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专题 04 全等三角形
模块一 考点类型
模块二 知识点一遍过
（一）全等三角形的性质
①全等三角形的对应边、对应角相等．
②全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等．
③全等三角形的周长等、面积等．
（二）全等三角形的判定
①SSS（三边对应相等） ②SAS（两边和它们的夹角对应相等）
③ASA（两角和它们的夹边对应相等）④AAS（两角和其中一个角的对边对应相等）
☆直角三角形全等
（1）斜边和一条直角边对应相等（HL）
（2）证明两个直角三角形全等同样可以用SAS,ASA和AAS.
（三）全等三角形常见辅助线
（1）利用全等证明角、边相等或求线段长、求角度：将特征的边或角放到两个全等的三角形中，通
过证明全等得到结论.在寻求全等的条件时，注意公共角、公共边、对顶角等条件.
（2）全等三角形中的辅助线的作法：①直接连接法：如图①，连接公共边，构造全等.
②倍长中线法：用于证明线段的不等关系，如图②，由SAS可得△ACD≌△EBD，则AC=BE.在△ABE
中，AB+BE＞AE，即 AB+A C ＞ 2A D.
③截长补短法：适合证明线段的和差关系，如图③、④.
模块三 考点一遍过
考点1：全等三角形的判定——直接判定
典例1：如图，AB=AD，BC=CD，点B在AE上，点D在AF上．
求证：△ABC≌△ADC．
【答案】证明见解析
【分析】此题考查了全等三角形的判定，根据SSS证明△ABC≌△ADC即可．
【详解】证明：在△ABC和△ADC中，
¿
∴△ABC≌△ADC(SSS)．
【变式1】如图，点F，C在BE上，DE与AB相交与点O，OB=OE，BF=CE，∠A=∠D．
求证：△ABC≌△≝¿．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定，等腰三角形的性质等知识，先根据等边对等角得出
∠B=∠E，然后根据等式的性质可得出BC=EF，最后根据AAS证明△ABC≌△≝¿即可．
【详解】证明：∵OB=OE，∴∠B=∠E，
∵BF=CE，
∴BF+FC=CE+FC，
∴BC=EF，
在△ABC和△≝¿中，
¿，
∴△ABC≌△≝¿．
【变式2】如图，在Rt△ABC中，AB⊥AC，CD∥AB，DE⊥AC于点E，且AB=CE．求证：
△CED≌△ABC．
【答案】见解析
【分析】本题考查了三角形全等的判定．根据DE⊥AC，AB⊥AC，得到∠B=90°，
∠DEC=90°，根据CD∥AB，得到∠DCE=∠A，结合AB=CE，利用ASA即可证明结论．
【详解】证明：∵DE⊥AC，AB⊥AC，
∴∠DEC=∠B=90°，
∵CD∥AB，
∴∠DCE=∠A，
在△CED和△ABC中，
∵¿
∴△CED≌△ABC(ASA)．
【变式3】如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，以AB为边向外作等边△ABE，过点E作ED⊥AB于
点D，且AC=ED．求证：∠BAC=∠AED．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质．根据等边三角形的性质得出∠AEB=60°,AE=AB，证明
Rt△ADE≌Rt△BCA(HL)，得出∠BAC=∠AED．
【详解】证明：∵△ABE是等边三角形，
∴∠AEB=60°,AE=AB，
∵ED⊥AB，
∴∠ADE=90°，
又∵∠C=90°，AC=ED，
∴Rt△ADE≌Rt△BCA(HL)，
∴∠BAC=∠AED．
【变式4】如图，∠A=∠B，AE=BE，点D在AC边上，∠1=∠2，AE和BD相交于点O．求证：
△AEC≌△BED．
【答案】证明见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题
的关键．先利用三角形内角和定理得出∠BEO=∠2，再证明∠1=∠BEO，即可得
∠AEC=∠BED．最后利用“角边角”即可判定．
【详解】证明：∵AE和BD相交于点O，
∴∠AOD=∠BOE．
在△AOD和△BOE中，∠A=∠B，
∴∠BEO=∠2，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠BEO，
∴∠1+∠AED=∠AED+∠BEO，
即∠AEC=∠BED．
在△AEC和△BED中，
¿，
∴△AEC≌△BED(ASA)．
【变式5】如图，DA=DC，DG=DE，其中∠ADC=∠GDE=90°，连接AG，CE，求证：
AG=CE．【答案】证明见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．先判定
∠ADG=∠CDE，再利用“SAS”判定即可．
【详解】证明：∵∠ADC=∠GDE=90°，
∴∠ADC+∠CDG=∠GDE+∠CDG，
即∠ADG=∠CDE，
在△ADG和△CDE中，
¿，
∴△ADG≌△CDE(SAS)，
∴AG=CE.
