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专题 07 一元二次方程及其应用的核心知识点精讲
1.了解一元二次方程的概念，并会用直接配开平方法、因式分解法、公式法和配方法
解一元二次方程；
2.会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实数根和两根是否相等；
3.了解根与系数的关系，能解决与根有关的代数式求值题；
4.能列一元二次方程解实际问题；并能结合具体问题的实际意义，检验方程解的合理性
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【题型1：一元二次方程的解法】
【典例1】（2023•广州）解方程：x2﹣6x+5＝0．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：分解因式得：（x﹣1）（x﹣5）＝0，
x﹣1＝0，x﹣5＝0，
x ＝1，x ＝5．
1 2
1．（2023•赤峰）用配方法解方程x2﹣4x﹣1＝0时，配方后正确的是（ ）
A．（x+2）2＝3 B．（x+2）2＝17 C．（x﹣2）2＝5 D．（x﹣2）2＝17
【答案】C
【解答】解：∵x2﹣4x﹣1＝0，
∴x2﹣4x＝1，
∴x2﹣4x+4＝1+4，
∴（x﹣2）2＝5．
故选：C．
2．（2023•齐齐哈尔）解方程：x2﹣3x+2＝0．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵x2﹣3x+2＝0，
∴（x﹣1）（x﹣2）＝0，
∴x﹣1＝0或x﹣2＝0，
∴x ＝1，x ＝2．
1 2
【题型2：一元二次方程的判别式及应用】
【典例2】（2023•荆州）已知关于x的一元二次方程kx2﹣（2k+4）x+k﹣6＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）当k＝1时，用配方法解方程．
【答案】（1）k＞﹣ 且k≠0；
（2）x ＝3+ ，x ＝3﹣ ．
1 2
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程kx2﹣（2k+4）x+k﹣6＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（2k+4）2﹣4k（k﹣6）＞0，且k≠0，
解得：k＞﹣ 且k≠0；
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（2）当k＝1时，
原方程为x2﹣（2×1+4）x+1﹣6＝0，
即x2﹣6x﹣5＝0，
移项得：x2﹣6x＝5，
配方得：x2﹣6x+9＝5+9，
即（x﹣3）2＝14，
直接开平方得：x﹣3＝±
解得：x ＝3+ ，x ＝3﹣ ．
1 2
1．（2023•滨州）一元二次方程x2+3x﹣2＝0根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．不能判定
【答案】A
【解答】解：由题意得，Δ＝32﹣4×1×（﹣2）＝17＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
2．（2023•聊城）若一元二次方程mx2+2x+1＝0有实数解，则m的取值范围是（ ）
A．m≥﹣1 B．m≤1 C．m≥﹣1且m≠0 D．m≤1且m≠0
【答案】D
【解答】解：∵一元二次方程mx2+2x+1＝0有实数解，
∴Δ＝22﹣4m≥0，且m≠0，
解得：m≤1且m≠0，
故选：D．
3．（2023•泰安）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣a＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是
a ＞﹣ 4 ．
【答案】a＞﹣4．
【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣a）＞0，
解得a＞﹣4．
故答案为：a＞﹣4．
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【题型3：一元二次方程根与系数的关系及应用】
【典例3】（2023•内江）已知a、b是方程x2+3x﹣4＝0的两根，则a2+4a+b﹣3＝ ﹣ 2 ．
【答案】﹣2．
【解答】解：∵a是方程x2+3x﹣4＝0的根，
∴a2+3a﹣4＝0，
∴a2＝﹣3a+4，
∵a，b是方程x2+3x﹣4＝0的两根，
∴a+b＝﹣3，
∴a2+4a+b﹣3
＝﹣3a+4+4a+b﹣3
＝a+b+1
＝﹣3+1
＝﹣2．
故答案为：﹣2．
