常州市2025-2026学年第一学期高三期末质量调研数学+答案_全国高考模拟卷_2026年2月_260201常州市2025-2026学年第一学期高三期末质量调研（全科）

高三数学 第 1 页 （共 4 页） {#{QQABLYCwogCYkITACZhLAQmcCQmYsBOgJKgMAUCYqAYKQAFABAA=}#}高三数学 第 2 页 （共 4 页） {#{QQABLYCwogCYkITACZhLAQmcCQmYsBOgJKgMAUCYqAYKQAFABAA=}#}高三数学 第 3 页 （共 4 页） {#{QQABLYCwogCYkITACZhLAQmcCQmYsBOgJKgMAUCYqAYKQAFABAA=}#}高三数学 第 4 页 （共 4 页） {#{QQABLYCwogCYkITACZhLAQmcCQmYsBOgJKgMAUCYqAYKQAFABAA=}#}常州市 2025—2026 学年第一学期高三期末质量调研 数学（参考答案） 一、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. C 2．B 3．B 4．A 5．D 6．A 7．B 8．C 二、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9．ABD 10．AD 11．BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 5 13． [ 3 ， 7 ] 8 2 4 23 14． ＜ a ＜ 25 23 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15．解：（1）取PA中点M，连结ME，MB，三角形PAD中，ME为中点， 所以 M E A D ， M E = 1 2 A D ，又因为 B C A D ， B C = 1 2 A D ， 所以ME BC， M E = B C ，所以四边形MBCE为平行四边形， 所以 E C M B ，又因为 M B  平面PAB，EC平面PAB， 所以 E C 平面PAB． ……………6分 （2）取AD中点N，连结AC，NC， A N B C ， A N = B C ，  B A D = 9 0 ，所以四边形ABCN为矩形， 所以 C N = A B = 2 ，  C N D = 9 0 ， 所以 A C = C D = 2 2 ，又因为 A D = 4 ，则 A C 2 + C D 2 = A D 2 ， 所以ACD=90 ，即 A C ⊥ C D ． ……………9分 因为 P A ⊥ 平 面 A B C D ， A C ， C D  平 面 A B C D ， 所以 P A ⊥ A C ， P C ⊥ C D ， 所以PCA是二面角P−CD−A的大小的平面角，则  P C A = 4 5 ． ……………12分 所以PA= AC=2 2． ……………13分 16．解：（1）设数列 { a n } 的公差为d， { b n } 的公比为q， 则  a 2 + a 2 d ( a + 2 a + 2 2 + d 3 ) d = = b 2 2 q b 2 2， q ， d =1 ， 解得 q=2 ， 所以a =a +(n−2)d =n， n 2 b n = b 2 q n − 2 = 2 n − 1 ． ……………6分 （2）因为a b =n2n−1 ＞ 0，所以S =ab +a b + +a b 单调递增， n n n 1 1 2 2 n n 其中ab =828−1 =1024， 8 8 a 9 b 9 = 9  2 9 − 1 = 9  2 5 6 = 2 3 0 4 ， 所以当 n ≥ 9 P E M N D A C B 时，S ≥S 1024+23042026， n 9 又因为S =121−1+222−1+323−1+424−1+525−1+626−1+727−1+828−1 =1793， 8 所以，满足S 2026的最大正整数n为8． ……………15分 n {#{QQABLYCwogCYkITACZhLAQmcCQmYsBOgJKgMAUCYqAYKQAFABAA=}#}17．解：（1）X的可能取值为0，1，2，3，所以“1≤X≤3”与“ X = 0 ”互为对立事件， 所以 P (1 ≤ X ≤ 3 ) = 1 − P ( X = 0 ) = 1 − C C 1 0 1 71 0 2 0 = 1 − 2 1 0 0   1 9 9   8 1 8 = 1 − 1 2 9 = 1 1 7 9 ． ……………6分 C2C8 （2）“取出的10个产品中恰有2个不合格品”的概率P = n 20−n ． ……………8分 n C10 20 P nP + n 1 = C C 2 8 C n + 1 1 9 − n 1 0 C 2 0 2 8 C n 2 0 − n 1 0 C 2 0 = C C 2n +2n C1C 81 9 − n 82 0 − n = ( ( n n + − 1 1 ) (1 ) ( 2 2 0 − − n n ) ) ， 令(n+1)(12−n)−(n−1)(20−n) ＞ 0，得 n ＜ 3 .2 ， 所以当n=2或3时，P ＞ P ；当4≤n ≤ 12时， n+1 n P n + 1 ＜ P n ． ……………12分 所以当 n = 4 时，“取出的10个产品中恰有 2 C2C8 135 个不合格品”的概率的最大值为P = 4 16 = ． 4 C10 323 20 ……………15分 18．