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专题 04 全等三角形（分层训练）
【基础训练】
一、单选题
1．如图，△ABC≌△DEC，∠A=72°，∠ACB=58°，则∠E的度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
2．如图，△ABC≌△DEC，A和D，B和E是对应点，B、C、D在同一直线上，且
CE=5，AC=7，则BD的长为（ ）
A．12 B．7 C．5 D．14
3．小明在家里玩耍时，不小心把橱柜的一块三角形的玻璃碰碎成四块，如图所示，现要到玻璃店去
配一块完全一样的玻璃，最简单的办法是（ ）
A．只带①去 B．带②③去 C．带①③去 D．只带④去
4．如图，在△ABC中，点O是边AB和AC的垂直平分线OD、OE的交点，若∠BOC=100°，则
∠EOF的大小为（ ）A．40° B．45° C．50° D．80°
5．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，点E在BC上，DF平分∠ADE，DE⊥EF，则BF长为
（ ）
2 3 4
A． B．1 C． D．
3 2 3
6．如图，在△ABC中，利用尺规作得∠ACB的平分线与边AC的垂直平分线PQ交于点P，有如下
结论：①若BC=AC，则点P到点A，B的距离相等；②若AB=BC，则点P到AB，AC的距离相
等．其中正确的结论（ ）．
A．只有① B．①②都对 C．只有② D．①②都不对
7．如图，在△ABC中，∠B=90∘，两直角边AB=7,BC=24，在三角形内有一点P到各边的距离
相等，则AP的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．2√3
8．在△ABC和△A′B′C′中， ∠B=∠B′=30°， AB=A′B′， AC=A′C′， 若∠A=40°， 则∠C′=（ ）
A．30° B．10°
C．110° D．不只是110°，还有可能是其他值
9．如图，在正方形ABCD中，若∠EAF=45°，点E在BC上，点F在CD上，则①EF=BE+DF；
②C =2AB；③∠AFD=∠AFE，④∠AEF=∠AEB．其中一定成立的是（ ）
△CEF
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④
10．如图，△ABC为等边三角形，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则下列四
个结论：①AP平分∠BAC；②AS=AR；③QP∥AR；④△BRP≌△QSP．其中正确的个数是（
）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．如图，点P是∠AOB的角平分线上一点，PD⊥OA于点D，CE垂直平分OP，若
∠AOB=30°，下列结论错误的是（ ）
A．∠AOP=15° B．OC=PC C．∠PEB=30° D．DP=2CE
12．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AC为边，在△ABC的另一侧作△ACD，且
1
AD=AC，再以AB为边，作∠BAE= ∠CAD，点E在边BC 上，连接DE．下列结论：①
2
AC=DE；② ∠ADE=∠ACB；③DE−CE=2BE；④若∠DAE=90°，则DC∥AB．其中一定正确的结论是（ ）
A．②③ B．①②③ C．②③④ D．①②④
13．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于AC
1
的长为半径，画弧，分别交AB、AC于点E、F；②分别以点E、F为圆心，大于 EF的长为半径
2
画弧，两弧相交于点G；③作射线AG，交BC边于点D，若AD=10cm，则BD的值为（ ）．
A．5cm B．10cm C．20cm D．1cm
14．如图，点C为线段ABC上一点，△ACM和△CBN是等边三角形．下列结论：①AN=BM；②
CF=CE；③△CFE是等边三角形；④∠AFM=60°．其中正确的是（ ）
A．① B．①② C．①②③ D．①②③④
