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专题 03 一元二次方程及其应用
模块一 考点类型
模块二 知识点一遍过
（一）一元二次方程
（1）一元二次方程定义及其一般式：①整式方程②未知数只有1个③未知数最高次二次④一般式
ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中ax2、bx、c分别叫做二次项、一次项、常数项，a、b、c分别称为二次
项系数、一次项系数、常数项．
（2）方程解的应用：将解代入方程，将已知代数式跟所求代数式建立联系，整体代入（整体思想）
（二）解一元二次方程
（1）直接开平方法：形如（x+m）2=n(n≥0)的方程，可直接开平方求解.
（2）因式分解法：可化为（ax+m）(bx+n)=0 的方程，用因式分解法求解；十字相乘法：
（3）公式法:一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0的求根公式为x= （b2－4ac≥0）.
（4）配方法：当一元二次方程的二次项系数为1，一次项系数为偶数时，也可以考虑用配方法．
（三）根的判别式（△）
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)的根的判别式为Δ＝ b 2 － 4a c.
（1）b2－4ac＞0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根．
（2）b2－4ac＝0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根．
（3）b2－4ac＜0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根．
（4）b2－4ac≥0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个实数根（有解）
（四）根与系数的关系（韦达定理）
（1）若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实数根是x ，x ，则x ＋x ＝ ，xx ＝ .
1 2 1 2 1 2
（结合完全平方公式的变形）
（2）使用一元二次方程的根与系数的关系时，一是要先将一元二次方程化为一般形式；二是方程的
解存在，即满足b2－4ac≥0.（五）一元二次方程实际应用
（1）解题步骤：①审题；②找等量关系；③设未知数；④列方程；⑤解方程；⑥检验；⑦写出答案．
（2）常考类型：①增长率问题：a（1±x）2=b，a 为起始时间的有关数量，b 为终止时间的有
关数量；②利润问题：总利润=单件商品利润×销量；③几何面积（通过平移的方式整合面
积）；④赛制问题：单循环（两两之间只相遇一次 ）与双循环（两两之间相遇两次
）
⑤传染问题：公式：（a+x）n=M其中a为传染源（一般a=1），n为传染轮数，M为最后得病总人
数
模块三 考点一遍过
考点1：一元二次方程——定义
典例1：下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
2 2
A．x− =1 B．x2−3x+1=0 C．x2−2y+4=0 D．x2+3=
x x
【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义
【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据“只含有一个未知数，且未知数的指数最高是2的整
式方程是一元二次方程”进行逐一判断即可．
2
【详解】解：A、∵x− =1不是整式方程，
x
∴不是一元二次方程，故不符合题意；
B、x2−3x+1=0是一元二次方程，故符合题意；
C、x2−2y+4=0含有两个未知数，不是一元二次方程，故不符合题意；
2
D、∵x2+3=
不是整式方程，
x
∴不是一元二次方程，故不符合题意；
故选：B．
【变式1】若(m−3)x|m−1|−x−5=0是关于x的一元二次方程，则m的值为 ．
【答案】−1
【知识点】一元二次方程的定义
【分析】本题考查一元二次方程，根据一元二次方程的定义，可知m−3≠0且|m−1|=2，由此即可
求得m的值．
【详解】解：由题意可知，m−3≠0且|m−1|=2，解|m−1|=2得m=3或m=−1，
∴m=−1，
故答案为：−1．
【变式2】若方程(m+3)xm2−7+(m−1)x−2=0是关于x的一元二次方程，则m=
．
【答案】3
【知识点】一元二次方程的定义
【分析】此题考查了一元二次方程的定义：未知数的最高次数是二次的整式方程，且二次项系数不
得为0，根据一元二次方程的定义得到m2−7=2且m+3≠0，求得m的值即可．
【详解】解：根据一元二次方程的定义，得m2−7=2且m+3≠0，
解得m=3，
故答案为：3
【变式3】关于x的方程(m−2)xm2−2+(m−1)x+6=0是一元二次方程，则m的值为
．
【答案】−2
【知识点】一元二次方程的定义
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整
式方程，然后看化简后是否只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．根据一元二次方程的定义
解答即可．
【详解】∵关于x的方程(m−2)xm2−2+(m−1)x+6=0是一元二次方程，
∴¿
解得m=−2，
故答案为：−2
【变式4】下列方程，是一元二次方程的是（ ）
1
A．2x2−5 y=0 B．3x+ =1 C．7x2+6=3x D．3x+2=0
x2
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解题时要注意两个方面：1、一元二次方程包括三点：①
是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2；2、一元二次方程的一般形
式是ax2+bx+c=0(a≠0)．根据一元二次方程的定义，即可求解．
【详解】A、2x2−5 y=0含有2个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；1
B、3x+ =1不是整式方程，则不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
x2
C、7x2+6=3x是一元二次方程，故本选项符合题意；
D、3x+2=0是一元一次方程，故本选项不符合题意；
故选：C ．
【变式5】如果方程(m−2)xm2−3m+4+2x=0是关于x的一元二次方程，那么m的值为（
）
A．1 B．2 C．1 和2 D．都不对
【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义、因式分解法解一元二次方程
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解一元二次方程，根据一元二次方程的定义得出
m−2≠0，m2−3m+4=2，求解即可，熟练掌握一元二次方程的定义是解此题的关键．
【详解】解：∵方程(m−2)xm2−3m+4+2x=0是关于x的一元二次方程，
∴m−2≠0，m2−3m+4=2，
解得：m=1，
故选：A．
考点2：一元二次方程—— 一般式
典例2：关于x的一元二次方程5x2+mx+7=0，二次项系数与一次项系数的比为1:2，则m=
（ ）
A．10 B．14 C．2.5 D．3.5
【答案】A
【知识点】由一元二次方程的定义求参数
【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，先由一元二次方程5x2+mx+7=0得，二次项
系数与一次项系数分别为5和m，再由二次项系数与一次项系数的比为1:2，列等式方程，即可求出
m的值．
【详解】∵一元二次方程5x2+mx+7=0的二次项系数与一次项系数分别为5和m，
又∵二次项系数与一次项系数的比为1：2，
∴5:m=1:2，
∴m=10，
故选：A．
【变式1】将方程(x−1)(x+3)=12化为ax2+bx+c=0的形式后，a= ，b= ，c=
．
【答案】 1 2 −15【知识点】计算多项式乘多项式、由一元二次方程的定义求参数
【分析】本题考查了多项式乘以多项式、一元二次方程的一般形式．一元二次方程的一般形式是
