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专题 04 二次根式（分层训练）
【基础训练】
一、单选题
1．下列计算中，正确的是( )
A．√9＝±3 B．(﹣1)0＝1 C．|a|﹣a＝0 D．4a﹣a＝3
【答案】B
【分析】直接利用算术平方根的定义以及绝对值的性质、合并同类项法则分别化简得出答案．
【详解】A、√9＝3，故此选项错误；
B、(﹣1)0＝1，正确；
C、|a|﹣a＝0(a≥0)，故此选项错误；
D、4a﹣a＝3a，故此选项错误；
故选B．
【点睛】此题主要考查了算术平方根的定义以及绝对值的性质、合并同类项，正确掌握相关运算法
则是解题关键．
2．下列计算中，正确的是（ ）
A．2√3+2√5=5√5 B．(√3+√7)⋅√10=√10⋅√10=10
C．(3+2√3)(3−2√3)=−3 D．(√2a+√b)(√2a+b)=2a+b
【答案】C
【知识点】二次根式的混合运算、利用二次根式的性质化简
【分析】根据二次根式的性质和二次根式的混合运算计算即可得出答案．
【详解】解：A、2√3与2√5不是同类二次根式，不能合并，此选项错误，不符合题意；
B、(√3+√7)⋅√10=√30+√70，此选项错误，不符合题意；
C、(3+2√3)(3−2√3)=9−12=−3，此选项正确，符合题意；
D、(√2a+√b)(√2a+b)=2a2+√2ab+√2ba+b√b，此选项错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．
3．若2√2+√n可以合并为一项，则n可以是( )
A．9 B．18 C．27 D．54
【答案】B
【知识点】同类二次根式
【分析】根据同类二次根式进行逐项分析即可．
【详解】解：∵2√2+√n可以合并为一项，∴√n与2√2是同类二次根式，
当n=9时，√n=√9=3；
当n=18时，√n=√18=3√2；
当n=27时，√n=√27=3√3；
当n=54时，√n=√54=3√6．
故选：B．
【点睛】本题考查同类二次根式的定义，解题关键是理解能够合并成一项，即化简后它们的被开方
数相同．
4．下列各式中，一定是二次根式的有（ ）
①√2 ②√a ③√a2+1 ④√4 ⑤ √−x
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【知识点】二次根式有意义的条件
【分析】根据二次根式的定义作判断：式子 √a（a≥0）叫做二次根式．
【详解】解：①√2是二次根式；②√a不是二次根式；③√a2+1，∵a2≥0，∴a2+1＞0，故√a2+1是
二次根式；④√4是二次根式；⑤ √−x不是二次根式.
故选B.
【点睛】本题主要考查的是二次根式的定义，掌握二次根式的定义是解题的关键．
5．要使式子√x−4有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥4 B．x≠4 C．x＜4 D．x＞4
【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件
【分析】根据二次根式有意义的条件求解．
【详解】解：∵式子√x−4有意义，
∴x﹣4≥0，
∴x≥4．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是利用被开方数是非负数得出不等式．
6．下列运算正确的是（ ）
A．√9=±3 B．(a3) 4 =a12 C．
(1) −1
=−2 D．2√a×3√a=6√a
2
【答案】B【知识点】二次根式的乘法、负整数指数幂、幂的乘方运算、求一个数的算术平方根
【分析】本题考查算术平方根，幂的乘方，负整数指数幂，二次根数的乘法运算，根据相应法则，
逐一进行判断即可．
【详解】解：A、√9=3，原选项计算错误；
B、(a3) 4 =a12，原选项计算正确；
(1) −1
C、 =2，原选项计算错误；
2
D、2√a×3√a=6a，原选项计算错误；
故选：B．
7．已知x=2−√3，y=2+√3，则x2+2xy+ y2的值等于（ ）
A．0 B．4 C．√4 3 D．16
【答案】D
【知识点】已知字母的值，化简求值、完全平方公式分解因式
【分析】先根据完全平方公式分解因式，然后再代入数据进行计算即可．
【详解】解：∵x=2−√3，y=2+√3，
∴x2+2xy+ y2
=(x+ y) 2
=(2−√3+2+√3) 2
=42
=16．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了分解因式的应用和实数混合运算，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键．
√x+2
8．在函数y= 中，自变量x的取值范围是（ ）
x
A．x⩾−2且x≠0 B．x>−2且x>−2 C．x>0 D．x⩽−2
【答案】A
【分析】根据二次根式有意义和分式有意义的条件列式求解即可．
【详解】解：根据题意得：x+2⩾0且x≠0
解得，x⩾−2，且x≠0
故选：A
【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围：自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义．
√ 49 9 √441 21
9．观察式子：√4×9=√36=6，√4×√9=2×3=6； × = = ，
100 4 400 20
√ 49 √9 7 3 21
× = × = ；√0.25×0.04=√0.01=0.1，√0.25×√0.04=0.5×0.2=0.1．由此猜
