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专题04 三角形中的倒角模型-高分线模型、双（三）垂直模型
近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和
定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题高分线模型、双垂直
模型、子母型双垂直模型（射影定理模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1：高分线模型
条件：AD是高，AE是角平分线 结论：∠DAE=
例1．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，在 中， ， ， 为 的平分线，
于点 ，则 度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】依据直角三角形，即可得到 ，再根据 , 平分 ,即可得到 的度
数,再根据 进行计算即可．
【详解】解： , ,
又 , 平分 , ，
,故选：C．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是 是解答此题的关键．
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例2．（2023春·河南南阳·七年级统考期末）如图，在 ABC中，∠1＝∠2，G为AD的中点，BG的延长
线交AC于点E，F为AB上的一点，CF与AD垂直，交△AD于点H，则下面判断正确的有（ ）
①AD是 ABE的角平分线；②BE是 ABD的边AD上的中线；
③CH是△ACD的边AD上的高；④A△H是 ACF的角平分线和高
A．1个 △ B．2个 △ C．3个 D．4个
【答案】B
【详解】解：①根据三角形的角平分线的概念，知AG是 ABE的角平分线，故此说法错误；
②根据三角形的中线的概念，知BG是 ABD的边AD上的△中线，故此说法错误；
③根据三角形的高的概念，知CH为 A△CD的边AD上的高，故此说法正确；
④根据三角形的角平分线和高的概念△，知AH是 ACF的角平分线和高线，故此说法正确．故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的角平分线、三角形△的中线、三角形的高的概念，注意：三角形的角平分线、
中线、高都是线段，且都是顶点和三角形的某条边相交的交点之间的线段．透彻理解定义是解题的关键．
例3．（2023·安徽合肥·七年级统考期末）如图，已知AD、AE分别是Rt△ABC的高和中线，AB＝9cm，
AC＝12cm，BC＝15cm，试求：（1）AD的长度；（2）△ACE和△ABE的周长的差．
【答案】（1）AD的长度为 cm；（2）△ACE和△ABE的周长的差是3cm．
【分析】（1）利用直角三角形的面积法来求线段AD的长度；（2）由于AE是中线，那么BE＝CE，再表示
△ACE的周长和△ABE的周长，化简可得△ACE的周长﹣△ABE的周长＝AC﹣AB即可．
【详解】解：（1）∵∠BAC＝90°，AD是边BC上的高，∴S = AB•AC＝ BC•AD，
ACB
△
∵AB＝9cm，AC＝12cm，BC＝15cm，∴AD＝ ＝ ＝ （cm），即AD的长度为 cm；
（2）∵AE为BC边上的中线，∴BE＝CE，
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∴△ACE的周长﹣△ABE的周长＝AC+AE+CE﹣（AB+BE+AE）＝AC﹣AB＝12﹣9＝3（cm），
即△ACE和△ABE的周长的差是3cm．
【点睛】此题主要考查了三角形的面积，关键是掌握直角三角形的面积求法．
例4．（2023·广东东莞·八年级校考阶段练习）如图，在 中， ， 分别是 的高和角平分线，
若 ， ．(1)求 的度数．(2)试写出 与 关系式，并证明．(3)如图，F
为AE的延长线上的一点， 于D，这时 与 的关系式是否变化，说明理由．
【答案】(1) (2) (3)不变，理由见解析
【分析】（1）根据三角形内角和求出 ，根据角平分线的定义得到 ，根据高线的性质得
到 ，从而求出 ，继而根据角的和差得到结果；（2）根据角平分线的定义得到
，根据三角形内角和求出 ，根据角的和差得到结果；（3）过
作 于 ，结合（2）知 ，证明 ，得到 ，即可证明．
【详解】（1）解：∵ ， ，∴ ，
∵ 平分 ，∴ ，
∵ 是高，∴ ，∵ ，∴ ，∴ ；
（2） ，
证明如下：∵ 平分 ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ；
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（3）不变，理由是：如图，过 作 于 ，由（2）可知： ，
， ， ， ， ， ，
， ．
【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理、角平分线的性质、直角三角形的性质和平行线的判定与性质，
熟练掌握三角形的内角和定理和角平分线的性质是解题的关键．
模型2：双垂直模型
结论：①∠A=∠C ；②∠B=∠AFD=∠CFE；③ 。
例1．（2023·陕西咸阳·统考一模）如图，在 中， 分别是 边上的高，并且 交于
点P，若 ，则 的度数为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意和直角三角形的两个锐角互余可求得 的度数，再根据三角形的外角即可得．
【详解】解：∵ 是 边上的高，∴ ，∵ ，∴ ，
∵ 是 边上的高，∴ ，∴ ，故选：A．
【点睛】本题考查了余角，三角形的外角，解题的关键是掌握这些知识点．
例2．（2022秋·安徽宿州·八年级校考期中）如图，在 中， 和 分别是 边上的高，若