ax2+bx+c=0(a≠0)，本题中首先根据多项式乘以多项式的法则把方程左边展开，然后再移项合并
同类项，把一元二次方程化为一般形式，再确定各项系数．
【详解】解：(x−1)(x+3)=12，
整理得：x2+2x−3=12，
移项合并同类项得：x2+2x−15=0
∴ (x−1)(x+3)=12化为ax2+bx+c=0的形式后，a=1，b=2，c=−15．
故答案为： a=1，b=2，c=−15．
【变式2】若关于的一元二次方程2x2−(m+1)x=x(x+1)化成一般形式后二次项的系数为1，一次
项的系数为−1，则m的值为 ．
【答案】−1
【知识点】由一元二次方程的定义求参数
【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，先把方程化成一般式，再根据题意解答即可求解，掌
握一元二次方程的一般式是解题的关键．
【详解】解：2x2−(m+1)x=x(x+1)，
2x2−(m+1)x−x(x+1)=0，
2x2−(m+1)x−x2−x=0，
x2−(m+2)x=0，
∵化成一般形式后二次项的系数为1，一次项的系数为−1，
∴−(m+2)=−1，
∴m=−1，
故答案为：−1．
【变式3】关于x的一元二次方程(k−2)x2−3x+k2+k−6=0的常数项为0，则k的值为 ．
【答案】−3
【知识点】一元二次方程的定义、一元二次方程的一般形式、因式分解法解一元二次方程
【分析】本题主要考查了一元二次方程的相关概念、解一元二次方程等知识，理解并掌握一元二次
方程的相关概念是解题关键．根据一元二次方程的定义、常数项概念可得k−2≠0，k2+k−6=0，求解即可获得答案．
【详解】解：对于关于x的一元二次方程(k−2)x2−3x+k2+k−6=0，
则有k−2≠0，解得 k≠2，
又∵该方程的常数项为0，
∴k2+k−6=0，
解得k =2，k =−3，
1 2
综上所述，k的值为−3．
故答案为：−3．
【变式4】将一元二次方程4x(x+2)=25化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为4，则
一次项系数和常数项分别是（ ）
A．8、25 B．8、−25 C．8x、−25 D．8x、25
【答案】B
【知识点】一元二次方程的一般形式
【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式．把原方程化为4x2+8x−25=0，即可得到一次项系
数和常数项．
【详解】解：∵4x(x+2)=25，
∴4x2+8x−25=0，
其中二次项系数为4，则一次项系数和常数项分别是8、−25，
故选：B
【变式5】已知(a−1)x2+(a2−1)x+a=0是关于x的一元二次方程，若一次项系数为0，则a的值为
（ ）
A．0 B．−1 C．1 D．±1
【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义、一元二次方程的一般形式
【分析】本题考查的是一元二次方程的一般形式，由一次项系数为0，可以求出a的值，因为二次项
系数不能为0，所以a不能为−1，应舍去．
【详解】解：∵一次项系数为0，
∴a2−1=0，
(a+1)(a−1)=0，
∴a+1=0，a−1=0，
解得a =1，a =−1．
1 2
∵a−1≠0，∴a≠1．
故a=−1．
故选：B．
考点3：一元二次方程——解的应用
典例3：若关于x的一元二次方程(m+3)x2−x+m2−9=0的一个根为0，则m的值为（ ）
1
A．3 B．−3 C．±3 D．
3
【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义、由一元二次方程的解求参数
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的根，先根据一元二次方程的定义可
知m+3≠0，再将一元二次方程的解代入计算求出答案．
【详解】解：∵一元二次方程(m+3)x2−x+m2−9=0的一个根是0，
∴m2−9=0，且m+3≠0，
解得：m=3．
故选：A．
【变式1】若a是方程x2−x−1=0的一个根，则a3−a2−a+2024的值为 ．
【答案】2024
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、由一元二次方程的解求参数
【分析】本题考查一元二次方程的解，代数式求值，根据题意，得到a2−a−1=0，进而得到
a2=a+1，利用整体代入法，进行计算即可．
【详解】解：∵a是方程x2−x−1=0的一个根，
∴a2−a−1=0，
∴a2=a+1，
∴a3−a2−a+2024
=a⋅(a+1)−a2−a+2024
=a2+a−a2−a+2024
=2024；
故答案为：2024
【变式2】设α，β是方程x2−x−2024=0的两个实数根，则α3−2026α−β+1的值为 ．
【答案】2024
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、由一元二次方程的解求参数
【分析】本题主要考查了根与系数的关系和方程的解等知识点，先利用一元二次方程解的定义得到α2−α=2024,α2−2024=α， 再根据根与系数的关系得到α+β=1，然后利用整体代入的方法计算
b
即可得解，熟练掌握若x ,x 是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 的两根，则x +x =− ，
1 2 1 2 a
c
x ·x = 是解决此题的关键．
1 2 a
【详解】解：∵α是方程x2−x−2024=0 的实数根，
∴α2−α−2024=0,
∴α2−α=2024,α2−2024=α，
∵α,β是方程x2−x−2024=0的两个实数根，
∴α+β=1，
∴α3−2026α−β+1
=α(α2−2024−2)−β+1
=α(α−2)−β+1
=α2−2α−β+1
=α2−α−α−β+1
=2024−(α+β)+1
=2024−1+1
=2024，
故答案为：2024．
【变式3】已知m，n是方程x2−2022x+2023=0的两根，则
(m2−2023m+2024)(n2−2023n+2024)= ．
【答案】2
【知识点】一元二次方程的解、一元二次方程的根与系数的关系
【分析】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，代数式求值，熟练掌握：若x ，x 是一
1 2
b c
元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x +x =− ，x x = ，是解答本题的关键．根据根与
1 2 a 1 2 a
系数的关系和方程的解得到m+n=2022，mn=2023，m2−2022m+2023=0，
n2−2022n+2023=0，将原式化简得到1−(m+n)+mn，再代入求值即可．
【详解】解：∵m，n是方程x2−2022x+2023=0的两根，
∴m+n=2022，mn=2023，m2−2022m+2023=0，n2−2022n+2023=0，
(m2−2023m+2024)(n2−2023n+2024)=(m2−2022m+2023−m+1)(n2−2022n+2023−n+1)
=(0−m+1)(0−n+1)
=(1−m)(1−n)
=1−n−m+mn
=1−(m+n)+mn
=1−2022+2023
=2，
故答案为：2．
【变式4】已知一元二次方程x2−x−2=0的一个根为m，则2024−m2+m的值是（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
【答案】C
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、由一元二次方程的解求参数
【分析】此题考查了一元二次方程的解，解题的关键是熟记把方程的解代入原方程，等式左右两边
相等．把m代入方程求出m2−m−2=0，然后利用整体代入求值即可．
【详解】解：∵一元二次方程x2−x−2=0的一个根为m，
∴ m2−m−2=0，
∴ m2−m=2，
∴ 2024−m2+m=2024−(m2−m)=2024−2=2022，
故选：C．
【变式5】已知m是方程x2−2022x+1=0的一个根．则代数式3m2−6066m+2的值是（ ）
A．−3 B．1 C．5 D．−1
【答案】D