考点2：全等三角形的判定——多次判定
典例2：如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，E为AC上的一点
求证：
(1)AC平分∠DAB；
(2)BE=DE
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义．
（1）利用SSS证明△ABC≌△ADC，则∠DAE=∠BAE，即可得出结论；
（2）利用SAS证明△ADE≌△ABE，则BE=DE．
【详解】（1）证明：在△ABC和△ADC中，
¿，
∴△ABC≌△ADC(SSS)，∴∠DAE=∠BAE，
∴AC平分∠DAB；
（2）在△ADE和△ABE中，
¿，
∴△ADE≌△ABE(SAS)，
∴BE=DE．
【变式1】△ABC与△ADE都是以点A为顶角的等腰三角形，且∠BAC=∠DAE，BD⊥AD，
ED的延长线交BC于点F，
(1)求证：AE⊥EC；
(2)探究线段BF与CF的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)BF=CF，见解析
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握三
角形全等的判定方法．
（1）证明△BAD≌△CAE(SAS)，得出∠AEC=∠ADB，即可得出答案；
（2）在EF上取点N，使CN=CF，根据等腰三角形性质得出∠CFN=∠CNF，证明
∠ENC=∠BFD，∠BDF=∠NEC，得出△BDF≌△CEN(AAS)，即可证明BF=CN=CF，得
出答案即可．
【详解】（1）证明：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE，
∵△ABC与△ADE都是以点A为顶角的等腰三角形，
∴AB=AC，AD=AE，
在△BAD和△CAE中¿，
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴∠AEC=∠ADB，
∵BD⊥AD，
∴∠ADB=90°，∴∠AEC=90°，
∴AE⊥CE；
（2）解：在EF上取点N，使CN=CF，
∵FC=NC，
∴∠CFN=∠CNF，
∴∠ENC=∠BFD，
∵△BAD≌△CAE，
∴BD=CE，∠ADB=∠AEC=90°，
∴∠AED+∠DEC=90°，∠BDF+∠ADE=180°−∠BDA=90°，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED，
∴∠BDF=∠NEC，
在△BDF和△CEN中¿，
∴△BDF≌△CEN(AAS)，
∴BF=CN=CF，
即BF=CF．
【变式2】如图所示，已知∠ACB=∠ADB=90°，AC=AD，点E在AB上．
(1)判断点A是否在∠CBD的平分线上，并说明理由；
(2)当CE=8时，求DE的长度．
【答案】(1)点A是否在∠CBD的平分线上，理由见解析
(2)DE=8．
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质．
（1）利用HL证明Rt△ABC≌Rt△ABD，得到∠ABC=∠ABD，即可判断点A是否在∠CBD的平分线上；
（1）由得到Rt△ABC≌Rt△ABD，BC=BD，∠ABC=∠ABD，再利用SAS证明
△BCE≌△BDE，即可得到结论．
【详解】（1）解：∵∠ACB=∠ADB=90°，
在Rt△ABC和Rt△ABD中，
¿，
∴Rt△ABC≌Rt△ABD(HL)，
∴∠ABC=∠ABD，
∴点A是否在∠CBD的平分线上；
（2）解：∵Rt△ABC≌Rt△ABD，
∴BC=BD，∠ABC=∠ABD，
在△BCE和△BDE中，
¿，
∴△BCE≌△BDE(SAS)，
∴CE=DE=8．
【变式3】在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，点D是AC上一点，AD=AB，点E是AB上一
点，AE=CD．
(1)如图1，求证：△BDE是等腰三角形．
(2)如图2，过点E作EF⊥AC于点F，求证：ED平分∠FEB．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析．
【分析】（1）由AB=CB，∠ABC=90°，AD=AB，得∠A=∠C=45°，AD=CB=AB，证明
△ADE≌△CBD(SAS)，故有DE=BD，从而求证；
（2）过D作DH⊥AB于点H，则有DH∥BC，故∠BDH=∠CBD，由（1）得
△ADE≌△CBD，所以∠ADE=∠CBD，∠ADE=∠BDH，由等腰三角形的性质得∠EDH=∠BDH，根据垂直的定义可得∠DFE=∠DHE=90°，然后证明
△DFE≌△DHE(AAS)，根据性质得∠≝=∠DEH，从而求证；
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，熟练掌握
知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵AB=CB，∠ABC=90°，AD=AB，
∴∠A=∠C=45°，AD=CB=AB，
在△ADE和△CBD中，
¿，
∴△ADE≌△CBD(SAS)，
∴DE=BD，
∴△BDE是等腰三角形；
（2）证明：如图，过D作DH⊥AB于点H，
∵∠ABC=90°，
∴AB⊥BC，
∴DH∥BC，
∴∠BDH=∠CBD，
由（1）得△ADE≌△CBD，
∴∠ADE=∠CBD，
∴∠ADE=∠BDH，
∵DE=BD，DH⊥AB，
∴∠EDH=∠BDH，
∴∠EDH=∠ADE，
∵EF⊥AC，
∴∠DFE=∠DHE=90°，
在△DFE和△DHE中，
¿，
∴△DFE≌△DHE(AAS)，
∴∠≝=∠DEH，∴ED平分∠FEB．
考点3：全等三角形的判定——网格应用
典例3：如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的8×8网格中，△ABC的顶点均为格点
（网格线的交点）．
(1)将△ABC向右平移1个格，再向下平移3格，画出对应的△A B C ；
1 1 1
(2)仅用无刻度直尺作出△A B C 的高A P．
1 1 1 1
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据平移的性质求解即可；
（2）根据网格线的特点取格点G，连接AG交B C 于点P，A P即为所求．
1 1 1
【详解】（1）解：如图所示，△A B C 为所求；
