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专题 04 全等三角形
模块一 考点类型
模块二 知识点一遍过
（一）全等三角形的性质
①全等三角形的对应边、对应角相等．
②全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等．
③全等三角形的周长等、面积等．
（二）全等三角形的判定
①SSS（三边对应相等） ②SAS（两边和它们的夹角对应相等）
③ASA（两角和它们的夹边对应相等）④AAS（两角和其中一个角的对边对应相等）
☆直角三角形全等
（1）斜边和一条直角边对应相等（HL）
（2）证明两个直角三角形全等同样可以用SAS,ASA和AAS.
（三）全等三角形常见辅助线
（1）利用全等证明角、边相等或求线段长、求角度：将特征的边或角放到两个全等的三角形中，通
过证明全等得到结论.在寻求全等的条件时，注意公共角、公共边、对顶角等条件.
（2）全等三角形中的辅助线的作法：①直接连接法：如图①，连接公共边，构造全等.
②倍长中线法：用于证明线段的不等关系，如图②，由SAS可得△ACD≌△EBD，则AC=BE.在△ABE
中，AB+BE＞AE，即 AB+A C ＞ 2A D.
③截长补短法：适合证明线段的和差关系，如图③、④.
模块三 考点一遍过
考点1：全等三角形的判定——直接判定
典例1：如图，AB=AD，BC=CD，点B在AE上，点D在AF上．
求证：△ABC≌△ADC．
【变式1】如图，点F，C在BE上，DE与AB相交与点O，OB=OE，BF=CE，∠A=∠D．
求证：△ABC≌△≝¿．
【变式2】如图，在Rt△ABC中，AB⊥AC，CD∥AB，DE⊥AC于点E，且AB=CE．求证：
△CED≌△ABC．
【变式3】如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，以AB为边向外作等边△ABE，过点E作ED⊥AB于点D，且AC=ED．求证：∠BAC=∠AED．
【变式4】如图，∠A=∠B，AE=BE，点D在AC边上，∠1=∠2，AE和BD相交于点O．求证：
△AEC≌△BED．
【变式5】如图，DA=DC，DG=DE，其中∠ADC=∠GDE=90°，连接AG，CE，求证：
AG=CE．
考点2：全等三角形的判定——多次判定
典例2：如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，E为AC上的一点
求证：
(1)AC平分∠DAB；
(2)BE=DE
【变式1】△ABC与△ADE都是以点A为顶角的等腰三角形，且∠BAC=∠DAE，BD⊥AD，
ED的延长线交BC于点F，(1)求证：AE⊥EC；
(2)探究线段BF与CF的数量关系，并说明理由．
【变式2】如图所示，已知∠ACB=∠ADB=90°，AC=AD，点E在AB上．
(1)判断点A是否在∠CBD的平分线上，并说明理由；
(2)当CE=8时，求DE的长度．
【变式3】在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，点D是AC上一点，AD=AB，点E是AB上一
点，AE=CD．
(1)如图1，求证：△BDE是等腰三角形．
(2)如图2，过点E作EF⊥AC于点F，求证：ED平分∠FEB．
考点3：全等三角形的判定——网格应用
典例3：如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的8×8网格中，△ABC的顶点均为格点
（网格线的交点）．(1)将△ABC向右平移1个格，再向下平移3格，画出对应的△A B C ；
1 1 1
(2)仅用无刻度直尺作出△A B C 的高A P．
1 1 1 1
【变式1】线段AB的端点A，B在6×6的正方形网格的格点（网格线的交点）上，请仅用无刻度的
直尺在网格中按要求作图．
(1)在图①中找出格点C，并连接AC，BC，使AC2=AB2+BC2；
(2)在图②中作出△ABC的高CH，并直接写出CH的长为________．
【变式2】图①、图②均是6×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均在格
点上．在给定的网格中按要求画图．要求：
(1)在图①中画一个△BCD使它与△ABC全等．
(2)在图②中画一个△ACE使它与△ABC全等．
【变式3】网格画图：如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均为
格点（网格线的交点）．
(1)在图中，D，E分别是边AC，BC与网格线的交点．先将点A绕点E旋转180°得到点F，画出点F并连接AF；
(2)利用网格在BC找一点G，使线段DG∥AB，并证明你所画出的线段．
考点4：全等三角形的判定——尺规作图
典例4：（1）如图1，AE是∠MAD的平分线，点C是AE上一点，点B是AM上一点，在AD上求
作一点P，使得△ABC≌△APC，请保留清晰的作图痕迹．
（2）如图2，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，BE、CF分别是∠ABC和∠ACB的角平
分线，CF与BE相交于点O，请探究线段BC、BF、CE之间的关系，请证明你的结论．
【变式1】如图，已知△ABC中，∠ACB>∠ABC，尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）
(1)在直线BC上方求作一点D，使得△ABD≌△BAC，其中AD=BC；
(2)在线段AB上求作一点E，使得∠BEC=2∠BAC，说明理由．
【变式2】如图，△ABC中，∠ACB=90°，AD⊥AB，AD=AB，AE⊥AC，AE=AC．
(1)①说明△ADC≌△ABE；
②小明在观察图形中感觉DC似乎与EB垂直，为了验证自己的猜想，他延长DC与EB交于点F，用
量角器度量了∠BFC，测得它几乎就是90°，显然测量是会出现误差的，请聪明的你用所学的几何
知识说明小明的猜想是正确的．