15．如图，若AB同时平分∠CAD 与∠CBD，则可判断△ABC≌△ABD，最直接的依据是（ ）
A．SSS B．SSA C．SAS D．ASA
二、填空题
16．如图，已知AB=CB，BE=BF，点A，B，C在同一条直线上，∠1=∠2，若∠FBE=40°，∠C=45°，则∠E等于 ．
17．如图，在正方形ABCD中，将边BC绕点B逆时针旋转至BC′，连接CC′,DC′，若，
∠CC′D＝90°,AB=√5则线段C′D的长度为 ．
18．已知，如图AB∥DE，点C在BD上，BC=2CD，AC=DE，∠ACB=∠E，若AB=6，则
AC= ．
19．中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图，
在△ABC中，分别取AB，AC的中点F，G，连接FG，过点A作AH⊥FG，垂足为H，将△ABC
分割后可拼接成矩形BCDE．若AH=FG=4，则△ABC的面积是 ．
20．在学习完“探索三角形全等的条件”一节后，小丽总结出很多全等三角形的模型，她设计了以
下问题给同桌解决：做一个“U”字形框架PABQ，其中AB＝20 cm，AP，BQ足够长，PA⊥AB于点
A，QB⊥AB于点B，点M从B出发向A运动，点N从B出发向Q运动，速度之比为2：3，运动到某
一瞬间两点同时停止，在AP上取点C，使△ACM与△BMN全等，则AC的长度为 cm．1
21．如图，在△ABC中，AC＝4，BC＝2，分别以点A，B为圆心，以大于 AB的长为半径画弧，两
2
弧相交于点M，N，作直线MN交AC于点D，连接BD，则△BCD的周长为 ．
22．如图，在△ABC中，CD为中线，BE⊥CD交AC于点E，若∠A=45°，CD=BC，
BD=2√10，则线段EC的长为 ．
23．如图，在正方形ABCD外取一点E，连接DE，AE，CE，过点D作DE的垂线交AE于点P，
若DE=DP=1，PC=√6．下列结论：①△APD≌△CED；②AE⊥CE；③点C到直线DE的距
离为 ；④ ，其中正确结论的序号为 ．
√3 S =5+2√2
正 方 形ABCD
24．如图，正方形ABCD中，AB=4，E点沿线段AD由A向D运动（到D停止运动），F点沿线
段CB由C向B运动（到B停止运动），两点同时出发，速度相同，连接EF，作BP⊥EF于P点，
则在整个运动过程中P点的运动轨迹长为 ．25．平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y=−x+4与x轴、y轴分别交于A，B两点，点C，
点D坐标分别为(0，m)，(4−m，0)(0<m<4)，则AC+BD的最小值为 ．
三、解答题
26．如图，直角梯形ABCD中，E为AD边上的中点，过A作AC⊥BE，交CD边于C，M是AD边
上一点，且有BM=DM+AD，AD=BA．
(1)求证：CD=DE；
(2)求证：∠MBC=∠ABE．
27．如图，△ABC、△ADE均为等边三角形，BC=6，AD=4．将△ADE绕点A沿顺时针方向旋
转，连接BD、CE．(1)在图①中证明△ADB≌△AEC；
(2)如图②，当∠EAC=90°时，连接CD，求△DBC的面积；
(3)在△ADE的旋转过程中，直接写出△DBC的面积S的取值范围．
28．如图， 已知正方形ABCD， 点E 是AB边上一点， 过点B 作 BM⊥DE交DE的延长线于
点M， 连接AM， 过点A 作 AN⊥AM交DE于点N． 求证：BM=DN．
29．如图，点A、B、C、D在同一条直线上，点E、F分别在直线AB的两侧，且AE=BF，
∠A=∠B,AD=BC．
(1)求证：△ACE≌△BDF；
(2)若AB=12,AC=3，求AD的长．
30．如图，已知等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于点D．点M、N在斜
边BC上，AN⊥BD于点F，AM交BD于点E，且满足∠MAN=45°，过点C作CP垂直AN的延
长线于点P．
(1)求证：△ADE是等腰三角形；
(2)若AD=3，求AB的长；
(3)试探究AM与PC的数量关系，并说明理由．
31．如图，正方形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A的坐标为(4,3)(1)求顶点B的坐标；
(2)现有动点P、Q分别从C、A同时出发，点P沿线段CB向终点B运动，速度为每秒1个单位，点
