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微专题 07 一元二次方程及其应用
考点精讲
构建知识体系
考点梳理
1. 一元二次方程的相关概念
(1)概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是① 的整式方程
(2)一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a ② 0)
2. 一元二次方程的解法(6年4考)
解法 适用情况或步骤
直接开 (1)当方程缺少一次项时，即方程ax2＋c＝0(a≠0，ac＜0)；
平方法 (2)形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程
(1)常数项为0，即方程ax2＋bx＝0(a≠0)；
因式分 (2)一元二次方程的一边为0，而另一边是易于分解成两个一次因式的乘
解法 积
注：方程求解过程中，等式两边不能同时约去含有相同未知数的因式
适用于所有一元二次方程，求根公式为③ (b2－4ac≥0)
步骤：(1)使用求根公式时要先把原一元二次方程化为一般形式，方程的
右边一定要化为0；
公式法
(2)判断b2－4ac的正负：若b2－4ac ④ 0，则原方程无实数解；
若b2－4ac ⑤ 0，则原方程有实数解
注：将a，b，c代入公式时应注意其符号
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适用于：(1)二次项系数化为1后，一次项系数是偶数的一元二次方程；
(2)各项的系数比较小且便于配方的情况
步骤：以2x2－8x＋4＝0为例
(1)变形：将二次项系数化为1，得x2－4x＋2＝0；
配方法
(2)移项：将常数项移到方程的右边，得x2－4x＝－2；
(3)配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得x2－4x＋4＝－2
＋4，即(x－2)2＝2；
(4)求解：用直接开平方法求解，得x ＝2＋√2，x ＝2－√2
1 2
3. 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系(6年2考)
(1)根的判别式：b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式
(2)一元二次方程根的情况与判别式的关系：
①b2－4ac＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
②b2－4ac＝0⇔方程有两个相等的实数根；
③b2－4ac＜0⇔方程没有实数根
(3)根与系数的关系：若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)的两实数
b c
根分别为x ，x ，则x ＋x ＝－ ，x ·x ＝ (2022年版课标调整为考查内容)
1 2 1 2 a 1 2 a
4. 一元二次方程的实际应用
变化量
(1)变化率＝ ×100％；
基础量
平均
(2)设a为原来量，当m为平均增长率，增长次数为2，b为增长后的量
变化
时，则⑥ ＝b；
率问
(3)设a为原来量，当m为平均下降率，下降次数为2，b为下降后的量
题
时，则⑦ ＝b
(1)利润＝售价－成本；
利润
(2)利润率＝ ×100％；
利润 成本
问题 b
(3)每每问题：单价每涨a元，少卖b件.若涨价y元，则少卖的数量为
a
·y件
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面积
问题 S ＝(a－2x) S ＝(a－x)
阴影 阴影
S ＝(a－x)(b－x)
阴影
(b－2x) (b－x)
练考点
1. 若关于x的方程(k－3)x2－8x－10＝0是一元二次方程，则k的取值范围是
.
2. 解方程：x2－3x＋2＝0.
3. 一元二次方程x2－x＋4＝0的根的情况为( )
A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根
D. 没有实数根
4. 关于x的一元二次方程x2－mx＋3＝0的一个根是1，则该方程的另一个根为
.
5. 为了满足师生的阅读需求，某校园图书馆的藏书从2022年至2024年两年内
由5万册增加到7.2万册，则这两年藏书的年平均增长率为 .
6. 某商场销售某种冰箱，每台进货价为2 500元.调查发现，当销售价为2 900元
时，平均每天能售出8台.调查发现，若销售价每降低50元，则平均每天能多售
出4台.
(1)若销售价降低1元，则平均每天能多售出 台；
(2)已知商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5 000元，设每台冰箱降
价x元，可列方程为 .
高频考点
考点1 一元二次方程及其解法(6年4考)
例1 (人教九上习题改编)用适当的方法解下列方程：
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(1)5(x－3)2＝45； (2)x2＋4x＝12；
(3) x2－4x＋3＝0； (4)x2＋3x＋1＝0.