， ，则 的值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据三角形的高的性质，利用等积法求解即可．
【详解】∵ ，∴ ，∴ ．故选B．
【点睛】本题考查与三角形的高有关的计算问题．根据三角形的面积公式得出 是解题关
键．
例3．（2023春·河南周口·七年级统考期末）如图，在 中， ， ， 于点F，
于点 ， 与 交于点 ， ．
(1)求 的度数．(2)若 ，求 的长．
【答案】(1) (2)
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【分析】（1）数形结合，利用三角形内角和定理求解即可得到答案；
（2）利用等面积法，由 代值求解即可得到答案．
【详解】（1）解：∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∵ ，∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ， ，∴ ，
∵ ， ， ，∴ ．
【点睛】本题考查三角形综合，数形结合，利用等面积法求解是解决问题的关键．
模型3：子母型双垂直模型(射影定理模型)
结论：①∠B=∠CAD；②∠C=∠BAD；③ 。
例1．（2023·广东广州·七年级校考阶段练习）如图，在 中， ， 于D，求证：
．
【答案】见解析
【分析】根据 可得 ，再根据 ，即可求证．
【详解】证：∵ ， ∴
又∵ ，∴
又∵ ，∴ ∴
【点睛】此题考查了三角形内角和性质的应用，解题的关键是熟练掌握三角形内角和的性质．
例2．（2023·山东泰安·七年级校考阶段练习）如图，AD，BF分别是△ABC的高线与角平分线，BF，AD
交于点E，∠1＝∠2．求证：△ABC是直角三角形．
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【答案】见解析
【分析】根据AD是 ABC的高线，可得∠BED+∠EBD＝90°，根据角平分线的定义可得∠ABE＝∠EBD，
观察∠BED与∠AEF△的位置，可知是一组对顶角，进而进行等量代换可得∠AEF+∠ABE＝90°，至此结合
已知不难得到∠AFE+∠ABE＝90°，由此解题．
【详解】证明：由题意得：AD⊥BC，BF平分∠ABC，
∴∠BED+∠EBD＝90°，∠ABE＝∠EBD，∴∠BED+∠ABE＝90°，
又∵∠AEF＝∠BED，∴∠AEF+∠ABE＝90°，
∵∠AEF＝∠AFE，∴∠AFE+∠ABE＝90°，∴∠BAF＝90°，即 ABC是直角三角形．
【点睛】本题考查了三角形高线、角平分线的定义，对顶角相△等，熟记角平分线的定义与直角三角形的定
义是关键．
例3．（2022秋·北京通州·八年级统考期末）如图，在 中， ， ，垂足为 ．如
果 ， ，则 的长为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据勾股定理求出AB，再利用三角形面积求出BD即可．
【详解】解：∵ ， ， ，∴根据勾股定理 ，
∵ ，∴S ABC= ，即 ，解得： ．故选择D．
△
【点睛】本题考查直角三角形的性质，勾股定理，三角形面积等积式，掌握直角三角形的性质，勾股定理，
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三角形面积等积式是解题关键．
例4．（2023春·江苏苏州·七年级苏州中学校考期中）已知，在 中，
， 是角平分线，D是 上的点， 、 相交于点F．
(1)若 时，如图所示，求证： ；(2)若 时，试问 还成立吗？若成
立说明理由；若不成立，请比较 和 的大小，并说明理由．
【答案】(1)见解析；(2)不成立；当 时， ；当 时， ；理由见解
析．
【分析】（1）证明 ，由 ，证明 ，由三角形的外角的性质
可得 ， ，从而可得结论．
（2）证明 ，结合三角形的内角和定理可得
，再分两种情况可得结论．
【详解】（1）证明：∵ 是角平分线，∴ ，
∵ ， ，∴ ，
∴ ，∴ ，
∵ ， ，∴ ．
（2）不成立． 理由如下：
∵ ， ， ，∴ ，
∵ ，∴
当 时， ，∴ ；
当 时， ，∴ ．
【点睛】本题考查的是三角形的角平分线是含义，三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，不
等式的性质，熟记三角形的外角的性质是解本题的关键．
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课后专项训练
1．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，在 中， ， ， 的垂直平分线交
于点D，交 于点E， ，则 的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】连接 ，由垂直平分线得 ，可求得 ，于是 ，根据 ，
求得 ．
【详解】解：连接 ，∵ 是 的垂直平分线，∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ，∵ ，∴ ，∴ ．故选：B．
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【点睛】本题考查垂直平分线的性质，三角形内角和定理，30º角直角三角形性质；添加辅助线，运用垂
直平分线导出角之间关系是解题的关键．
2．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图， 中， ， 平分 ，若 ，
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设 ，那么 ，然后利用 分别表示 ， ， ，最后利用三角形内
角和定理建立方程解决问题．
【详解】解：∵ 中， ，
∴设 ，那么 ，∴ ，
∵ 平分 ，∴ ，
