文档内容
专题 04 全等三角形（分层训练）
【基础训练】
一、单选题
1．如图，△ABC≌△DEC，∠A=72°，∠ACB=58°，则∠E的度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【答案】B
【知识点】全等三角形的性质、三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质是解题
的关键；根据三角形的内角和定理求出∠B，再根据全等三角形的性质求出∠E．
【详解】解：∵∠A=72°，∠ACB=58°，
∴∠B=180°−∠A−∠ACB=50°，
∵△ABC≌△DEC，
∴∠E=∠B=50°，
故选：B．
2．如图，△ABC≌△DEC，A和D，B和E是对应点，B、C、D在同一直线上，且
CE=5，AC=7，则BD的长为（ ）
A．12 B．7 C．5 D．14
【答案】A
【知识点】全等三角形的性质
【分析】本题主要考查的是全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 根据全
等三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：∵ △ABC≌△DEC，CE=5,AC=7，
∴BC=EC=5,CD=AC=7，
∴BD=BC+CD=12．故选：A．
3．小明在家里玩耍时，不小心把橱柜的一块三角形的玻璃碰碎成四块，如图所示，现要到玻璃店去
配一块完全一样的玻璃，最简单的办法是（ ）
A．只带①去 B．带②③去 C．带①③去 D．只带④去
【答案】D
【知识点】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）
【分析】此题主要考查全等三角形的判定方法，已知三角形破损部分的边角，得到原来三角形的边
角，根据三角形全等的判定方法，即可求解．解题的关键是灵活运用三角形全等的判定．
【详解】解：第①块和第②③块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不
能配一块与原来完全一样的；
第④块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃．应带
④去．
故选：D．
4．如图，在△ABC中，点O是边AB和AC的垂直平分线OD、OE的交点，若∠BOC=100°，则
∠EOF的大小为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．80°
【答案】C
【知识点】圆周角定理、线段垂直平分线的性质、同(等)角的余(补)角相等的应用
1
【分析】由题意可知点O为△ABC的外接圆圆心，由圆周角定理可求得∠A= ∠BOC=50°，根据等
2
角的余角相等得到∠EOF=∠A=50°．
【详解】解：∵点O是边AB和AC的垂直平分线OD、OE的交点，∴点O为△ABC的外接圆圆心，∠ADF=∠OEF=90°，
∴∠BOC为∠A的所对的弧对应的圆心角，
∵∠BOC=100°，
1
∴∠A= ∠BOC=50°，
2
∵∠A+∠AFD=90°，∠EOF+∠EFO=90°，
∴∠EOF=∠A=50°，
故选：C．
【点睛】本题考查垂直平分线的性质、三角形外心定义、圆周角定理、同角的余角相等，熟练掌握
圆周角定理和垂直平分线的性质，熟知三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点是解答的关键．
5．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，点E在BC上，DF平分∠ADE，DE⊥EF，则BF长为
（ ）
2 3 4
A． B．1 C． D．
3 2 3
【答案】D
【知识点】矩形性质理解、用勾股定理解三角形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者
AAS）
【分析】依据矩形的性质以及勾股定理即可得到BE的长，设BF=x，则AF=EF=3﹣x，再根据
Rt△BEF中，BE2+BF2=EF2，即可得到方程12+x2=（3﹣x）2，解方程即可得出BF的长．
【详解】解：∵矩形ABCD中，DF平分∠ADE，DE⊥EF，
∴∠ADF=∠EDF，∠A=∠DEF=90°，
又∵DF=DF，
∴△ADF≌△EDF（AAS），
∴DE=DA=5，AF=EF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=∠B=90°，CD=AB=3，BC=AD=5，
∴Rt△CDE中，CE=√DE2−CD2=√52−32=4，
∴BE=BC﹣CE=5﹣4=1，
设BF=x，则AF=EF=3﹣x，∵Rt△BEF中，BE2+BF2=EF2，
∴12+x2=(3﹣x)2，
4
解得x= ，
3
4
∴BF= ，
3
故选：D．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，三角形全等的判定和性质以及勾股定理，解题时，我们常常
设要求的线段长为x，然后用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股
定理列出方程求出答案．
6．如图，在△ABC中，利用尺规作得∠ACB的平分线与边AC的垂直平分线PQ交于点P，有如下
结论：①若BC=AC，则点P到点A，B的距离相等；②若AB=BC，则点P到AB，AC的距离相
等．其中正确的结论（ ）．
A．只有① B．①②都对 C．只有② D．①②都不对
【答案】B
【知识点】角平分线的性质定理、线段垂直平分线的性质、三线合一
【分析】本题主要考查角平分线的性质，垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，根据它们的性质
分别证明即可得出答案．
【详解】解：①当BC=AC时，如图，
∵CD是∠ACB的平分线，
∴CD⊥AB,AD=BD,
∴CD是线段AB的垂直平分线，
∵点P是CD上的一点，
∴PA=PB，故①正确，
②当AB=BC时，过点P作PE⊥BC,PF⊥AB,垂足分别为E,F,如图，∵QP是AC的垂直平分线，
∴AQ=CQ,QP⊥AC,
连接BQ，则BQ⊥AC,
∴QP与BQ重合，
∴BQ是∠ABC的平分线，
∴PE=PF,故②正确，
综上，正确的结论是①和②，
故选：B．
7．如图，在△ABC中，∠B=90∘，两直角边AB=7,BC=24，在三角形内有一点P到各边的距离
相等，则AP的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．2√3
【答案】C
【知识点】根据正方形的性质与判定求线段长、用勾股定理解三角形、角平分线的性质定理
【分析】本题考查了角平分线的性质，勾股定理，正方形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握正
方形的判定定理，
利用等面积法求出EP=FP=GP=3，再判定四边形BFPE为正方形，进而利用勾股定理即可求解；
【详解】解：在Rt△ABC中，
由勾股定理可得：AC=√AB2+BC2=√72+242=25,
设EP=FP=GP=x
1 1