1 1 1
（2）解：如图所示，A P为所求．
1
取格点D，连接AG交B C 于点P，A P即为所求；
1 1 1
取格点M，N，AM与B C 相交于点G，
1 1
∵A M=B N，C N=MD，∠A MG=∠B NC
1 1 1 1 1 1
∴△A MD≌△B NC (SAS)
1 1 1
∴∠M A D=∠NB C
1 1 1
∵∠NB C +∠B GM=90°，∠B GM=∠AGC
1 1 1 1 1
∴∠AGC +∠GAD=90°
1
∴∠A PG=90°，点P即为所求
1
【变式1】线段AB的端点A，B在6×6的正方形网格的格点（网格线的交点）上，请仅用无刻度的直尺在网格中按要求作图．
(1)在图①中找出格点C，并连接AC，BC，使AC2=AB2+BC2；
(2)在图②中作出△ABC的高CH，并直接写出CH的长为________．
【答案】(1)见解析
16
(2)见解析，CH=
5
【分析】（1）如图①，由题意知，AB2=22+42=20，BC2=22+12=5，AC2=32+42=25，则
AC2=AB2+BC2，格点C，AC，BC即为所作；
（2）如图②，作△BCD，CD、AB的交点为H，证明△CBD≌△AEB(SAS)，则
∠BCD=∠EAB，可求∠BHC=180°−(∠BCD+∠ABE)=90°，即CH为△ABC的高，由勾股
1 1 1 1
定理得，AB=5，由题意知，S = AB×CH= BC×AE，即 ×5×CH= ×4×4，计算求
△ABC 2 2 2 2
解即可．
【详解】（1）解：如图①，
由题意知，AB2=22+42=20，BC2=22+12=5，AC2=32+42=25，
∴AC2=AB2+BC2，
∴格点C，AC，BC即为所作；
（2）解：如图②，作△BCD，CD、AB的交点为H，∵CB=4=AE，∠CBD=90°=∠AEB，BD=3=EB，
∴△CBD≌△AEB(SAS)，
∴∠BCD=∠EAB，
∴∠BCD+∠ABE=∠EAB+∠ABE=90°，
∴∠BHC=180°−(∠BCD+∠ABE)=90°，
∴CH为△ABC的高，
由勾股定理得，AB=5，
1 1 1 1
∴S = AB×CH= BC×AE，即 ×5×CH= ×4×4，
△ABC 2 2 2 2
16
解得，CH= ．
5
【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理
等知识．熟练掌握勾股定理，勾股定理的逆定理，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理是
解题的关键．
【变式2】图①、图②均是6×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均在格
点上．在给定的网格中按要求画图．要求：
(1)在图①中画一个△BCD使它与△ABC全等．
(2)在图②中画一个△ACE使它与△ABC全等．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【分析】本题考查了网格作图、全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理．
（1）在方格中找到点D，使得BD=BA,CD=CA，连接BD,CD，根据“SSS”可知△BCD与
△ABC全等；
（2）在方格中找到点E，使得AE∥BC且AE=BC，易得∠BCA=∠EAC，连接AE,CE，根据“SAS”可知△ACE与△ABC全等．
【详解】（1）解：如图①，△BCD即为所求；
（2）如图②，△ACE即为所求．
【变式3】网格画图：如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均为
格点（网格线的交点）．
(1)在图中，D，E分别是边AC，BC与网格线的交点．先将点A绕点E旋转180°得到点F，画出点
F并连接AF；
(2)利用网格在BC找一点G，使线段DG∥AB，并证明你所画出的线段．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了格点作图，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性
质．
（1）构造平行四边形ABCF，根据平行四边形的对角顶点关于对角线交点对称即可求解；
（2）连接BF，与格点交于点T，连接DT，与BC交于点G，根据平行四边形对边平行可得
AC∥BF，根据两直线平行，同位角相等可得∠DAM=∠TBN，根据两个角和它们所夹的边分别
对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应边相等可得AD=BT，根据一组对边平行且相等的
四边形是平行四边形，平行四边形的对边平行即可证明．
【详解】（1）解：如图：
在网格中确定格点F，使得CF∥AB，CF=AB．则四边形ABFC是平行四边形，
连接AF，与BC的交点就是点E，
∴AE=EF，
∴点F即为所求．
（2）解：如图：
连接BF，与网格线交于点T，连接DT，与BC交于点G，即为所求．
∵四边形ABFC是平行四边形，
∴AC∥BF，
∴∠DAM=∠TBN，
又∵AM=BN，∠DMA=∠TNB=90°
∴△ADM≌△BTN(ASA)，
∴AD=BT，
∴四边形ADTB为平行四边形，
∴DG∥AB．
考点4：全等三角形的判定——尺规作图
典例4：（1）如图1，AE是∠MAD的平分线，点C是AE上一点，点B是AM上一点，在AD上求
作一点P，使得△ABC≌△APC，请保留清晰的作图痕迹．
（2）如图2，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，BE、CF分别是∠ABC和∠ACB的角平
分线，CF与BE相交于点O，请探究线段BC、BF、CE之间的关系，请证明你的结论．
【答案】（1）见解析；（2）BC=BF+CE，证明见解析．
【分析】本题考查角平分线定义，全等三角形判定及性质，尺规作图等．
（1）当AB=AP时，可以证明出△ABC≌△APC，即以点A为圆心，以AB长为半径画弧交AD于
一点，则此点为所要求的点P，可以作出图形；
（2）在BC上截取BD=BF，证明△BFO≌△BDO(SAS)，继而再证明△COE≌COD(ASA)，即可得到本题答案．
【详解】解：（1）当AB=AP时，
∵AE是∠MAD的平分线，
∴∠BAC=∠PAC，
在△ABC和△APC中，
¿，
∴△ABC≌△APC，
∴以点A为圆心，以AB长为半径画弧交AD于一点，则此点为所要求的点P，如下图所示：
