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专题 24 最值模型之将军饮马模型
“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗，由此
却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。将军饮马问题从本质上来看是由轴
对称衍生而来，同时还需掌握平移型将军饮马，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中
高档题为主，本专题就将军饮马问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
在解决将军饮马模型主要依据是：两点之间，线段最短；垂线段最短；涉及的基本方法有：利用轴对
称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。
模型1.求两条线段和的最小值（将军饮马模型）
【模型解读】在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；
（1）点A、B在直线m两侧： （2）点A、B在直线同侧：
A
A A
B
m
A P
m m
P
B
B B m A'
【最值原理】两点之间线段最短。 上图中A’是A关于直线m的对称点。
例1．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图， 是边长为 的等边三角形，点 为高 上的动点．
连接 ，将 绕点 顺时针旋转 得到 ．连接 ， ， ，则 周长的最小值是 ．
例2．（2023·广东广州·校考一模）如图，在 C中， 的面积为 ， ， 平分
，E、F分别为 、 上的动点，则 的最小值是（ ）
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A． B． C．2 D．
例3．（2023·广东广州·统考中考真题）如图，正方形 的边长为4，点E在边 上，且 ，F为
对角线 上一动点，连接 ， ，则 的最小值为 ．
例4．（2022·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图，菱形 ，点 、 、 、 均在坐标轴上，
，点 ，点 是 的中点，点 是 上的一动点，则 的最小值是（ ）
A．3 B．5 C． D．
例5．（2023·辽宁盘锦·统考中考真题）如图，四边形 是矩形， ， ，点P是边
上一点（不与点A，D重合），连接 ．点M，N分别是 的中点，连接 ， ，
，点E在边 上， ，则 的最小值是（ ）
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A． B．3 C． D．
例6．（2023·山东济宁·九年级校考期末）如图， 是 的直径，点C、D是 上的点．且 ，
分别与 、 相交于点E，F．若 的半径为5， ，点P是线段 上任意一点，则
的最小值是 ．
例7．（2023·湖北黄冈·统考模拟预测）如图，点E是线段 上的一个动点， ，且
，则 的最小值是___．
例8．（2023·山东枣庄·统考中考真题）如图，抛物线 经过 两点，并交x轴于
另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与轴交于点D．
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(1)求该抛物线的表达式；(2)若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求 的最小值；
模型2. 求多条线段和（周长）最小值
【模型解读】在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。
（1）两个点都在直线外侧： （2）一个点在内侧，一个点在外侧：
A
m
A
A m
m P' P
A
m P
B
n
Q' Q
n B n
Q
B B n B'
（3）两个点都在内侧：
A'
m
m A
A P
B
Q
B n
n B'
（4）台球两次碰壁模型
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1）已知点A、B位于直线m,n 的内侧，在直线n、m分别上求点D、E点，使得围成的四边形
ADEB周长最短.
2）已知点A位于直线m,n 的内侧, 在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短.
n
n
A'
A
A'
B A
n n
D Q
A
B m A m
E P
m B' m A"
【最值原理】两点之间线段最短。
例1．（2023·陕西西安·九年级校考阶段练习）【问题提出】
(1)如图1， ，在 内部有一点P，M、N分别是 、 上的动点，分别作点P关于边
、 的对称点 ， ，连接 ， 与 、 相交于M、N，则此时 的周长最小，且顺次连接
O， ， 后 的形状是等腰直角三角形．理由如下：
∵点P关于边 、 的对称点分别为 ， ，
∴ ， ， ， ，
∴ 即 周长的的最小值为
∵ ，∴ ∴ 是等腰直角三角形．
学以致用：若 ，在 内部有一点P，分别作点P关于边 、 的对称点 ， ，顺次连
接O， ， ，则 的形状是__________三角形．
(2)【问题探究】如图2，在 中， ， ，点D是 的中点，若 ，请用含
有h的代数式表示 的面积．(3)【问题解决】如图3，在四边形 内有一点P，点P到顶点B的距
