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判断二次函数与 a、b、c 的关系
方法突破练
1.根据二次函数 y=ax²+bx+c(a≠0)的图象填空：
(1)
a 0,
b 0,
c 0,
b²−4ac 0
(2)
a 0,
c 0,
c 0,
b²−4ac 0
一元二次方程 ax²+bx+c=0有 的实数根；
(3) a 0,
c 0,
c 0,
b²−4ac 0
一元二次方程 ax²+bx+c=0有 个实数根；
(4)
a 0,
c 0,
c 0,
b²-4ac 0;
(4)
a 0,
b 0,
c 0,
b²-4ac 0;
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b
− 0,一元二次方程 ax²+bx+c=0有 的实数根.
2a
2.二次函数 y=ax²+bx+c(a≠0)的图象如图所示，点 A(a,a+b+c)在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.二次函数 y=ax²+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论：
①a+b+c=0;②4a+2b+c>0;③4a-2b+c>0;④2a+b=0,其中正确的结论是 ( )
A. ①② B. ②③
C. ②④ D. ③④
4.二次函数 y=ax²+bx+c(a≠0)的图象如图所示，若 P=a−b+c, Q=9a+3b+c,,则 P Q(填“>”“<”或
“=”).
5.如图，二次函数 y=ax²+bx+c(a≠0)的图象经过点(1，0)，其对称轴为直线l，若
M=a+b−c,N=2a−b,P=a+c,则在M,N,P中,值小于0的有 个.
设问进阶练
例 已知抛物线 y=ax²+bx+c(a≠0)的一部分如图所示，图象经过点 (−1,0),，其对称轴为直线： x=1..判
断下列结论的正误(正确的打“✔”,错误的打“×”)
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①abc<0 ( )
②b²−4ac=0 ( )
③y的最大值为a+b+c ( )
④4a+2b+c<0 ( )
⑤9a+3b+c=0 ( )
a 1
⑥ >− ( )
c 3
⑦8a+c<0 ( )
⑧若抛物线经过点( (−3,n),，则关于x的一元二次方程 ax²+bx+c −n=0(a≠0)的两根分别为 −3,5
( )
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综合强化练
1.已知二次函数 y=ax²+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则一次函数 y=ax+a−b+c(a≠0)和反比例函数
c
y=−
的图象在同一坐标系中大致为 ( )
x
2.抛物线 y=ax²+bx+c(a,b,c为常数且 a≠0)开口向下且过点. A(−1,0),B(m,0)(20;②4a+b>0;③a(1-m)+b+c>0;④若方程e a(x−m)(x+1)−1=0)有两个不相等的实数根，则 4ac−b²<4a.
其中正确结论的个数是 ( )
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
3.如图，抛物线 y=ax²+bx+c(a≠0)的顶点在直线 y=kx+c上，对称轴为直线. x=1,，下列结论：
①abc>0;②3a+c<0;③a=-k;
④创新题·绝对值方程的根若方程| |ax²+bx+c|=m(m≥0,m为常数)有四个根，分别为x₁ x₁,x₂,x₃,x₄,则
x₁+x₂+x₃+x₄=4.其中正确的结论是 ( )
A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③④
4.抛物线 y=ax²+bx+c(a≠0)的对称轴是直线x=1，且过点(-1，0)，其图象如图所示，给出以下结论:①ab<0
且c<0;②4a-2b+c>0;③24a+c<0;④c=3a+3b;⑤直线y=2x+2 与抛物线 y=ax²+bx+c 两个交点的横坐标分别为x₁,x₂,则.
x₁+x₂+x₁x₂=5.其中正确的结论是 ( )
A. ①③⑤ B. ①②④ C. ②④⑤ D. ②③④
5.已知二次函数 y=ax²+bx+c(a≠0)的图象如图所示，有下列结论：①abc>0;②b²-4ac≥0;③2a+c=-1;④不等
式 ax²+(b+1)x+c>−1的解集为x<-2,x>1,其中正确的结论个数是 ( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
6.已知二次函数 y=ax²+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的y与x的部分对应值如下表：
x -1 0 1 2 3
y 3 0 -1 0 3
则下列结论：①该二次函数图象的顶点坐标为((1,-1);②ab>0;③a-b+c>0;④若点(-2,y₁),点 (4,y₂)在二次函数图
象上，则 y₁,>,<,>;
(2)>,<,>,=,两个相等;
(3)<,>,<,<,0;
(4)<,=,>,>;
(5)>,>,=,>,两个不相等.