100 4 10 2 20
想√ab=√a⋅√b(a≥0,b≥0)．上述探究过程蕴含的思想方法是（ ）
A．特殊与一般 B．整体 C．转化 D．分类讨论
【答案】A
【知识点】二次根式的乘法、数字类规律探索
【分析】观察题意，确定出蕴含的数学思想方法即可．
√ 49 9 √441 21
【详解】解：观察式子：√4×9=√36=6，√4×√9=2×3=6； × = = ，
100 4 400 20
√ 49 √9 7 3 21
× = × = ；√0.25×0.04=√0.01=0.1，√0.25×√0.04=0.5×0.2=0.1
100 4 10 2 20
√ab=√a⋅√b(a≥0,b≥0)．上述探究过程蕴含的思想方法是特殊与一般．
故选A．
【点睛】此题考查了二次根式的乘除法，以及数学思想方法，弄清各种数学思想方法适用的范围是
解本题的关键．
10．下列各式中计算正确的有（ ）
2 17 √12+√27
① √2+5√2= √2；②5√x-√x=4√x；③3√2a-√8a=√2a；④ =√4+√9
3 3 3
A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．②④
【答案】B
【知识点】二次根式的加减运算
【分析】根据二次根式的加减运算法则分别计算，再判断．
2 17
【详解】解：① √2+5√2= √2，计算正确；
3 3
②5√x−√x=4√x，计算正确；
③3√2a−√8a=3√2a−2√2a=√2a，计算正确；
√12+√27 2√3+3√3 5
④ = = √3，计算错误；
3 3 3
正确的是①②③，
故选：B．
【点睛】本题考查二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行
合并．合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与被开方数不变．11．要使二次根式√x−3有意义，则x可取的值是（ ）
A．2 B．4 C．0 D．−1
【答案】B
【知识点】二次根式有意义的条件
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是根据二次根式的被开方数为非负数，
求出x≥3．
根据二次根式有意义的条件进行解答即可．
【详解】解：∵二次根式√x−3有意义，
∴x−3≥0，
解得：x≥3，
∴x可取的数为4，故B正确．
故选：B．
12．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
√1
A． B．√2 C．√0.1 D．√50
2
【答案】B
【知识点】最简二次根式的判断、利用二次根式的性质化简
【分析】根据最简二次根式的定义逐项判断即可．
√1
【详解】解：A、 ，被开方数中含有分母，不是最简二次根式；
2
B、√2是最简二次根式；
√ 1
C、√0.1= ，被开方数中含有分母，不是最简二次根式；
10
D、√50=5√2，被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式；
故选：B．
【点睛】本题考查最简二次根式的定义，理解最简二次根式的定义是解题的关键．满足下列两个条
件的二次根式，叫做最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中
不含能开得尽方的因数或因式．
√2
13．估计(√48−√12)× 的值在（ ）
3
A．2和3之间 B．3和4之间
C．4和5之间 D．5和6之间
【答案】A
【知识点】二次根式的混合运算、无理数的大小估算
【分析】本题考查二次根式的混合运算，二次根式的估值．先根据二次根式的混合运算求出式子的值，再进行估值即可解答．
√2 √2
【详解】解：(√48−√12)× =2√3× =√8
3 3
∵2<√8<3
√2
∴(√48−√12)× 的值在2和3之间
3
故答案为：A
14．实数a在数轴上的位置如图所示，则√(2a−3) 2+√(a−15) 2化简后为（ ）
A．-15 B． a+12
C．2a-15 D．无法确定
【答案】B
【分析】原式利用二次根式的性质化简，再利用绝对值的代数意义计算即可得到结果．
【详解】∵5＜a＜10，
∴2a-3＞0，a-15＜0，
则原式=|2a-3|+|a-15|=2a-3+15-a=a+12．
故选B.
【点睛】此题考查二次根式的性质与化简，以及绝对值的代数意义，熟练掌握运算法则是解本题的
关键．
√x+3
15．代数式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
x−1
A．x≥−3 B．x>3 C．x≥−3且x≠1 D．x<3
【答案】C
【知识点】二次根式有意义的条件、分式有意义的条件
【分析】根据二次根式和分式有意义的条件，被开方数大于等于0，分母不等于0，可得：x+3≥0，
x−1≠0，解不等式就可以求解．
√x+3
【详解】代数式 有意义，
x−1
∴x+3≥0，x−1≠0，
解得：x≥−3且x≠1．
故选 C．
【点睛】本题主要考查了分式和二次根式有意义的条件，关键是掌握：①分式有意义，分母不为
0；②二次根式的被开方数是非负数．二、填空题
16．若式子√x−5在实数范围内有意义，则x应满足的条件是 ．
【答案】x≥5．
【知识点】二次根式有意义的条件
【分析】直接利用二次根式的定义分析得出答案．
【详解】解：若式子√x−5在实数范围内有意义，则x﹣5≥0，
解得：x≥5．
故答案为：x≥5．
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件以及绝对值的性质，解题关键是掌握二次根式中的被开方