∵ ， ，∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ．故选：B．
【点睛】此题主要考查了三角形内角和定理，同时也利用了角平分线的定义，解题的关键是熟练使用三角
形内角和定理．
3．（2023·绵阳市八年级月考）如图，在 中， 平分 交 于点 、 平分 交
于点 ， 与 相交于点 ， 是 边上的高，若 ， ，则 的度数为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意证明 ，得出 ，三角形内角和定理得出 ，根据
直角三角形的两个锐角互余求得 ，根据角平分线的定义可得 ，根据
即可求解．
【详解】解： ， 平分 ， ， ，
， ， ， ，
， ，
平分 ， ， ，故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，直角三角形的两个锐角互余，三角形的内角和定理，角平
分线的定义，数形结合是解题的关键．
4．（2023春·辽宁沈阳·七年级统考期末）如图，在 中， ， ， ， 分别是
的中线、角平分线和高线， 交 于点G，交 于点H，下面说法中一定正确的是（ ）
的面积等于 的面积； ② ；
③ ； ④ ．
A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①③
【答案】B
【分析】①根据三角形中线平分三角形的面积，即可判断 的面积等于 的面积；
②先根据同角的余角相等证得 ，再根据角平分线的定义得出 ，最后根据三
角形外角的性质得出 ， ，即可得证；
③先根据同角的余角相等证得 再根据角平分线的定义得出 ，于是推出
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；④无法证得AH=BH．
【详解】解：∵ 是 的中线，∴ ，∴ 的面积等于 的面积，故①正确；
∵ 是 的角平分线，∴ ，
∵ 是 的高线，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∵ 是 的一个外角，∴ ，
∵ 是 的一个外角，∴ ，∴ ，故②正确；
∵CF是 的高线，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∵ 是 的角平分线，∴ ，∴ ，故③正确；
无法证得AH=BH，故④错误；故正确的有①②③ 故选∶B．
【点睛】本题考查了三角形的面积，三角形外角的性质，同角的余角相等，角平分线的定义，熟练掌握这
些性质是解题的关键．
5．（2023·湖北十堰·八年级统考期末）如图，在 中， ， ， ， ，
是高， 是中线， 是角平分线， 交 于点G，交 于点H，下面结论： 的面积＝
的面积； ； ； ．其中结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据三角形角平分线和高的性质可确定角之间的数量关系；根据三角形的中线和面积公式可确定
和 的面积关系以及求出 的长度．
【详解】解： 是 的中线 的面积等于 的面积 故 正确；
， 是 的高 ，
是 的角平分线
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又 故 正确；
故 正确；
故 错误；故选：C
【点睛】本题考查了三角形的中线、高、角平分线，灵活运用三角形的中线、高、角平分线的性质是解决
本题的关键．
6．（2022秋·山西吕梁·八年级统考期末）如图， 是等腰三角形， ， ，在腰 上
取一点D， ，垂足为E，另一腰 上的高 交 于点G，垂足为F，若 ，则 的长
为 ．
【答案】6
【分析】过点G作 交 于点M，过点M作 ，根据等腰三角形各角之间的关系得出
，再由垂直及等量代换得出 ，利用等角对等边确定 ，
，再由全等三角形的判定和性质求解即可．
【详解】解：过点G作 交 于点M，过点M作 ，如图所示：
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∵ ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ， ∴ ，
∵ ， ，∴ ，
∴ ， ，
∴ ，∴ ， ，
在 与 中， ，∴
∴ ，∴ ，故答案为：6．
【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，理解题意，作出辅助线，熟
练运用等腰三角形的判定和性质是解题关键．
7．（2023春·江苏宿迁·七年级统考期末）如图，在 中， ， 、 分别是
的高和角平分线，点E为 边上一点，当 为直角三角形时，则 ．
【答案】50或25/25或50
【分析】根据三角形内角和定理得 ，由角平分线的定义得 ，当 为直角三角
形时，存在两种情况：分别根据三角形外角的性质即可得出结论．
【详解】解：∵ ，∴
∵ 平分 ∴
当 为直角三角形时，有以下两种情况：
①当 时，如图1，∵ ，∴ ；
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②当 时，如图2，∴ ，
∵ ，∴ ，
综上， 的度数为 或 ．故答案为：50或25．
【点睛】本题考查的是直角三角形的两锐角互余，三角形外角的性质，熟知“三角形的外角的性质”是解
答此题的关键．
8．（2023春·江苏泰州·七年级统考期末）已知：如图，在 中， ， 、 分别在边 、
上， 、 相交于点 ．
(1)给出下列信息：① ；② 是 的角平分线；③ 是 的高．请你用其中的两
个事项作为条件，余下的事项作为结论，构造一个真命题，并给出证明；
条件：______，结论：______．（填序号）
证明：
(2)在（1）的条件下，若 ，求 的度数．（用含 的代数式表示）
【答案】(1)①②；③；见解答(2)
【分析】（1）条件：①②，结论：③，由角平分线的性质可得 ，由 和
，得出 ，利用三角形内角和可得结论；