（2）BC=BF+CE，理由如下：
在BC上截取BD=BF，
在△BFO和△BDO中，
¿，
∴△BFO≌△BDO(SAS)，
∴∠BOF=∠BOD，
∵∠A=60°，BE、CF分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，CF与BE相交于点O，
1 1
∴∠BOC=180°− ∠ABC− ∠ACB=180°−60°=120°，
2 2
∴∠COE=180°−120°=60°，
∴∠BOD=∠BOF=∠COE=60°，
∴∠COD=∠BOC−∠BOD=120°−60°=60°，
在△COE和△COD中，
¿，
∴△COE≌COD(ASA)，
∴CE=CD，
∴BC=BF+CE．
【变式1】如图，已知△ABC中，∠ACB>∠ABC，尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）(1)在直线BC上方求作一点D，使得△ABD≌△BAC，其中AD=BC；
(2)在线段AB上求作一点E，使得∠BEC=2∠BAC，说明理由．
【答案】(1)详见解析；
(2)详见解析．
【分析】本题考查了作图−复杂作图，全等三角形的判定和线段垂直平分线的性质等知识点，
（1）分别以A点、B点为圆心，以BC和AC为半径画弧，两弧相交于点D，则根据“SSS”可判断
△ABD≌△BAC；
（2）作AC的垂直平分线交AB于E点，则EA=EC，所以∠EAC=∠ECA，然后根据三角形外角
性质可得到∠BEC=2∠BAC；
解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本
作图，逐步操作．
【详解】（1）如图，点D为所作；
（2）如图，作AC的垂直平分线交AB于点E，交点E为所作；
∵点E为AC的垂直平分线与AB的交点，
∴EA=EC，
∴∠EAC=∠ECA，
∵∠BEC=∠EAC+∠ECA，
∴∠BEC=2∠EAC，
即∠BEC=2∠BAC
【变式2】如图，△ABC中，∠ACB=90°，AD⊥AB，AD=AB，AE⊥AC，AE=AC．(1)①说明△ADC≌△ABE；
②小明在观察图形中感觉DC似乎与EB垂直，为了验证自己的猜想，他延长DC与EB交于点F，用
量角器度量了∠BFC，测得它几乎就是90°，显然测量是会出现误差的，请聪明的你用所学的几何
知识说明小明的猜想是正确的．
(2)用尺规作图在原图外部取点G，使∠GBE=∠AEB，并请说明：点G，B，C这三个点在同一直
线上．
【答案】(1)①见解析；②见解析
(2)图见解析，见解析
【分析】（1）由AD⊥AB，AE⊥AC，可得∠DAB=∠CAE=90°，即得∠DAC=∠BAE，
即可证明△ADC≌△ABE(SAS)；延长DC，EB交于点F，由∠ACB=90°，∠CAE=90°，可得
CB∥AE，故∠CBF=∠AEB，由△ADC≌△ABE(SAS)知∠ACD=∠AEB，可得
∠CBF=∠ACD，因∠ACD+∠BCF=180°−∠ACB=180°−90°=90°，即可证明；
（2）根据作一个角等于已知角的步骤∠GBE=∠AEB即可，由过直线外一点有且只有一条直线与
已知直线平行，可知点G，B，C这三个点在同一直线上．
【详解】（1）解：①∵AD⊥AB，AE⊥AC，
∴∠DAB=∠CAE=90°，
∴∠DAC=∠BAE，
又∵AD=AB，AC=AE，
∴△ADC≌△ABE(SAS)．
②理由：分别延长DC，EB交于点F，
∵∠ACB=90°，∠CAE=90°，∴CB∥AE，
∴∠CBF=∠AEB，
∵△ADC≌△ABE，
∴∠ACD=∠AEB，
∴∠CBF=∠ACD，
又∵∠ACD+∠BCF=180°−∠ACB=180°−90°=90°，
∴∠CBF+∠BCF=90°
∴∠F=90°，即EB⊥DC．
（2）解：①以E为圆心，任意长为半径画弧交EA于M，交EB于N，②以B为圆心，EM的长为半
径画弧交EB于K，③以K为圆心，MN的长为半径画弧，交前弧于G，④作射线BG，则∠GBE即
为所求；
∵∠GBE=∠AEB，
∴BG∥AE，
由（1）②知，CB∥AE，
∴过B的直线CB,BG都与AE平行，
∵过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，
∴点G，B，C这三个点在同一直线上．
【点睛】本题考查三角形综合应用，涉及全等三角形的判定与性质, 平行线的判定与性质，尺规作
图等知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理．
【变式3】如图，在直角三角形BCE中，∠E=90°，BC=2BE．
(1)作边BC的垂直平分线AD，与EC，BC分别交于点A，D（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求
写作法）；
(2)在（1）的条件下，连接BA，求证：BA平分∠EBC．【答案】(1)见解析
(2)见解析
1
【分析】（1）分别以B、C为圆心，大于 BC长为半径画弧，使得弧有两个交点，经过两个交点
2
的直线即为BC的垂直平分线AD；
1
（2）连接BA，根据垂直平分线的定义得到BD=CD= BC，∠ADB=90°，再根据BC=2BE得
2
到BD=BE，进而求得Rt△ABE≌Rt△ABD，再根据全等三角形的性质可证出结论．
【详解】（1）解：如图，AD即为所求；
（2）证明：如图，连接BA，
∵AD垂直平分BC，
1
∴BD=CD= BC，∠ADB=90°，
2
∵BC=2BE，
∴BD=BE，
在Rt△ABE和Rt△ABD中，¿
∴Rt△ABE≌Rt△ABD（HL），
∴∠EBA=∠DBA，
∴BA平分∠EBC．
【点睛】本题考查了尺规作图、垂直平分线的定义和全等三角形的性质与判定，解决本题的关键是
掌握尺规作图的方法，灵活运用相关的几何定理．
考点5：全等三角形的判定——连接线段
典例5：如图，以O为直角顶点作两个等腰直角三角形Rt△OAB和Rt△OCD，且点C在线段AB上
（A、B除外），求证：AC2+BC2=CD2【答案】证明见解析
【分析】连接BD，证明△AOC≌△BOD（SAS），得到△CBD为直角三角形，再由勾股定理即可证
明．
【详解】解：连接BD，
∵△AOB与△COD为等腰直角三角形，
∴AO=BO，CO=DO，∠AOB=∠COD=90°，∠A=∠ABO=45°，
∴∠AOC+∠BOC=∠BOD+∠BOC
∴∠AOC=∠BOD，
在△AOC与△BOD中，
¿，
∴△AOC≌△BOD（SAS）
∴∠A=∠OBD=45°，AC=BD，