数是非负数．
17．若矩形的长为(3+√7)cm，宽为(3−√7)cm，则长方形的面积为 cm2．
【答案】2
【知识点】二次根式的乘法
【分析】根据长方形的面积公式和平方差公式计算即可．
【详解】解：矩形的长为(3+√7)cm，宽为(3−√7)cm，长方形的面积为
(3+√7)(3−√7)=32−(√7) 2=2（cm2）
故答案为：2．
【点睛】本题考查了二次根式的乘法，解题关键是熟练运用平方差公式进行计算．
18．如图，在正方形ABCD中，E是CD边上一点，连接AE，过点B作BF⊥AE于点F，若
AB=2√3，∠DAE=30°，则图中阴影部分的面积为 ．
7
【答案】12− √3
2
【知识点】根据正方形的性质求面积、用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形、二次根式的
应用
【分析】先根据正方形的性质可得AD=AB=2√3,∠D=∠BAD=90°，再在Rt△ADE中，根据
含30°角的直角三角形的性质、勾股定理可得DE=2，然后在Rt△ABF中，根据含30°角的直角三角形的性质、勾股定理可得AF=√3,BF=3，最后根据图中阴影部分的面积等于
S −S −S 即可得．
正方形ABCD Rt△ADE Rt△ABF
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，AB=2√3，
∴AD=AB=2√3,∠D=∠BAD=90°，
∵∠DAE=30°，
∴AE=2DE，
设DE=x(x>0)，则AE=2x，
∴AD=√AE2−DE2=√3x=2√3，
解得x=2，
即DE=2，
又∵∠DAE=30°,∠BAD=90°，
∴∠BAF=60°，
∵BF⊥AE，
∴∠ABF=30°，
1
∴AF= AB=√3,BF=√AB2−AF2=3，
2
则图中阴影部分的面积为S −S −S
正方形ABCD Rt△ADE Rt△ABF
1 1
=AB2− AD⋅DE− BF⋅AF
2 2
1 1
=(2√3) 2 − ×2√3×2− ×3×√3
2 2
7
=12− √3，
2
7
故答案为：12− √3．
2
【点睛】本题考查了正方形的性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理、二次根式的乘法的
应用，熟练掌握正方形的性质和含30°角的直角三角形的性质是解题关键．
19．计算下列各小题．
（1）﹣8的立方根是 ；
（2）√18−√2＝ ．
【答案】 -2 2√2
【知识点】二次根式的加减运算、求一个数的立方根
【分析】(1)根据立方根的定义及求法，即可求得；
(2)首先化简二次根式，再合并即可求得．
【详解】解：(1) ∵(-2)3=-8,∴-8的立方根是-2；
故答案为：-2；
(2)√18−√2
=3√2−√2
=2√2
故答案为：2√2．
【点睛】本题考查了求一个数的立方根，二次根式的减法运算，熟练掌握和运用二次根式的运算是
解决本题的关键．
√x−2
20．函数y= 的自变量x的取值范围是 ．
x−2
【答案】x>2
【知识点】求自变量的取值范围、二次根式有意义的条件、分式有意义的条件
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【详解】解：由题意得，x−2≥0且x−2≠0，
解得x>2．
故答案为：x>2．
【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：
①当函数解析式是整式时，字母可取全体实数；②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为
0；③当函数解析式是二次根式时，被开方数为非负数．
21．计算：（√7）2＝ ．
【答案】7
【知识点】利用二次根式的性质化简
【分析】直接根据二次根式的性质求解即可得到答案．
【详解】解：（√7）2＝7，
故答案为：7．
【点睛】此题主要考查了二次根式的性质，熟记(√a)
2=a(a≥0)是解答此题的关键．
22．当x=√3时，代数式x2+2x+2的值为 ．
【答案】5+2√3/2√3+5
【知识点】已知字母的值，化简求值、二次根式的混合运算
【分析】将x=√3代入x2+2x+2计算即可．
【详解】解：当x=√3时，
x2+2x+2，
=(√3) 2+2×√3+2=3+2√3+2
=5+2√3．
故答案为：5+2√3．
【点睛】本题考查了求代数式的值，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．
√1
23．√50−4 = ．
8
【答案】4√2
【分析】先将每个二次根式化简，再合并同类二次根式即可.
√1 1
【详解】√50−4 =5√2−4× √2= 4√2，
8 4
故答案为：4√2.
【点睛】此题考查二次根式的减法法则，正确化简二次根式是解题的关键.
24．如果√a与√−a同时有意义，那么a= ．
【答案】0
【知识点】求不等式组的解集、二次根式有意义的条件
【分析】题目主要考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件列出不等式是解题
关键．
【详解】解：∵√a与√−a同时有意义，
∴a≥0，−a≥0，
∴a=0，
故答案为：0．
(1) −1
25．√4− = .
2
【答案】0
【知识点】负整数指数幂、二次根式的混合运算
(1) -1
【分析】先计算√4和 的值再计算，计算顺序，先算乘方和开方，再算加减.
2
(1) -1
√4-
2
【详解】
=2-2
=0
1
【点睛】本题算术平方根和负指数幂的求法，掌握a−p=
，是解答本题的关键.