则S = ⋅AB⋅BC= (AB+BC+AC)x，
Rt△ABC 2 2
1 1
即： ×7×24= (7+24+25)x，
2 2解得：x=3，
即EP=FP=GP=3，
∵∠BEP=∠EBP=∠BFP=90°，且EP=FP=3，
∴四边形BFPE为正方形，
∴BE=EP=3
∴AE=AB−BE=7−3=4
在Rt△AEP中，
AP=√AE2+EP2=√42+32=5，
故选：C
8．在△ABC和△A′B′C′中， ∠B=∠B′=30°， AB=A′B′， AC=A′C′， 若∠A=40°， 则
∠C′=（ ）
A．30° B．10°
C．110° D．不只是110°，还有可能是其他值
【答案】D
【知识点】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）
【分析】本题考查了全等三角形的判定，由已知可知无法判断△ABC和△A′B′C′是否全等，进而可
得∠C′的度数不只是110°，还有可能是其他值，据此即可求解，掌握全等三角形的判定是解题的关
键．
【详解】解：∵∠B=∠B′=30°， AB=A′B′， AC=A′C′，
∴无法判断△ABC和△A′B′C′是否全等，
∴∠C′的度数不只是110°，还有可能是其他值，
故选：D．
9．如图，在正方形ABCD中，若∠EAF=45°，点E在BC上，点F在CD上，则①EF=BE+DF；
②C =2AB；③∠AFD=∠AFE，④∠AEF=∠AEB．其中一定成立的是（ ）
△CEF
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④
【答案】A
【知识点】根据正方形的性质证明、全等三角形综合问题
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，正确添加辅助线构造全等三角形是是解决本题的关键．
延长CB至点G，使得BG=DF，连接AG，过点A作AH⊥EF于点H，先证明
△ADF≌△ABG(SAS)，根据性质结合正方形的性质证明△GAE≌△FAE，则EF=≥¿，由
¿=BG+BE,BG=DF得到EF=BE+DF，故①正确；设正方形边长为x，即AB=BC=CD=x，
则C =CE+EF+FC=x−BE+x−DF+BE+DF=2x，故C =2AB，因此②正确；证明
△CEF △CEF
△AEB≌△AEH(AAS)，则AB=AH，∠AEF=∠AEB，故③正确；证明
Rt△AHF≌Rt△ADF(HL)，则∠AFD=∠AFE，故④正确．
【详解】解：延长CB至点G，使得BG=DF，连接AG，过点A作AH⊥EF于点H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB=BC=CD,∠D=∠ABE=∠ABG=∠BAD=90°，
∴△ADF≌△ABG(SAS)，
∴AG=AF,∠2=∠3
∵∠EAF=45°，
∴∠1+∠2=∠BAD−∠EAF=45°，
∴∠1+∠3=45°，即∠GAE=45°，
∴∠GAE=∠FAE，
∵AE=AE，
∴△GAE≌△FAE，
∴EF=≥¿，
∵¿=BG+BE,BG=DF，
∴EF=BE+DF，
∴①正确；
设正方形边长为x，即AB=BC=CD=x，
∴C =CE+EF+FC=x−BE+x−DF+BE+DF=2x，
△CEF
∴C =2AB，
△CEF
∴②正确；
∵△GAE≌△FAE，
∴∠AEB=∠AEH，
∵AH⊥EF，∴∠AHE=∠ABE=90°，
∵AE=AE，
∴△AEB≌△AEH(AAS)，
∴AB=AH，∠AEF=∠AEB，
∴③正确；
∵AD=AB，
∴AH=AD，
∵AF=AF，
∴Rt△AHF≌Rt△ADF(HL)，
∴∠AFD=∠AFE，
∴④正确，
∴正确的有①②③④，
故选：A．
10．如图，△ABC为等边三角形，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则下列四
个结论：①AP平分∠BAC；②AS=AR；③QP∥AR；④△BRP≌△QSP．其中正确的个数是（
）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质和判定、角平分线的性质定理、全等三角
形综合问题
【分析】首先根据角平分线上点的性质，推出①正确，然后通过求证△ARP和△ASP全等，推出②
正确，再根据AQ=PQ，推出相关角相等，通过等量代换即可得∠QPA=∠QAR，即可推出③正
确，依据等边三角形的性质和外角的性质推出∠PQS=∠B，便可推出结论④．
【详解】解：∵PR=PS，PR⊥AB，PS⊥AC
∴P在∠A的平分线上，
∴AP平分∠BAC，故①正确；
在Rt△ARP和Rt△ASP中，
¿，∴Rt△ARP≌Rt△ASP(HL)，
∴AS=AR，∠QAP=∠PAR，故②正确；
∵AQ=PQ，
∴∠PAR=∠QPA，
∴∠QPA=∠QAR
∴QP∥AR，故③正确；
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=∠C=∠BAC=60°，
∴∠PAR=∠QPA=30°，
∴∠PQS=60°，
在△BRP和△QSP中，
¿，
∴△BRP≌△QSP(AAS)，故④正确
∴①②③④项四个结论都正确，
故选：D．
【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边对等角，直角三角形的
性质，平行线的判定，关键在于熟练运用等边三角形的性质、全等三角形的判定定理，认真推理计
算相关的等量关系．
11．如图，点P是∠AOB的角平分线上一点，PD⊥OA于点D，CE垂直平分OP，若
∠AOB=30°，下列结论错误的是（ ）
A．∠AOP=15° B．OC=PC C．∠PEB=30° D．DP=2CE
【答案】D
【知识点】角平分线的性质定理、含30度角的直角三角形、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的
性质和判定
【分析】过点P作PF⊥OB于点F，由角平分线的性质得到PD=PF，
1
∠AOP=∠BOP= ∠AOB=15°即可判断A正确；由CE垂直平分OP得到OE=OP．OC=PC，
2
即可判断B正确；得到∠POE=∠EPO=15°．则∠PEF=2∠POE=30°．即可判断C正确，无法判断DP=2CE，则判断D错误．
【详解】解：如图，过点P作PF⊥OB于点F，
∵点P是∠AOB的角平分线上一点，PD⊥OA于点D，
1
∴PD=PF，∠AOP=∠BOP= ∠AOB=15°．
2
故选项A正确，不符合题意；
∵CE垂直平分OP，
∴OE=OP．OC=PC，故选项B正确，不合题意；
∴∠POE=∠EPO=15°．
∴∠PEF=2∠POE=30°．
故选项C正确，
1 1
∴PF= PE= OE．
2 2
1 1
∴DP= PE= OE．
2 2
但是无法判断DP=2CE，故D错误，
故选：D．
【点睛】此题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，含30°
角的直角三角形的性质等知识，由已知能够注意到PD=PF是解决的关键．
12．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AC为边，在△ABC的另一侧作△ACD，且