∴∠ABO+∠OBD=90°，即∠CBD=90°，
∴在Rt△CBD中，BD2+BC2=CD2
即AC2+BC2=CD2．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，以及勾股定理证明线段的关系，解题的关键是作出
辅助线，通过全等证明△CBD为直角三角形．
【变式1】如图，AD∥BC，AE平分∠BAD，点E为DC中点，求证：AD+BC=AB．【答案】见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，延长AE，BC交于点F，根据AAS证明△ADE
与△FCE全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．
【详解】证明：延长AE，BC交于点F，
∵AD∥BC
，
∴∠DAE=∠CFE，
∵点E是DC的中点，
∴ED=CE，
在△ADE与△FCE中，
¿，
∴△ADE≌△FCE(AAS)，
∴AD=CF，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAF=∠BAF，
∵AD∥BC，
∴∠DAF=∠F，
∴∠BAF=∠F，
∴AB=BF，
∴AB=BF=BC+CF=BC+AD．
【变式2】如图所示，△ABC中，∠C=90°，点D在AB上，BC=BD，DE⊥AB交AC于点E，
△ABC的周长为12，△ADE的周长为6，则BC的长．【答案】BC=3
【分析】本题考查了相似三角形的性质和勾股定理的应用．连接BE，证出Rt△BDE≌Rt△BCE得
出CE=DE，设BC=BD=x,CE= y，得出AD+AE=12−2x−y，AD+AE=6−y，即可解得．
【详解】解：连接BE，
设BC=BD=x,CE= y，
∵DE⊥AB，∠C=90°，
∴∠C=∠BDE=90°，
∵BC=BD，BE=BE，
∴Rt△BDE≌Rt△BCE(HL)，
∴CE=DE= y，
∵△ABC的周长为12，
∴AD+AE=12−2x−y，
∵△ADE的周长为6，
∴AD+AE=6−y，
∴12−2x−y=6−y，
解得：x=3，
∴BC=3．
【变式3】已知：如图，AB=AD，∠ABC=∠ADC，求证：BC=DC．
小桐的证明方法如下框：
证明：连结AC．在△ABC和△ADC中，
∵¿，
∴△ABC≌△ADC，
∴BC=DC．
小桐的证明是否正确？若正确，请写出这两个三角形全等的理由；若错误，请写出你的证明过程．
【答案】不正确，过程见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定，等腰三角形的判定和性质，根据SSA不能判定三角形全等，
可知，小桐的证明是错误的，连接BD，等边对等角，得到∠ABD=∠ADB，根据
∠ABC=∠ADC，得到∠CBD=∠CDB，等角对等边，得到BC=DC即可．
【详解】解：小桐的证明是利用SSA证明三角形全等，而SSA不能判定三角形全等，故小桐的证明不
正确；
连接BD，
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∵∠ABC=∠ADC，
∴∠ABC−∠ABD=∠ADC−∠ADB，即：∠CBD=∠CDB，
∴BC=DC．
考点6：全等三角形的判定——倍长中线
典例6：（1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1．AD是△ABC的中线．
AB=5，AC=3，写出一个符合条件的AD的值．
【探究方法】第一小组经过合作交流．得到了如下的解决方法：
①延长AD到E，使得DE=AD；
②连接BE．通过三角形全等把AB、AC、2AD转化在△ABE中；
③利用三角形的三边关系可得AE的取值范围为AB−BE0)．
(1) BC= ．
(2)求斜边AC上的高线长．
(3)①当P在AB上时，AP的长为 ，t的取值范围是 ．（用含t的代数式表示）
②若点P在∠BCA的角平分线上，则t的值为 ．
(4)在整个运动过程中，直接写出△PAB是以AB为一腰的等腰三角形时t的值．
【答案】(1)12
60
(2)
13
13 26
(3)①3t−13， ≤t≤6，②t=
3 5
8 119
(4) 或
3 39
【分析】（1）利用勾股定理求解；
（2）过点B作BD⊥AC于点D，利用面积法求解；
（3）①根据点P的运动路径及速度可解；②过点P作PE⊥AC于E，利用角平分线的性质可知
PB=PE，再证Rt△BCP≌Rt△ECP(HL)，推出EC=BC=12，最后利用勾股定理解Rt△AEP即
可；
（4）分AB=AP=5和AB=BP=5两种情况，利用等腰三角形的性质、勾股定理分别求解即可．
【详解】（1）解：∵在△ABC中，∠ABC=90°，BA=5，
∴ BC=√AC2−AB2=√132−52=12；故答案为：12；
（2）解：如图1所示，过点B作BD⊥AC于点D，
1 1
∵ S = AB⋅BC= AC⋅BD
△ABC 2 2
，
AB⋅BC 5×12 60
∴ BD= = = ，
AC 13 13
60
∴斜边AC上的高线长为 ；
13
（3）解：①∵点P从点C出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线C−A−B运动，
∴AP=3t−AC=3t−13，
AC AC+AB 13 13+5
∴ ≤t≤ ，即 ≤t≤ ，
3 3 3 3
13
∴ ≤t≤6；
3
13
故答案为：3t−13， ≤t≤6；
3
②点P在∠BCA的角平分线上时，过点P作PE⊥AC于E，
∵CP ∠BCA ∠B=90°
平分 ， ，
∴PB=PE，
又∵PC=PC，
∴Rt△BCP≌Rt△ECP(HL)
∴EC=BC=12，则AE=AC−CE=13−12=1，
由（2）知AP=3t−13，
∴BP=AB−AP=5−(3t−13)=18−3t，
∴PE=18−3t，
在Rt△AEP中，AP2=AE2+EP2，即(3t−13) 2=12+(18−3t) 2，26
解得t= ，
5
26
∴点P在∠BAC的角平分线上时，t= ；
5
26
故答案为： ；
5
（4）解：依题意，△PAB是以AB为一腰的等腰三角形时，有两种情况：
当AB=AP=5时，
则CP=AC−AP=13−5=8，
CP 8
∴ t= = ；
3 3
当AB=BP=5时，过点B作BD⊥AC于点D，
60
由（2）知BD= ，
13
√ 60 2 25
∴ AD=√AB2−BD2= 52−( ) = ，
13 13
∵AB=BP，BD⊥AC，
50
∴ AP=2AD= ，
13
50 119