ap三、解答题
26．（1）问题再现
学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，“求代数式
√x2+4+√(12−x) 2+9的最小值”：小强同学发现√x2+4可看作两直角边分别为x和2的直角三角
形斜边长，√(12−x) 2+9可看作两直角边分别是12−x和3的直角三角形的斜边长．于是构造出如
图，将问题转化为求线段AB的长，进而求得√x2+4+√(12−x) 2+9的最小值是 ；
（2）应用
如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，若AE=8，
连接HC，则HC+AB的最小值是 ；
（3）类比迁移
已知a，b均为正数，且a−b=6，求√a2+4−√b2+1的最大值．
【答案】（1）13；（2）8√5；（3）√37
【知识点】二次根式的应用、用勾股定理解三角形、矩形性质理解
【分析】本题主要考查了勾股定理，线段和最值问题、矩形的性质，三角形三边关系的应用，解题
的关键在于能够准确读懂题意，利用勾股定理求解．
（1）利用题目中的构图，推出√x2+4+√(12−x) 2+9的最小值是AB的长，再利用勾股定理求出AB
即可；
（2）设AH=x，则HG=8﹣x，由勾股定理，得AB=√x2+64，HC=√(8−x) 2+64，则
HC+AB=√(8−x) 2+64+√x2+64，再仿照（1）的构图和求解方法解答即可；（3）构造矩形AEBF中，C是BE的中点，CD⊥BE于C，AF=2，BF=a，BC=1，CD=b，求
得AB=√a2+4，BD=√b2+1，则√a2+4−√b2+1=AB−BD，应为AB−BD≤AD，所以
AB−BD的最大值为AD，过点D作DG⊥AE于点G，在Rt△ADG中，利用勾股定理求出AD即
可解决问题．
【详解】解：（1）如图，AC=2+3=5，BC=x+12−x=12，
由勾股定理，得AB=√AC2+BC2=√52+122=1，
∴√x2+4+√(12−x) 2+9的最小值是 13，
故答案为：13；
（2）如图，
设这4个全等直角三角形的短边为x，则AH=x，HG=8−x，
由勾股定理，得AB=√AH2+BH2=√x2+64，
由勾股定理，得HC=√GH2+CG2=√(8−x) 2+64，
则HC+AB=√(8−x) 2+64+√x2+64，
构造图形如下：
∵MN=GH=8，NH=8，∠MNH=∠GHN=90°，设NP=x，则PH=8−x，
可得MP=√x2+64=AB，PG=√(8−x) 2+64=HC，
∴HC+AB=MP+PG≥MG，
∴HC+AB的最小值为MG的长，
过点M作MQ⊥GH交GH延长线于Q，则MN∥QH，MQ∥HN，
∴QM=HN=8，QH=MN=8，
∴QG=16，
由勾股定理MG=√MQ2+QG2=√82+162=8√5，
∴HC+AB的最小值为8√5，
故答案为：8√5；
（3）模仿（1）可知，构造图形如下：
矩形AEBF中，CD⊥BE于C，AF=2，BF=a，BC=1，CD=b，
在Rt△ABF中，由勾股定理，得AB=√BF2+AF2=√a2+4，
在Rt△BCD中，由勾股定理，得BD=√CD2+BC2=√b2+1，
∴√a2+4−√b2+1=AB−BD，
即√a2+4−√b2+1的值最大，就是AB−BD的值最大，
∵AB−BD≤AD，
∴AB−BD的最大值为AD，
过点D作DG⊥AE于点G，
则AG=AE−≥=FB−CD=a−b=6，DG=CE=BE−BC=AF−BC=2−1=1，
在Rt△ADG中，由勾股定理，得AD=√AG2+DG2=√62+12=√37，
故√a2+4−√b2+1的最大值为√37．
27．计算：
√1
(1) +√(−3) 2+|√3−2|
4√1
(2)√24÷√3+ ×√12−√6
2
11
【答案】（1） −√3；（2）2√2
2
【知识点】二次根式的混合运算
【分析】（1）根据算术平方根和绝对值的性质化简，然后根据二次根式的加减法即可；
（2）根据二次根式的乘除法分别计算，然后合并同类二次根式即可．
√1
【详解】解：（1） +√(−3) 2+|√3−2|
4
1
= +3+2−√3
2
11
= −√3；
2
√1
（2）√24÷√3+ ×√12−√6
2
=√8+√6−√6
=2√2．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法．
28．计算或化简：
√a2 √a
(1)4√6a3÷3 ⋅2a ；
3 3
(2)如图，实数a、b在数轴上的位置，化简 ：√a2−√b2−√(a−b) 2
8√6a2
【答案】(1)
3
(2)−2b
【知识点】二次根式的乘除混合运算、利用二次根式的性质化简、根据点在数轴的位置判断式子的
正负
【分析】（1）先利用二次根式的性质化简，再进行乘除运算；
（2）先根据实数a、b在数轴上的位置判断a、b的符号，再利用二次根式的性质化简．
√a2 √a
【详解】（1）解：4√6a3÷3 ⋅2a
3 3
2a⋅√3a
=4a⋅√6a÷√3a⋅
32a⋅√3a
=4√2a⋅
3
8√6a2
=
3
（2）解：由数轴可知，−1<a<0，0<b<1，
∴√a2=−a，√b2=b，√(a−b) 2=|a−b|=b−a，
∴√a2−√b2−√(a−b) 2=−a−b−(b−a)=−2b．
【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键．
29．计算：
3
(1) −(√3) 2+(π+√3) 0 −√27+|√3−2|
√3
( √1 )
(2) 3√12−2 +√48 ÷2√3
3
(3)(2√5+√3) 2 −(√5+√2)(√5−√2)
√1
(4)√8×(√2− )
2
【答案】(1)−3√3
14
(2)
3
(3)20+4√15
(4)2
【知识点】二次根式的混合运算、零指数幂
3
【分析】对于（1），根据 =√3，(√3) 2=3，(π+√3) 0=1，√27=3√3，|√3−2|=2−√3，再
√3
计算即可；
对于（2），先根据二次根式加减法法则计算括号内的，再根据二次根式的除法法则计算；
对于（3），先计算二次根式的乘除，再计算二次根式的加减；
对于（4），根据乘法分配律计算即可．
【详解】（1）原式=√3−3+1−3√3+2−√3
=−3√3；
2√3
（2）原式=(6√3− +4√3)÷2√3
3
28√3
= ÷2√3
314
= ；
3
（3）原式=20+2√15+3−(5−2)
=23+2√15−3
=20+2√15；
（4）原式=√16−√4
=4−2
=2．
【点睛】本题主要考查了二次根式的计算，掌握二次根式运算法则是解题的关键．
2
30．定义：若（m+2）2＝n，则称m是n的“伴生数”．设m＝√3(2− √3)，n＝
3
(√10+√2)(√10−√2)，判断m是不是n的“伴生数”，并说明理由．
【答案】m不是n的“伴生数”，理由见解析
【知识点】二次根式的混合运算
【分析】利用二次根式的性质分别计算(m+2) 2 和n ，再比较大小，即可求解．
【详解】解：m不是n的“伴生数”，理由如下：
2
∵m＝√3(2− √3)，
3
2 2
∴(m+2) 2=[√3(2− √3)+2] =(2√3−2+2) 2=(2√3) 2=12 ，
3
又n＝(√10+√2)(√10−√2)=(√10) 2 −(√2) 2=10−2=8
∵12≠8 ，
∴(m+2) 2≠n ，
∴m不是n的“伴生数”．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，理解新定义，熟练掌握二次根式的性质是解题的关
键．
√20−√10 √1
31．计算：（1） − ；（2）（√5+3）（3−√5）−（√3−1） 2
√5 2
3√2
【答案】(1)2- ;(2)2√3.