1．（2023•随州）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根分别为x 和x ，则x +x ﹣x x 的
1 2 1 2 1 2
值为 2 ．
【答案】2．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根分别为x 和x ，
1 2
∴x +x ＝ ＝3，x x ＝ ＝1，
1 2 1 2
∴x +x ﹣x x ＝3﹣1＝2．
1 2 1 2
故答案为：2．
2．（2023•西藏）已知一元二次方程x2﹣3x+2＝0的两个根为x 、x ，则 的值为（ ）
1 2
A．﹣3 B． C．1 D．
【答案】D
【解答】解：由一元二次方程根与系数的关系得，
x +x ＝3，x x ＝2，
1 2 1 2
∴
＝
【4 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
＝
＝ ，
故选：D．
【题型4：一元二次方程的应用】
【典例3】（2022•眉山）建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资
金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．
（1）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；
（2）2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费
用增加15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？
【答案】（1）20%；
（2）18个．
【解答】解：（1）设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x，
依题意得：1000（1+x）2＝1440，
解得：x ＝0.2＝20%，x ＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
1 2
答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%．
（2）设该市在2022年可以改造y个老旧小区，
依题意得：80×（1+15%）y≤1440×（1+20%），
解得：y≤ ，
又∵y为整数，
∴y的最大值为18．
答：该市在2022年最多可以改造18个老旧小区．
1．（2022•黑龙江）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行
了45场，共有多少支队伍参加比赛？（ ）
A．8 B．10 C．7 D．9
【答案】B
【解答】解：设共有x支队伍参加比赛，
根据题意，可得 ，
解得x＝10或x＝﹣9（舍），
∴共有10支队伍参加比赛．
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故选：B．
2．（2023•大连）为了让学生养成热爱图书的习惯，某学校抽出一部分资金用于购买书籍．已知2020年该
学校用于购买图书的费用为5000元，2022年用于购买图书的费用是7200元，求2020﹣2022年买书资
金的平均增长率．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：设2020年到2022年该校购书费用的年平均增长率为x，
则：5000（1+x）2＝7200，
解得：x＝0.2，或x＝﹣2.2（舍去），
答：2020年到2022年该校购书费用的年平均增长率为20%．
3．（2022•泰州）如图，在长为50m、宽为38m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．
要使草坪的面积为1260m2，道路的宽应为多少？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：设路宽应为x米
根据等量关系列方程得：（50﹣2x）（38﹣2x）＝1260，
解得：x＝4或40，
40不合题意，舍去，
所以x＝4，
答：道路的宽应为4米．
1．（2024•鞍山模拟）方程3x2﹣4x﹣1＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．3，﹣1，4 B．3，4，﹣1 C．3，﹣4，﹣1 D．3，﹣1，﹣4
【答案】C
【解答】解：∵3x2﹣4x﹣1＝0，
∴二次项系数、一次项系数和常数项分别是3，﹣4，﹣1，
故选：C．
2．（2023秋•西城区校级期中）用配方法解方程x2+2x﹣3＝0，下列变形正确的是（ ）
A．（x+1）2＝﹣2 B．（x+1）2＝2 C．（x+1）2＝﹣4 D．（x+1）2＝4