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、由一元二次方程的解求参数
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解、代数式求值等知识点，掌握一元二次方程解的定义解
答即可．
根据一元二次方程的解的定义可得m2−2022m=−1，然后对3m2−6066m+2变形后，整体代入计
算即可．
【详解】解：∵m是方程x2−2022x+1=0的一个根，
∴m2−2022m+1=0，即m2−2022m=−1，
∴3m2−6066m+2=3(m2−2022m)+2=3×(−1)+2=−1．
故选：D．
考点4：一元二次方程——解的估算典例4：在估算一元二次方程x2+5x−4=0的根时，嘉淇列表如下：
x 0.5 0.6 0.8 0.9
0.7
x2+5x−4 −1.25 −0.64 −0.01
0.64 1.31
则表示方程x2+5x−4=0的一个根的点落在（ ）
A．段① B．段② C．段③ D．段④
【答案】C
【知识点】一元二次方程的解的估算
【分析】本题主要考查了估算一元二次方程的近似解，解题的关键是掌握估算一元二次方程近似解
的方法．
结合表中的数据，根据代数式x2+5x−4的值的变化趋势，即可进行解答．
【详解】解：由表可知，
当x=0.7时，x2+5x−4=−0.01<0，
当x=0.8时，x2+5x−4=0.64>0，
∴方程x2+5x−4=0的一个根x的范围是0.72；当x=0时，ax2+bx+c=0.84<2；所
以方程ax2+bx+c=2的一个解x的范围为：02；
当x=0时，ax2+bx+c=0.84<2；
∴方程ax2+bx+c=2的一个解x的范围为：02；当x=0时，ax2+bx+c=0.84<2．
【变式4】根据表格，判断关于x的方程ax2+bx+c=3(a≠0)的一个解的范围是（ ）
x 1.1 1.2 1.3 1.4
ax2+bx+c −0.59 0.84 2.29 3.76
A．1.10，
∵
−b+√b2−4ac 3±1
x= = ，
2a 4
∴
1
x =1，x =
1 2 2
∴
【变式1】解一元二次方程：
(1)4(x−1) 2−36=0；(2)2(x−1)−x(x−1)=0．
【答案】(1)x =4，x =−2
1 2
(2)x =1，x =2
1 2
【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、因式分解法解一元二次方程
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解题关键是熟练掌握一元二次方程的不同解法，正确计
算；
（1）利用直接开方法解方程即可；
（2）利用因式分解法解方程即可．
【详解】（1）解：4(x−1) 2=36，
(x−1) 2=9，
∴x−1=±3，
∴x =4，x =−2；
1 2
（2）解：2(x−1)−x(x−1)=0，
(x−1)(2−x)=0，
∴x−1=0或2−x=0，
∴x =1，x =2．
1 2
【变式2】解方程：
(1)3x(2x+1)=4x+2
(2)x2+2x+1=4
1 2
【答案】(1)x =− ，x =
1 2 2 3
(2)x =−3，x =1
1 2
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
（1）将方程整理为一般形式，然后利用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）将方程整理为一般形式，然后利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：3x(2x+1)=4x+2，
整理，得：6x2−x−2=0，
分解因式，得：(2x+1)(3x−2)=0，
故：2x+1=0或3x−2=0，
1 2
解得：x =− ，x = ；
1 2 2 3
（2）解：x2+2x+1=4，整理，得：x2+2x−3=0，
分解因式，得：(x+3)(x−1)=0，
故：x+3=0或x−1=0，
解得：x =−3，x =1．
1 2
【变式3】解方程
(1)x(x−3)−4(3−x)=0
(2)x2+4x−5=0
【答案】(1)x =−4,x =3
1 2
(2)x =−5,x =1
1 2
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键：
（1）提公因式法因式分解，进行求解即可；
（2）十字相乘法进行因式分解，进行求解即可．
【详解】（1）解：x(x−3)−4(3−x)=0
x(x−3)+4(x−3)=0
(x+4)(x−3)=0，
∴x =−4,x =3；
1 2
（2）x2+4x−5=0
(x+5)(x−1)=0
∴x =−5,x =1．
1 2
【变式4】解下列方程：
(1)(x−3) 2+2x(x−3)=0
(2)x2−2x−399=0（配方法）
【答案】(1)x =3，x =1
1 2
(2)x =21，x =−19
1 2
【知识点】解一元二次方程——配方法、因式分解法解一元二次方程
【分析】本题考查一元二次方程的解法，根据方程特点灵活选用方程的解法是解答的关键．
（1）利用因式分解法解方程即可；
（2）利用配方法解方程即可．
【详解】（1）解：方程化为(x−3)(x−3+2x)=0，
则(x−3)(3x−3)=0，
∴x−3=0，3x−3=0，
∴x =3，x =1；
1 2（2）解：方程化为x2−2x=399，
配方，得x2−2x+1=399+1，
即(x−1) 2=400，
开平方，得x−1=±20，
∴x =21，x =−19．
1 2
【变式5】解方程：
(1)x2−6x−4=0；
(2)5(x−2) 2=x2−4．
(3)x2−4x+3=0；
(4)(x−2) 2+x(x−2)=0．
【答案】(1)x =3+√13，x =3−√13
1 2
(2)x =3，x =2
1 2
(3)x =1，x =3
1 2
(4)x =2，x =1
1 2
【知识点】公式法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程
【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握解方程的方法与步骤是解本题的关键；
（1）先计算Δ=(−6) 2−4×1×(−4)=52，再利用求根公式解方程即可；
（2）先移项，把方程化为(4x−12)(x−2)=0，再化为两个一次方程求解即可；
（3）把方程化为(x−1)(x−3)=0，再化为两个一次方程求解即可；
（4）把方程化为(x−2)(2x−2)=0，再化为两个一次方程求解即可；
【详解】（1）解：x2−6x−4=0，
∴Δ=(−6) 2−4×1×(−4)=52，
−(−6)±√52
∴x= =3±√13，
2×1
解得，x =3+√13，x =3−√13；
1 2
（2）解：5(x−2) 2=x2−4，
移项：5(x−2) 2−(x+2)(x−2)=0，整理得：[5(x−2)−(x+2)](x−2)=0，
∴(4x−12)(x−2)=0，
∴4x−12=0，x−2=0，
解得，x =3，x =2．
1 2
（3）解：∵ x2−4x+3=0，
∴(x−1)(x−3)=0，
∴x−1=0或x−3=0，
解得x =1，x =3；
1 2
（4）解：∵ (x−2) 2+x(x−2)=0，
∴ (x−2)(x−2+x)=0，
即(x−2)(2x−2)=0．
∴x−2=0或2x−2=0．
解得x =2，x =1．
1 2
考点6：根的判别式
典例6：已知方程x2−2mx+2m−1=0，
(1)求证：对任意实数m，方程总有两个实数根；
(2)任给一个m值，使得方程有两个不同的正实数根，并求出方程的两根．
【答案】(1)证明见解析
(2)当m=3时，x =1,x =5（答案不唯一）
1 2
【知识点】因式分解法解一元二次方程、根据判别式判断一元二次方程根的情况
【分析】本题主要考查了根的判别式和解一元二次方程，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键．
（1）先根据根的判别式求出Δ，再由判别式证明即可；
（2）把m=3代入方程，求出方程的解即可．
【详解】（1）已知方程x2−2mx+2m−1=0，
其中a=1,b=−2m,c=2m−1，
Δ=b2−4ac=(−2m) 2−4×1×(2m−1)
=4m2−8m+4=4(m−1) 2≥0，
∴对任意实数m，方程总有两个实数根．
（2）当m=3时，