2
【知识点】二次根式的混合运算
【分析】（1）先化简二次根式，再计算加减可得；（2）先利用完全平方公式和平方差公式计算，再去括号计算加减可得．
2√5−√10 √2
【详解】（1）原式= −
√5 2
√2
=2−√2−
2
3√2
=2− ；
2
（2）原式=32﹣（√5）2﹣（3﹣2√3+1）
=9﹣5﹣4+2√3
=2√3．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算
法则．
32．计算：
(1)√(−2) 2−√327+|√3−2|+√3
(2)(a2b−b3−2ab)÷b−(a−b)(a+b)
【答案】(1)1
(2)−2a
【知识点】二次根式的混合运算、运用平方差公式进行运算、实数的混合运算
【分析】本题考查了二次根式的混合运算、绝对值、整式的混合运算，熟练掌握其运算法则是解题
的关键；
（1）先计算立方根及绝对值，再进行加减即可求解；
（2）先去括号，再合并同类项，再算除法即可求解；
【详解】（1）原式=2−3+2−√3+√3=−1+2=1
（2）原式=(a2−b2−2a)−(a2−b2)=a2−b2−2a−a2+b2=−2a
33．观察下列等式：
1 √2−1 √2−1
①
= = =√2−1；
√2+1 (√2+1)(√2−1) 2−1
1 √3−√2 √3−√2
②
= = =√3−√2；
√3+√2 (√3+√2)(√3−√2) 3−2
1 2−√3 2−√3
③
= = =2−√3．……
2+√3 (2+√3)(2−√3) 4−3回答下列问题：
1
(1)利用你观察到的规律，化简： = __________；
√5+√3
1 1 1 1 1
(2)计算： + + + +⋯+ ．
√3+1 √5+√3 √7+√5 √9+√7 √99+√97
√5−√3
【答案】(1)
2
3√11−1
(2)
2
【知识点】分母有理化、二次根式的混合运算
【分析】本题考查的是分母有理化，二次根式的混合运算，熟练的进行分母有理化是解本题的关键；
（1）分子，分母都乘以√5−√3即可；
（2）先把每一项分母有理化，再结合分配律进行计算即可．
1 √5−√3 √5−√3
【详解】（1）解： = = ；
√5+√3 (√5+√3)(√5−√3) 2
1 1 1 1 1
（2） + + + +⋯+ ，
√3+1 √5+√3 √7+√5 √9+√7 √99+√97
√3−1 √5−√3 √7−√5 √99−√97
= + + +⋅⋅⋅+ ，
2 2 2 2
1
= (√3−1+√5−√3+√7−√5+⋅⋅⋅+√99−√97)，
2
1
= (√99−1)，
2
3√11−1
= ．
2
34．化简：
(1)√9×16；
(2)√16×81．
【答案】(1)12；
(2)36．
【知识点】二次根式的乘法、利用二次根式的性质化简
【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的乘法运算法则是解题的关键．
（1）将√9×16化简为√9×√16再计算即可；
（2）将√16×81化简为√16×√81再计算即可．
【详解】（1）解：√9×16
=√9×√16=3×4
=12；
（2）解：√16×81
=√16×√81
=4×9
=36．
35．计算与解方程：
√3 ( √ 2) 1
（1） × − 2 × √56；
4 3 3
（2）5√ab⋅(−4√a3b)（a≥0，b≥0）
( x−1) x2+6x+9
（3） 2− ÷ ；
x+1 x2−1
3x 1
（4） =1− ．
x−1 x−1
4 x−1
【答案】（1）− √7；（2）−20a2b；（3） ；（4）x=−1
3 x+3
【知识点】解分式方程、二次根式的乘法、利用二次根式的性质化简、分式加减乘除混合运算
【分析】（1）（2）根据二次根式的性质以及二次根式的乘法运算进行化简即可；
（3）根据分式的性质化简，先计算括号内的，同时将除法转化为乘法计算，进而根据分式的性质计
算即可；
（4）根据解分式方程的步骤计算即可，先将分式方程两边同时乘以最简公分母，转化为整式方程，
进而求解，最后检验．
√3 ( √ 2) 1
【详解】（1） × − 2 × √56
4 3 3
√3 √8 1
=− × × √56
4 3 3
1
=− √2×56
3
4
=− √7；
3
（2）∵ a≥0，b≥0
5√ab⋅(−4√a3b)=−20√a4b2
=−20a2b；
( x−1) x2+6x+9
（3） 2− ÷
x+1 x2−1
2x+2−x+1 (x+1)(x−1)
= ×
x+1 (x+3) 2
x−1
= ；
x+3
3x 1
（4） =1−
x−1 x−1
两边同时乘以(x−1)，得
3x=x−1−1，
解得x=−1．
经检验，x=−1是原方程的解．
【点睛】本题考查了二次根式的乘法运算、分式的化简及分式方程的解法，熟练掌握运算法则准确
计算是解题的关键．
【能力提升】
36．阅读下面材料并解决有关问题：
（一）由于(a−b) 2≥0，所以a2−2ab+b2≥0，即a2+b2≥2ab，并且当a=b时，a2+b2=2ab；对
于两个非负实数a，b，由于(√a−√b) 2 ≥0,所以(√a) 2 −2√a√b+(√b) 2 ≥0，即a−2√ab+b≥0，所
以a+b≥2√ab，并且当a=b时，a+b=2√ab；
（二）分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质．小学