（2）利用（1）的结论和三角形外角性质即可得答案．
【详解】（1）条件：①②，结论：③，
证明：∵ 是 的角平分线，∴ ，
∵ ，∴ ，
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∵ ，
∴ ，∴ 是 的高．
条件：①③，结论：②，
证明：∵ 是 的高，∴ ，∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ， ∴ 是 的角平分线；
条件：②③，结论：①，
证明：∵ 是 的角平分线，∴ ，
∵ 是 的高，∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ； 故答案为：①②；③；
证明：见解答；
（2）∵ ，∴ ，
∵ 是 的角平分线，∴ ，
∵ ，∴ ．
【点睛】本题考查命题与定理，掌握角分线的定义，三角形内角和定理，外角性质，掌握三角形外角的性
质是解题关键．
9．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，在 中， ， 于 ， 平分
交 于 ，交 于F．
(1)如果 ，求 的度数；(2)试说明： ．
【答案】(1) (2)见解析
【分析】（1）根据三角形内角和 可得 的度数，根据角平分线的定义可得 的度数，根据直角
三角形的性质可得 的度数；
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（2）根据直角三角形的两锐角互余可得 ， ，根据角平分线的定
义可得 ，从而可得 ，即可得证．
【详解】（1）解： ， ，
，
平分 交 于 ，
，
；
（2）证明： ，
，
，
，
，
平分 交 于 ，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握直角三角形的性
质是解题的关键．
10．（2023秋·浙江·八年级专题练习）对于下列问题，在解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学
式）．如图．在直角 中， 是斜边 上的高， ．
(1)求 的度数；(2)求 的度数．
解：（1） （已知），
______° ，
（______），
______° ______°（等量代换），
（2） （______），
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_____（等式的性质），
（已知），
______ ______°（等量代换）．
【答案】(1) ；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；90；125
(2)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和； ； ；35
【分析】（1）根据三角形外角的性质和等量代换进行作答即可；
（2）根据三角形外角的性质和等量代换进行作答即可．
【详解】（1）解： 已知 ， ，
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和 ．
等量代换 ．
（2） 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和 ，
等式的性质 ．
已知 ， 等量代换 ．
【点睛】本题考查三角形的外角．熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，是解题关键．
11．（2023·广东中山·八年级校联考期中）如图，在 中， ， 于点D，E为 上
一点，
(1)求证： 平分 ；(2)若 ，求证： ．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】（1）证明 ， ，再证明 ，从而可得结论；
（2）先证明 ， 可得 ， ，
，从而可得结论．
【详解】（1）证：在 中，
在 中，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
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∴CE平分 ；
（2）∵ ，
∴
∵在 中， ，而
∴
∴
∵在 中，
∴
∵在 中，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，角平分线的定义，等腰三角形的性质，熟练的证明并
求解 是解本题的关键．
12．（2023·浙江温州·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CE平分
∠DCB交AB于点E，
(1)求证：∠AEC＝∠ACE；(2)若∠AEC＝2∠B，AD＝1，求AB的长．
【答案】(1)证明见解析(2)AB＝4
【分析】（1）依据∠ACB＝90°，CD⊥AB，即可得到∠ACD＝∠B，再根据CE平分∠BCD，可得∠BCE＝
∠DCE，进而得出∠AEC＝∠ACE；（2）依据∠ACD＝∠BCE＝∠DCE，∠ACB＝90°，即可得到∠ACD＝
30°，进而得出Rt ACD中，AC＝2AD＝2，Rt ABC中，AB＝2AC＝4．
【详解】（1）∵△∠ACB＝90°，CD⊥AB， △
∴∠ACD+∠A＝∠B+∠A＝90°，∴∠ACD＝∠B，
∵CE平分∠BCD，∴∠BCE＝∠DCE，
∴∠B+∠BCE＝∠ACD+∠DCE，即∠AEC＝∠ACE；
（2）∵∠AEC＝∠B+∠BCE，∠AEC＝2∠B，∴∠B＝∠BCE，
又∵∠ACD＝∠B，∠BCE＝∠DCE，∴∠ACD＝∠BCE＝∠DCE，
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又∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝30°，∠B＝30°，