2. D 【解析】由图象可知抛物线开口向上，a>0，∵ 当x=1时,y=a+b+c,根据图象可判断,当x=1时,y<0,即
a+b+c<0,∴点A(a,a+b+c)在第四象限.
3. C 【解析】①当x=1时,y=a+b+c,观察图象可知,此时y>0,即a+b+c>0,∴①错误;②当x=2
时,y=4a+2b+c,观察图象可知,此时y>0,即4a+2b+c>0,∴②正确;③当x=-2时,y=4a-2b+c,观察图象可知,此时
y<0,即4a-2b+c<0,∴③错误;④∵-b/a=1,∴b=-2a,∴2a+b=0,∴④正确.综上，正确的结论是②④.
4. > 【解析】∵ 当x=-1时,y=a-b+c,当x=3时,y=9a+3b+c,观察图象可知，抛物线开口向上，且
( b ) b
3− − <− −(−1),∴a−b+c>9a+3b+c,∴P>Q.
2a 2a
5. 2 【解析】∵ 二次函数 y=ax²+bx+c(a≠0)的图象经过点(1,0),∴a+b+c=0,∴a+b=-c,又∵抛物线与y轴交
b
于正半轴,∴c>0,∴a+b-c=-2c<0,故 M<0；∵抛物线开口向下，
∴a<0,∵− >−1,∴2a−b<
0,故N<0;∵
2a
a<0,对称轴在 y轴左侧,∴a,b同号,∴b<0,∵a+b+c=0,∴a+c=-b>0,∴P>0,综上所述M<0,N<0,P>0.
二阶 设问进阶练
例 ①✔,②×,③✔,④×,⑤✔,⑥×,⑦✔,⑧✔
【解析】审题后，先根据题干结合抛物线判断a，b，c的符号，∵抛物线的开口向下，∴a<0.∵ 抛物线与y轴
b
的正半轴相交，∴c>0.∵ 抛物线的对称轴为直线
x=1,∴− =1,∴b=−2a,∴b>0.·抛物线经过点(-1,0),∴a-
2a
b+c=0.①∵a<0,b>0,c>0,∴abc< 0，故①正确；②观察题图，抛物线与x轴有交点，且一定有2个交点，
∴b²−4ac>0,故②错误;③∵a<0，∴该抛物线有最大值，∵ 抛物线的对称轴为直线x=1,∴当x=1时,y=a+b+c,∴y
的最大值为a+b+c,故③正确;④∵该抛物线经过点(-1,0),其对称轴为直线x=1，∴该抛物线与x轴的另一个交点为
(3,0),∴当x=2时,y=4a+2b+c>0,故④错误;⑤由④得该抛物线与x轴的另一个交点为(3，0)，∴9a+3b+c=0 ,故⑤
正确;⑥当x=-1时,y=a-b+c=0,∵b=-2a,∴3a+c=0,∴a=-¹/₃,故⑥错误;⑦由⑥得
3a+c=0,∴8a+c=3a+c+5a=5a<0,故⑦正确；⑧∵抛物线经过点(-3，n)，其对称轴为直线x=1,∴根据对称性,抛物
线必经过点(5,n),∴当y=n时,x=-3或5 5.:y=ax²+bx+c(a≠0),∴联立 y=ax²+bx+c(a≠0))与y=n,解得x=-3
或x=5,即关于x的一元二次方程 ax²+bx+c−n=0(a≠0)的两根分别为-3,5,故⑧正确..
三阶 综合强化练
c
1. B 【解析】∵ 二次函数的图象开口向上,∴a>0，∵抛物线与y轴交于负半轴，∴c<0，∴反比例函数
y=−
x
的图象在第一、三象限，当x=-1时，y<0,∴a-b+c<0,∴一次函数y=ax+a-b+c的图象经过第一、三、四象限，
故B 正确.