1
AD=AC，再以AB为边，作∠BAE= ∠CAD，点E在边BC 上，连接DE．下列结论：①
2
AC=DE；② ∠ADE=∠ACB；③DE−CE=2BE；④若∠DAE=90°，则DC∥AB．其中一
定正确的结论是（ ）A．②③ B．①②③ C．②③④ D．①②④
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质和判定、线段垂直平分线的性质、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】延长EB至G，使BE=BG，连接AG，从而得到∠GAE=∠CAD，进一步证明
∠GAC=∠EAD，且AE=AG，利用SAS证明△GAC≌△EAD，则∠ADE=∠ACG，DE=CG，
即可判断①②是否正确，通过线段的等量代换运算推导出③是正确的，设∠GAB=∠BAE=x，则
∠DAC=2x，然后可得∠BAC=90°−x，所以∠BAC=∠ACD=90°−x，进而可判断④．
【详解】解：如图，延长EB至G，使BE=BG，连接AG，设AC与DE交于点M，
∵∠ABC=90°
，
∴AB⊥≥¿，
∴AB垂直平分GE，
∴AG=AE，∠GAB=∠BAE，
1
∴∠BAE= ∠GAE，
2
1
∵∠BAE= ∠CAD，
2
∴∠GAE=∠CAD，
∴∠GAE+∠EAC=∠CAD+∠EAC，
∴∠GAC=∠EAD，
在△GAC与△EAD中，
¿，
∴△GAC≌△EAD(SAS)，
∴GC=ED，∠ACB=∠ADE，
∴②是正确的，①不正确；
∵CG=CE+≥=CE+2BE，
∴DE−CE=2BE，
∴③是正确的，
∵∠DAE=90°，
∴∠CAG=∠DAE=90°，
设∠GAB=∠BAE=x，则∠CAD=2x，1
∴∠ACD=∠ADC= ×(180°−2x)=90°−x，∠BAC=90°−x，
2
∴∠BAC=∠ACD=90°−x，
∴DC∥AB，
∴④是正确的；
故选C
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质与判定，
熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键．
13．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于AC
1
的长为半径，画弧，分别交AB、AC于点E、F；②分别以点E、F为圆心，大于 EF的长为半径
2
画弧，两弧相交于点G；③作射线AG，交BC边于点D，若AD=10cm，则BD的值为（ ）．
A．5cm B．10cm C．20cm D．1cm
【答案】B
【知识点】等边对等角、角平分线的判定定理
【分析】本题考查作图—基本作图、三角形内角和定理、等腰三角形的判定等知识，解题的关键是
熟练掌握五种基本作图．由作图可知，AG平分∠BAC，由此可证明∠B=∠BAD，即可解决问题．
【详解】解：∵在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，
∴ ∠BAC=180°−∠C−∠ABC=60°，
由作图可知，AG平分∠BAC，
1
∴ ∠BAD= ∠BAC=30°，
2
∴ ∠B=∠BAD=30°，
∴ BD=AD=10cm，
故选：B．
14．如图，点C为线段ABC上一点，△ACM和△CBN是等边三角形．下列结论：①AN=BM；②
CF=CE；③△CFE是等边三角形；④∠AFM=60°．其中正确的是（ ）A．① B．①② C．①②③ D．①②③④
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定和性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的
性质和SAS综合（SAS）
【分析】先利用手拉手模型证△ACN≌△MCB，即可得AN=MB，①正确；再证△ECN≌△FCB，
可得CE=CF，②正确；再根据等边三角形的判定可得③正确；在③正确的基础上可得EF∥AB，
得∠MFE=∠MBC，∠AFE=∠BAF，进而可证∠MFE+∠CAN=60°，
∠MFE+∠AFE<60°，即∠AFM<60°，④不正确；即可得解．
【详解】解：∵△ACM和△CBN是等边三角形，
∴AC=MC，CN=CB，∠ACM=∠NCB=60°，
∴∠ACM+∠MCN=∠NCB+∠MCN，
即∠ACN=∠MCB，
∵在△ACN和△MCB中
¿
∴△ACN≌△MCB(SAS)
∴AN=BM，即①正确；
∵△ACN≌△MCB，
∴∠ANC=∠MBC，
即∠ENC=∠FBC，
∵点C为线段ABC上一点，
且∠ACM=∠NCB=60°，
∴∠ECN=∠FCB=60°，
∵在△ECN和△FCB中
¿
∴△ECN≌△FCB(ASA)
∴CE=CF，即②正确；
∵CE=CF，且∠ECN=60°，
∴△CFE是等边三角形，即③正确；
∵△CFE是等边三角形，∴∠CFE=60°=∠BCN，
∴EF∥AB，
∴∠MFE=∠MBC，∠AFE=∠BAF，
∵∠ANC=∠MBC，
∴∠MFE=∠ANC，
又∵∠ANC+∠CAN=∠BCN=60°，
∴∠MFE+∠CAN=60°，
∵∠AFE=∠CAF<∠CAN，
∴∠MFE+∠AFE<60°，
即∠AFM<60°，④不正确；
综上，正确的是①②③，
故选：C．
15．如图，若AB同时平分∠CAD 与∠CBD，则可判断△ABC≌△ABD，最直接的依据是（ ）
A．SSS B．SSA C．SAS D．ASA
【答案】D
【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）
【分析】本题考查全等三角形的判定．关键在于通过角平分线推出角相等．
利用平分线的定义得到∠CBA=∠DBA，∠CAB=∠DAB，再根据AB=AB，即可得到结论．
【详解】解：∵AB同时平分∠CBD 与∠CAD，
∴∠CBA=∠DBA，∠CAB=∠DAB，
在△ABC和△ABD中，
∵¿，
∴△ABC≌△ABD(ASA)．
故选：D．
二、填空题
16．如图，已知AB=CB，BE=BF，点A，B，C在同一条直线上，∠1=∠2，若∠FBE=40°，
∠C=45°，则∠E等于 ．【答案】25°/25度
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、三角形内角和定理的应用
【分析】先根据SAS即可证明，在△ABE中，求出∠A，∠ABE即可解决问题．
【详解】解：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠EBF=∠2+∠EBF，
即∠ABE=∠CBF．
在△ABE和△CBF中，
∵¿
∴△ABE≌△CBF．
∵∠1=∠2，∠FBE=40°，
∴∠1=∠2=70°．
∵△ABE≌△CBF，
∴∠A=∠C=45°，
∵∠ABE=∠1+∠FBE=70°+40°=110°，
∴∠E=180°−∠A−∠ABE=180°−45°−110°=25°，
故答案为25°．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用
所学知识解决问题，属于中考常见题．