∴Rt ACD中，AC＝2AD＝2，∴Rt ABC中，AB＝2AC＝4．
【点△睛】本题主要考查了三角形内角△和定理与外角的性质、角平分线的定义、直角三角形30°角所对的直
角边长度是斜边的一半，解题时注意：三角形内角和是180°，三角形外角等于不相邻两个内角的和．
13．（2022秋·河南商丘·八年级统考阶段练习）如图，在 中， 分别是 的角平分线和高
线， ， ．
(1)若 ，则 _______；
(2)小明说：“无需给出 的具体数值，只需确定 与 的差值，即可确定 的度数．”请通过计
算验证小明的说法是否正确．
【答案】(1) (2)小明的说法正确，理由见解析
【分析】（1）先根据三角形的内角和求出 ，根据角平分线的定义求出 ，根据直角三角形的
两个锐角互余求出 ，再利用角的和差即可求出 ；
（2）根据（1）的思路求出 ，即可作出判断．
【详解】（1）∵ ， ， ，
∴ ,
∵ 是 的平分线，
∴ ，
∵ 是高线，
，
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，
∴ ；
（2）∵ 是 的平分线，
．
是高线，
，
，
．
由 可知： 的度数与 的具体数值无关，只和 与 的差值有关，
故小明的说法正确．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义、直角三角形的两个锐角互余和角的和差计算，
属于基础题目，熟练掌握三角形的基本知识是解题的关键．
14．（2023·安徽安庆·八年级校考期中）如图，在 中， ， ， 是 边上的高，
是 的平分线．
(1)求 的度数；(2)若 ，试探求 、 、 之间的数量关系．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）根据三角形内角和定理得出 ，根据角平分线的定义得出
，根据 ，得出 ，求出 ，
最后根据 得出结果；
（2）根据角平分线的定义得出 ，根据高线的定义得出
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，求出 ，根据 ，得出 ，根据
求出结果即可．
【详解】（1）解：∵在 中， ， ，
∴ ，
∵ 是 的平分线，
∴ ，
∵ 是 边上的高，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（2）解：∵ ， 是 的平分线，
∴ ，
∵ 是 边上的高，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
，
即 ．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理的应用，角平分线的定义，三角形的高线，解题的关键是熟练
掌握三角形内角和为 ．
15．（2023·福建莆田·八年级校考期中）规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，
那么称这两个三角形互为“等角三角形”．
从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分
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割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形是“等角三角形”，
我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．
(1)如图1，在 中， ， ，请写出图中两对“等角三角形”；
(2)如图2，在 中， 为 的平分线， ， ．求证： 为 的“等角分割
线”；
(3)在 中，若 ， 是 的“等角分割线”，请求出所有可能的 的度数．
【答案】(1) 与 ； 与 ； 与 （任意写出两对“等角三角形”即可）
(2)见解析 (3) 的度数为 或 或 或
【分析】（1）先根据直角三角形的性质可得 ， ， ，
再根据“等角三角形”的定义即可得；
（2）先根据三角形的内角和定理可得 ，从而可得 ，根据等腰三角形的判
定可得 是等腰三角形，再根据三角形的内角和定理可得 ，从而可得 与
是“等角三角形”，然后根据等角分割线的定义即可得证；
（3）分①当 是等腰三角形， 时；②当 是等腰三角形， 时；③当 是等
腰三角形， 时；④当 是等腰三角形， 时四种情况，利用等腰三角形的性质、三
角形的外角性质求解即可得．
【详解】（1）解： ， ，
，
，
， ，
与 ； 与 ； 与 是“等角三角形”．（任意写出两对“等角三角
形”即可）
（2）证明：在 中， ， ，
∴ ，
∵ 为角平分线，
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∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形，
∵在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 与 是“等角三角形”，
∴ 为 的等角分割线．
（3）解：由题意，分以下四种情况：
①当 是等腰三角形， 时， ，
∴ ；
②当 是等腰三角形， 时， ， ，
∴ ；
③当 是等腰三角形， 时， ，
∴ ；
④当 是等腰三角形， 时， ，
设 ，则 ， ，
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由三角形的外角性质得： ，即 ，解得 ，
∴ ；
综上， 的度数为 或 或 或 ．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理等知识点，较难的是题（3），
正确分四种情况讨论是解题关键．
16．（2023·安徽安庆·八年级统考期末）如图，在 中， 和 的平分线相交于点 ，过点
作 交 于 ，交 于 ，过点 作 于 .