解：（1）设 C 1 的方程为 y 2 = 2 p x ( p  0 ) ， 因为 P ( 2 ， − 2 ) 到 C 1 的准线l的距离为3，所以 2 + p 2 = 3 ，所以 p = 2 ， 所以 C 1 的标准方程为 y 2 = 4 x ． ……………4分 （2）由题得C： (x−1)2 +(y+1)2 =2，C (1 ， −1)，设点A到OP的距离为 2 2 h A ， 1 则S = |OP|h = 2 h ，当且仅当 △OAP 2 A A Q A O P 时，h 最大，即S 最大， A △OAP 令Q的纵坐标为t，则 Q ( − 1 ， t ) ，直线QA的方程为 y − t = − ( x + 1 ) ，即 x + y + 1 − t = 0 ， 所以 | 1 − 2 t | = 2 ，所以 t = − 1 或3，即Q的纵坐标为−1或3． ……………9分 （3）设直线 li 的方程为x−2=t (y+2)， i  x − 2 y = 2 ti = ( 4 y x + ， 2 ) ， 得y2 −4t y−8t −8=0，所以 i i  y y i i y + B i y = B i − = 8 4 ti ， t i − 8 ， 则 y i y B i = − 8 y i + 4 y B i − 8 ，所以 y B i + 2 = y − i 4 + 2 ， A P PiB i = | | y P y B i − − y y i p | | = | | − y 2 B − + i y i2 | | = − y 2 B − + i y i2 = − 2 − y i − 4 + y 2 i = ( y i + 4 2 ) 2 ． ……………12分 AP AP 2AP (y +2)2 (y +2)2 2(y +2)2 1 1 + 3 − 2 = 1 + 3 − 2 = [y2 + y2 −2y2 +4(y + y −2y )]， PB PB PB 4 4 4 4 1 3 2 1 3 2 1 3 2 (y + y )2 (y −y )2 其中y + y −2y =0，y2 + y2 −2y2 = y2 + y2 − 1 3 = 1 3 0， 1 3 2 1 3 2 1 3 2 2 AP AP 2A P AP AP 2A P 所以 1 + 3 − 2 0，即 1 + 3  2 ． ……………17分 PB PB PB PB PB PB 1 3 2 1 3 2 {#{QQABLYCwogCYkITACZhLAQmcCQmYsBOgJKgMAUCYqAYKQAFABAA=}#}19．解：（1）当 a = e 时， f ( x ) = e x − x e ( x  0 ) ， f ( e ) = 0 ， f ( x ) = e x − e x e − 1 ， f ( e ) = e e − e e = 0 ， 所以 y − f ( e ) = f '( e ) ( x − e ) ，即 y = 0 ． ……………4分 （2）函数 f(x)=ax −xa =0(x0,a0)等价于 a x = x a ，则 x ln a = a ln x 即 ln x x = ln a a ， 令 g ( x ) = ln x x ( x  0 ) ，则转化为 g ( x ) = ln a a 的解的个数， g '( x ) = 1 − x ln 2 x ， 当0xe时， g '( x )  0 ， g ( x ) 单调递增；当xe时， g '( x )  0 ， g ( x ) 单调递减． 1 则g(x)在x=e处取得极大值，也是最大值g(e)= ， e 当0x1时， g ( x )  g (1 ) = 0 ；当x1， 0  g ( x )  1 e ． 当a=e时， g ( x ) = 1 e ，解得 x = e ，1个零点； 当 0  a  1 时， ln a a  0 ， g ( x ) 与 y = ln a a 有1个交点，此时1个零点； 当 1  a  e 时， 0  ln a a  1 e ， g ( x ) 与 y = ln a a 有2个交点，此时2个零点； 当ae时， 0  ln a a  1 e ， g ( x ) 与 y = ln a a 有2个交点，此时2个零点； 综上，当 a = e 或 0  a  1 时，1个零点；当 1  a  e 或 a  e 时，2个零点． ……………9分 （3） f ( a x )  x − a a x 恒成立  aax x恒成立． 当 0a1 时， a 1a  1 ，不符合题意； 当a1时， a a x  x  ax log x，因为曲线y=ax与 a y = lo g a x 关于直线 y = x 对称， 所以 a x  lo g a x  a x  x ． ……………12分 令 h ( x ) = a x − x ， h ( x ) = a x ln a − 1 ， 令h(x )=0， 0 x 0 = − ln ( ln ln a a ) ，又因为h(x)单调递增， 所以当 0  x  x 0 时， h  ( x )  0 ， h ( x ) 单调递减； 当 x x 时， 0 h  ( x )  0 ， h ( x ) 单调递增． 所以 x = x 0 时， h ( x ) 取极小值点，也是最小值， 所以h(x)的最小值为 h ( x 0 ) = a x0 − x 0 = 1 ln a + ln ( ln ln a a ) = 1 + ln ln ( ln a a ) ，其中 a  1 ， 由 h ( x 0 )  0 ，得 1 + ln ( ln a )  0 ，即 ln ( ln a )  − 1 1 ，所以aee ． 1 综上可得，所以a的取值范围是(ee,+)． ……………17分 {#{QQABLYCwogCYkITACZhLAQmcCQmYsBOgJKgMAUCYqAYKQAFABAA=}#}