2. B 【解析】根据题意得a-b+c=0,∴b=a+c,当x=1时,有a+b+c>0,∴a+(a+c)+c>0,∴a+c>0,∴①正确;当
x=3时,有9a+3b+c<0,∵a+b+c>0,∴8a+2b<0,∴4a+b<0,∴②错误;∵ 抛物线开口向
下,∴a<0,∵20,∴am0,∴③正确;若方程
a(x-m)(x+1)-1=0有两个不相等的实数根,即a(x-m)(x+1)=1有两个不相等的实数根，∴ 抛物线顶点的纵坐标
4ac−b2
>1,∵a<0,： 4ac−b²<4a,∴.④正确.综上，正确的结论有3个.
4a
b
3. B 【解析】①∵抛物线开口向上,∴a>0,∵ 抛物线的对称轴为直线
x=− =1,∴b=−2a<0,∵抛物线与y
2a
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轴交于负半轴,∴c<0,∴abc>0,①正确;②∵点(3,0)与(-1,0)关于对称轴直线x=1对称,∴x=3时,y>0,即
9a+3b+c>0,∵b=-2a,∴3a+c>0,②错误;③当x=1时,y=a+b+c=a-2a+c=-a+c,∴抛物线的顶点坐标为(1,-a+c),把
(1,-a+c)代入y=kx+c,得-a+c=k+c,∴a=-k,③正确;( ④:|ax²+bx+c|= m,∴ax²+bx+c=±m,设
b
ax²+bx+c=m的根为x₁, x₂,ax²+bx+c=−m的根为x₃,x₄,.则 x
1
+x
2
=−
a
=2,
b
x +x =− =2,∴x +x +x +x =4,.④正确，综上，正确的结论是①③④.
3 4 a 1 2 3 4
4. B 【解析】∵ 抛物线对称轴为直线x=1,经过(-1,0),∴ b /₂₈=1,a-
b+c=0,∴b=-2a,c=-3a,∵a>0,∴b<0,c<0,∴ab<0且c<0,故①正确;当x=-2时,有4a-2b+c>0,故②正确;∵抛物线与
x轴交于点(-1,0),∴x=-4时,y>0,∴16a-4b+c>0,∵b=-2a,∴16a+8a+c>0,即24a+c>0,故③错
误;∵c=-3a=3a-6a,b=-2a,∴c=3a+3b,故④正确;由两个未知数的乘积、和，必然想到一元二次方程根与系数的关
系，∵直线y=2x+2 与抛物线 y=ax²+bx+c两个交点的横坐标分别为x₁，x₂，∴方程 ax²+(b−2)x+c-2=0的
b−2 c−2 b−2 c−2 −2a−2 −3a−2
两个根分别为 x ,x ,∴x +x =− ,x . x = ,∴x +x +x x =− + =− +
1 2 1 2 a 1 2 a 1 2 1 2 a a a a
=-1,故⑤错误.综上,正确的结论是①②④.
b
5. B 【解析】①∵抛物线开口向下,∴a<0,∵ 抛物线对称轴在y轴左侧， ∴− <0,∴b<0,∵抛物线与y轴交
2a
于正半轴,∴c>0,∴abc>0,故①正确;②由图象可知，抛物线与x轴有2个交点，. ∴b²−4ac>0,故②错误;③由图象
可知抛物线过点(1,-2),(-2,1),即当x=1时,y=a+b+c=-2,当x=-2时,y=4a-2b+c=1,∴6a+3c=-3,∴2a+c=-1,故③
正确;④∵点(-2,1),(1,-2)在直线y=-x-1上,由图象可知,当-2−1的解集为-20,b<0,∴ab<0,故②错误;由表格可知,当x=-1时,y=a-
b+c=3>0,故③正确;∵点(-2,y₁)到对称轴的距离等于点(4，y₂)到对称轴的距离，∴ y₁= y₂,,故④错误;∵图象经过
(3,3)和(-1,3)两个点，∴方程 ax²+bx+c=3有两个不相等的实数根，故⑤错误.综上，正确的结论是①③.
7