17．如图，在正方形ABCD中，将边BC绕点B逆时针旋转至BC′，连接CC′,DC′，若，
∠CC′D＝90°,AB=√5则线段C′D的长度为 ．
【答案】1
【知识点】根据旋转的性质求解、根据正方形的性质求线段长、用勾股定理解三角形、全等的性质
和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．过点B作BE⊥CC′于点E，证明
△BCE≌△CDC′ (AAS)，由全等三角形的性质得出CE=C′D，由旋转的性质及等腰三角形的性质
求出CE=C′E=C′D，由勾股定理可得出答案．
【详解】解：过点B作BE⊥CC′于点E，
∵ ABCD
四边形 是正方形，
∴BC=CD=AB=√5，∠BCD=90°，
∴∠BCE+∠C′CD=90°，
∵∠BCE+∠CBE=90°，
∴∠C′CD=∠CBE，
又∵∠BEC=∠CC′D，
在△BCE和△CDC′中，
¿，
∴△BCE≌△CDC′ (AAS)，
∴CE=C′D，
∵将边BC绕点B逆时针旋转至BC′，
∴BC=BC′=CD=√5，
又∵BE⊥CC′，
∴CE=C′E=C′D，
∵C′D2+C′C2=CD2，
∴5C′D2=5，
∴C′D=1（负值舍去），
故答案为：1．
18．已知，如图AB∥DE，点C在BD上，BC=2CD，AC=DE，∠ACB=∠E，若AB=6，则
AC= ．【答案】6+6√2
【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、两直线平行内错角相等、全等的性质和ASA
（AAS）综合（ASA或者AAS）、相似三角形的判定与性质综合
【分析】作∠NAC=∠D交CB的延长线于点N，先根据ASA证明△NAC≌△CDE，得到AN=CD，
NA NC AC
设AN=CD=x，则BC=2x，根据平行线的性质可证明△NAB∽△NCA，得到 = = 得
NB NA AB
( x ) 2 ( x ) x AC
到 −2 −1=0，解出 =1+√2，从而得出 =1+√2，进而得出结果即可．
NB NB NB AB
【详解】解：如图，作∠NAC=∠D交CB的延长线于点N，
∵∠E=∠ACB ∠NAC=∠D AC=DE
， ， ，
∴△NAC≌△CDE(ASA)，
∴AN=CD，
设AN=CD=x，则BC=2x，
∵AB∥DE，
∴∠ABN=∠D，
∴∠NAC=∠ABN，
∵∠N=∠N，
∴△NAB∽△NCA，
NA NC AC
∴ = = ，
NB NA AB
∴N A2=NB⋅NC=NB⋅(NB+BC)，
∴x2=NB2+2xNB，
( x ) 2 ( x )
整理得： −2 −1=0，
NB NB
x
∴ =1+√2或1−√2（小于零舍掉），
NBNA AC
∴ =1+√2，即 =1+√2，
NB AB
又∵AB=6，
∴AC=6(1+√2)=6+6√2，
故答案为：6+6√2．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行线的性质，一元二
次方程的应用，准确作出辅助线是解答本题的关键．
19．中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图，
在△ABC中，分别取AB，AC的中点F，G，连接FG，过点A作AH⊥FG，垂足为H，将△ABC
分割后可拼接成矩形BCDE．若AH=FG=4，则△ABC的面积是 ．
【答案】32
【知识点】根据矩形的性质求线段长、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，由四边形
BCDE是矩形，得∠E=90∘，DE=BC，从而可证△AFH≌△BFE(AAS)，
△AGH≌△CGD(AAS)，根据面积和差得到S =S +S =S ，解题的关键是
△ABC △AFG 四边形BCGF 矩形BCDG
熟练掌握知识点的应用．
【详解】解：∵四边形BCDE是矩形，
∴∠E=90∘，DE=BC，
∵AH⊥FG，
∴∠AHF=∠E=90∘，
∵F是AB中点，
∴AF=BF，
∵∠AFH=∠BFE，
∴△AFH≌△BFE(AAS)，
∴AH=BE=4，EF=FH，S =S ，
△AFH △BFE
同理可证：△AGH≌△CGD(AAS)，
∴HG=DG，S =S ，
△AGH △CGD1
∴FG= ED，
2
∴ED=8，
∵S =S +S ，
△ABC △AFG 四边形BCGF
=S +S +S ，
△AFH △AGH 四边形BCGF
=S +S +S ，
△BEF △CDG 四边形BCGF
=S ，
矩形BCDG
∴S =8×4=32，
△ABC
故答案为：32．
20．在学习完“探索三角形全等的条件”一节后，小丽总结出很多全等三角形的模型，她设计了以
下问题给同桌解决：做一个“U”字形框架PABQ，其中AB＝20 cm，AP，BQ足够长，PA⊥AB于点
A，QB⊥AB于点B，点M从B出发向A运动，点N从B出发向Q运动，速度之比为2：3，运动到某
一瞬间两点同时停止，在AP上取点C，使△ACM与△BMN全等，则AC的长度为 cm．
【答案】8或15/15或8
【知识点】全等三角形的性质、几何问题(一元一次方程的应用)
【分析】设BM=2t，则BN=3t，使△ACM与△BMN全等，由∠A=∠B=90°可知，分两种情况
讨论：当BM=AC，BN=AM时，列方程解得t的值即可得到AC的长；当BM=AM，BN=AC时，列方
程解得t的值，可解得AC的长．
【详解】解：设BM=2tcm，则BN=3tcm，
∵∠A=∠B=90°，要使得△ACM与△BMN全等，可分两种情况讨论：
当BM=AC，BN=AM时，
∵BN=AM,AB=20cm
∴3t=20−2t
解得t=4
∴AC=BM=2t=8cm；
当BM=AM，BN=AC时，
∵BM=AM,AB=20cm
∴2t=20−2t
解得t=5∴AC=BN=3t=15cm
故答案为：8或15．
【点睛】本题考查全等三角形的性质，涉及分类讨论法、列一元一次方程、解一元一次方程等知识，
是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
1
21．如图，在△ABC中，AC＝4，BC＝2，分别以点A，B为圆心，以大于 AB的长为半径画弧，两
2
弧相交于点M，N，作直线MN交AC于点D，连接BD，则△BCD的周长为 ．
【答案】6
【知识点】作垂线(尺规作图)、线段垂直平分线的性质
【分析】依据MN垂直平分AB，即可得出AD=BD，进而得到CD+BD=CD+AD=AC，再根据AC=4，
BC=2，即可得出△BCD的周长．
【详解】解：依据作图可得，MN垂直平分AB，
∴AD=BD，
∴CD+BD=CD+AD=AC=4，
又∵BC=2，
∴△BCD的周长为4+2=6，
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的
距离相等．
22．如图，在△ABC中，CD为中线，BE⊥CD交AC于点E，若∠A=45°，CD=BC，
BD=2√10，则线段EC的长为 ．
【答案】4√5
【知识点】用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、全等的性质和ASA（AAS）综合
（ASA或者AAS）【分析】过点B作BF⊥AC于点F，则∠CFB=∠EFB=90°，可得△AFB是等腰直角三角形，则