原式变为x2−6x+5=0，
整理得(x−1)(x−5)=0，则x−1=0或x−5=0，
解得x =1,x =5．
1 2
【变式1】已知关于x的方程x2−(m+2)x+2m=0．
(1)求证：无论m为何值，该方程总有实数根；
(2)若该方程的两个实数根分别为x ，x ，且x 2+x 2+x x =3，求m的值．
1 2 1 2 1 2
【答案】(1)见解析
(2)m的值为−1
【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、一元二次方程的根与系数的关系、根据判别式判断
一元二次方程根的情况
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若x ，x 是一元二次方程
1 2
b c
ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x +x =− ，x ⋅x = ．也考查了一元二次方程根的判别式，
1 2 a 1 2 a
若Δ>0，方程有两个不相等的实数根；若Δ=0，方程有两个相等的实数根；若Δ<0，方程无实数根．
（1）根据一元二次方程根的判别式和非负数的性质即可得到结论；
（2）利用根与系数的关系求得x +x =m+2，x ⋅x =2m，利用完全平方公式将方程化为
1 2 1 2
x 2+x 2+x x =(x +x ) 2−x x =3，进而代值解方程即可求解．
1 2 1 2 1 2 1 2
【详解】（1）解：证明：∵Δ=[−(m+2)] 2 −4×2m=m2−4m+4=(m−2) 2，
∴Δ≥0，
∴无论m为何值，该方程总有实数根．
（2）解：∵方程x2−(m+2)x+2m=0的两个实数根分别为x ，x ，
1 2
∴x +x =m+2，x x =2m，
1 2 1 2
∵x 2+x 2+x x =(x +x ) 2−2x x +x x =(x +x ) 2−x x ，
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
∴(m+2) 2−2m=3，
整理得m2+2m+1=0，即(m+1) 2=0，
解得m =m =−1，
1 2
∴m的值为−1．
【变式2】已知关于x的一元二次方程x2−(2k+2)x+2k+1=0．(1)求证：无论k为何值，方程总有两个实数根．
(2)若该方程有一个实数根大于4，求k的取值范围．
【答案】(1)见解析；
3
(2)k>
2
【知识点】因式分解法解一元二次方程、根据判别式判断一元二次方程根的情况
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，解一元二次方程；
（1）求出方程的判别式Δ的值，利用配方法得出Δ≥0，根据判别式的意义即可证明；
（2）设方程的两个根分别为x ，x ，利用公式法求方程的解，然后根据一元二次方程根与系数的关
1 2
系即可求得k的取值范围
【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程x2−(2k+2)x+2k+1=0，
∴Δ=[−(2k+2)] 2 −4×1×(2k+1)，
=4k2+8k+4−8k−4，
=4k2≥0，
∴无论k为何值，方程总有两个实数根．
（2）∵关于x的一元二次方程x2−(2k+2)x+2k+1=0，
设方程的两个根分别为x ，x ，
1 2
2k+2±2k
∴x= ，
2
∴x =1，x =2k+1，
1 2
∵该方程有一个根大于4，
∴2k+1>4，
3
∴k> ，
2
3
∴k的取值范围k> ．
2
【变式3】已知关于x的一元二次方程x2−6x+2m+1=0．
(1)若方程有一个根为0，求m的值；
(2)若方程有两个不相等实数根，求实数m的取值范围．
1
【答案】(1)m=−
2
(2)m<4
【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、由一元二次方程的解求参数【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式及一元二次方程的根，掌握根的判别式是解题的关
键．
（1）将x=0代入方程求解即可；
（2）根据根的判别式大于0即可求出实数m的取值范围．
【详解】（1）解：x=0时，原方程为：2 m+1=0，
1
∴ m=− ；
2
（2）∵关于x的一元二次方程x2−6x+2m+1=0有两个不相等实数根，
∴ Δ=(−6) 2−4×1×(2m+1)>0，
∴ m<4．
【变式4】已知关于x的一元二次方程x2−2x+(m+2)=0．
(1)当方程有两个不相等的实数根时，求m的取值范围；
(2)若方程的一个实数根是另一个实数根的2倍，求m的值．
【答案】(1)m<−1
10
(2)m=−
9
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，正确掌握相关性质内容是解题的
关键．
（1）因为方程有两个不相等的实数根，所以Δ=(−2) 2−4×1×(m+2)>0，进行计算，即可作答．
（2）方程的一个实数根是另一个实数根的2倍，设一个实数根为2r，则另一个实数根是r，运用根
−2 m+2 2
与系数的关系列式r+2r=− =2，r⋅2r= ，解得r= ，即可作答．
1 1 3
【详解】（1）解：∵方程x2−2x+(m+2)=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=(−2) 2−4×1×(m+2)>0，
解得m<−1；
（2）解：∵方程x2−2x+(m+2)=0的一个实数根是另一个实数根的2倍，
∴一个实数根为2r，则另一个实数根是r，
−2 m+2
则r+2r=− =2，r⋅2r= ，
1 12
解得r= ，
3
2 2 m+2
∴ ×2× = ，
3 3 1
10
解得m=− ．
9
【变式5】已知关于x的方程x2−(k+6)x+3k+9=0．
(1)求证：无论k为何值，方程总有实数根；
(2)若方程的两个实数根为x ，x ，求代数式(x −3)(x −3)+2的值．
1 2 1 2
【答案】(1)证明见解析
(2)2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据判别式判断一元二次方程根的情况
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系等知识点，掌握相关结论即可．
（1）根据一元二次方程根的判别式计算即可求解；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系可得，x +x =k+6，x ⋅x =3k+9，再整理代入
1 2 1 2
(x −3)(x −3)+2=x ⋅x −3(x +x )+11即可求解．
1 2 1 2 1 2
2
【详解】（1）解：∵Δ=[−(k+6)] −4(3k+9)
=k2+12k+36−12k−36
=k2≥0，
∴方程总有实数根；
（2）解：由根与系数的关系可得，x +x =k+6，x ⋅x =3k+9，
1 2 1 2
∴(x −3)(x −3)+2
1 2
=x ⋅x −3(x +x )+11
1 2 1 2
=3k+9−3(k+6)+11
=3k+9−3k−18+11
=2．
考点7：根与系数的关系
典例7：阅读材料：
材料1：法国数学家弗朗索瓦·书达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,b2−4ac≥0)的两根x ,x 有如下的关系（韦达定
1 2
b c
理）：x +x =− ,x ⋅x = ；
1 2 a 1 2 a
材料2：如果实数m，n满足m2−m−1=0,n2−n−1=0，且m≠n，则可利用根的定义构造一元二
次方程x2−x−1=0，然后将m，n看作是此方程的两个不相等实数根去解决相关问题．
请根据上述材料解决下面问题：
(1)若实数a，b满足：a2+3a−5=0,b2+3b−5=0(a≠b)，则a+b=_____，ab=______；
(2)若x ,x 是方程x2−6x+k+3=0两个不等实数根，且满足5|x |=x +6，求k的值．
1 2 1 2
【答案】(1)−3,−5
(2)k=−30或k=5
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【分析】本题考查根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系，是解题的关键．