离为10， ，点M、N分别是 、 边上的动点，顺次连接P、M、N，使 在周长最小
的情况下，面积最大，问：是否存在使 在周长最小的条件下，面积最大这种情况？若存在，请求出
的面积的最大值；若不存在，请说明理由．
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例2．（2023下·四川达州·八年级校考期末）如图， ，点M、N分别在射线 上，
， 的面积为12，P是直线 上的动点，点P关于 对称的点为 ，点P关于 对称的
点为 ，当点P在直线 上运动时， 的面积最小值为 ．
例3．（2022·山东泰安·中考真题）如图， ，点M、N分别在边 上，且 ，
点P、Q分别在边 上，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
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例4．（2023春·湖北黄石·八年级统考期中）如图，在矩形 中， ， ， 、 分别是
和 上的两个动点， 为 的中点，则
（1） 的最小值是________；（2）若 ，则 的最小值为________．
模型3.求两条线段差最大值
【模型解读】在一条直线m上，求一点P，使PA与PB的差最大；
（1）点A、B在直线m同侧：
A
A
B
B
m
m P P'
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延长AB交直线m于点P，根据三角形两边之差小于第三边，P’A-P’B＜AB，而PA-PB=AB此时最大，
因此点P为所求的点。
（2）点A、B在直线m异侧：
A
A B'
m
m P' P
B
B
过B作关于直线m的对称点B’,连接AB’交点直线m于P,此时PB=PB’，PA-PB最大值为AB’
【最值原理】三角形两边之差小于第三边。
例1．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，在菱形 中， ，对角线 交于点 ，
，点 为 的中点，点 为 上一点，且 ，点 为 上一动点，连接 ，则
的最大值为________．
例2．（2023春·湖南永州·八年级统考期中）如图，在矩形 中， ，O为对角线 的
中点，点P在 边上，且 ，点Q在 边上，连接 与 ，则 的最大值为
____________， 的最小值为__________．
例3．（2022·河南南阳·一模）如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝6，∠BCD＝15°，P为直
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线CD上的动点，则|PA－PB|的最大值为____．
例4．（2022·湖北·武汉八年级期末）如图， ， 为 上一动点， ，过 作
交直线 于 ，过 作 交直线 于点 ，若 ，当 的值最大时，
则 ________ ．
课后专项训练
1．（2022·四川资阳·中考真题）如图，正方形 的对角线交于点O，点E是直线 上一动点．若
，则 的最小值是( )
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A． B． C． D．
2．（2022·山东菏泽·统考中考真题）如图，在菱形ABCD中， ，M是对角线BD上的
一个动点， ，则 的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
3．（2023·安徽·统考中考真题）如图， 是线段 上一点， 和 是位于直线 同侧的两个等
边三角形，点 分别是 的中点．若 ，则下列结论错误的是（ ）
A． 的最小值为 B． 的最小值为
C． 周长的最小值为6 D．四边形 面积的最小值为
4．（2023·广东深圳·校联考模拟预测）如图，点 是正方形 内部一个动点，且 ，
，则 的最小值为（ ）
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A． B． C． D．
5．（2023春·福建厦门·八年级校联考期中）如图，在▱ABCD中，AB＝2，BC＝4，∠D＝60°，点P、Q分
别是AC和BC上的动点，在点P和点Q运动的过程中，PB+PQ的最小值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．4
6．（2023·安徽合肥·二模）如图，在矩形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA上的动
点(不与端点重合)，若四点运动过程中满足AE=CG、BF=DH，且AB=10、BC=5，则四边形EFGH周长的最
小值等于（ ）
A．10 B．10 C．5 D．5
7．（2023·四川广元·一模）如图，已知正方形 边长为3，点E在 边上且 ，点P，Q分别是
边 ， 的动点（均不与顶点重合），当四边形 的周长取最小值时，四边形 的面积是
（ ）
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A． B． C． D．
8．（2022·江苏·九年级月考）如图，点 ， 在直线 的同侧， 到 的距离 ， 到 的距
离 ，已知 ， 是直线 上的一个动点，记 的最小值为 ， 的最大值为 ，
则 的值为（ ）
A．160 B．150 C．140 D．130
9．（2023上·山东菏泽·八年级统考期中）如图， 中， ， ， ， 是