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【答案】D
【解答】解：方程移项得：x2+2x＝3，
配方得：x2+2x+1＝4，即（x+1）2＝4．
故选：D．
3．（2023•铜梁区校级一模）某电影上映的第一天票房约为3亿元，第二、三天单日票房持续增长，三天
累计票房10.82亿元，若第二、三天单日票房增长率相同，设平均每天票房的增长率为x，则根据题意，
下列方程正确的是（ ）
A．3（1+x）＝10.82 B．3（1+x）2＝10.82
C．3（1+x）+3（1+x）2＝10.82 D．3+3（1+x）+3（1+x）2＝10.82
【答案】D
【解答】解：设平均每天票房的增长率为x，则根据题意可列方程为3+3（1+x）+3（1+x）2＝10.82，
故选：D．
4．（2023秋•南海区期中）一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
【答案】C
【解答】解：∵Δ＝（﹣2）2﹣4×（﹣5）
＝24＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：C．
5．（2023秋•武侯区校级期中）如图，矩形ABCD是某会展中心一楼展区的平面示意图，其中边AB的长
为40m，边BC的长为25m，该展区内有三个全等的矩形展位，每个展位的面积都为 200m2，阴影部分
为宽度相等的人行通道，求人行通道的宽度．若设人行通道的宽度为x m，下列方程正确的是（ ）
A．（40﹣3x）（25﹣2x）＝200 B．（40﹣4x）（25﹣2x）＝600
C．40×25﹣80x﹣100x+8x2＝200 D．40×25﹣80x﹣100x＝600
【答案】B
【解答】解：∵人行通道的宽度为x m，
∴每个展位的长为（25﹣2x）m，宽为 m．
依题意得： •（25﹣2x）＝200，
即（40﹣4x）（25﹣2x）＝600．
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故选：B．
6．（2023秋•长安区期中）若关于x的一元二次方程x2﹣x﹣m＝0的一个根是x＝3，则m的值是（ ）
A．﹣6 B．﹣3 C．3 D．6
【答案】D
【解答】解：由题意得：把x＝3代入方程x2﹣x﹣m＝0中得：
32﹣3﹣m＝0，
解得：m＝6，
故选：D．
7．（2023 秋•金坛区期中）已知 x ，x 是方程 x2﹣x﹣2023＝0 的两个实数根，则 x +x +x x 的值是
1 2 1 2 1 2
（ ）
A．2022 B．﹣2022 C．﹣2024 D．2024
【答案】B
【解答】解：根据根与系数的关系得x +x ＝1，x x ＝﹣2023，
1 2 1 2
所x +x +x x ＝（x +x ）+x x ＝1﹣2023＝﹣2022．
1 2 1 2 1 2 1 2
故答案为：B．
8．（2023秋•新洲区期中）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主
干、支干和小分支的总数为73，则每个支干长出（ ）支小分支．
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【解答】解：由题意得：
1+x+x2＝73，
即x2+x﹣72＝0，
∴（x+9）（x﹣8）＝0，
解得x ＝8，x ＝﹣9（舍去）
1 2
答：每个支干长出8个小分支．
故选：B．
9．（2023 秋•海淀区校级期中）若 x＝3 是关于 x 的方程 ax2﹣bx＝6 的解，则 2023﹣6a+2b 的值为
（ ）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
【答案】A
【解答】解：把x＝3代入方程，得：9a﹣3b＝6，即：3a﹣b＝2，
∴2023﹣6a+2b＝2023﹣2（3a﹣b）＝2023﹣2×2＝2019；
故选：A．
10．（2024•鞍山模拟）若x ，x 是一元二次方程x2+5x﹣1＝0的两个实数根，则x +x 的值为 ﹣ 5 ．
1 2 1 2
【答案】﹣5．
【解答】解：∵x ，x 是一元二次方程x2+5x﹣1＝0的两个实数根，
1 2
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∴x +x ＝﹣5．
1 2
故答案为：﹣5．
11．（2023秋•罗定市期中）已知m是方程x2﹣2x﹣2024＝0的一个根，则m2﹣2m的值为 202 4 ．
【答案】2024．
【解答】解：∵m是方程x2﹣2x﹣2024＝0的一个根，
∴m2﹣2m﹣2024＝0，
∴m2﹣2m＝2024．
故答案为：2024．
12．（2023秋•乐亭县期中）某读书小组在学校举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图