里，把分子比分母小的数叫做真分数，类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分
式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式，如：
x+1 x−1+2 x−1 2 2
= = + =1+ ；
x−1 x−1 x−1 x−1 x−1
2x+3 x2+1 x x4+1
(1)在① 、② 、③ 、④ 这些分式中，属于假分式的是________（填序号）；
x+1 x x2+1 x2x 1 x2
(2)已知： = ，求代数式 的值；
x2+1 3 x4+1
x+3√x+2+5
(3)当x为何值时， 有最小值？并求出最小值．（写出解答过程）
√x+2+1
【答案】(1)①②④
1
(2)
7
x+3√x+2+5
(3)x=−2时， 有最小值，最小值为3
√x+2+1
【知识点】通过对完全平方公式变形求值、分式化简求值、利用二次根式的性质化简
【分析】本题为新定义问题，创新题，考查了分式的计算，二次根式的变形，完全平方公式的应用
等知识，理解题目中的相关材料，并根据题意灵活应用是解题关键．
（1）根据真分式、假分式的定义逐项判断即可求解；
x 1 x2+1 1
（2）先根据 = ，得到 =3，进而得到x+ =3，即可得到
x2+1 3 x x
x4+1 =x2+ 1 = ( x+ 1) 2 −2=7，利用倒数的定义即可求出 x2 = 1 ；
x2 x2 x x4+1 7
x+3√x+2+5 1
（3）先求出x≥−2，再将 变形为√x+2+1+1+ 根据（一）结论得到
√x+2+1 √x+2+1
1 √ 1
=√x+2+1+1+ ≥2× (√x+2+1)× +1 ≥2+1=3，即可求出当且仅当
√x+2+1 √x+2+1
1 x+3√x+2+5
=√x+2+1，即x=−2时， 有最小值，最小值为3．
√x+2+1 √x+2+1
【详解】（1）解：①是假分式，符合题意；
②是假分式，符合题意；
③是真分式，不合题意；
④是假分式，符合题意．
故答案为：①②④．
x 1
（2）解：∵ = ，
x2+1 3
x2+1
∴ =3，
x1
∴x+ =3，
x
∴ x4+1 =x2+ 1 = ( x+ 1) 2 −2=7，
x2 x2 x
x2 1
∴ = ；
x4+1 7
（3）解：由题意，x+2≥0，
∴x≥−2．
x+2+3√x+2+3 (√x+2+1) 2+√x+2+1+1
原式= =
√x+2+1 √x+2+1
1 √ 1
=√x+2+1+1+ ≥2× (√x+2+1)× +1
√x+2+1 √x+2+1
≥2+1=3．
1
当且仅当 =√x+2+1，即x=−2时，等号成立．
√x+2+1
∴原式的最小值为3．
37．已知a，b为两个正实数，∵a+b−2√ab=(√a) 2+(√b) 2 −2√a⋅√b=(√a−√b) 2 ≥0，
a+b a+b
∴a+b≥2√ab，即： ≥√ab，当且仅当“a=b”时，等号成立．我们把 叫做正数a，b的
2 2
算术平均数，把√ab叫做正数a，b的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均
数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最值问题的有力
1
工具．示例：当x>0时，求y=x+ +1的最小值；
x
1 √ 1 1
解：y=(x+ )+1≥2 x⋅ +1=3，当x= ，即x=1时，y的最小值为3．
x x x
x2−3x+16
(1)探究：当x>0时，求y= 的最小值；
x
(2)知识迁移：随着人们生活水平的提高，汽车已成为越来越多家庭的交通工具，假设某种汽车的购
n2+n
车费用为10万元，每年应缴保险费等各类费用共计0.4万元，n年的保养，维修费用总和为 万
10
元，问这种汽车使用多少年报废最合算（即使用多少年的年平均费用最少，年平均费用=所有费用：
年数n）？最少年平均费用为多少万元？(3)创新应用：如图，在直角坐标系中，直线AB经点P(3,4)，与坐标轴正半轴相交于A，B两点，
当△AOB的面积最小时，求直线AB的表达式．
【答案】(1)5
(2)10年；2.5万元
4
(3)y=− x+8
3
【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、配方法的应用、利用二次根式的性质化简
a+b
【分析】（1）直接利用 ≥√ab可得结论；
2
a+b
（2）先求解年平均保养费用，利用 ≥√ab可得结论；
2
（3）设直线AB为：y=kx+b，用含k的代数式表示A，B的坐标，求解△AOB的面积，利用
a+b
≥√ab求解面积最小值时k的值，据此求解即可．
2
【详解】（1）解：∵x>0，
x2−3x+16 16 √ 16
∴ y= =x−3+ ≥2 x⋅ −3=5，
x x x
16
∴当x= ，即x=4时，y的最小值为5；
x
（2）解：由题意得：n>0，
(n2+n ) n 10 1 √ n 10 1
∴年平均费用= +0.4n+10 ÷n= + + ≥2 ⋅ + =2.5．
10 10 n 2 10 n 2
n 10
∴当 = 时，
10 n
∴n=10，
即n=10时，这种汽车使用10年报废最合算，最少年平均费用为2.5万元；
（3）解：设直线AB为：y=kx+b，
把P(3,4)代入解析式得：3k+b=4，∴b=4−3k，
∴直线AB为：y=kx+4−3k，
令x=0，y=4−3k，
∴A(0,4−3k)，
令y=0，
∴kx+4−3k=0，
3k−4