(2)用尺规作图在原图外部取点G，使∠GBE=∠AEB，并请说明：点G，B，C这三个点在同一直
线上．【变式3】如图，在直角三角形BCE中，∠E=90°，BC=2BE．
(1)作边BC的垂直平分线AD，与EC，BC分别交于点A，D（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求
写作法）；
(2)在（1）的条件下，连接BA，求证：BA平分∠EBC．
考点5：全等三角形的判定——连接线段
典例5：如图，以O为直角顶点作两个等腰直角三角形Rt△OAB和Rt△OCD，且点C在线段AB上
（A、B除外），求证：AC2+BC2=CD2
【变式1】如图，AD∥BC，AE平分∠BAD，点E为DC中点，求证：AD+BC=AB．
【变式2】如图所示，△ABC中，∠C=90°，点D在AB上，BC=BD，DE⊥AB交AC于点E，
△ABC的周长为12，△ADE的周长为6，则BC的长．
【变式3】已知：如图，AB=AD，∠ABC=∠ADC，求证：BC=DC．小桐的证明方法如下框：
证明：连结AC．
在△ABC和△ADC中，
∵¿，
∴△ABC≌△ADC，
∴BC=DC．
小桐的证明是否正确？若正确，请写出这两个三角形全等的理由；若错误，请写出你的证明过程．
考点6：全等三角形的判定——倍长中线
典例6：（1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1．AD是△ABC的中线．
AB=5，AC=3，写出一个符合条件的AD的值．
【探究方法】第一小组经过合作交流．得到了如下的解决方法：
①延长AD到E，使得DE=AD；
②连接BE．通过三角形全等把AB、AC、2AD转化在△ABE中；
③利用三角形的三边关系可得AE的取值范围为AB−BE0)．(1) BC= ．
(2)求斜边AC上的高线长．
(3)①当P在AB上时，AP的长为 ，t的取值范围是 ．（用含t的代数式表示）
②若点P在∠BCA的角平分线上，则t的值为 ．
(4)在整个运动过程中，直接写出△PAB是以AB为一腰的等腰三角形时t的值．
【变式1】如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC
于F．
(1)求证：BE=CF；
(2)如果AB=10，AC=6， 则AE的长为 ．
【变式2】如图，在△ABC中，∠B=90°，点O是∠CAB、∠ACB平分线的交点．
(1)连接BO，求证：BO平分∠ABC；
(2)若BC=4cm，AC=5cm，求点O到边AB的距离．
【变式3】在△ABC中，D是BC边的点（不与点B、C重合），连接AD．(1)如图1，当点D是BC边上的中点且S =3时，S =________，则S :S =1；
△ABD △ACD △ABD △ACD
(2)如图2，当AD是∠BAC的平分线时，若AB=m，AC=n，求证：S :S =m:n；
△ABD △ACD
(3)如图3，AD平分∠BAC，延长AD到E，使得AD=DE，连接BE，如果AC=2，AB=4，
S =6，求S ．
△BDE △ABC
考点10：全等三角形的性质与判定
典例10：综合与实践
【问题背景】
“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为90°，于是有三组边相
互垂直，所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三
角形．
（1）①如图1，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过点C作直线DE，AD⊥DE
于点D，BE⊥DE于点E，则CD与BE的数量关系是______________．
②如图2，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过点C作直线CE，过点A作
AD⊥CE于点D，过点B作BE⊥CE于点E，AD=5，BE=2，则DE的长为______________．
【变式运用】
（2）如图3，在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=∠ADC=90°，CD=4．求△BCD的面积．
【拓展迁移】
（3）如图4，在△ABC中，AB=AC，CB=8，S =24，以AC为直角边向右侧作一个等腰直
△ABC
角三角形ACD，连接BD，请直接写出△BCD的面积．
1
【变式1】（1）如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，∠EAF= ∠BAD．
2
求证：EF=BE+DF．
1
（2）如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，∠EAF= ∠BAD．试判断
2（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请写出线段EF、BE、DF之间关系，并证明．
【变式2】如图，在△ABC和△DCE中，CA=CB，CD=CE，∠CAB=∠CED．
(1)求证：BE=AD；
(2)如图1，延长AD、EB交于点O，试探究∠AOB与∠CAB的数量关系，并说明理由；
(3)如图2，当∠CAB=∠CED=45°时，连接BD、AE，延长MC与BD交于点N，试探究BN与
BD的数量关系．并说明理由．
【变式3】如图，在△ABC中，AB=AC，作BC的中点D，过D作∠EDF=90°，分别交AB、
AC于E、F，我们称△≝¿为等腰△ABC的“内接直角三角形”．设BE=a，CF=b．
(1)如图①，当∠A=90°时，若a=2，b=1时，求内接直角三角形DEF的斜边EF的长．
(2)如图②，当∠A=60°时，求证：内接直角三角形DEF的斜边满足：EF2=a2+ab+b2；
(3)拓展延伸：如图③，当∠A=90°时，若E、F分别在BA、AC的延长线上，EF与a，b还满足
（2）的关系式吗？若满足，证明你的结论；若不满足，请探索EF与a，b满足的数量关系式，并证
明你的结论．