书向本组其他成员赠送一本，全组共互赠了 210本图书，如果设全组共有x名同学，依题意，可列出的
方程是 x （ x ﹣ 1 ）＝ 21 0 ．
【答案】x（x﹣1）＝210．
【解答】解：由题意可得，x（x﹣1）＝210，
故答案为：x（x﹣1）＝210．
13．（2024•鞍山模拟）解下列方程：
（1）x2+3x﹣4＝0； （2）2x2﹣4x﹣1＝0．
【答案】（1）x ＝1，x ＝﹣4；
1 2
（2）x ＝1+ ，x ＝1﹣ ．
1 2
【解答】解：（1）x2+3x﹣4＝0，
则（x﹣1）（x+4）＝0，
则x﹣1＝0或x+4＝0，
解得x ＝1，x ＝﹣4；
1 2
（2）2x2﹣4x﹣1＝0，
x2﹣2x＝ ，
∴x2﹣2x+1＝ +1，即（x﹣1）2＝ ，
∴x﹣1＝± ，
∴x＝1± ，
∴x ＝1+ ，x ＝1﹣ ．
1 2
14．（2023•延庆区一模）已知关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣1＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
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（2）如果方程有一个根为正数，求m的取值范围．
【答案】（1）见解答；（2）m＜1．
【解答】（1）证明：∵Δ＝m2﹣4（m﹣1）
＝m2﹣4m+4
＝（m﹣2）2≥0，
∴方程总有两个实数根；
（2）x＝ ，
解得x ＝﹣1，x ＝﹣m+1，
1 2
∵方程只有一个根是正数，
∴﹣m+1＞0，
∴m＜1．
15．（2023•秦淮区一模）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，
增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降 1元，商场平均每天可多售出2
件．如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1250元，那么衬衫的单价降了多少元？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：设衬衫的单价降了x元．根据题意，得
（20+2x）（40﹣x）＝1250，
解得：x ＝x ＝15，
1 2
答：衬衫的单价降了15元．
1．（2022秋•渌口区期末）如果关于x的一元二次方程x2﹣c＝0有一个根是2，那么c的值是（ ）
A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣2
【答案】A
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣c＝0有一个根是2，
∴4﹣c＝0，
解得c＝4，
故选：A．
2．（2023秋•锦江区校级期中）在探究关于x的二次三项式x2+12x﹣15的值时，小明计算了如下四组值：
x 1.1 12 1.3 1.4
x2+12x﹣15 ﹣0.59 0.84 2.29 3.76
则方程x2+12x﹣15＝0的其中一个解满足的范围是（ ）
A．1.1＜x＜1.2 B．1.2＜x＜1.3 C．1.3＜x＜1.4 D．无法确定
【答案】A
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【解答】解：∵x＝1.1时，x2+12x﹣15＝﹣0.59＜0，
x＝1.2时，x2+12x﹣15＝0.84＞0，
∴当x在1.1与1.2之间取某一个数时，可使x2+12x﹣15＝0，
即方程x2+12x﹣15＝0的其中一个解满足的范围是1.1＜x＜1.2．
故选：A．
3．（2023•衢州）某人患了流感，经过两轮传染后共有 36人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了 x
人，则可得到方程（ ）
A．x+（1+x）＝36 B．2（1+x）＝36
C．1+x+x（1+x）＝36 D．1+x+x2＝36
【答案】C
【解答】解：由题意得：1+x+x（1+x）＝36，
故选：C．
4．（2023秋•梁子湖区期中）在解方程x2+bx+c＝0时，小马看错了一次项系数b，得到的解为x ＝2，x ＝
1 2
﹣3；小虎看错了常数项c，得到的解为x ＝﹣1，x ＝4，则正确的方程是（ ）
1 2
A．x2﹣3x﹣6＝0 B．x2﹣3x﹣4＝0 C．x2+x﹣6＝0 D．x2+3x﹣6＝0
【答案】A
【解答】解：由题意，c＝2×（﹣3）＝﹣6，﹣b＝﹣1+4，
∴b＝﹣3，c＝﹣6，
∴方程为x2﹣3x﹣6＝0．
故选：A．
5．（2023秋•伊川县期中）对于实数a，b，c，d，定义如下运算 ＝ad﹣bc，例如 ＝1×4﹣2×3＝