∴ x= ，
k
(3k−4 )
∴ B ，0 ，
k
3k−4
由题意知：4−3k>0， >0，
k
1 (3k−4) (3k−4) 2 9k 8
∴ S = (4−3k) =− =− +12− ，
ΔAOB 2 k 2k 2 k
1
由题意得：k<0，−k>0，− >0，
k
9k ( 8) √( 9k)( 8)
∴ − + − ≥2 − − =12．
2 k 2 k
9k 8 4
∴当− =− 时，即k=− 时，S 最小，
2 k 3 ΔAOB
4
∴直线AB为：y=− x+8．
3
【点睛】本题考查的是自定义题，同时考查了求解代数式的最小值及其应用，考查了利用待定系数
法求解一次函数的解析式，仔细弄懂题意是解题的关键．
38．【阅读下列材料】：
若a>0，b>0，则a=(√a) 2 ，b=(√b) 2 ，∴(√a−√b) 2=a+b−2√ab．（注：√a⋅√b=√ab）∵
(√a−√b) 2 ≥0，a+b−2√ab≥0，∴a+b≥2√ab．“a+b≥2√ab”称为“基本不等式”，利用它
可求一些代数式的最值及解决一些实际问题．（a、b为正数；积定和最小；和定积最大；当a=b时，
取等号．）
【例】：若a>0，b>0，ab=16，求a+b的最小值．
解：∵a>0，b>0，ab=16 ∴a+b−2√ab≥0，
∴a+b≥2√ab=8．∴a=b=4时，a+b的最小值为8．
【解决问题】
(1)用篱笆围成一个面积为100m2的长方形菜园，当这个长方形的边长为多少时，所用篱笆最短？最
短篱笆的长是多少；
(2)用一段长为100m的篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长）的长方形菜园，当这个长方形的边长是
多少时，菜园面积最大？最大面积是多少；
(3)如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOD、△BOC的面积分别为2和3，求
四边形ABCD面积的最小值．
【答案】(1)这个长方形的长、宽分别为10√2米，5√2米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是20√2
米；
(2)菜园的长为50m，宽为25m时，面积最大为1250m2；
(3)四边形ABCD面积的最小值为5+2√6．
【知识点】通过对完全平方公式变形求值、二次根式的应用
【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，二次根式的应用．
100
（1）设这个长方形垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边为y米，则xy=100，y= ，
x
(100 ) (100 )
所以所用篱笆的长为 +2x 米，再根据材料提供的信息求出 +2x 的最小值即可；
x x
（2）设垂直于墙的一边为xm，利用矩形的面积公式得到菜园的面积关于x的关系式，再利用非负
数的性质求解即可；
（3）设点B到AC的距离为h (h >0)，点D到AC的距离为h (h >0)，又△AOD、△COB的面积
1 1 2 2
4 6 6 4
分别是2和3，则OA= ，OC= ，AC=OC+OA= + ，从而求得S ，然后根据材
h h h h 四边形ABCD
2 1 1 2
料提供的信息求出最小值即可．
【详解】（1）解：设这个长方形垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边为y米，
则xy=100，100
∴y= ，
x
(100 )
∴所用篱笆的长为 +2x 米，
x
100 √100
+2x≥2 ×2x=20√2，
x x
100 100
∵当且仅当 =2x时， +2x的值最小，最小值为20√2，
x x
∴x=5√2或x=−5√2（舍去）．
∴这个长方形的长、宽分别为10√2米，5√2米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是20√2米；
（2）解：设一边为xm，则另一边长为(100−2x)m，
∴菜园的面积x(100−2x)=−2x2+100x=−2(x−25) 2+1250，
又∵−2(x−25) 2≤0，
∴当x=25时，菜园的面积有最大值为1250，
答：菜园的长为50m，宽为25m时，面积最大为1250m2；
（3）解：设点B到AC的距离为h (h >0)，点D到AC的距离为h (h >0)，
1 1 2 2
又∵△AOD、△COB的面积分别是2和3，
4 6
∴OA= ，OC=
，
h h
2 1
6 4
∴AC=OC+OA= +
，
h h
1 2
1 1
∴S =S +S = AC⋅h + AC⋅h
四边形ABCD △ABC △ADC 2 1 2 2
1
= AC(h +h )
2 1 2
= 1( 6 + 4 ) (h +h )=5+ 3h 2+ 2h 1
2 h h 1 2 h h
1 2 1 2
3h 2h √3h 2h
∵ 2+ 1≥2 2 ⋅ 1=2√6．
h h h h
1 2 1 2
3h h 3h h
∴当且仅当
2= 1
时，取等号，即
2+ 1
的最小值为2√6，
2h h 2h h
1 2 1 2
∴四边形ABCD面积的最小值为5+2√6．39．(1)已知|2016－x|＋√x−2017＝x，求x－20172的值；
2a+3b+√ab
(2)已知a>0，b>0且√a (√a＋√b)＝3√b (√a＋5√b)，求 的值.