∴ CP=AC−AP=13− = ，
13 13
CP 119
∴ t= = ，
3 39
8 119
故△PAB是以AB为一腰的等腰三角形时t的值为 或 ．
3 39
【点睛】本题是勾股定理在动点问题中的应用，考查了勾股定理，等腰三角形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握上述定理、性质，灵活运用分类讨论思想是解题的关键．
【变式1】如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC
于F．
(1)求证：BE=CF；
(2)如果AB=10，AC=6， 则AE的长为 ．
【答案】(1)见解析
(2)8
【分析】本题考查角平分线的性质，垂直平分线的性质，三角形全等的判定与性质，熟练掌握相关
的知识是解题的关键．
（1）由DG垂直平分BC可得BD=CD，由角平分线的性质可得DE=DF，∠DEB=∠DFC=90°，
从而证得Rt△DBE≌Rt△DCF，得证BE=CF；
（2）易证Rt△ADE≌Rt△ADF，得到AE=AF，又BE=CF，因此AB=AE+BE=AC+2BE，
代入AB=10，AC=6，求出BE=2，即可解答．
【详解】（1）证明：连接BD，CD，
∵ DG BC
垂直平分 ，
∴ BD=CD，
∵ AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ DE=DF，∠DEB=∠DFC=90°，
∴在Rt△DBE和Rt△DCF中，
∴ ¿，
∴ Rt△DBE≌Rt△DCF(HL)，
∴ BE=CF；
（2）∵ AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴ DE=DF，∠DEB=∠DFC=90°，
∴在Rt△ADE和Rt△ADF中，
¿，
∴ Rt△ADE≌Rt△ADF(HL)，
∴ AE=AF，
∵ BE=CF，
∴ AB=AE+BE=AF+BE=AC+CF+BE=AC+2BE，
∵ AB=10，AC=6，
∴ 10=6+2BE，
∴ BE=2，
∴ AE=AB−BE=10−2=8，
故答案为：8．
【变式2】如图，在△ABC中，∠B=90°，点O是∠CAB、∠ACB平分线的交点．
(1)连接BO，求证：BO平分∠ABC；
(2)若BC=4cm，AC=5cm，求点O到边AB的距离．
【答案】(1)见解析；
(2)1．
【分析】（1）过O作OD⊥BC于D，OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，根据角平分线的性质得到
OD=OF，OE=OF，继而OE=OD，再根据角平分线的判定即可证明；
（2）先由勾股定理求出AB，再由△ABC的面积=△OBC的面积+△AOB的面积+△AOC的面积，
即可求解．
【详解】（1）证明：过O作OD⊥BC于D，OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
∵ O ∠CAB ∠ACB
点 是 、 平分线的交点，
∴OD=OF，OE=OF，∴OE=OD，
∵OD⊥BC，OE⊥AB，
∴BO平分∠ABC；
（2）解：∵BC=4cm，AC=5cm，∠ABC=90°，
∴AB=√AC2−AB2=3，
∵△ABC的面积=△OBC的面积+△AOB的面积+△AOC的面积，
1 1 1 1
∴ BC⋅AB= BC⋅OD+ AB⋅OE+ AC⋅OF，
2 2 2 2
∴3×4=(3+4+5)×OE，
∴OE=1，
∴点O到边AB的距离是1．
【点睛】本题考查了角平分线的性质以及判定，勾股定理，点到直线的距离，熟练掌握知识点是解
题的关键．
【变式3】在△ABC中，D是BC边的点（不与点B、C重合），连接AD．
(1)如图1，当点D是BC边上的中点且S =3时，S =________，则S :S =1；
△ABD △ACD △ABD △ACD
(2)如图2，当AD是∠BAC的平分线时，若AB=m，AC=n，求证：S :S =m:n；
△ABD △ACD
(3)如图3，AD平分∠BAC，延长AD到E，使得AD=DE，连接BE，如果AC=2，AB=4，
S =6，求S ．
△BDE △ABC
【答案】(1)3
(2)见解析
(3)S =9．
△ABC
【分析】本题考查了三角形的中线，三角形的角平分线的性质．
1
（1）如图1，过A作AE⊥BC于E，则BD=DC，根据S = ×BD×AE=3，则
ABD 2
1
S = ×CD×AE=3，计算求解即可；
△ACD 2
（2）如图2，过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则DE=DF，根据(1 ) (1 )，计算求解即可；
S :S = ×AB×DE : ×AC×DF
ABD △ACD 2 2
（3）由（1）可知，S =S =6，由（2）可知，S :S =2:4，可求S 的值，根据
△ABD △BDE △ACD △ABD △ACD
S =S +S ，计算求解即可．
△ABC △ACD △ABD
【详解】（1）解：如图1，过A作AE⊥BC于E，
∵点D是BC边上的中点，
∴BD=DC，
1
∵S = ×BD×AE=3，
ABD 2
1
∴S = ×CD×AE=3，
△ACD 2
∴S :S =3:3=1:1，
ABD △ACD
故答案为：3；
（2）证明：如图2，过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴DE=DF，
(1 ) (1 )
∴S :S = ×AB×DE : ×AC×DF =AB:AC=m:n，
ABD △ACD 2 2
∴S :S =m:n；
△ABD △ACD
（3）解：由（1）可知，S =S =6，
△ABD △BDE
由（2）可知，S :S =2:4，
△ACD △ABD
∴S =3，
△ACD
∴S =S +S =9．
△ABC △ACD △ABD
考点10：全等三角形的性质与判定典例10：综合与实践
【问题背景】
“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为90°，于是有三组边相
互垂直，所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三
角形．
（1）①如图1，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过点C作直线DE，AD⊥DE
于点D，BE⊥DE于点E，则CD与BE的数量关系是______________．