﹣2，则 ＝0的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．无实数根
【答案】A
【解答】解：∵ ＝0，
∴x（1﹣x）﹣2（1﹣x）＝0，
整理得x2﹣3x+2＝0，
∴Δ＝（﹣3）2﹣4×1×2＝1＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
6．（2023秋•东莞市期中）若x ，x 是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，则 的值是（
1 2
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）
A．﹣7 B．﹣1 C．1 D．7
【答案】D
【解答】解：∵x 、x 是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，
1 2
∴x +x ＝2，x x ＝﹣3，
1 2 1 2
∴ ，
故选：D．
7．（2023秋•花溪区期中）定义：关于x的一元二次方程： 与 ，称为
“同族二次方程”．如2（x﹣3）2+4＝0与3（x﹣3）2+4＝0是“同族二次方程”．若关于x的一元二
次方程：2（x﹣1）2+1＝0与（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝0是“同族二次方程”．则代数式﹣ax2+bx+2019
的最大值是（ ）
A．2024 B．2023 C．2022 D．2021
【答案】A
【解答】解：由（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝0，
∴（a+2）（x2﹣2x+1）+2（a+2）x﹣（a+2）+（b﹣4）x+8＝0，
即（a+2）（x﹣1）2+（2a+b）x+6﹣a＝0，
∵2（x﹣1）2+1＝0与（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝0是“同族二次方程“，
∴2（x﹣1）2+1＝0与（a+2）（x﹣1）2+（2a+b）x+6﹣a＝0是“同族二次方程”，
∴2a+b＝0，6﹣a＝1，
解得：a＝5，b＝﹣10，
则﹣ax2+bx+2019
＝﹣5x2﹣10x+2019
＝﹣5（x2﹣2x+1）+5+2019
＝﹣5（x﹣1）2+2024≤2024，
当x＝1时，﹣ax2+bx+2019取最大值2024，
故选：A．
8．（2023秋•黄埔区期中）若a是方程x2+2x﹣20＝0的一个实数根，则2a2+4a﹣19的值为（ ）
A．﹣18 B．21 C．﹣20 D．18
【答案】B
【解答】解：把x＝a代入方程x2+2x﹣20＝0得：
a2+2a﹣20＝0，
∴a2+2a＝20，
∴2a2+4a﹣19
＝2（a2+2a）﹣19
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＝2×20﹣19
＝40﹣19
＝21，
故选：B．
9．（2023秋•江岸区期中）如图，Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝7，BC＝5，点P从点B出发向终点C以
1个单位长度/s移动，点Q从点C出发向终点A以2个单位长度/s移动，P、Q两点同时出发，一点先到
达终点时P、Q两点同时停止，则（ ）秒后，△PCQ的面积等于4．
A．1 B．2 C．4 D．1或4
【答案】A
【解答】解：设t秒后，△PCQ的面积等于4，
由题意得：BP＝t，CQ＝2t，则CP＝5﹣t，
∵S△PCQ ＝ CQ•CP，
∴4＝ ×2t×（5﹣t），
整理得：t2﹣5t+4＝0，
解得：t ＝1，t ＝4（不合题意，舍去），
1 2
即1秒后，△PCQ的面积等于4，
故选：A．
10．（2023春•张店区期末）我国古代数学家研究过一元二次方程的正数解的几何解法．以方程x2+2x﹣35
＝0，即x（x+2）＝35为例加以说明，三国时期的数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股圆
方图注》中记载的方法是：构造如图中大正方形的面积是（x+x+2）2，同时它又等于四个矩形的面积加
上中间小正方形的面积，即4×35+22，据此易得x＝5．小刚用此方法解关于x的方程x2+mx﹣n＝0时，
构造出同样的图形，已知大正方形的面积为81，小正方形的面积为25，则关于x的方程x2+mx﹣n＝0的
正数解为（ ）
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A．x＝7 B．x＝5 C．x＝3 D．x＝2
【答案】D
【解答】解：设矩形的宽为x，长为a，
∵大正方形的面积为81，小正方形的面积为25，