AB=4√10，进而证明△CFB≌△EFB(ASA)得出EF=CF，作CG⊥AB于点G，则△ACG是等腰
直角三角形，勾股定理得出AG=CG=3√10，则AC=√2AG=6√5，进而得出CF=2√5，即可求
解．
【详解】如图所示，过点B作BF⊥AC于点F，则∠CFB=∠EFB=90°
∵∠A=45°，
∴△AFB是等腰直角三角形，
∵CD为中线，BD=2√10
∴AB=4√10
√2
∴AF=BF= AB=4√5
2
∵CD=BC
∴∠CDB=∠CBD
设∠EBD=α，
∵BE⊥CD
∴∠CDB=∠CBD=90−α
∴∠DCB=180°−∠CDB=2α
∵∠ABF=45°
∴∠EBF=45°−α
∴∠CBF=∠CBA−∠ABF=90°−α−45°=45°−α
∴∠EBF=∠CBF
又∵FB=FB,∠CFB=∠EFB=90°
∴△CFB≌△EFB(ASA)
∴BE=BC
∴EF=CF，
作CG⊥AB于点G，则△ACG是等腰直角三角形，
1
∴DG=GB= DB=√10
2
∴AG=CG=3√10
∴AC=√2AG=6√5∵AF=4√5
∴CF=EF=AC−AF=6√5−4√5=2√5
∴EC=EF+CF=4√5
故答案为：4√5．
23．如图，在正方形ABCD外取一点E，连接DE，AE，CE，过点D作DE的垂线交AE于点P，
若DE=DP=1，PC=√6．下列结论：①△APD≌△CED；②AE⊥CE；③点C到直线DE的距
离为√3；④S =5+2√2，其中正确结论的序号为 ．
正 方 形ABCD
【答案】①②④
【知识点】根据正方形的性质与判定求线段长、用勾股定理解三角形、用SAS证明三角形全等
（SAS）
【分析】利用同角的余角相等可得∠EDC=∠PDA，利用SAS可证明△APD≌△CED，可得①正确；
②根据全等三角形的性质可得∠APD=∠CED，根据等腰直角三角形的性质可得∠DPE=∠DEP=45°，
即可得出∠PEC=90°，可得②正确；过C作CF⊥DE，交DE的延长线于F，利用勾股定理可求出CE
的长，根据△DEP是等腰直角三角形，可证△CEF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质
即可求出CF的长，可得③错误；④由③可知EF的长，即可得出DF的长，利用勾股定理可求出CD
的长，即可求出正方形ABCD的面积，可得④正确，综上即可得答案．
【详解】∵四边形ABCD为正方形，PD⊥DE，
∴∠PDA+∠PDC=90°，∠EDC+∠PDC=90°，AD=CD，
∴∠EDC=∠PDA，
在△APD和△CED中¿，
∴△APD≌△CED，故①正确，
∴∠APD=∠DEC，
∵DP=DE，∠PDE=90°，
∴∠DPE=∠DEP=45°，
∴∠APD=∠DEC=135°，
∴∠PEC=∠DEC-∠DEP=90°，∴AE⊥CE，故②正确，
如图，过C作CF⊥DE，交DE的延长线于F，
∵DE=DP=1，∠PDE=90°，
∴PE=√2，
∵PC=√6，∠PEC=90°，
∴CE=√PC2−PE2=2，
∵∠DEP=45°，∠PEC=90°，
∴∠FEC=45°，
∵∠EFC=90°，
∴△CEF是等腰直角三角形，
√2
∴CF=EF= CE=√2，
2
∴点C到直线DE的距离为√2，故③错误，
∴DF=EF+DE=√2+1，
∴CD2=DF2+CF2=(√2+1) 2+(√2) 2 =5+2√2，
∴S =5+2√2，故④正确，
正 方 形ABCD
综上所述：正确的结论有①②④，
故答案为：①②④
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、正方形的性质、正方形面
积公式、勾股定理的运用等知识，熟练掌握相关判定定理和性质是解题的关键.
24．如图，正方形ABCD中，AB=4，E点沿线段AD由A向D运动（到D停止运动），F点沿线
段CB由C向B运动（到B停止运动），两点同时出发，速度相同，连接EF，作BP⊥EF于P点，
则在整个运动过程中P点的运动轨迹长为 ．【答案】√2π
【知识点】圆的基本概念辨析、根据正方形的性质证明、用勾股定理解三角形、全等三角形综合问
题
【分析】连接BD，交EF于点O，利用全等三角形的判定与性质得到点O为正方形的中心，利用
BP⊥EF得到整个运动过程中P点的运动轨迹为以OB为直径的半圆，再利用圆的周长的公式解答
即可．
【详解】解：如下图，连接BD，交EF于点O，
由题意得：AE=CF，∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=BC,AD∥BC，
∴∠EDO=∠FBO,∠DEO=∠BFO,AD−AE=BC−CF，
∴DE=BF，
∴△DEO≌△BFO，
∴OD=OB,OE=OF，
∴O为正方形ABCD的中心，
∵正方形ABCD中，AB=4，
∴BC=CD=4,∠BCD=90°，
∴BD=√BC2+CD2=√42+42=4√2，
∴BO=2√2，
∵BP⊥EF，
∴∠BPO=90°，
∴整个运动过程中P点的运动轨迹为以OB为直径的半圆，1
∴整个运动过程中P点的运动轨迹： ×2√2π=√2π，
2
故答案为：√2π．
【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形的全等的判定与性质，点的轨迹的性质，圆，利用正方
形的性质和全等三角形的判定与性质确定出点的轨迹是解题的关键．
25．平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y=−x+4与x轴、y轴分别交于A，B两点，点C，
点D坐标分别为(0，m)，(4−m，0)(0PC，
∴只存在一点Q，使QC=QP．
作QD⊥PC于点D(如图2中)，则CD=PD=1，
∴QA=2k=5−1=4，
∴k=2．
②当点Q在OC上时，由于∠C=90°，所以只存在一点Q，使CP=CQ=2，
∴2k=10−2=8，则k=4．
综上所述，k的值为2或4．
（3）正方形OABC沿射线AO下滑过程中形成O′ A′B′C′新的正方形，
设下滑过程中O′C′交x轴于点E，作A′F⊥x轴于点F，如图3，
则△A′OF∽△EOO′，
EO′ A′F 3
∴ = = ，
OO′ OF 45
∵OO′= t，
3
5
∴EO′= t，
4
1 5 5 25
S= ⋅ t⋅ t= t2 ．
2 3 4 24
【点睛】
考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、中点坐标求解以及分类讨论思想的应用，解题的关
键是熟练正方形的性质，并应用运动的思维和分类讨论思想解决问题．
32．如图，在△ABC中，CO⊥AB于点O，BA=BC=3，AO=1．
(1)求CO的长；
(2)若点D是射线OB上的一个动点，过点D作DE⊥AC于点E．
①当点D在线段OB上时，若AO=AE，求OD的长；
②设直线DE交射线CB于点F，连接OF，若S :S =1:4，求OD的长．
△OBF △OCF
【答案】(1)√5
(2)① √6−1；②1或2.6
【知识点】用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、全等的性质和ASA（AAS）综合
（ASA或者AAS）、根据平行线判定与性质求角度