②如图2，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过点C作直线CE，过点A作
AD⊥CE于点D，过点B作BE⊥CE于点E，AD=5，BE=2，则DE的长为______________．
【变式运用】
（2）如图3，在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=∠ADC=90°，CD=4．求△BCD的面积．
【拓展迁移】
（3）如图4，在△ABC中，AB=AC，CB=8，S =24，以AC为直角边向右侧作一个等腰直
△ABC
角三角形ACD，连接BD，请直接写出△BCD的面积．
【答案】（1）①CD=BE；②3
（2）8
（3）16或40
【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练分类讨论的思想是解题的关
键．
（1）①根据AD⊥DE，BE⊥DE得到∠ADC=∠CEB=90°，结合∠ACB=90°，得到
∠ACD+∠CAD=90°，∠ACD+∠BCE=90°从而得到∠CAD=∠BCE即可得到
△CAD≌△BCE即可得到答案，②同理①证明△CAD≌△BCE即可得到答案；
（2）过B作BE⊥CD于E，证明△CAD≌△BCE即可得到答案；
（3）分∠ACDC=90°，∠CAD=90°两种情况讨论，根据直角等腰三角形结合（1）的结论求解
即可得到答案．
【详解】（1）①解：DC=BE，理由如下，
∵AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
∵∠ACB=90°，∴ ∠ACD+∠CAD=90°，∠ACD+∠BCE=90°，
∴∠CAD=∠BCE，
在△CAD与△BCE中，
∵¿，
∴△CAD≌△BCE(AAS)，
∴DC=BE；
②∵AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴ ∠ACD+∠CAD=90°，∠ACD+∠BCE=90°，
∴∠CAD=∠BCE，
在△CAD与△BCE中，
∵¿，
∴△CAD≌△BCE(AAS)，
∴CD=BE，AD=CE，
∵AD=5，BE=2，
∴DE=CE−CD=AD−BE=5−2=3；
（2）解：∵BE⊥CD，∠ACB=∠CDA=90°，
∴∠ADC=∠CEB=90°，∠ACD+∠CAD=90°，∠ACD+∠BCE=90°，
∴∠CAD=∠BCE，
在△CAD与△BCE中，
∵¿，
∴△CAD≌△BCE(AAS)，
∴CD=BE，
∵CD=4，
1
∴S = ×4×4=8，
△BCD 2
AC ∠CAD=90° AE D
（3）解：当 作直角边， 时，如图4-1所示，作高线 ，过 作
DF⊥EA于F，
∵AB=AC，CB=8，S =24，
△ABC1
∴AE=2×24÷8=6，CE= BC=4，
2
由（1）得，△ACE≌△DAF，
AF=CE=4
∴ ，
1 1
∴S = BC⋅EF= ×8×(4+6)=40；
△BCD 2 2
当AC作直角边，∠ACD=90°时，如图4-2所示，作高线AE，过D作DF⊥BC于
F，
AB=AC CB=8 S =24
△ABC
∵ ， ， ，
1
∴AE=2×24÷8=6，CE= BC=4，
2
由（1）得，△AEC≌△CFD，
∴EC=DF=4，
1 1
∴S = BC⋅DF= ×8×4=16；
△BCD 2 2
综上所述：△BCD的面积是40或16．
1
【变式1】（1）如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，∠EAF= ∠BAD．
2
求证：EF=BE+DF．
1
（2）如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，∠EAF= ∠BAD．试判断
2
（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请写出线段EF、BE、DF之间关系，并证明．【答案】（1）证明过程见详解
（2）（1）中的结论不成立，EF=BE−DF，证明见详解
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握其判定方法和性质是解题的关键．
（1）如图所示，延长BC至点M，使得BM=DF，连接AM，可证△ABM≌△ADF(SAS)，得到
1
∠BAM=∠DAF，AM=AF，根据∠EAF= ∠BAD，可得
2
1
∠BAE+∠BAM=∠EAM= ∠BAD，则有∠EAM=∠EAF，再证△EAM≌△EAF(SAS)，得
2
到EM=EF，由此即可求解；
（2）如图所示，在BE上取BP=DF，连接AP，可证△ABP≌△ADF(SAS)，AP=AF，
∠BAP=∠DAF，由此可得∠EAP=∠EAF，再证△EAP≌△EAF(SAS)，得到EF=EP，由此
即可求解．
【详解】（1）证明：如图所示，延长BC至点M，使得BM=DF，连接AM，
∵BM=DF,∠ABM=∠D=90°,AB=AD，
∴△ABM≌△ADF(SAS)，
∴∠BAM=∠DAF，AM=AF，
1
∵∠EAF= ∠BAD，
21 1
∴∠BAE+∠DAF=∠BAD−∠EAF=∠BAD− ∠BAD= ∠BAD，
2 2
1
∴∠BAE+∠BAM=∠EAM= ∠BAD，
2
∴∠EAM=∠EAF，
在△EAM和△EAF中，
¿，
∴△EAM≌△EAF(SAS)，
∴EM=EF，
∵EM=BE+BM=BE+DF，
∴EF=BE+DF；
（2）证明：（1）中的结论不成立，EF=BE−DF，理由如下：
如图所示，在BE上取BP=DF，连接AP，
∵∠B+∠ADC=180°,∠ADC+∠ADF=180°，
∴∠B=∠ADF，
在△ABP和△ADF中，
¿，
∴△ABP≌△ADF(SAS)，
∴AP=AF，∠BAP=∠DAF，
1
∵∠EAF=∠EAD+∠DAF= ∠BAD，
2
1
∴∠BAP+∠EAD= ∠BAD，
2
1 1
∴∠EAP=∠BAD−(∠BAP+∠EAD)=∠BAD− ∠BAD= ∠BAD，
2 2
∴∠EAP=∠EAF，且AP=AF,AE=AE，
∴△EAP≌△EAF(SAS)，∴EF=EP，
∵EP=BE−BP=BE−DF，
∴EF=BE−DF．
【变式2】如图，在△ABC和△DCE中，CA=CB，CD=CE，∠CAB=∠CED．
(1)求证：BE=AD；
(2)如图1，延长AD、EB交于点O，试探究∠AOB与∠CAB的数量关系，并说明理由；