（1）根据题意，得到实数a，b是方程x2+3x−5=0的两个根，根据根与系数的关系进行求解即可；
（2）根据根与系数的关系，得到x +x =6,x x =k+3，进而得到x =6−x ，代入
1 2 1 2 2 1
5|x |=x +6=12−x ，求出x ,x 的值，再根据根与系数的关系，进行求解即可．
1 2 1 1 2
【详解】（1）由题意得：a，b是x2+3x−5=0的两个根，
∴a+b=−3,ab=−5，
故答案为：−3,−5；
（2）由题意，得：Δ>0，
即b2−4ac=(−6) 2−4(k+3)>0，
解得k<6；
∵x +x =6,x x =k+3，
1 2 1 2
∴x =6−x ，
2 1
∴5|x |=x +6=12−x ，
1 2 1
当x <0时，−5x =12−x ，解得：x =−3，
1 1 1 1
∴x =6−x =9，
2 1
∴k+3=−3×9=−27，
∴k=−30；
当x ≥0时，5x =12−x ，解得：x =2，
1 1 1 1∴x =6−2=4，
2
∴k+3=2×4=8，
∴k=5；
综上：k=−30或k=5．
【变式1】关于x的一元二次方程x2−(2n+1)x+n2+n=0．
(1)不论n为何实数，该方程都有两个不相等的实数根；
(2)当n=1，2，3，…，2023时，相应的一元二次方程的两个根分别记为α ，β ，α 、β ，…，
1 1 2 2
1 1 1 1
α ，β ，求： + + +⋅⋅⋅+ 的值．
2023 2023 α β α β α β α β
1 1 2 2 3 3 2023 2023
【答案】(1)见解析
2023
(2)
2024
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据判别式判断一元二次方程根的情况
【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，理解题目含义，掌握一元二次
方程根的判别式，根与系数的关系是解题的关键．
（1）根据一元二次方程根的判别式可得Δ=[−(2n+1)] 2 −4(n2+n)≥0即可求解；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系可得α ⋅β =n(n+1)，当n=1，2，3，…，2023时，原式
n n
1 1 1 1
= + + +⋅⋅⋅+ ，运用拆分法即可求解．
1×2 2×3 3×4 2023×2024
【详解】（1）解：根据题意可得，Δ=[−(2n+1)] 2 −4(n2+n)≥0，
整理得，Δ=1>0，
故方程有两个不相等的实数根；
（2）解：关于x的一元二次方程x2−(2n+1)x+n2+n=0，当n=1，2，3，…，2023时，相应的一
元二次方程的两个根分别记为α ，β ，α 、β ，…，α ，β ，
1 1 2 2 2023 2023
∴α ·β =n2+n=n(n+1)=1×(1+1)=2，α ·β =n(n+1)=2×3，……，
1 1 2 2
∴α ⋅β =n(n+1)，
n n
1 1 1 1
+ + +⋅⋅⋅+
α β α β α β α β
1 1 2 2 3 3 2023 2023
1 1 1 1
= + + +⋅⋅⋅+
1×2 2×3 3×4 2023×20241 1 1 1 1 1 1
=1− + − + − +⋅⋅⋅+ −
2 2 3 3 4 2023 2024
1 2023
=1− = ．
2024 2024
【变式2】阅读理解．
定义：我们把关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0与cx2+bx+a=0（ac≠0，a≠c）称为一对
“密友方程”，例如：方程2x2−7x+3=0的“密友方程”是3x2−7x+2=0．
(1)写出一元二次方程x2−6x+8=0的“密友方程”是________．
(2)已知一元二次方程x2−6x+8=0的两根为x =2，x =4，它的“密友方程”的两根为x ，x ，则
1 2 3 4
x = ________，x = ________．根据以上结论，猜想ax2+bx+c=0的两根x 、x ，与其“密友方
3 4 1 2
程”cx2+bx+a=0的两根x ，x 之间存在的一种特殊关系为________，证明你的结论．
3 4
1
(3)已知关于x的方程mx2+nx+q=0的两根是x =2023，x =− ，可应用（2）中的结论，解
1 2 2024
关于x的方程q(x−1) 2−nx+n+m=0．
【答案】(1)8x2−6x+1=0
1 1
(2) ， ；关系为：x x =1，x x =1，证明见解析
2 4 1 3 2 4
2022
(3)x = ，x =2025
3 2023 4
【知识点】因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系
【分析】本题主要考查新定义下一元二次方程根与系数的关系，掌握并灵活运用新定义是解题的关
键．
（1）根据“密友方程”的定义写出对应的“密友方程”即可；
（2）因式分解法求出每个方程的两个实数根，原方程与“密友方程”的根得出规律，即可求解；
（3）根据题意可得qx2+nx+m=0的两根，进而得到q(1−x) 2+n(1−x)+m=0，进而求解；
【详解】（1）解：一元二次方程x2−6x+8=0，
a=1，b=−6，c=8，
其“密友方程”是8x2−6x+1=0；
（2）解：该一元一次方程x2−6x+8=0的“密友方程”是8x2−6x+1=0；
8x2−6x+1=0
(2x−1)(4x−1)=0
1 1
解得：x = ，x = ；
3 2 4 4关系为：x x =1，x x =1
1 3 2 4
或者叙述为：原方程的两根分别与“密友方程”的两根互为倒数．
证明：∵ax2+bx+c=0的两根为x 、x ，
1 2
1 (1) 2 1
设x= ，则a +b⋅ +c=0，整理的a+by+c y2=0
y y y
∴a+by+c y2=0，即方程c y2+by+a=0两根为x 、x
3 4
∴原方程的两根与“密友方程”的两根分别互为倒数．
即x x =1，x x =1；
1 3 2 4
1 1
故答案为： ， ；x x =1，x x =1
2 4 1 3 2 4
1
（3）解：已知关于x的方程mx2+nx+q=0的两根是x =2023，x =− ，
1 2 2024
1
∴qx2+nx+m=0的两根为x′ = ，x′ =−2024
1 2023 2
∴方程q(x−1) 2−nx+n+m=0即为q(1−x) 2+n(1−x)+m=0，两根设为x 、x
3 4
∴1−x =x′ ，1−x =x′
3 1 4 2
2022
∴x = ，x =2025．
3 2023 4
【变式3】阅读材料：
材料1：关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根x ，x 和系数a，b，c有如下关系：
1 2
b c
x +x =− ，x x = ；
1 2 a 1 2 a
材料2：已知一元二次方程x2−x−1=0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．
解：∵m，n是一元二次方程x2−x−1=0的两个实数根，
∴m+n=1，mn=−1，则m2n+mn2=mn(m+n)=−1×1=−1．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)应用：一元二次方程2x2+3x−1=0的两个实数根为x ，x ，则x +x = ；
1 2 1 2
(2)类比：已知一元二次方程2x2+3x−1=0的两个实数根为m，n，求m2+n2的值；
1 1
(3)提升：已知实数s，t满足2s2+3s−1=0，2t2+3t−1=0且s≠t，求 − 的值．
s t
3
【答案】(1)−
213
(2)
4
(3)√17或−√17
【知识点】通过对完全平方公式变形求值、一元二次方程的根与系数的关系
【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系、完全平方公式的变形计算、分式的混合运算
等知识，掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根x ，x 和系数a，b，c有如下关系为
1 2
b c
“x +x =− ，x x = ”是解题的关键；
1 2 a 1 2 a