【分析】（1）结合已知条件，利用勾股定理即可求得；
（2）①由勾股定理得AC，并利用ASA证得△AOC≌△AED，有AD=AC，即可求得OD；
BF 1
②分两种情况：(ⅰ)当点D在线段OB上时，解法一：由面积比得 = ，求得BF，并得到
CB 3
∠A=∠ECF和∠CFE=∠ADE，可得∠BDF=∠BFD，利用等角对等边即可求得OD；解法二：
过B作BG⊥EF于点G，由面积比求得BF，进一步证得△BDG≌△BFG，即可求得；(ⅱ)当D在线
BF
段OB的延长线上时．由面积比得 ，可求得BF，同②解法一或解法二可得BD=BF，即可求得
BC
OD．
【详解】（1）解：∵BC=BA=3，AO=1，∴OB=2，
∵CO⊥AB，
∴∠AOC=∠BOC=90°，
在Rt△BOC中，由勾股定理得：CO=√5；
（2）解：①在Rt△AOC中，由勾股定理得：AC=√AO2+CO2=√6．
∵CO⊥AB，DE⊥AC，
∴∠AOC=∠AED=90°，
又∵∠A=∠A，AO=AE，
∴△AOC≌△AED(ASA)，
∴AD=AC=√6，
∴OD=AD−AO=√6−1；
②分两种情况：
(ⅰ)如图2，当点D在线段OB上时．
解法一：∵S :S =1:4，
△OBF △OCF
BF 1
∴ = ，
CB 3
∵BC=3，
∴BF=1，
∵AB=BC，
∴∠A=∠ECF，
∵EF⊥AC，
∴∠ECF+∠CFE=90°，∠A+∠ADE=90°，
∴∠CFE=∠ADE，
∵∠ADE=∠BDF，
∴∠BDF=∠BFD，
∴BD=BF=1，
∴OD=OB−BD=2−1=1．
解法二：如图3，过B作BG⊥EF于点G．∵S :S =1:4，
△OBF △OCF
BF 1
∴ = ，
CB 3
∵BC=3，
∴BF=1，
∵EF⊥AC，BG⊥EF，
∴BG∥AC，
∴∠FBG=∠ACB，
∵AE∥BG，
∴∠A=∠DBG，
∵AB=BC，
∴∠A=∠ACB，
∴∠DBG=∠FBG，
∵BG⊥EF，
∴∠BGD=∠BGF=90°，
又∵BG=BG，
∴△BDG≌△BFG(AAS)，
∴BD=BF=1，
∴OD=OB−BD=2−1=1；
(ⅱ)当D在线段OB的延长线上时．
∵S :S =1:4，
△OBF △OCF
BF 1
∴ = ，
BC 5
∵BC=3，
3
∴BF= ，
5
同②解法一(如图4)或解法二(如图5)可得：3
∴BD=BF= ，
5
3 13
∴OD=OB+BD=2+ = ，
5 5
13
综上所述，OD的长为1或 ．
5
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的性质和平行线的性质，
解题的关键是分类讨论和熟练全等三角形的相关知识．
33．如图，在△ACD中，E为边CD上一点，F为AD中点，过点A作AB∥CD，交EF的延长线于
点B．
(1)求证△AFB≌△DFE；
(2)若AB=6，DE=3CE，求CD的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2)CD=8．
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、两直线平行内错角相等
【分析】（1）利用AAS证明；
（2）根据△AFB≌△DFE，得到AB=DE=6，求出CE，即可得到CD；
此题考查了平行线的性质，三角形全等的判定及性质，熟记三角形全等的判定方法是解题的关键．
【详解】（1）∵AB∥CD，
∴∠ABF=∠≝¿，∠BAF=∠D，
∵F为AD的中点，
∴AF=DF，
在△AFB和△DFE中，
¿
∴△AFB≌△DFE(AAS)；（2）∵△AFB≌△DFE，
∴AB=DE=6，
∵DE=3CE，
∴CE=2，
∴CD=CE+DE=2+6=8．
34．如图， △ABC与△ADE是以点A为公共顶点的两个三角形，且AD=AE，AB=AC，
∠DAE=∠CAB=90°，且线段BD，CE交于F．
(1)求证：△AEC≌△ADB；
(2)BD与EF有怎样的位置关系？请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)BD⊥EF，理由见解析
【知识点】垂线的定义理解、三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，垂线的定义：
（1）先证明∠EAC=∠DAB，再利用SAS即可证明△AEC≌△ADB；
（2）由全等三角形的性质得到∠ADB=∠AEC，再由三角形内角和定理可证明
∠DFO=∠EAO=90°，即BD⊥EF．
【详解】（1）证明：∵∠DAE=∠CAB=90°，
∴∠DAE+∠CAD=∠CAB+∠CAD，
∴∠EAC=∠DAB，
又∵AD=AE，AB=AC，
∴△AEC≌△ADB(SAS)
（2）解：BD⊥EF，理由如下：
∵△AEC≌△ADB，
∴∠ADB=∠AEC，
∵∠DOF+∠FDO+∠DFO=∠AEO+∠DOE+∠EAO=180°，∠DOF=∠DOE，
∴∠DFO=∠EAO=90°，
∴BD⊥EF．35．如图，AB∥FC，E是AC的中点，延长FE交AB于点D，与CB的延长线交于点G．
(1)求证：△ADE≌△CFE；
(2)若GB=2，BC=4，BD=1，求AD的长．
【答案】(1)见解析
(2)3
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】（1）根据ASA证明即可；
（2）根据题意可得△GBD∼△GCF，从而求出CF的长，即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，
∵AB∥FC，
∴∠A=∠3
∵E是AC的中点，
∴AE=CE，
又∠1=∠2，
∴△ADE≌△CFE(ASA)
（2）解：∵AB∥FC，∴△GBD∼△GCF，
∴GB∶GC=BD∶CF，
∵GB=2，BC=4，BD=1，
∴GC=6，
∴2∶6=1∶CF，
∴CF=3，
由（1）得：△ADE≌△CFE(AAS)，
∴AD=CF=3．
【点睛】本题考查了全等三角形和相似三角形的判定和性质，灵活运用所学知识是解题关键．
【能力提升】
36．在平面直角坐标系中，A为y轴正半轴上一点，B为x轴正半轴上一点，且OA=OB=4，连接
AB．
(1)如图1，C为线段AB上一点，连接OC，将OC绕点O逆时针旋转90°得到OD，连接AD，求
AC+AD的值．
(2)如图2，当点C在x轴上，点D位于第二象限时，∠ADC=90°，且AD=CD，E为AB的中点，
连接DE，试探究线段AD+DE是否存在最小值？若存在，求出AD+DE的最小值；若不存在，请
说明理由．
【答案】(1)4√2
(2)2√10
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的判定定理、用勾股定理
解三角形、根据旋转的性质求解
【分析】（1）证明△BOC≌△AOD，得出BC=AD，可得出AC+AD=AB，然后利用勾股定理
求解即可；
（2）过点D作DM⊥OC于点M，DN⊥OA于点N，证明△∧≌△CMD，可得出点D在∠AOC
的平分线上，取点A (−4,0)，连接A D，A E，则A 和A关于∠AOC的平分线对称，由
1 1 1 1
AD+DE=A D+DE≥A E得出当点A 、D、E三点共线时，AD+DE最小，最后利用两点间距
