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专题 07 一元二次方程
考点 1 一元二次方程
一、单选题
1．（2021·青海西宁·统考中考真题）某市严格落实国家节水政策，2018年用水总量为6.5亿立方米，2020
年用水总量为5.265亿立方米．设该市用水总量的年平均降低率是x，那么x满足的方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023年天津市中考数学真题）若 是方程 的两个根，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2023年内蒙古赤峰市中考数学真题）用配方法解方程 时，配方后正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023年内蒙古赤峰市中考数学真题）已知 ，则 的值是（ ）
A．6 B． C． D．4
5．（2020·四川巴中·统考中考真题）关于x的一元二次方程x2+（2a﹣3）x+a2+1＝0有两个实数根，则a
的最大整数解是（ ）
A．1 B． C． D．0
6．（2022·西藏·统考中考真题）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣3＝0有实数根，则m的取值
范围是（ ）
A．m≥ B．m＜ C．m＞ 且m≠1 D．m≥ 且m≠1
7．（2023年北京市中考数学真题）若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则实数
的值为（ ）
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A． B． C． D．9
8．（2023年吉林省中考数学真题）一元二次方程 根的判别式的值是（ ）
A．33 B．23 C．17 D．
9．（2023年河南省中考数学真题）关于x的一元二次方程 的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
10．（2023年上海市中考数学真题）在分式方程 中，设 ，可得到关于y的整式
方程为（ ）
A． B． C． D．
11．（2023·重庆九龙坡·重庆市育才中学校考三模）电影《长津湖》于2021年9月30日在中国大陆上映．
某地第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达7亿元，若把增长
率记作x，则方程可以列为（ ）
A． B．
C． D．
12．（2020·广西贵港·中考真题）一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
13．（2023年湖北省武汉市数学真题）已知 ，计算 的值是（ ）
A．1 B． C．2 D．
二、填空题
14．（2021·山东德州·中考真题）方程x2=4x的解 ．
15．（2020·四川阿坝·中考真题）若m2﹣2m﹣1=0，则代数式2m2﹣4m+3的值为 ．
16．（2019·青海·统考中考真题）某种药品原价每盒 元，由于医疗政策改革，价格经过两次下调后现在
售价每盒 元，则平均每次下调的百分率为 ．
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17．（2021·四川内江·统考中考真题）若关于x的一元二次方程ax2+4x﹣2＝0有实数根，则a的取值范围
为 ．
18．（2022·辽宁锦州·统考中考真题）若关于x的一元二次方程x2+3x+k=0有两个不相等的实数根，则k的
取值范围是 ．
19．（2022·江苏镇江·统考中考真题）已知关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则
．
20．（2022·江苏徐州·统考中考真题）若一元二次方程x2＋x－c＝0没有实数根，则c的取值范围是
．
21．（2023年山东省枣庄市中考数学真题）若 是关x的方程 的解，则 的值为
．
22．（2023年辽宁省营口市中考数学真题）若关于x的方程 的一个根是3，则此方程的另一
个根是 ．
23．（2023年内蒙古包头市中考数学真题）若 是一元二次方程 的两个实数根，则
．
24．（2020·山东济南·中考真题）如图，在一块长15m、宽10m的矩形空地上，修建两条同样宽的相互垂
直的道路，剩余分栽种花草，要使绿化面积为126m2，则修建的路宽应为 米．
25．（2022·四川巴中·统考中考真题） 、 是关于 的方程 的两个实数根，且
，则 的值为 ．
26．（2023年内蒙古赤峰市中考数学真题）方程 的解为 ．
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三、解答题
27．（2021·甘肃兰州·统考中考真题）解方程：x2+4x﹣1=0．
28．（2023年浙江省杭州市中考数学真题）设一元二次方程 ．在下面的四组条件中选择其中
一组 的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程．
① ；② ；③ ；④ ．
注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分．
29．（2019·贵州安顺·统考中考真题）安顺市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千
克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量 （千克）与
每千克降价 （元） 之间满足一次函数关系，其图象如图所示：
（1）求 与 之间的函数关系式；