a−b+√ab
【答案】（1）-2016；（2）2
【知识点】二次根式的混合运算
【详解】试题分析：
（1）由√x−2017有意义可得：x≥2017，由此即可将原式化为：x−2016+√x−2017=x，变形
可得：√x−2017=2016，两边同时平方可得：x−2017=20162，则x=20162+2017，代入
x−20172中即可求得其值；
（2）由√a(√a+√b)=3√b(√a+5√b)变形可得a−2√ab−15b=0，由此可得：
(√a−5√b)(√a+3√b)=0，结合a>0，b>0可得：√a−5√b=0，由此可得：a=25b，再代入
2a+3b+√ab
化简即可得到所求结果.
a−b+√ab
试题解析：
（1）∵|2016－x|＋√x−2017＝x，
∴x−2017≥0，即x≥2017，
∴|2016－x|＋√x−2017＝x可化为：x−2016+√x−2017=x，
∴√x−2017=2016，
两边同时平方得：x−2017=20162，即x=20162+2017，
∴x−20172
=20162−20172+2017
=(2016+2017)(2016−2017)+2017
=(2016+2017)×(−1)+2017
=−2016−2017+2017
=−2016.
（2）∵√a(√a+√b)=3√b(√a+5√b)，
∴a−2√ab−15b=0，
∴(√a−5√b)(√a+3√b)=0，
∵a>0，b>0，
∴√a+3√b>0，
∴√a−5√b=0，
∴a=25b，
2a+3b+√ab 50b+3b+√25b2 58b
∴ = = =2.
a−b+√ab 25a−b+√25b2 29b
点睛：（1）解第1小题的关键是注意题中的隐含条件：x−2017≥0，由此即可将原式中的绝对值符号去掉，从而将原式化简，求出x的值，即可使问题得到解决；（2）解第2小题的关键是：在将
原式化简变形为a−2√ab−15b=0后能在实数范围内将其分解因式化为：
(√a−5√b)(√a+3√b)=0的形式，这样结合a>0，b>0即可得到：√a−5√b=0，从而可得
a=25b，使问题得到解决.
40．发现问题
小明买菠萝时发现，通常情况下，销售员都是先削去菠萝的皮，再斜着铲去菠萝的籽．
提出问题
销售员斜着铲去菠萝的籽，除了方便操作，是否还蕴含着什么数学道理呢？
分析问题
某菠萝可以近似看成圆柱体，若忽略籽的体积和铲去果肉的厚度与宽度，那么籽在侧面展开图上可
以看成点，每个点表示不同的籽．该菠萝的籽在侧面展开图上呈交错规律排列，每行有n个籽，每
列有k个籽，行上相邻两籽、列上相邻两籽的间距都为d（n，k均为正整数，n>k≥3，d>0），如
图1所示．
小明设计了如下三种铲籽方案．
方案1：图1是横向铲籽示意图，每行铲的路径长为________，共铲________行，则铲除全部籽的路
径总长为________；
方案2：图2是纵向铲籽示意图，则铲除全部籽的路径总长为________；
方案3：图3是销售员斜着铲籽示意图，写出该方案铲除全部籽的路径总长．
解决问题
在三个方案中，哪种方案铲籽路径总长最短？请写出比较过程，并对销售员的操作方法进行评价．
【答案】分析问题：方案1：(n−1)d；2k；2(n−1)dk；方案2：2(k−1)dn；方案3：
√2
×(2k−1)nd；解决问题：方案3路径最短，理由见解析
2【知识点】列代数式、图形类规律探索、二次根式的应用、用勾股定理解三角形
【分析】分析问题：方案1：根据题意列出代数式即可求解；方案2：根据题意列出代数式即可求解；
√d2+d2 √2d
方案3：根据图得出斜着铲每两个点之间的距离为 = ，根据题意得一共有2n列，2k行，
2 2
斜着铲相当于有n条线段长，同时有2k−1个，即可得出总路径长；
解决问题：利用作差法比较三种方案即可．
题目主要考查列代数式，整式的加减运算，二次根式的应用，理解题意是解题关键．
【详解】解：方案1：根据题意每行有n个籽，行上相邻两籽的间距为d，
∴每行铲的路径长为(n−1)d，
∵每列有k个籽，呈交错规律排列，
∴相当于有2k行，
∴铲除全部籽的路径总长为2(n−1)dk，
故答案为：(n−1)d；2k；2(n−1)dk；
方案2：根据题意每列有k个籽，列上相邻两籽的间距为d，
∴每列铲的路径长为(k−1)d，
∵每行有n个籽，呈交错规律排列，，
∴相当于有2n列，
∴铲除全部籽的路径总长为2(k−1)dn，
故答案为：2(k−1)dn；
√d2+d2 √2d
方案3：由图得斜着铲每两个点之间的距离为 = ，
2 2
根据题意得一共有2n列，2k行，
斜着铲相当于有n条线段长，同时有2k−1个，
√2
∴铲除全部籽的路径总长为： ×(2k−1)nd；
2
解决问题
由上得：2(n−1)dk−2(k−1)dn=2ndk−2dk−2ndk+2dn=2d(n−k)>0，
∴方案1的路径总长大于方案2的路径总长；
√2 √2
2(k−1)dn− ×(2k−1)dn=[(2−√2)k−2+ ]dn，
2 2
∵n>k≥3，
当k=3时，√2 5√2
(2−√2)×3−2+ =4− >0，
2 2
√2
2(k−1)dn− ×(2k−1)dn>0，
2
∴方案3铲籽路径总长最短，销售员的操作方法是选择最短的路径，减少对菠萝的损耗．
