题型15 利用全等三角形的性质与判定解决测量问题】
【例15】（2023·陕西榆林·统考三模）如图，数学实践小组想要测量某公园的人工湖两端A、B之间的距
离，由于条件限制无法直接测得，请你用学过的数学知识帮他们按以下要求设计一种测量方案．
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(1)画出测量示意图；
(2)写出测量的数据，线段长度用a、b、c…表示，角度用α、β、γ…表示；(不要求写出测量过程)
(3)根据你测量的数据，计算A、B之间的距离．(用含a、b、c…或α、β、γ…的式子表示)
【变式15-1】（2023·广西·中考真题）校园内有一块四边形的草坪造型，课外活动小组实地测量，并记录
数据，根据造型画如图的四边形ABCD，其中 AB＝CD＝2米，AD＝BC＝3米，∠B＝30°
(1)求证：△ABC≌△CDA ；
(2)求草坪造型的面积．
【变式15-2】（2023·山东临沂·校考二模）如图，小明和小华住在同一个小区不同单元楼，他们想要测量
小华家所在单元楼AB的高度．首先他们在两栋单元楼之间选定一点E，然后小明在自己家阳台C处测得E
处的俯角为α，小华站在E处测得眼睛F到AB楼端点A的仰角为β，发现α与β互余，已知EF=1米，
BE=CD=20米，BD=58米，试求单元楼AB的高．
【变式15-3】（2023·山东德州·中考真题）（1）如图1，已知△ABC，以AB、AC为边向△ABC外作等边
△ABD和等边△ACE，连接BE，CD，请你完成图形（尺规作图，不写做法，保留作图痕迹），并写出：
BE与CD的数量关系 ；
（2）如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连接BE与CD，BE与
CD有什么数量关系？说明理由；
（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：
如图3，要测量池塘两岸相对的两点B，E的距离，已经测得∠ABC=45°、∠CAE=90°，AB=BC=100米，
AC=AE，求BE的长．
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【题型16 利用全等三角形的性质与判定解决动点问题】
【例16】（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）如图，等边三角形ABC的边长为6cm，动点P从点A出发以
2cm/s的速度沿AB向点B匀速运动，过点P作PQ⊥AB，交边AC于点Q，以PQ为边作等边三角形
PQD，使点A，D在PQ异侧，当点D落在BC边上时，点P需移动 s．
【变式16-1】（2023·湖南郴州·统考中考真题）已知△ABC是等边三角形，点D是射线AB上的一个动点，
延长BC至点E，使CE=AD，连接DE交射线AC于点F．
(1)如图1，当点D在线段AB上时，猜测线段CF与BD的数量关系并说明理由；
(2)如图2，当点D在线段AB的延长线上时，
①线段CF与BD的数量关系是否仍然成立？请说明理由；
②如图3，连接AE．设AB=4，若∠AEB=∠DEB，求四边形BDFC的面积．
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【变式16-2】（2023·广东深圳·统考中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，tanB= ，点D为BC上
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一动点，连接AD，将△ABD沿AD翻折得到△ADE，DE交AC于点G，¿