Q沿折线A→O→C向终点C运动，速度为每秒k个单位，当运动时间为2秒时，以P、Q、C为顶
点的三角形是等腰三角形，求此时k的值．
5
(3)若正方形OABC以每秒 个单位的速度沿射线AO下滑，当顶点A落到原点O时停止下滑．设正
3
方形OABC在x轴下方部分的面积为S，求S关于滑行时间t的函数关系式．
32．如图，在△ABC中，CO⊥AB于点O，BA=BC=3，AO=1．
(1)求CO的长；
(2)若点D是射线OB上的一个动点，过点D作DE⊥AC于点E．
①当点D在线段OB上时，若AO=AE，求OD的长；
②设直线DE交射线CB于点F，连接OF，若S :S =1:4，求OD的长．
△OBF △OCF
33．如图，在△ACD中，E为边CD上一点，F为AD中点，过点A作AB∥CD，交EF的延长线于
点B．
(1)求证△AFB≌△DFE；
(2)若AB=6，DE=3CE，求CD的长．
34．如图， △ABC与△ADE是以点A为公共顶点的两个三角形，且AD=AE，AB=AC，
∠DAE=∠CAB=90°，且线段BD，CE交于F．(1)求证：△AEC≌△ADB；
(2)BD与EF有怎样的位置关系？请说明理由．
35．如图，AB∥FC，E是AC的中点，延长FE交AB于点D，与CB的延长线交于点G．
(1)求证：△ADE≌△CFE；
(2)若GB=2，BC=4，BD=1，求AD的长．
【能力提升】
36．在平面直角坐标系中，A为y轴正半轴上一点，B为x轴正半轴上一点，且OA=OB=4，连接
AB．
(1)如图1，C为线段AB上一点，连接OC，将OC绕点O逆时针旋转90°得到OD，连接AD，求
AC+AD的值．
(2)如图2，当点C在x轴上，点D位于第二象限时，∠ADC=90°，且AD=CD，E为AB的中点，
连接DE，试探究线段AD+DE是否存在最小值？若存在，求出AD+DE的最小值；若不存在，请
说明理由．
37．根据三角形全等知识易证：△ABC中，①若AB=AC，则∠B=∠C；②若∠B=∠C，则AB=AC，有时恰当使用上述结论，可使解题过程更简化．
数学实验课上，小颖、小亮、小慧三位同学每人拿的一张画有“形状、大小完全相同的△ABC”的
纸张，AD是△ABC的中线，他们进行如下操作：
(1)如图1，小颖测量发现AD⊥BC，那么边AB、AC有何数量关系？并证明你的结论；
(2)如图2，小亮在AD上取一点E，将△ABE沿BE翻折后发现，点A的对应点F恰好在线段CE上，
且BF平分∠ABC，则∠BAC=___________．
(3)如图3，小慧在DA的延长线上取一点E，连接BE交AC延长线于点F，延长BE到G，连接CG交
BA延长于点H，测量发现∠G=80°，探究线段BF与CH的数量关系；
38．已知：如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，将线段BC绕点B 顺时针旋转一
定角度得到线段BD．连接AD交BC于点E，过点C作线段AD的垂线，垂足为点F，交BD于点G．
(1)如图1，若∠CBD=45°
①求∠BCG的度数；
②求证：CE=DG；
(2)如图2，若∠CBD=60°，当AC−DE=6时，求CE的值
39．如图，Rt△BAC的顶点A，B分别在x轴，y轴上，∠CBA=90°；
(1)若AB=CB，且点B(0,2)，C(−2,−1)，①点C关于x轴对称点的坐标为________；
②求点A的坐标；
(2)若点B与原点重合，∠ACO=30°时，存在第三象限的点E和y轴上的点F，使∠AEF=30°，且
A(3,0)，C(0,m)(m<0)，F(0,n)(n>0)，线段EF的长度为−m−n，求AE的长．
40．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为AB边的中点，点E、F分别在射线CA、
BC上，且∠EDF=90°， 连接EF．
(1)如图1，当点E、F分别在边CA 和BC上时，连接CD，
① 证明 ：△AED≌△CFD．
② 直接写出S ，S 和S 的关系是：
△EFC △EFD △ABC
(2)探究：如图2，当点E、F 分别在边CA、BC的延长线上时，S ，S 和S 的关系是：
△EFD △EFC △ABC
(3)应用：若AC=6，AE=2，利用上面探究得到的结论，求△EFD的面积．