（1）利用根与系数的关系，即可得出x +x 的值；
1 2
3 1
（2）利用根与系数的关系，可得出m+n=− ，mn=− ，将其代入m2+n2=(m+n) 2−2mm中，
2 2
即可求解；
（3）由实数s、t满足2s2+3s−1=0，2t2+3t−1=0，且s≠t，可得出s，t是一元二次方程
3 1
2x2+3x−1=0的两个实数根，利用根与系数的关系，可得出s+t=− ，st=− ，进而求得s−t的
2 2
1 1 t−s
值，再将其代入 − = 中，即可求解；
s t st
【详解】（1）解：∵一元二次方程2x2+3x−1=0的两个根为x ，x ，
1 2
3
∴ x +x =− ，
1 2 2
3
故答案为：− ；
2
（2）解：一元二次方程2x2+3x−1=0的两根分别为m，n，
3 1
∴m+n=− ，mn=− ，
2 2
9 13
∴m2+n2=(m+n) 2−2mn= +1= ；
4 4
（3）解：实数s，t满足2s2+3s−1=0，2t2+3t−1=0，且s≠t，
∴s，t是一元二次方程2x2+3x−1=0的两个实数根，
3 1
∴s+t=− ，st=− ，
2 2
9 17
(s−t) 2=(s+t) 2−4st= +2= ，
4 4
√17 √17
即s−t= 或−
2 2√17
当s−t= 时，
2
1 1 t−s
− = =√17；
s t st
√17
当s−t=− 时，
2
1 1 t−s
− = =−√17；
s t st
【变式4】阅读材料，解答问题：
我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根是x ，
1
b c
x ，那么由求根公式可推出x +x =− ，x ⋅x = ，
2 1 2 a 1 2 a
例：已知实数m，n满足m2−m−1=0，n2−n−1=0，且m≠n，则m，n是方程x2−x−1=0的两
个不相等的实数根，由根与系数的关系可知m+n=1，mn=−1．
根据上述材料，解决以下问题：
(1)直接应用：
已知实数a，b满足：a2−5a+1=0，b2−5b+1=0且a≠b，则a+b=______，ab=______；
(2)间接应用：
m n
已知实数m，n满足：m2+5m−3=0，n2+5n−3=0，求 + 的值；
n m
(3)拓展应用：
已知a，b，c满足a+b−2c=0，abc=9，求正整数c的最小值．
【答案】(1)5，1
31
(2)2或−
3
(3)3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数
【分析】本题考查了一元二方程的解以及根与系数的关系．
（1）由题意可知a、b是方程x2−5x+1=0的两个不相等的实数根，再由根与系数的关系可得
a+b=5，ab=1；
（2）由题意可知分两种情况，m=n或m≠n时，m、n可看作方程x2+5x−3=0的两根，分别计算
原式的值即可；
9 9
（3）由已知得a+b=2c,ab= ，故a、b为一元二次方程x2−2cx+ =0的两根，再根据根的判别
c c
式计算出c的取值范围，取最小正整数即可．【详解】（1）解：由题意得：a，b是方程x2−5x+1=0的两个不相等的实数根，由根与系数的关
系可知a+b=5，ab=1，
故答案为：5，1；
（2）解：∵m，n满足m2+5m−3=0,n2+5n−3=0，
当m=n时，原式=1+1=2，
当m≠n时，m、n可看作方程x2+5x−3=0的两根，
∴m+n=−5，mn=−3，
m2+n2 (m+n) 2−2mn (−5) 2−2×(−3) 31
∴原式= = = =− ，
mn mn −3 3
m n 31
综上， + 的值为2或− ；
n m 3
（3）解：∵a+b−2c=0,abc=9，
9
∴a+b=2c，ab= ，
c
9
∴a、b为一元二次方程x2−2cx+ =0的两根，
c
9
∵Δ=(−2c) 2−4× ≥0，
c
∵正整数c>0，
∴c3≥9，即c≥√3 9>√38=2．
∴正整数c的最小值为3．
【变式5】阅读理解：
b c
材料1．若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x ，x ，则x +x =− ，x x = ．
1 2 1 2 a 1 2 a
n m
材料2．已知实数m，n满足m2−m−1=0，n2−n−1=0，且m≠n，求 + 的值．
m n
解：由题知m，n是方程x2−x−1=0的两个不相等的实数根，
根据材料1得m+n=1，mn=−1，
n m m2+n2 (m+n) 2−2mn 1+2
∴ + = = = =−3．
m n mn mn −1
解决问题：
(1)一元二次方程x2−4x−3=0的两根为x ，x ，则x +x = ，x x = ；
1 2 1 2 1 2
n m
(2)已知实数m，n满足m2+m−1=0，n2+n−1=0且m≠n，求 + 的值．
m n
(3)已知实数m、n满足2m2−2m−1=0,2n2−2n−1=0，且m≠n，求m2n+mn2的值．【答案】(1)4，−3
n m
(2) + =−3
m n
1
(3)m2n+mn2=−
2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【分析】本题考查是阅读理解题，解题的关键是理解并熟练掌握若一元二次方程
b c
ax2+bx+c=0(a≠0)两根为x ,x ，则x +x =− ，x x = ．
1 2 1 2 a 1 2 a
（1）根据材料1提供的关系直接求解即可得到答案；
n m (m+n) 2−2mn
（2）根据根与系数的关系得到m+n=−1，mn=−1，再根据 + = 进行求解即
m n mn
可；
（3）根据材料2提供的方法直接求解即可得到答案．
【详解】（1）解：∵一元二次方程x2−4x−3=0的两根为x ，x ，
1 2
∴x +x =4，x x =−3，
1 2 1 2
故答案为：4，−3；
（2）∵实数m,n满足m2+m−1=0，n2+n−1=0，
∴m，n是方程x2+x−1=0的两实数解，
∴根据材料1得m+n=−1，mn=−1，
n m
∴ +
m n
m2+n2
=
mn
(m+n) 2−2mn
=
mn
(−1) 2−2×(−1)
=
−1
=−3；
（3）∵实数m,n满足2m2−2m−1=0,2n2−2n−1=0，
∴m，n可看作方程2x2−2x−1=0的两实数解，
−2 −1 1
∴m+n=− =1，mn= =− ，
2 2 21 1
∴m2n+mn2=mn(m+n)=− ×1=− ．
2 2
考点8：一元二次方程实际应用
典例1：有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感．
(1)问每轮传染中平均1个人传染了几个人？
(2)如果有两个人患了流感，若不及时控制，第三轮传染后共有多少人患流感？
【答案】(1)每轮传染中平均1个人传染了8个人
(2)第三轮传染后共有1458人患流感
【知识点】传播问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题考查了列一元二次方程解决实际问题，解答时根据两轮传染后共有121人建立方程是
解题的关键．
（1）设每轮传染中平均每人传染了x人，一轮后就有x人传染，第二轮就应该传染x(x+1)人，将两
轮的总人数加起来建立方程求解即可．
（2）根据（1）中求出一个人传染到第三轮时，共患流感人数，再翻倍即为两个人患流感到第三轮
时，共患流感人．
【详解】（1）解：设每轮传染中平均每人传染了x人，
根据题意可得：1+x+x(x+1)=81，
解得：x =8或x =−10（舍去），
2 1
答：每轮传染中平均一个人传染了8个人．
（2）解：有一个人传染到第三轮时，共患流感人数为：81+81×8=729（人），
当两个人传染到第三轮时，共患流感人数为：729×2=1458（人），
答：第三轮传染后共有1458人患流感．
【变式1】习近平主席8月27日在北京人民大会堂出席推进“一带一路”建设工作5周年座谈会并
发表重要讲话．推动共建“一带一路”走深走实，造福沿线国家人民，推动构建人类命运共同体．
某企业新能源产业受“一带一路”这一利好因素，利润逐年提高，2015年的利润为2000万元，2017
年的利润为2880万元．
(1)求该企业从2015年到2017年利润的年平均增长率；
(2)若2018年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2018年的利润是否能达到3500万元？