∴x+a＝9，a﹣x＝5，
∴x＝2，a＝7，
故选：D．
11．（2022秋•洪江市校级月考）方程（x﹣3）（x+5）﹣1＝0的根x ＝ ﹣ 1+ ，x ＝ ﹣ 1 ﹣
1 2
．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：化简得，
x2+2x﹣16＝0
∴x2+2x＝16
∴（x+1）2＝17
∴x ＝﹣1+ ，x ＝﹣1﹣ ．
1 2
12．（2022•新市区校级三模）已知：m、n是方程x2+2x﹣1＝0的两根，则（m2+3m+3）（n2+3n+3）＝ 7
．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵m、n是方程x2+2x﹣1＝0的两根，
∴m+n＝﹣2，mn＝﹣1，m2+2m﹣1＝0，n2+2n﹣1＝0，
∴（m2+3m+3）（n2+3n+3）
＝（m2+2m﹣1+m+4）（n2+2n﹣1+n+4）
＝（m+4）（n+4）
＝mn+4（m+n）+16
＝﹣1+4×（﹣2）+16
＝7，
故答案为：7．
13．（2022春•河口区期末）对于任意实数a，b，我们定义新运算“*”：a*b＝a2+2ab﹣b2，例如3*5＝
32+2×3×5﹣52＝14．若m，n是方程（x+2）*3＝0的两根，则 + 的值为 ．
【答案】 ．
【解答】解：由题意得（x+2）*3＝0即为（x+2）2+6（x+2）﹣9＝0，
化简得x2+10x+7＝0，
∵m，n是该方程的两根，
∴m+n＝﹣10，mn＝7，
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∴ + ＝ ＝ ，
故答案为： ．
14．（2023•凉山州模拟）已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．
（1）求证：k取任何实数值，方程总有实数根；
（2）若等腰△ABC的一边长为4，另两边长m，n恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵Δ＝（k+2）2﹣8k＝k2+4k+4﹣8k＝（k﹣2）2≥0，
∴无论k取何值，方程总有实数根；
（2）解：当边长为4的边为腰时，则可知方程有一个实数根为4，
∴16﹣4（k+2）+2k＝0，解得k＝4，
∴方程为x2﹣6x+8＝0，解得x＝4或x＝2，
∴m、n的值分别为2、4，
∴△ABC的周长为10；
当边长为4的边为底时，则m＝n，即方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝0，即（k﹣2）2＝0，解得k＝2，
∴方程为x2﹣4x+4＝0，解得m＝n＝2，
此时2+2＝4，不符合三角形的三边关系，舍去；
综上可知△ABC的周长为10．
15．（2023•定远县校级一模）平安路上，多“盔”有你，在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批
头盔，进价为每顶40元，售价为每顶68元，平均每周可售出100顶．商店计划将头盔降价销售，每顶
售价不高于58元，经调查发现：每降价2元，平均每周可多售出40顶．
（1）若该商店希望平均每周获利4000元，则每顶头盔应降价多少？
（2）商店降价销售后，决定每销售1顶头盔就向某慈善机构捐赠m元（m为整数，且1≤m≤5），帮
助做“交通安全”宣传．捐赠后发现，该商店每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大，求m的
值．
【答案】（1）每顶头盔应降价20元；
（2）m＝3或m＝4或m＝5．
【解答】解：（1）设每顶头盔应降价x元，则每顶头盔的销售利润为（68﹣x﹣40）元，平均每周的销
售量为（100+20x）顶，
依题意得：（68﹣x﹣40）（100+20x）＝4000，
整理得：x2﹣23x+60＝0，
解得：x ＝3，x ＝20，
1 2
∵68﹣x≤58，
∴x≥10，
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∴x＝20．
答：每顶头盔应降价20元；
（2）设每周扣除捐赠后可获得利润为w元，每顶头盔售价为a元，
依题意得：w＝[100+20（68﹣a）]（a﹣40﹣m）＝﹣20a2+（20m+2260）a﹣1460（40+m）．
∵抛物线的对称轴为a＝ ，开口向下，当a≤58时，利润仍随售价的增大而增大，
∴ ≥58，
解得：m≥3，
又∵1≤m≤5，且m为整数，
∴m＝3或m＝4或m＝5．
1．（2023•新疆）用配方法解一元二次方程x2﹣6x+8＝0配方后得到的方程是（ ）
A．（x+6）2＝28 B．（x﹣6）2＝28 C．（x+3）2＝1 D．（x﹣3）2＝1
【答案】D