（2）商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价多少元？
30．（2023·河南周口·统考二模）已知 和 是方程 的两个根，则代数式 的值是
（ ）
A． B． C． D．
31．（2023·浙江·一模）已知二次方程 的两根为 和5，则对于二次函数 ，下
列叙述正确的是（ ）
A．当 时，函数的最大值是9． B．当 时，函数的最大值是9．
C．当 时，函数的最小值是 ． D．当 时，函数的最小值是 ．
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32．（2023·宁夏银川·校考二模）已知二次函数 与x轴有交点，则k的取值范围 ．
33．（2023·江苏苏州·苏州市第十六中学校考二模）关于 的一元二次方程 有两个实数
根，则实数 的取值范围是 ．
34．（2023·重庆九龙坡·重庆市育才中学校考三模）电影《长津湖》于2021年9月30日在中国大陆上映．
某地第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达7亿元，若把增长
率记作x，则方程可以列为（ ）
A． B．
C． D．
35．（2023·辽宁·校联考三模）从1、2、3、4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为 、 ，则关于
的一元二次方程 有实数解的概率为（ ）
A． B． C． D．
36．（2023·辽宁营口·校考三模）新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱．2020年某款新能源汽车
销售量为15万辆，销售量逐年增加，2022年预估当年销售量为21.6万辆，求这款新能源汽车的年平均增
长率是多少？可设年平均增长率为x，根据题意可列方程 ．
37．（2015年初中毕业升学考试（广东卷）数学（带解析））解方程： ．
38．（2023·山东东营·东营市胜利第一初级中学校考三模）某公司2月份销售新上市的A产品20套，由于
该产品的经济适用性，销量快速上升，4月份该公司销售A产品达到45套，并且2月到3月和3月到4月
两次的增长率相同．
(1)求该公司销售A产品每次的增长率；
(2)若A产品每套盈利2万元，则平均每月可售30套，为了尽量减少库存，该公司决定采取适当的降价措
施，经调查发现，A产品每套每降 万元，公司平均每月可多售出20套；若该公司在5月份要获利70万
元，则每套A产品需降价多少？
39．（2023·山西大同·校联考三模）阅读与思考
下面是小宇同学整理的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务．
求 （n为正整数）方法欣赏
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在学习一元二次方程时，数学老师组织同学们进行了一次数学活动“三角形点阵中前n行的点数计算”．
老师给出了提示： ．课后我们小组收集了“求 （n
为正整数）的值”这个问题的两种解法，供大家欣赏．
方法1：“头尾相加法”
把式子的加数顺序倒过来写在原始式子的下面，上下的加数加起来再除以2．
．
可得 ．即：
方法2：“递归法”（设 ）．
由完全平方公式可得 ，∴ ．
我们列出特殊情况： ；
；
；
…
．
两边分别相加可得， ．
∴ ．
任务：
(1)计算： ；
(2)我们知道： ； ； ；…；则 ；
(3)数学趣题解答：阿拉伯数学著作《算术之钥》书中，记载着一道颇受阿拉伯人喜爱的数学题：“一群人
走进果园去摘石榴，第一个人摘了1个石榴，第二个人摘了2个石榴，第三个人摘了3个石榴，以此类推，
后进果园的人都比前面那个人多摘一个石榴，这群人刚好把果园的石榴全部摘下来了，如果平均分配，每
个人可以得到6个石榴，问这群人共有多少人？”
40．（2023·浙江·一模）在平面直角坐标系中，当 和 时，二次函数 （ ， 是常
数， ）的函数值相等．
(1)若该函数的最大值为 ，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标；
(2)若该函数的图象与 轴有且只有一个交点，求 ， 的值．
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(3)记（2）中的抛物线为 ，将抛物线 向上平移 个单位得到抛物线 ，当 时，抛物线 的
最大值与最小值之差为 ，求 的值．
41．（2023·四川宜宾·统考三模）定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条
弦相等，我们把这个圆叫作“等弦圆”，现在有一个斜边长为2的等腰直角三角形，当等弦圆最大时，这
个圆的半径为 ．
42.（2023·广东广州·广州市真光中学校考二模）如图，双曲线 与直线 交于点 、
，与两坐标轴分别交于点 ，已知点 ，连接 ．
(1)求 的面积；
(2)作直线 ，将直线 向上平移 个单位后，与双曲线 有唯一交点，求 的值．
43．（2023·广东广州·广州市真光中学校考二模）如图，双曲线 与直线 交于点 、
，与两坐标轴分别交于点 ，已知点 ，连接 ．
(1)求 的面积；
(2)作直线 ，将直线 向上平移 个单位后，与双曲线 有唯一交点，求 的值．
44．（2023·山东临沂·统考二模）如图，正方形ABCD的边长为1，点E是边AB上一点，过点，E作
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EF//BC．
(1)设以线段AE，AD为邻边的矩形的面积为 ，以BE为边的正方形的面积为 ，且 ，求BE的长；
(2)连结AC，DE，若H是DE的中点， 交AC于点G，连结EG，求证： ．
8