【答案】(1)该企业从2015年到2017年利润的年平均增长率为20%
(2)2018年的利润为3456万元，不能达到3500万元
【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次
方程；（2）根据该企业2018年的利润=该企业2017年的利润×（1+增长率），求出该企业2018年的利润．
（1）设该企业从2015年到2017年利润的年平均增长率为x，根据该企业2015年及2017年的利润
额，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据该企业2018年的利润=该企业2017年的利润×（1+增长率），可求出该企业2018年的利
润，将其与3500万元进行比较后即可得出结论．
【详解】（1）解：设该企业从2015年到2017年利润的年平均增长率为x，
根据题意得：2000(1+x) 2=2880，
解得：x =0.2=20%,x =−2.2（不合题意，舍去）．
1 2
答：该企业从2015年到2017年利润的年平均增长率为20%．
（2）解：2880×(1+20%)=3456（万元），
∵3456万元<3500万元，
∴该企业2018年的利润不能超过3500万元．
【变式2】如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈
ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）．
(1)当羊圈的宽为多少米时，能围成一个面积为640m2的羊圈？
(2)羊圈的面积能达到650m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
【答案】(1)16米或20米
(2)羊圈的面积不能达到650m2．理由见解析
【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、与图形有关的问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题考查一元二次方程的应用：
（1）羊圈的宽为x米，则羊圈的长为(70−2x+2)米，根据面积为640m2列一元二次方程，解方程
即可；
（2）当面积为650m2时：x(70−2x+2)=650，利用根的判别式判断该方程有没有实数根，即可求
解．
【详解】（1）解：设羊圈的宽为x米，当面积为640m2时：
x(70−2x+2)=640，
整理得x2−36x+320=0，
解得x =16，x =20，
1 2即羊圈的宽为16米或20米时，能围成一个面积为640m2的羊圈．
（2）解：羊圈的面积不能达到650m2．理由如下：
设羊圈的宽为x米，当面积为650m2时：
x(70−2x+2)=650，
整理得x2−36x+325=0，
∵ Δ=362−4×1×325=−4<0，
∴该方程没有实数根，
∴羊圈的面积不能达到650m2．
【变式3】某商店以20元/千克的单价购进一批商品，经调查发现，在一段时间内，销售量y（千
克）与销售单价x（元/千克）(x>20)之间存在一次函数关系，对应数值如下表所示．
销售单价x（元/千克） 25 35
销售量y（千克） 50 30
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)现要求尽快售完该商品，并使销售利润达到400元，求销售单价应定为每千克多少元？
(3)售完该商品后，销售利润能达到500元吗？若能，求出此时的销售单价；若不能，请说明理由．
【答案】(1)y=−2x+100
(2)销售单价定位每千克30元
(3)销售利润不能达到500元．理由见解析
【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、求一次函数解析式
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，列方程解决实际问题的一般步
骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
（1）运用待定系数法求解即可；
（2）根据销售利润达到400元，可得方程，解方程即可得到销售单价；
（3）根据销售利润达到500元，可得方程，判断方程是否有解即可．
【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，
把¿，¿代入，得¿
解得¿，
所以y与x之间的函数关系式为y=−2x+100；
（2）解：(x−20)⋅y=(x−20)(−2x+100)=400，
整理得x2−70x+1200=0
解得x =30，x =40
1 2
因为要尽快售完，所以取x=30，即销售单价定位每千克30元．
（3）解：销售利润不能达到500元．理由如下：(x−20)⋅y=(x−20)(−2x+100)=500
化简得x2−70x+1250=0
判别式Δ=4900−4×1250=−100<0，
所以此方程无解，所以销售利润不能达到500元．
【变式4】在矩形ABCD中，AB=7cm，BC=3cm，点P从点A开始沿AB边以3cm/s的速度移动，
点Q从点C开始沿CD边以1cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中有一
点到达点B或点D时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t（s）．
(1)当t为何值时，点P、Q之间的距离为5cm；
(2)连接PD、PQ，当t为何值时，△DPQ为直角三角形．
3
【答案】(1)t=
4
3 7
(2)t=1或t= 或t=
4 4
【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用)、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求
线段长
【分析】本题考查了矩形的性质与判定、勾股定理、一元二次方程的应用，熟练掌握以上知识点，
学会利用勾股定理列出一元二次方程是解题的关键．
（1）作QH⊥AB交AB于点H，利用矩形的性质得到BH=CQ=tcm，QH=BC=3cm，再利用勾
股定理列出方程求解即可；
（2）分两种情况①∠DPQ=90°；②∠DQP=90°，根据矩形的性质和勾股定理分别列出方程求
解即可．
【详解】（1）解：作QH⊥AB交AB于点H，则∠QHB=90°，
由题意得，AP=3tcm，CQ=tcm，
∵∠QHB=∠B=∠C=90°，
∴四边形BCQH是矩形，
∴BH=CQ=tcm，QH=BC=3cm，在Rt△PQH中，PH2+QH2=PQ2，
∴PH=√PQ2−QH2=√52−32=4(cm)，
∵AB=AP+PH+BH，
∴7=3t+4+t，
3
解得：t= ，
4
3
∴当t= 时，点P、Q之间的距离为5cm．
4
（2）解：①若∠DPQ=90°，作QE⊥AB交AB于点E，则∠QEB=90°，
由题意得，AP=3tcm，CQ=tcm，
∴DQ=CD−CQ=(7−t)cm，
在Rt△ADP中，DP2=AP2+AD2=(3t) 2+9，
∵∠QEB=∠B=∠C=90°，
∴四边形BCQE是矩形，
∴BE=CQ=tcm，QE=BC=3cm，
∴PE=AB−AP−BE=(7−4t)cm，
在Rt△PQE中，PQ2=PE2+QE2=(7−4t) 2+9，
在Rt△DPQ中，DQ2=DP2+PQ2，
∴(7−t) 2=(3t) 2+9+(7−4t) 2+9，
3
解得：t =1，t = ，
1 2 4
3
∴t=1或t= ；
4
②若∠DQP=90°，∵∠QPB=∠B=∠C=90°
，
∴四边形BCQP是矩形，
∴BP=CQ=tcm，QP=BC=3cm，
∴DQ=(7−t)cm，
由①得，DP2=AP2+AD2=(3t) 2+9，
在Rt△DPQ中，DP2=DQ2+PQ2，
∴(3t) 2+9=(7−t) 2+32，
7 7
解得：t = ，t =− （舍去负值），
1 4 2 2
7
∴t= ；
4
3 7
∴综上所述，当t=1或t= 或t= 时，△DPQ为直角三角形．
4 4
【变式5】甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，计划每天各施工6米．已知甲乙每天施工
所需成本共108万元．因地质情况不同，甲每合格完成1米桥梁施工成本比乙每合格完成1米的桥梁
施工成本多2万元．