【解答】解：x2﹣6x+8＝0，
x2﹣6x＝﹣8，
x2﹣6x+9＝﹣8+9，
（x﹣3）2＝1，
故选：D．
2．（2022•宜宾）已知m、n是一元二次方程x2+2x﹣5＝0的两个根，则m2+mn+2m的值为（ ）
A．0 B．﹣10 C．3 D．10
【答案】A
【解答】解：∵m、n是一元二次方程x2+2x﹣5＝0的两个根，
∴mn＝﹣5，
∵m是x2+2x﹣5＝0的一个根，
∴m2+2m﹣5＝0，
∴m2+2m＝5，
∴m2+mn+2m＝m2+2m+mn＝5﹣5＝0．
故选：A．
3．（2023•新疆）用配方法解一元二次方程x2﹣6x+8＝0配方后得到的方程是（ ）
A．（x+6）2＝28 B．（x﹣6）2＝28 C．（x+3）2＝1 D．（x﹣3）2＝1
【答案】D
【解答】解：x2﹣6x+8＝0，
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x2﹣6x＝﹣8，
x2﹣6x+9＝﹣8+9，
（x﹣3）2＝1，
故选：D．
4．（2022•宜宾）已知m、n是一元二次方程x2+2x﹣5＝0的两个根，则m2+mn+2m的值为（ ）
A．0 B．﹣10 C．3 D．10
【答案】A
【解答】解：∵m、n是一元二次方程x2+2x﹣5＝0的两个根，
∴mn＝﹣5，
∵m是x2+2x﹣5＝0的一个根，
∴m2+2m﹣5＝0，
∴m2+2m＝5，
∴m2+mn+2m＝m2+2m+mn＝5﹣5＝0．
故选：A．
5．（2022•凉山州）解方程：x2﹣2x﹣3＝0．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：原方程可以变形为（x﹣3）（x+1）＝0
x﹣3＝0或x+1＝0
∴x ＝3，x ＝﹣1．
1 2
6．（2022•齐齐哈尔）解方程：（2x+3）2＝（3x+2）2．
【答案】x ＝1，x ＝﹣1．
1 2
【解答】解：方程：（2x+3）2＝（3x+2）2，
开方得：2x+3＝3x+2或2x+3＝﹣3x﹣2，
解得：x ＝1，x ＝﹣1．
1 2
7．（2022•十堰）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3m2＝0．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根分别为 ， ，且 +2 ＝5，求m的值．
【答案】（1）证明过程见解答；
α β α β
（2）m的值为±1．
【解答】（1）证明：∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3m2，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1•（﹣3m2）
＝4+12m2＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由题意得：
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，
解得： ，
∵ ＝﹣3m2，
∴
α
﹣ β3m2＝﹣3，
∴m＝±1，
∴m的值为±1．
8．（2023•郴州）随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客
人数为2.5万人．
（1）求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；
（2）预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景
区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？
【答案】（1）这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为25%；
（2）5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人．
【解答】解：（1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x，
由题意可得：1.6（1+x）2＝2.5，
解得：x＝25%，x＝﹣ （不合题意舍去），
答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为25%；
（2）设5月份后10天日均接待游客人数是a万人，
由题意可得：2.125+10a≤2.5（1+25%），
解得：a≤0.1，
答：5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人．
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