的垂直平分线，分别交 ， 于点E，F，点D是 边的中点，点M是线段 上一动点，则
的最小值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
10．（2023上·江苏连云港·九年级校联考阶段练习）如图， 是 的直径， ，点 在 上，
， 为 的中点， 是直径 上一动点，则 的最小值是 ．
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11．（2023下·四川达州·八年级校考期末）如图， ， 在 的同侧， ， ， ，
点 为 的中点，若 ，则 的最大值是 ．
12．（2023上·山东德州·八年级校考期中）如图，在 中， ， ， ， 是
的平分线．若P，Q分别是 和 上的动点，则 的最小值是 ．
13．（2022·重庆大渡口·九年级期中）如图， ，∠ACB＝90°，BC＝AC＝4，平面内直线BC的左侧
有一点P，连接BP，CP， ，将 沿BC翻折至同一平面得到 ，连接 ．若
取得最大值时，则 ______．
14．（2023秋·江苏盐城·九年级统考期末） 中， ， ，点P为高 上的一个
动点，连接 ，将射线 绕点A顺时针旋转 ，交过点P与 垂直的直线于点Q，连接 ，则
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周长的最小值是______．
15．（2023·山东日照·校考二模）如图，在边长为1的正方形 中，E为 边上一动点（点E，B不
重合），以 为直角边在直线 上方作等腰直角三角形 ， ，连接 ，则在点E的运动
过程中， 周长的最小值是______．
16．（2023·湖北武汉·校联考模拟预测）如图，己知长方体 ， 是
棱 上任意一点， 是侧面对角线 上一点，则 的最小值是________．
17．（2022·四川眉山·中考真题）如图，点 为矩形 的对角线 上一动点，点 为 的中点，连
接 ， ，若 ， ，则 的最小值为________．
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18．（2022·黑龙江·统考中考真题）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O， ，
，AH是 的平分线， 于点E，点P是直线AB上的一个动点，则 的最小值
是________．
19．（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E为AD的中点，将 CDE沿
CE翻折得 CME，点M落在四边形ABCE内．点N为线段CE上的动点，过点N作NP//EM交△MC于点
P，则MN+△NP的最小值为________．
20．（2022·广西贺州·中考真题）如图，在矩形ABCD中， ，E，F分别是AD，AB的中点，
的平分线交AB于点G，点P是线段DG上的一个动点，则 的周长最小值为__________．
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21．（2023·江西南昌·九年级校联考阶段练习）如图，已知点 ， ， 在抛物线
上．（1）求抛物线解析式；（2）在直线 上方的抛物线上求一点 ，使 的面积为 ；
（3）若点 是抛物线对称轴上一动点，当 的值最大时，求 点的坐标；
22．（2023·广东深圳·九年级校考开学考试）已知，如图，函数y＝ ， 的图象交于点A、
B．
(1)直接写出A、B两点的坐标：A ，B ；(2)观察图象，直接写出不等式 的解集：
；
(3)点P是坐标轴上的动点，当 取得最小值时，求点P的坐标．
23．（2022·江苏连云港·中考真题）如图，四边形 为平行四边形，延长 到点 ，使 ，
且 ．(1)求证：四边形 为菱形；(2)若 是边长为2的等边三角形，点 、 、 分别
在线段 、 、 上运动，求 的最小值．
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24．（2022·海南·中考真题）如图1，矩形 中， ，点P在边 上，且不与点B、C重
合，直线 与 的延长线交于点E．
(1)当点P是 的中点时，求证： ；
(2)将 沿直线 折叠得到 ，点 落在矩形 的内部，延长 交直线 于点F．
①证明 ，并求出在（1）条件下 的值；②连接 ，求 周长的最小值；③如图2，
交 于点H，点G是 的中点，当 时，请判断 与 的数量关系，并说明理由．
25．（2023上·广西桂林·八年级校联考期中）数学模型学习与应用：
白日登山望峰火，黄昏饮马傍交河．——《古从军行》唐李欣
模型学习：诗中隐含着一个有趣的数学问题，我们称之为“将军饮马”问题．关键是利用轴对称变换，把
直线同侧两点的折线问题转化为直线两侧的线段问题，“将军饮马”问题的数学模型如图1所示：在直线l
上存在点P，使 的值最小．
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作法：作A点关于直线l的对称点 ，连接 ， 与直线l的交点即为点P．此时 的值最小．
模型应用：（1）如图2，已知 为等边三角形，高 ， 为 上一动点，D为 的中点．
①当 的最小值时，在图中确定点P的位置（要有必要的画图痕迹，不用写画法）．
②则 的最小值为 ．
模型变式：（2）如图3所示，某地有块三角形空地 ，已知 ， 是 内一点，连接
后测得 米，现当地政府欲在三角形空地 中修一个三角形花坛 ，点 ， 分别是 ，
边上的任意一点（不与各边顶点重合），求 周长的最小值．
18