1 1 1离公式求解即可．
【详解】（1）解：∵旋转，
∴∠COD=90°，OC=OD，
∴∠BOC=∠AOD=90°−∠AOC，
又OA=OB=4，
∴△BOC≌△AOD，
∴BC=AD，
∴AC+AD=AC+BC=AB=√AO2+BO2=4√2；
（2）解：∵OA=OB=4，
∴A(0,4)，B(4,0)，
∵E为AB的中点，
(4+0 0+4)
∴E , ，即E(2,2)
2 2
过点D作DM⊥OC于点M，DN⊥OA于点N
又∠AOB=90°，
∴四边形DMON是矩形，
∴∠MDN=90°，
又∠ADC=90°，
∴∠ADN=∠CDM=90°−∠NDC，
又∠∧=∠CMD=90°，AD=CD，
∴△∧≌△CMD，
∴DN=DM，
∴点D在∠AOC的平分线上，
取点A (−4,0)，连接A D，A E
1 1 1
则A 和A关于∠AOC的平分线对称，
1∴A D=AD，
1
∴AD+DE=A D+DE≥A E，
1 1
当点A 、D、E三点共线时，AD+DE最小，最小值为A E=√(−4−2) 2+(0−2) 2=2√10，
1 1
∴AD+DE的最小值为2√10．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质，矩形的性质与判断，勾股定理等知识，
根据题意添加合适辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
37．根据三角形全等知识易证：△ABC中，①若AB=AC，则∠B=∠C；②若∠B=∠C，则
AB=AC，有时恰当使用上述结论，可使解题过程更简化．
数学实验课上，小颖、小亮、小慧三位同学每人拿的一张画有“形状、大小完全相同的△ABC”的
纸张，AD是△ABC的中线，他们进行如下操作：
(1)如图1，小颖测量发现AD⊥BC，那么边AB、AC有何数量关系？并证明你的结论；
(2)如图2，小亮在AD上取一点E，将△ABE沿BE翻折后发现，点A的对应点F恰好在线段CE上，
且BF平分∠ABC，则∠BAC=___________．
(3)如图3，小慧在DA的延长线上取一点E，连接BE交AC延长线于点F，延长BE到G，连接CG交
BA延长于点H，测量发现∠G=80°，探究线段BF与CH的数量关系；
【答案】(1)AB=AC，证明见解析；
(2)100°
(3)见解析
【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段
垂直平分线的判定、等腰三角形的性质和判定
【分析】（1）根据垂直平分线的性质，即可得证；
（2）设∠BAD=4α，则∠BAD=90°−4α，根据折叠的性质∠ABE=∠FBE=α，
∠EFB=∠BAD=90°−4α，根据垂直平分线的性质可得EB=EC，进而得出
∠EFB=∠ECB+∠FBC=3α+2α=5α，列出方程，即可求解；
（3）延长BH至M，连接MC，使得∠BMC=80°，证明△ABF≌△MCH(ASA)，即可得证．
【详解】（1）证明：∵AD是△ABC的中线，∴BD=DC，
∵AD⊥BC，
∴AD垂直平分BC，
∴AB=AC；
（2）解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
设∠BAD=4α，则∠BAD=90°−4α，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=2α，
∵折叠，
∴∠ABE=∠FBE=α，∠EFB=∠BAD=90°−4α，
∵AD垂直平分BC，
∴EB=EC，
∴∠FCB=∠EBC=∠EBF+∠FBC=3α，
∴∠EFB=∠ECB+∠FBC=3α+2α=5α，
∴90°−4α=5α，
解得：α=10°，
∴∠BAD=90°−40°=50°，
∵AD是等腰三角形△ABC的中线，
∴∠DAB=∠DAC=50°，
∴∠BAC=100°，
故答案为：100°；
（3）BF=CH，证明如下，
如图所示，延长BH至M，连接MC，使得∠BMC=80°
∵∠BAC=100°
∴∠CAM=∠FAB=80°
∴∠CAM=∠BMC=∠FAB
∴CM=CA，
又∵AB=AC
∴AB=CM，∵∠G=∠M=80°，∠MHC=∠GHC
∴∠FBA=∠HCM
在△ABF,△MCH中，
¿
∴△ABF≌△MCH(ASA)
∴BF=CH
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用，三
角形的外角的性质，折叠问题，全等三角形的性质与判定，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关
键．
38．已知：如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，将线段BC绕点B 顺时针旋转一
定角度得到线段BD．连接AD交BC于点E，过点C作线段AD的垂线，垂足为点F，交BD于点G．
(1)如图1，若∠CBD=45°
①求∠BCG的度数；
②求证：CE=DG；
(2)如图2，若∠CBD=60°，当AC−DE=6时，求CE的值
【答案】(1)①22.5°；②见解析
(2)6√2
【知识点】用勾股定理解三角形、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质和判定、全等三角
形综合问题
【分析】（1）①由BA=BC，∠ABC=90°，∠CBD=45°，可得AC∥BD，即得
∠CAD=∠D，而BD=BC=BA，故∠D=∠BAD，可得∠CAD=∠BAD=22.5°，根据
CG⊥AD，可得∠ACF=90°−22.5°=67.5°，从而∠BCG=∠ACF−∠ACB=22.5°；
②延长CG交AB的延长线于T，由∠ABE=∠CBT=90°，AB=BC，∠BAE=∠BCT=22.5°，
得△ABE≌△CBT，有BE=BT，∠T=∠BEA=67.5°，继而可得
∠BGE=∠BEG=∠T=∠BGT=67.5°，得BE=BG=BT，即得EC=DG；
（2）连接CD，过点D作DH⊥BC于H，在DH上取一点J，使得EJ=DJ，设CF=a，由
CB=BD，∠CBD=60°，得△BCD是等边三角形，而AB=BC，∠ABC=90°，可得∠ABD=90°+60°=150°，∠BAC=∠ACB=45°，∠BAD=∠BDA=15°，∠CAF=30°，根
据CG⊥AD，有AC=2CF=2a，又∠FDC=∠FCD=45°，知FC=DF=a，
√2 √6
DC=BC=BD=√2a，CH=BH= a，DH=√3CH= a， 设EH=x，可得
2 2
， ，故 √6 ，解得 ( 3√2) ，则 ，
EJ=2EH=DJ=2x HJ=√3x √3x+2x= a x= √6− a DE=(3−√3)a
2 2
根据 ，得 ，从而 ．
AC−DE=6 a=3(√3+1) EC=CH+EH
【详解】（1）解：①解：∵BA=BC，∠ABC＝90° ，
∴∠ACB=∠CAB=45°，
∵∠CBD=45°，
∴∠ACB=∠CBD，
∴AC∥BD，
∴∠CAD=∠D，
∵BD=BC=BA，
∴∠D=∠BAD，
∴∠CAD=∠BAD=22.5°，
∵CG⊥AD，
∴∠CFD=90°，
∴∠ACF=90°−22.5°=67.5°，
∴∠BCG=∠ACF−∠ACB=22.5°.