变式1 (2024东莞一模改编)用配方法解一元二次方程3x2＋6x－1＝0时，将它
化为(x＋a)2＝b的形式，则a＋b的值为( )
10 7 4
A. B. C. 2 D.
3 3 3
考点2 一元二次方程根的判别式(2024.13)
例2 已知关于x的一元二次方程(k－2)x2＋4x－1＝0，请回答下列问题：
(1)若原方程有实数根，则k的取值范围是 ；
(2)若原方程有两个相等的实数根，则k的取值范围是 ；
(3)若原方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ；
(4)若原方程没有实数根，则k的取值范围是 .
易错警示
本题容易出现的错误是忽略“一元二次方程中二次项的系数不等于0”这个条件.
变式2 若方程(x－1)2＝m＋2无实数根，则m的取值范围为( )
A. m＜－2 B. m≤－2 C. m＞－2 D. m＞－2且m≠0
变式3 (2023广州)已知关于x的方程x2－(2k－2)x＋k2－1＝0有两个实数根，
则√(k－1)2－(√2－k)2的化简结果是( )
A. －1 B. 1 C. －1－2k D. 2k－3
考点3 一元二次方程的根与系数的关系(2019.9)
例3 (人教九上习题改编)设x ，x 是方程x2－6x＋2＝0的两个实数根，则：
1 2
1 1
(1) ＋ ＝ ；
x x
1 2
(2)x2＋x2＝ ；
1 2
(3)x2x ＋x x2＝ .
1 2 1 2
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变式4 (2024佛山二模)若一个关于x的一元二次方程的两根互为相反数，请你
写出一个满足条件的方程： .
考点4 一元二次方程的实际应用
例4 根据市场需求，某公司的业务规模快速扩大，如图是该公司用来生产一
种无盖长方体容器的矩形原料，该矩形原料的长为20 cm，宽为16 cm.
(1)随着技术逐年更新，该矩形原料的成本不断下降，前年一张矩形原料的成本
是50元，今年一张矩形原料的成本是32元，求这种矩形原料成本的年平均下降
率；
例4题图
(2) 将该矩形原料的四角剪去四个相同的小正方形，然后把剩余部分(阴影部分)
沿虚线折起可做成一个无盖长方体容器.若该无盖长方体容器的底面积为140
cm2，求剪去的小正方形的边长；
(3) 若该无盖长方体容器的成本是50元/个，如果以100元/个销售，每天可以售
出200个，为尽可能大地让利购买者，同时减少产品库存积压，公司决定降低
售价，市场调查发现销售单价每降低1元，销售数量就增加20个，则当该公司
将销售单价定为多少元时，每天的销售利润为16 000元？
真题及变式
命题点1 一元二次方程及其解法(6年4考)
1. (2022广东14题3分)若x＝1是方程x2－2x＋a＝0的根，则a＝ .
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2. (2021广东14题4分)若一元二次方程x2＋bx＋c＝0(b，c为常数)的两根x ，x
1 2
满足－3＜x ＜－1，1＜x ＜3，则符合条件的一个方程为 .
1 2
命题点2 一元二次方程根的判别式(2024.13)
3. (2024广东13题3分)若关于x的一元二次方程x2＋2x＋c＝0有两个相等的实
数根，则c＝ .
命题点3 一元二次方程根与系数的关系(2019.9)
4. (2019广东9题3分)已知x ，x 是一元二次方程x2－2x＝0的两个实数根，下
1 2
列结论错误的是( )
A. x ≠x B. x2－2x ＝0 C. x ＋x ＝2 D. x ·x ＝2
1 2 1 1 1 2 1 2
4.1 变思维——结合两根关系求系数
1 1
(2024乐山改编)若关于x的一元二次方程x2－2x＋p＝0两根为x ，x ，且 ＋
1 2 x x
1 2
＝3，则P的值为( )
2 2
A. － B.
3 3
C. －6 D. 6
新考法
5. [数学文化] 我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“圆中方形”问题：
“今有圆田一段，中间有个方池.丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有
数，每边三步无疑.内方圆径若能知，堪作算中第一.”其大意为：有一块圆形的
田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好72平方步，
从水池边到圆周，每边相距3步远.如果你能求出正方形边长和圆的直径，那么
你的计算水平就是第一了.如图，设正方形的边长是x步，则列出的方程是
.