(1)分别求出甲，乙每合格完成1米的桥梁施工成本；
1 1
(2)实际施工开始后，甲每合格完成1米隧道施工成本增加 a万元，且每天多挖 a．乙每合格完成
6 24
1 1 ( 11 )
1米隧道施工成本增加 a万元，且每天多挖 a米．若最终每天实际总成本比计划多 24+ a 万
3 8 2
元，求a的值．
【答案】(1)甲每合格完成1米桥梁施工成本为10万元，乙每合格完成1米的桥梁施工成本为8万元
(2)a的值为12
【知识点】工程问题(一元一次方程的应用)、工程问题(一元二次方程的应用)
【分析】（1）设乙每合格完成1米的桥梁施工成本为x万元，则甲每合格完成1米桥梁施工成本为
(x+2)万元，根据题意列方程即可求解；
（2）根据题意分别表示出甲、乙每天的实际工作量，实际成本，根据数量关系列方程即可求解．【详解】（1）解：设乙每合格完成1米的桥梁施工成本为x万元，则甲每合格完成1米桥梁施工成本
为(x+2)万元，
∴6x+6(x+2)=108，解得，x=8，
∴甲每合格完成1米桥梁施工成本为10万元，乙每合格完成1米的桥梁施工成本为8万元．
（2）解：由（1）可知，甲每合格完成1米桥梁施工成本为10万元，乙每合格完成1米的桥梁施工成
本为8万元，
1
∴实际施工开始后，甲每合格完成1米隧道施工成本增加 a万元，则甲每合格完成1米实际成本为
6
( 1 ) 1 ( 1 ) ( 1 )
10+ a 万元，且每天多挖 a，则甲每天实际完成量为6× 1+ a = 6+ a 米，乙每合格
6 24 24 4
1 ( 1 ) 1
完成1米隧道施工成本增加 a万元，则乙每合格完成1米实际成本为 8+ a 万元，且每天多挖 a
3 3 8
( 1 ) ( 11 )
米，则乙每天实际完成量为 6+ a 米，终每天实际总成本比计划多 24+ a 万元，则最中每天
8 2
( 11 ) ( 11 )
的实际总成本为108+ 24+ a = 132+ a 万元，
2 2
( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 11
∴ 10+ a × 6+ a + 8+ a × 6+ a =132+ a，整理得，a2+12a−288=0，解得，
6 4 3 8 2
a =12，a =−24（不符合题意，舍去），
1 2
∴a的值为12．
【点睛】本题主要考查方程与实际问题的综合，理解题目中的数量关系，掌握列方程的方法，解一
元一次方程，一元二次方程的方法是解题的关键．
【变式6】一架飞机在跑道起点处着陆后滑行的相关数据如下表：
滑行时间t/s 0 1 2 3 4
滑行速度 6
57 54 51 48
y/m/s 0
已知该飞机在跑道起点处着陆后的滑行速度y（单位：m/s）与滑行时间t（单位：s）之间满足一次v +v
函数关系．而滑行距离=平均速度v×时间t，v= 0 t，其中v 是初始速度，v 是t秒时的速度．
2 0 t
(1)直接写出y关于t的函数解析式和自变量的取值范围；
(2)求飞机滑行的最远距离；
(3)当飞机在跑道起点处着陆后滑行了450m，求此时飞机的滑行速度；
(4)若飞机在跑道起点处开始滑行时，发现前方300m有一辆通勤车正以54km/h的速度匀速同向行驶，
试问飞机滑行过程中是否有碰撞通勤车的危险？
【答案】(1)y=−3t+60(0≤t≤20)
(2)飞机滑行的最远距离为600m
(3)此时飞机的滑行速度是30m/s
(4)飞机滑行过程中没有碰撞通勤车的危险
【知识点】行程问题(一元二次方程的应用)、求一次函数解析式、行程问题(一次函数的实际应用)、
其他问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题考查待定系数法确定函数解析式，求函数值、求自变量值；理解函数与方程的联系是
解题的关键．
（1）设y关于t的函数解析式为y=kt+m，利用待定系数法求解，令y=0，即可求出t的取值范围
即可；
v +v
（2）根据滑行距离=平均速度v×时间t，v= 0 t，其中v 是初始速度，v 是t秒时的速度，代入
2 0 t
数值计算即可求解；
v +v
（3）根据行距离=平均速度v×时间t，v= 0 t，其中v 是初始速度，v 是t秒时的速度，即v = y，
2 0 t t
建立关于t的一元二次方程即可求解；
（4）设飞机滑行的距离为w，求出飞机滑行的距离w与时间t的关系式，由飞机滑行的时间内，根
据通勤车与飞机之间的距离，建立关于t的方程，在飞机滑行的时间内，看飞机能否追上通勤车即
可得出结论．
【详解】（1）解：设y关于t的函数解析式为y=kt+m，
将(0,60),(1,57)代入，得：¿，
解得：¿，
∴ y关于t的函数解析式为y=−3t+60，
当y=0时，则−3t+60=0，
解得t=20，∴y关于t的函数解析式y=−3t+60(0≤t≤20)；
60+0
（2）解：根据题意：飞机滑行的最远距离为 ×20=600m，
2
答：飞机滑行的最远距离为600m；
60+v
（3）解：∵450= t ⋅t，v = y=−3t+60，
2 t
60+(−3t+60)
∴450= ⋅t，即3t2−120t+900=0，
2
解得：t=10或t=30（舍去），
∴v = y=−3×10+60=30(m/s)
t
答：此时飞机的滑行速度是30m/s；
（4）解：设飞机滑行的距离为w，
60+(−3t+60) 3
则飞机滑行的距离w与时间t的关系式为：w= ⋅t=− t2+60t，
2 2
∵通勤车与飞机之间的距离为：300− ( − 3 t2+60t ) +54t，
2
令通勤车与飞机之间的距离0，则300− ( − 3 t2+60t ) +54t=0，即t2−4t+200=0，
2
∵(−4) 2−4×1×200=−184<0，
∴方程无解，
∴在飞机滑行的时间内，飞机不会撞上通勤车，
∴飞机滑行过程中没有碰撞通勤车的危险．
【变式7】根据以下信息，探索完成任务：
如何确定服务驿站序号？
某快递公司在A站与B站之间共设有30个服务驿站（包括A站、B站），一辆快递货车由A
站出发，依次途经各站驰往B站，每停靠一站，均要卸下前面各站发往该站的货包各1个，
素材
又要装上该站发往后面各站的货包各1个，已知该快递车在第1个服务驿站（即A站）启程
1
时装载的货包总数为(30−1)=29个，在第2个服务驿站启程时装载的货包总数为
(30−1)−1+(30−2)=2×(30−2)=56个．
素材
快递车在某服务驿站C站启程时快递货车装载的货包总数为125个．
2
问题解决
任务 该快递车在第3个服务驿站启程时装载的货包总数为______个（直接写结果即可）；
一
该快递车在第4个服务驿站启程时装载的货包总数为______个（直接写结果即可）；
分析特殊
情况
任务
二
设x代表A地到B地依次经过的服务驿站序号，则该快递车在第x个服务驿站启程时装载的
归纳 货包总数为______个；
一般
规律
任务
三
确定
求服务驿站C站处在从A站到B站中的第几站？
站点
序号
【答案】任务一：81，104；任务二：(−x2+30x)；任务三：服务驿站C站处在从A站到B站中的
第5站或第25站
【知识点】数字类规律探索、其他问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，一元二次方程的应用．
任务一：根据材料列式计算即可；
任务二：结合材料与任务一中即可得出规律，从而列出关系式；
任务三：设服务驿站C站处在从A站到B站中的第n站，由任务二中规律，根据快递车在某服务驿
站C站启程时快递货车装载的货包总数为125个．列出方程求解即可．
【详解】任务一：
解：该快递车在第3个服务驿站启程时装载的货包总数为：
(30−1)−1+(30−2)−2+(30−3)=3×(30−3)=81（个）；
该快递车在第4个服务驿站启程时装载的货包总数为：
(30−1)−1+(30−2)−2+(30−3)−3+(30−4)=4×(30−4)=104（个）；
任务二：
解：第1个服务驿站启程时装载的货包总数为：1×(30−1)；
第2个服务驿站启程时装载的货包总数为：2×(30−2)；
第3个服务驿站启程时装载的货包总数为：3×(30−3)；
第4个服务驿站启程时装载的货包总数为：4×(30−4)；
⋯；
则快递车在第x个服务驿站启程时装载的货包总数为：x(30−x)=(−x2+30x)个；
任务三：
解：设服务驿站C站处在从A站到B站中的第n站，由任务二得：−n2+30n=125，即n2−30n+125=0，
解得：n=5或n=25，
答：服务驿站C站处在从A站到B站中的第5站或第25站．
