文档内容
专题 04 二次根式（分层训练）
【基础训练】
一、单选题
1．下列计算中，正确的是( )
A．√9＝±3 B．(﹣1)0＝1 C．|a|﹣a＝0 D．4a﹣a＝3
2．下列计算中，正确的是（ ）
A．2√3+2√5=5√5 B．(√3+√7)⋅√10=√10⋅√10=10
C．(3+2√3)(3−2√3)=−3 D．(√2a+√b)(√2a+b)=2a+b
3．若2√2+√n可以合并为一项，则n可以是( )
A．9 B．18 C．27 D．54
4．下列各式中，一定是二次根式的有（ ）
① ② ③ ④ ⑤
√2 √a √a2+1 √4 √−x
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5．要使式子√x−4有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥4 B．x≠4 C．x＜4 D．x＞4
6．下列运算正确的是（ ）
A．
√9=±3
B．
(a3) 4 =a12
C．(1) −1
=−2
D．
2√a×3√a=6√a
2
7．已知x=2−√3，y=2+√3，则x2+2xy+ y2的值等于（ ）
A．0 B．4 C．√4 3 D．16
√x+2
8．在函数y= 中，自变量x的取值范围是（ ）
x
A．x⩾−2且x≠0 B．x>−2且x>−2 C．x>0 D．x⩽−2
√ 49 9 √441 21
9．观察式子：√4×9=√36=6，√4×√9=2×3=6； × = = ，
100 4 400 20
√ 49 √9 7 3 21
× = × = ；√0.25×0.04=√0.01=0.1，√0.25×√0.04=0.5×0.2=0.1．由此猜
100 4 10 2 20
想√ab=√a⋅√b(a≥0,b≥0)．上述探究过程蕴含的思想方法是（ ）
A．特殊与一般 B．整体 C．转化 D．分类讨论
10．下列各式中计算正确的有（ ）
2 17 √12+√27
① √2+5√2= √2；②5√x-√x=4√x；③3√2a-√8a=√2a；④ =√4+√9
3 3 3A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．②④
11．要使二次根式√x−3有意义，则x可取的值是（ ）
A．2 B．4 C．0 D．−1
12．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
√1
A． B．√2 C．√0.1 D．√50
2
√2
13．估计(√48−√12)× 的值在（ ）
3
A．2和3之间 B．3和4之间
C．4和5之间 D．5和6之间
14．实数a在数轴上的位置如图所示，则 化简后为（ ）
√(2a−3) 2+√(a−15) 2
A．-15 B． a+12
C．2a-15 D．无法确定
√x+3
15．代数式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
x−1
A．x≥−3 B．x>3 C．x≥−3且x≠1 D．x<3
二、填空题
16．若式子√x−5在实数范围内有意义，则x应满足的条件是 ．
17．若矩形的长为 ，宽为 ，则长方形的面积为 ．
(3+√7)cm (3−√7)cm cm2
18．如图，在正方形ABCD中，E是CD边上一点，连接AE，过点B作BF⊥AE于点F，若
AB=2√3，∠DAE=30°，则图中阴影部分的面积为 ．
19．计算下列各小题．
（1）﹣8的立方根是 ；
（2）√18−√2＝ ．√x−2
20．函数y= 的自变量x的取值范围是 ．
x−2
21．计算：（√7）2＝ ．
22．当x=√3时，代数式x2+2x+2的值为 ．
√1
23．√50−4 = ．
8
24．如果√a与√−a同时有意义，那么a= ．
25． (1) −1 .
√4− =
2
三、解答题
26．（1）问题再现
学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，“求代数式
的最小值”：小强同学发现 可看作两直角边分别为x和2的直角三角
√x2+4+√(12−x) 2+9 √x2+4
形斜边长， 可看作两直角边分别是 和3的直角三角形的斜边长．于是构造出如
√(12−x) 2+9 12−x
图，将问题转化为求线段 的长，进而求得 的最小值是 ；
AB √x2+4+√(12−x) 2+9
（2）应用
如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，若AE=8，
连接HC，则HC+AB的最小值是 ；
（3）类比迁移
已知a，b均为正数，且 ，求 的最大值．
a−b=6 √a2+4−√b2+1
27．计算：√1
(1) +√(−3) 2+|√3−2|
4
√1
(2)√24÷√3+ ×√12−√6
2
28．计算或化简：
(1) √a2 √a；
4√6a3÷3 ⋅2a
3 3
(2)如图，实数a、b在数轴上的位置，化简 ：
√a2−√b2−√(a−b) 2
29．计算：
3
(1) −(√3) 2+(π+√3) 0 −√27+|√3−2|
√3
(2)( √1 )
3√12−2 +√48 ÷2√3
3
(3)
(2√5+√3) 2 −(√5+√2)(√5−√2)
√1
(4)√8×(√2− )
2
2
30．定义：若（m+2）2＝n，则称m是n的“伴生数”．设m＝√3(2− √3)，n＝
3
(√10+√2)(√10−√2)，判断m是不是n的“伴生数”，并说明理由．
31．计算：（1）√20−√10 √1 ；（2）
− （√5+3）（3−√5）−（√3−1） 2
√5 2
32．计算：
(1)
√(−2) 2−√327+|√3−2|+√3
(2)
(a2b−b3−2ab)÷b−(a−b)(a+b)
33．观察下列等式：
① 1 √2−1 √2−1 ；
= = =√2−1
√2+1 (√2+1)(√2−1) 2−1② 1 √3−√2 √3−√2 ；
= = =√3−√2
√3+√2 (√3+√2)(√3−√2) 3−2