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第5题图
6. [综合与实践]
【主题】探究日历中的奥秘.
【素材】2024年10月1日是我国成立75周年纪念日，本月日历如图所示.
步骤一：在本月的日历表上可以用一个方框圈出4个数(如图所示)；
步骤二：设这四个数从小到大依次为a，b，c， C.
【观察】小方框中的4个数a，b，c，d，总存在着某种数量关系.
【猜想与应用】(1)请用含a的式子表示b，c，d；
(2)若圈出的4个数中，最小数与最大数的乘积为128，求这个最大数.
第6题图
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考点精讲
－b±√b2－4ac
①2 ②≠ ③x＝ ④＜ ⑤≥
2a
⑥a(1＋m)2 ⑦a(1－m)2
练考点
1. k≠3
2. 解：Δ＝b2－4ac＝(－3)2－4×1×2＝1，
3+√1 3－√1
∴x＝ 或x＝ ，
2 2
∴x＝2或x＝1；
一题多解法
(x－1)(x－2)＝0，
x－1＝0或x－2＝0，
解得x＝1或x＝2.
3. D 【解析】∵a＝1，b＝－1，c＝4，∴Δ＝b2－4ac＝(－1)2－4×1×4＝－15＜
0，∴方程没有实数根.
c
4. 3 【解析】∵a＝1，c＝3，且x ·x ＝ ，由题可知，x ＝1，∴x ＝3，即另一
1 2 a 1 2
个根为3.
5. 20％
2 2x
6. (1) ；(2)(2 900－x－2 500)(8＋ )＝5 000
25 25
高频考点
例1 解：(1)等式两边同除以5，得(x－3)2＝9，
开平方，得x－3＝±3，
解得x ＝6，x ＝0；
1 2
(2)等式两边同加上4，得x2＋4x＋4＝16，
即(x＋2)2＝16，
∴x＋2＝±4，
∴x ＝2，x ＝－6；
1 2
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(3)原方程可变形为(x－3)(x－1)＝0，
∴x－3＝0或x－1＝0，
∴x ＝3，x ＝1；
1 2
(4)∵a＝1，b＝3，c＝1，
∴Δ＝b2－4ac＝32－4×1×1＝5，
－b±√b2－4ac －3±√5
∴x＝ ＝ ，
2a 2
－3+√5 －3－√5
∴x ＝ ，x ＝ .
1 2 2 2
1
变式1 B 【解析】∵3x2＋6x－1＝0，∴3x2＋6x＝1，x2＋2x＝ ，则x2＋2x＋
3
1 4 4 7
1＝ ＋1，即(x＋1)2＝ ，∴a＝1，b＝ ，∴a＋b＝ .
3 3 3 3
例2 (1)k≥－2且k≠2 【解析】由题意得，42－4×(k－2)×(－1)≥0，且k－2≠0，
解得k≥－2且k≠2.
(2)k＝－2 【解析】由题意得，42－4×(k－2)×(－1)＝0，且k－2≠0，解得k＝－
2.
(3)k＞－2且k≠2 【解析】由题意得，42－4×(k－2)×(－1)＞0，且k－2≠0，解
得k＞－2且k≠2.
(4)k＜－2 【解析】由题意得，42－4×(k－2)×(－1)＜0，且k－2≠0，解得k＜－
2.
变式2 A 【解析】∵方程(x－1)2＝m＋2无实数根，∴m＋2＜0，∴m＜－2.