(3)如图2，当∠CAB=∠CED=45°时，连接BD、AE，延长MC与BD交于点N，试探究BN与
BD的数量关系．并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)∠AOB=2∠CAB，理由见解析
1
(3)BN= BD．理由见解析
2
【分析】本题考查了等边对等角、三角形内角和定理、全等三角形的判定和性质、三角形的外角性
质等，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）根据等边对等角得出∠CAB=∠CBA，∠CDE=∠CED，根据三角形内角和定理推得
∠CAB=∠CED，即可求得∠ACD=∠BCE，根据SAS证明△ACD≌△BCE，根据全等三角形的
对应边相等即可证明；
（2）根据全等三角形的对应角相等得出∠CAD=∠CBE=∠CAB+∠BAO，根据三角形的外角性
质得出∠CBE+∠CAB=∠BOA+∠BAO，等量代换得出
∠BAO+∠CAB+∠CAB=∠BOA+∠BAO，即可得出∠AOB=2∠CAB；
（3）作BP⊥MN交MN的延长线于P，作DQ⊥MN交MN的延长线于Q，根据三角形内角和定
理推得∠BCA=∠AMC，根据三角形的外角性质可推得∠BCP=∠CAM，根据AAS可证明
△CBP≌△ACM，根据全等三角形的对应边相等得出MC=BP，同理得出，CM=DQ，推得
DQ=BP，根据AAS可证明△BPN≌△DQN，根据全等三角形的对应边相等得出BN=ND，即可
求解．
【详解】（1）证明：∵CA=CB，CD=CE，
∴∠CAB=∠CBA，∠CDE=∠CED，则∠ACB=180°−2∠CAB，∠DCE=180°−2∠CED，
∵∠CAB=∠CED，
∴∠ACB=∠DCE，
∴∠ACB−∠DCB=∠DCE−∠DCB，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
¿，
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴BE=AD；
（2）解：∠AOB=2∠CAB，理由如下：
∵△ACD≌△BCE，∠CAD=∠CAB+∠BAO，
∴∠CAD=∠CBE=∠CAB+∠BAO，
∵∠ABE=∠AOB+∠BAO，
∴∠CBE+∠CAB=∠BOA+∠BAO，
∴∠BAO+∠CAB+∠CAB=∠BOA+∠BAO，
∴∠AOB=2∠CAB；
1
（3）解：BN= BD，理由如下：
2
如图，作BP⊥MN交MN的延长线于P，作DQ⊥MN交MN的延长线于Q，
∵∠CAB=∠CED=45°，
∴∠BCA=180°−45°−45°=90°，
∴∠BCA=∠AMC，
∵∠BCP+∠BCA=∠CAM+∠AMC，
∴∠BCP=∠CAM，
在△CBP与△ACM中，
¿，
∴△CBP≌△ACM(AAS)，
∴MC=BP，同理，CM=DQ，
∴DQ=BP，
在△BPN与△DQN中，
¿，
∴△BPN≌△DQN(AAS)，
∴BN=ND，
∴N是BD的中点，
1
∴BN= BD．
2
【变式3】如图，在△ABC中，AB=AC，作BC的中点D，过D作∠EDF=90°，分别交AB、
AC于E、F，我们称△≝¿为等腰△ABC的“内接直角三角形”．设BE=a，CF=b．
(1)如图①，当∠A=90°时，若a=2，b=1时，求内接直角三角形DEF的斜边EF的长．
(2)如图②，当∠A=60°时，求证：内接直角三角形DEF的斜边满足：EF2=a2+ab+b2；
(3)拓展延伸：如图③，当∠A=90°时，若E、F分别在BA、AC的延长线上，EF与a，b还满足
（2）的关系式吗？若满足，证明你的结论；若不满足，请探索EF与a，b满足的数量关系式，并证
明你的结论．
【答案】(1)√5
(2)见解析
(3)EF2=a2+b2，理由见解析
【分析】（1）过点C作AC的垂线交ED的延长线于点E′，连接E′F，根据平行线的性质，则
∠B=∠E′CD，根据对顶角相等，全等三角形的判定和性质，则△BED≌△CE′D，得DE′=DE，
CE′=BE=2，根据勾股定理的应用，即可；
（2）过点C作AC的平行线交ED的延长线于点E′，连接E′F，过点F作E′C的垂线，交E′C的延长
线于点G，根据等腰三角形的性质，则∠B=∠DCF=60°，根据全等三角形的判定和性质，则
△BDE≌△CE′D，DE′=DE，CE′=BE=a，根据勾股定理，则E′F2=E′G2+GF2，即可；
（3）过点C作AC的垂线交ED的延长线于点E′，连接E′F，根据平行线的性质，则∠B=∠E′CD，
根据对顶角相等，全等三角形的判定和性质，则△BED≌△CE′D，根据勾股定理，则
E′F2=CE′2+CF=a2+b2，进行解答，即可．【详解】（1）解：如图，过点C作AC的垂线交ED的延长线于点E′，连接E′F，
∵∠A=90°，
∴AB∥CE′，
∴∠B=∠E′CD，
∵点D是BC的中点，
∴BD=CD，
又∵∠BDE=∠CDE′，
∴△BED≌△CE′D，
∴DE′=DE，CE′=BE=2，
又∵∠EDF=90°，
∴E′F=EF，
在 Rt△E′FC中，由勾股定理得：E′F=√CE'2+CF2=√5．
（2）如图，过点C作AC的平行线交ED的延长线于点E′，连接E′F，过点F作E′C的垂线，交E′C
的延长线于点G，
∵AB=AC，∠A=60°，
∴∠B=∠DCF=60°，
∵点D是BC的中点，
∴BD=CD，
又∵∠E′CD=∠B=60°，∠BDE=∠CDE′，
∴△BDE≌△CE′D，
∴DE′=DE，CE′=BE=a，
又∵∠GCF=180°−∠E′CD−∠DCF=60°，CF=b，∠G=90°，
1 b √3 √3
∴GC= CF= ，GF= CF= b，
2 2 2 2
b
∴E′G=E′C+GC=a+
，
2
在Rt△E′FG中，E′F2=E′G2+GF2= ( a+ b) 2 + (√3 b ) 2 =a2+ab+b2，
2 2
即EF2=a2+ab+b2．（3）如图，过点C作AC的垂线交ED的延长线于点E′，连接E′F，
∵∠A=90°，
∴∠B=∠E′CD，
∵点D是BC的中点，
∴BD=CD，
又∵∠BDE=∠CDE′，
∴△BDE≌△CDE'，
∴DE=DE′，CE′=BE=a，
∵∠EDF=90°，
∴E′F=EF，
在Rt△E'FC中，E′F2=CE′2+CF=a2+b2，
【点睛】本题考查等腰三角形，全等三角形，勾股定理的知识，解题的关键是掌握等腰三角形的性
质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，进行解答，即可．