（1）求证： ；（2）求证： ；（3）若 ， ，请用含 ，
的代数式表示 的面积， ___________（直接写出结果）
【答案】（1）见解析；（2） ；（3）
【分析】（1）根据角平分线的性质和三角形的内角和定理，即可得到结论成立.
（2）由平行线的性质和角平分线的性质，得到 ， ，然后即可得结论成立；
（3）过点O作OG⊥AC，连接OC，由点O为内心，可知OD=OG，由 ，即可得到答案.
【详解】证明：（1） ， 平分 和
，
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；
（2） ，
， ，
又 ， ，
， ，
， ，
；
（3）如图，过点O作OG⊥AC，连接OC，
∵点O为△ABC的内心，则OC是∠ACB的角平分线，
∴ ，
∵
=
=
=
= ；
故答案为： .
【点睛】本题考查了角平分线性质，平行线的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是正确得到角之间
的关系，从而进行解题.
17．（2023春·江苏徐州·七年级校考阶段练习）在 中， ， 平分 ．
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(1)如图①，若 于D，求 的度数．(2)如图②若点P为 上一点， ，求 的
度数．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）现根据三角形的内角和得到 ，然后利用角平分线得到 ，在用直角三
角形的两锐角互余得到 ，计算解题即可；（2）过点 作 于点D，可以得到 ，
即 ，再根据（1）的计算结果得到答案．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
又∵ 平分 ，∴ ，
又∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ；
（2）解：过点 作 于点D，由（1）可得： ，
∵ ， ，∴ ，
∴ ，∴ ．
【点睛】本题考查三角形的内角和定理，角平分线的性质，直角三角形的两锐角互余，平行线的性质，掌
握三角形的内角和定理是解题的关键．
18．（2023春·陕西咸阳·八年级统考期中）如图，在 中， ， 于点D， 平分
交 于点E，交 于点F，求证： ．
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【答案】见解析
【分析】 平分 可得 ，再结合 可得
，进而得到 ，再结合 可得
，最后根据等角对等边即可解答．
【详解】解：∵ 平分 ，
∴ ，
∵ 。
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质、角平分线的性质以、三角形外角的性质等知识点，掌握数形
结合思想是解答本题的关键．
19．（2022秋·辽宁抚顺·八年级统考期末）如图所示，在 中， ， 平分
．
(1)求 的度数；(2)求 的度数；(3)直接写出 ， ， 三个角之间的数量关系．
【答案】(1) (2) (3)
【分析】（1）根据三角形内角和定理可得 的度数，再由 平分 ，即可求解；
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（2）根据直角三角形两锐角互余可得 ，即可求解；
（3）根据 ， ， 三个角的度数，即可求解．
【详解】（1）解：在 中， ．
∴ ．
∵ 平分 ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
（3）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，直角三角形的性质，有关角平分线的计算，熟练掌握三角形
内角和定理，直角三角形两锐角互余是解题的关键．
20．（2022秋·广东东莞·八年级校考期中）如图，在 中， 为 的高， 为 的角平分
线， 交 于点G， 比 大 ， ，求 的大小．
【答案】
【分析】根据 为 的高，得出 ，得出 ，根据
，得出 ， ，根据 ，得出
，根据 为 的角平分线，得出 ，最后根据直
角三角形两锐角互余得出答案即可．
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【详解】解：∵ 为 的高，
∴ ，
，
∵ 比 大 ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ 为 的角平分线，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了三角形的高，三角形的角平分线，直角三角形性质，三角形内角和定理，解题的
关键是根据题意求出 ．
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