变式3 A 【解析】∵关于x的方程x2－(2k－2)x＋k2－1＝0有两个实数根，
∴Δ＝[－(2k－2)]2－4×1×(k2－1)≥0，整理得－8k＋8≥0，∴k≤1，∴k－1≤0，2－k
＞0，∴√(k－1)2－(√2－k)2＝－(k－1)－(2－k)＝－1.
b c 1
例3 (1)3 【解析】∵x2－6x＋2＝0，∴x ＋x ＝－ ＝6，x x ＝ ＝2，∴ ＋
1 2 a 1 2 a x
1
1 x ＋x
＝ 2 1＝3.
x x x
2 1 2
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(2)32 【解析】由(1)得x ＋x ＝6，x x ＝2，∴x2＋x2＝(x ＋x )2－2x x ＝36－4
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
＝32.
(3)12 【解析】由(1)得x ＋x ＝6，x x ＝2，∴x2x ＋x x2＝x x (x ＋x )＝2×6＝12.
1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2
变式4 x2－4＝0(答案不唯一) 【解析】设所求方程式x2＋bx＋c＝0，∵方程
b c
的两根互为相反数，∴－ ＝－b＝x ＋x ＝0， ＝c＝x ·x ＜0，∴所求方程为x2
a 1 2 a 1 2
＋c＝0(c＜0)，∴满足条件的方程可以为x2－4＝0(答案不唯一).
例4 解：(1)设这种矩形原料成本的年平均下降率为x，
由题意得50(1－x)2＝32，
解得x ＝1.8(舍去)，x ＝0.2＝20％.
1 2
答：这种矩形原料成本的年平均下降率为20％；
(2)设剪去的小正方形的边长是x cm，则长方体容器底面的长为(20－2x) cm，宽
为(16－2x) cm，
由题意得(20－2x)(16－2x)＝140，
解得x ＝3，x ＝15，
1 2
∵当x＝15时，16－2x＜0，∴x＝15不符合题意，舍去，
答：剪去的小正方形的边长为3 cm；
(3)设该公司将销售单价定为x元，
由题意得(x－50)[200＋20(100－x)]＝16 000，
整理，得x2－160x＋6 300＝0，
解得x ＝70，x ＝90.
1 2
∵要尽可能大地让利购买者，同时减少产品库存积压，
∴x＝70.
答：当该公司将销售单价定为70元时，每天的销售利润为16 000元.
真题及变式
1. 1 【解析】将x＝1代入方程x2－2x＋a＝0中，得1－2＋a＝0，解得a＝1.
2. x2－4＝0(答案不唯一) 【解析】设x ＝－2，x ＝2，∴(x＋2)(x－2)＝0，即
1 2
x2－4＝0.
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3. 1 【解析】∵关于x的一元二次方程x2＋2x＋c＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝22－4c＝0，解得c＝1.
4. D 【解析】由x2－2x＝0得x ＝0，x ＝2，则x ≠x ；无论x 为0或2时，均
1 2 1 2 1
满足x2－2x ＝0；x ＋x ＝0＋2＝2；x ·x ＝0×2＝0，从而可判断选项A，B，C正
1 1 1 2 1 2
确，选项D错误.
变式4.1 B 【解析】∵x ，x 为一元二次方程x2－2x＋p＝0的两个根，∴x ＋
1 2 1
1 1 x ＋x 2 2
x ＝2，x x ＝p，∴ ＋ ＝ 1 2＝ ＝3，解得p＝ .
2 1 2 x x x ·x p 3
1 2 1 2
x x
5. π( ＋3)2－x2＝72 【解析】由题图易得，圆的直径为x＋6，半径则为 ＋3，
2 2
x x
圆的面积为π( ＋3)2，可得方程是π( ＋3)2－x2＝72.
2 2
6. 解：(1)b＝a＋1，c＝a＋7，d＝a＋8；
(2)依题意，得ad＝128，
∴a(a＋8)＝128，
整理得a2＋8a－128＝0，解得a ＝8，a ＝－16(不合题意，舍去)，
1 2
∴d＝8＋8＝16，
即这个最大数为16.
11 第 11 页 共 11 页