③ 1 2−√3 2−√3 ．……
= = =2−√3
2+√3 (2+√3)(2−√3) 4−3
回答下列问题：
1
(1)利用你观察到的规律，化简： =__________；
√5+√3
1 1 1 1 1
(2)计算： + + + +⋯+ ．
√3+1 √5+√3 √7+√5 √9+√7 √99+√97
34．化简：
(1)√9×16；
(2)√16×81．
35．计算与解方程：
（1）√3 ( √ 2) 1 ；
× − 2 × √56
4 3 3
（2） （ ， ）
5√ab⋅(−4√a3b) a≥0 b≥0
（3）( x−1) x2+6x+9；
2− ÷
x+1 x2−1
3x 1
（4） =1− ．
x−1 x−1
【能力提升】
36．阅读下面材料并解决有关问题：
（一）由于 ，所以 ，即 ，并且当 时， ；对
(a−b) 2≥0 a2−2ab+b2≥0 a2+b2≥2ab a=b a2+b2=2ab
于两个非负实数 ， ，由于 所以 ，即 ，所
a b (√a−√b) 2 ≥0, (√a) 2 −2√a√b+(√b) 2 ≥0 a−2√ab+b≥0
以a+b≥2√ab，并且当a=b时，a+b=2√ab；
（二）分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质．小学
里，把分子比分母小的数叫做真分数，类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分
式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式，如：x+1 x−1+2 x−1 2 2
= = + =1+ ；
x−1 x−1 x−1 x−1 x−1
(1)在①2x+3、②x2+1、③ x 、④x4+1这些分式中，属于假分式的是________（填序号）；
x+1 x x2+1 x2
(2)已知： x 1，求代数式 x2 的值；
=
x2+1 3 x4+1
x+3√x+2+5
(3)当x为何值时， 有最小值？并求出最小值．（写出解答过程）
√x+2+1
37．已知 ， 为两个正实数， ，
a b ∵a+b−2√ab=(√a) 2+(√b) 2 −2√a⋅√b=(√a−√b) 2 ≥0
a+b a+b
∴a+b≥2√ab，即： ≥√ab，当且仅当“a=b”时，等号成立．我们把 叫做正数a，b的
2 2
算术平均数，把√ab叫做正数a，b的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均
数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最值问题的有力
1
工具．示例：当x>0时，求y=x+ +1的最小值；
x
1 √ 1 1
解：y=(x+ )+1≥2 x⋅ +1=3，当x= ，即x=1时，y的最小值为3．
x x x
x2−3x+16
(1)探究：当x>0时，求y= 的最小值；
x
(2)知识迁移：随着人们生活水平的提高，汽车已成为越来越多家庭的交通工具，假设某种汽车的购
n2+n
车费用为10万元，每年应缴保险费等各类费用共计0.4万元，n年的保养，维修费用总和为 万
10
元，问这种汽车使用多少年报废最合算（即使用多少年的年平均费用最少，年平均费用=所有费用：
年数n）？最少年平均费用为多少万元？
(3)创新应用：如图，在直角坐标系中，直线AB经点P(3,4)，与坐标轴正半轴相交于A，B两点，
当△AOB的面积最小时，求直线AB的表达式．38．【阅读下列材料】：
若 ， ，则 ， ，∴ ．（注： ）∵
a>0 b>0 a=(√a) 2 b=(√b) 2 (√a−√b) 2=a+b−2√ab √a⋅√b=√ab
， ，∴ ．“ ”称为“基本不等式”，利用它
(√a−√b) 2 ≥0 a+b−2√ab≥0 a+b≥2√ab a+b≥2√ab
可求一些代数式的最值及解决一些实际问题．（a、b为正数；积定和最小；和定积最大；当a=b时，
取等号．）
【例】：若a>0，b>0，ab=16，求a+b的最小值．
解：∵a>0，b>0，ab=16 ∴a+b−2√ab≥0，
∴a+b≥2√ab=8．
∴a=b=4时，a+b的最小值为8．
【解决问题】
(1)用篱笆围成一个面积为100m2的长方形菜园，当这个长方形的边长为多少时，所用篱笆最短？最
短篱笆的长是多少；
(2)用一段长为100m的篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长）的长方形菜园，当这个长方形的边长是
多少时，菜园面积最大？最大面积是多少；
(3)如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOD、△BOC的面积分别为2和3，求
四边形ABCD面积的最小值．
39．(1)已知|2016－x|＋√x−2017＝x，求x－20172的值；
2a+3b+√ab
(2)已知a>0，b>0且√a (√a＋√b)＝3√b (√a＋5√b)，求 的值.
a−b+√ab
40．发现问题
小明买菠萝时发现，通常情况下，销售员都是先削去菠萝的皮，再斜着铲去菠萝的籽．
提出问题
销售员斜着铲去菠萝的籽，除了方便操作，是否还蕴含着什么数学道理呢？分析问题
某菠萝可以近似看成圆柱体，若忽略籽的体积和铲去果肉的厚度与宽度，那么籽在侧面展开图上可
以看成点，每个点表示不同的籽．该菠萝的籽在侧面展开图上呈交错规律排列，每行有n个籽，每
列有k个籽，行上相邻两籽、列上相邻两籽的间距都为d（n，k均为正整数，n>k≥3，d>0），如
图1所示．
小明设计了如下三种铲籽方案．
方案1：图1是横向铲籽示意图，每行铲的路径长为________，共铲________行，则铲除全部籽的路
径总长为________；
方案2：图2是纵向铲籽示意图，则铲除全部籽的路径总长为________；
方案3：图3是销售员斜着铲籽示意图，写出该方案铲除全部籽的路径总长．
解决问题
在三个方案中，哪种方案铲籽路径总长最短？请写出比较过程，并对销售员的操作方法进行评价．