②证明：延长CG交AB的延长线于T，
∵∠ABE=∠CBT=90°，AB=BC，∠BAE=∠BCT=22.5°，
∴△ABE≌△CBT，
∴AE=CT，BE=BT，∠T=∠BEA=67.5°，
又∵∠EBG=∠TBG=45°，BG=BG，∴△BGE≌△BGT，
∴EG=>¿，∠T=∠BEG=67.5°，
∵∠EBG=∠TBG=45°，
∴∠BGE=∠BEG=∠T=∠BGT=67.5°，
∴BE=BG=BT，
∵BC=BD，
∴EC=DG；
（2）解：如图2中，连接CD，过点D作DH⊥BC于H，在DH上取一点J，使得EJ=DJ，设
CF=a，
∵CB=BD，∠CBD=60°，
∴△BCD是等边三角形，
∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠ABD=90°+60°=150°，∠BAC=∠ACB=45°，
∴∠BAD=∠BDA=15°，
∴∠CAF=30°，
∵CG⊥AD，
∴∠CFA=90°，
∴AC=2CF=2a，
∵∠CDB=60°，∠CFD=90°，
∴∠FDC=∠FCD=45°，
∴FC=DF=a，DC=BC=BD=√2a，
∵DH⊥BC，
√2 √6
∴CH=BH= a，DH=√3CH= a，∠HDB=60°，
2 2
∴∠JED=∠HDB−∠BDA=15°，
设EH=x，
∵JE=JD，
∴∠JED=∠JDE=15°，∴∠EJH=∠JED+∠JDE=30°，
∴EJ=2EH=DJ=2x，HJ=√3x，DE=√EH2+H D2=(√6+√2)x，
√6
∴√3x+2x= a，
2
( 3√2)
∴x= √6− a，
2
∴DE=(3−√3)a，
∵AC−DE=6，
∴2a−(3−√3)a=6，
∴a=3(√3+1)，
∴EC=CH+EH=(√6−√2)a=6√2．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质，
勾股定理，二次根式的混合运算等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参
数构建方程解决问题．
39．如图，Rt△BAC的顶点A，B分别在x轴，y轴上，∠CBA=90°；
(1)若AB=CB，且点B(0,2)，C(−2,−1)，
①点C关于x轴对称点的坐标为________；
②求点A的坐标；
(2)若点B与原点重合，∠ACO=30°时，存在第三象限的点E和y轴上的点F，使∠AEF=30°，且
A(3,0)，C(0,m)(m<0)，F(0,n)(n>0)，线段EF的长度为−m−n，求AE的长．
【答案】(1)①(2,−1)，②A(3,0)；
(2)6
【知识点】全等三角形综合问题、坐标与图形变化——轴对称、含30度角的直角三角形
【分析】（1）①根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案；
②过C作CH⊥OB于H，如图1，证明△AOB≌△BHC(AAS)，由全等三角形的性质可得出OA=BH=3，OB=CH=2，则可得出答案；
（2）作点F关于x轴的对称点H(0,−n)，则AF=AH，OF=OH，过点H作HN⊥AC于点N，
过点F作FM⊥AE于点M，证明△FEM≌△HCN(AAS)，由全等三角形的性质可得出FM=HN，
EM=CN，Rt△AFM≌Rt△AHN(HL)，由全等三角形的性质可得出AM=AN，得出AE=AC，
由直角三角形的性质可得出答案．
【详解】（1）解：①∵C(−2,−1)，
点C关于y轴对称点的坐标为(2,−1)；
故答案为(2,−1)；
②过C作CH⊥OB于H，如图1，
∵B(0,2) C(−2,−1)
， ，
∴OB=2，CH=2，OH=1，
∴BH=OB+OH=3，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABO+∠CBH=90°，
∵∠AOB=90°，
∴∠OAB+∠ABO=90°，
∴∠CBH=∠OAB，
∵AB=CB，∠CHB=∠BOA=90°，
∴△AOB≌△BHC(AAS)，
∴OA=BH=3，OB=CH=2，
∴A(3,0)；
（2）解：作点F关于x轴的对称点H(0,−n)，则AF=AH，OF=OH，过点H作HN⊥AC于点
N，过点F作FM⊥AE于点M，∵C(0,m) H(0,−n) m<0 n>0
， ， ， ，
∴HC=OC−OH=−m−n，
∵EF=−m−n，
∴HC=EF，
∵∠AEF=∠ACO=30°，∠FME=∠HNC，
∴△FEM≌△HCN(AAS)，
∴FM=HN，EM=CN，
在Rt△AFM和Rt△AHN中，
¿，
∴Rt△AFM≌Rt△AHN(HL)，
∴AM=AN，
∴EM+AM=CN+AN，
∴AE=AC，
∵∠ACO=30°，A(3,0)，
∴OA=3，
∴AC=2OA=6，
∴AE=6．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，坐标与图形的性质，直角三角形
的性质，轴对称的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
40．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为AB边的中点，点E、F分别在射线CA、
BC上，且∠EDF=90°， 连接EF．(1)如图1，当点E、F分别在边CA 和BC上时，连接CD，
① 证明 ：△AED≌△CFD．
② 直接写出S ，S 和S 的关系是：
△EFC △EFD △ABC
(2)探究：如图2，当点E、F 分别在边CA、BC的延长线上时，S ，S 和S 的关系是：
△EFD △EFC △ABC
(3)应用：若AC=6，AE=2，利用上面探究得到的结论，求△EFD的面积．
1
【答案】(1)①见解析；② S =S +S
2 △ABC △EFD △EFC
1
(2) S +S =S
2 △ABC △EFC △EFD
(3)5或17
【知识点】等腰三角形的性质和判定、全等三角形综合问题
【分析】本题为三角形的综合应用，涉及知识点有等腰三角形的性质、全等三角形的判定及其性质
及三角形的面积等，根据图形构造全等三角形求解即可。
（1）①连接CD，即可证明△AED≌△CFD；②根据△AED≌△CFD，看图即可得出结论；
（2）连接CD，即同（1）可证明△AED≌△CFD，根据△AED≌△CFD看图即可得出结论；
（3）根据（1），（2）中的结论，代入求解即可。
【详解】（1）证明：①如图，连接CD
在Rt△ABC中，AC=BC，D为AB边的中点，
∴CD⊥AB,∠A=∠B=45°,
∴∠A=∠ACD=45°,
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴AD=CD,
∴∠DCF=∠A=45°,
∵∠EDF=90°,
∴∠EDC+∠CDF=90°,
∵∠ADE+∠EDC=90°,
∴∠ADE=∠CDF,
在△ADE和△CDF中，
¿,
∴△AED≌△CFD(ASA).②∵△AED≌△CFD,
∴S =S ,
△AED △CFD
根据图中所示，
S =S +S ,
△ADC △EFD △EFC
∵D为AB边的中点，
1
∴S = S .
△ADC 2 △ABC
1
∴ S =S +S .
2 △ABC △EFD △EFC
（2）解：如图，连接CD
在Rt△ABC中，AC=BC，D为AB边的中点，
∴CD⊥AB,∠CAD=∠B=45°,
∴∠CAD=∠ACD=45°,
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴AD=CD,
∴∠ACD=∠BCD=45°,
∴180°−∠ACD=180°−∠BCD,
即∠EAD=∠FDC,
∵∠EDF=90°,
∴∠ADF+∠EDA=90°,
∵∠ADF+∠FDC=90°,
∴∠EDA=∠FDC,
在△ADE和△CDF中，
¿,
∴△AED≌△CFD(ASA).
∵△AED≌△CFD,
∴S =S ,
△AED △CFD
根据图中所示，
S +S =S ,
△ACD △EFC △EFD∵D为AB边的中点，
1
∴S = S .
△ADC 2 △ABC
1
∴ S +S =S .
2 △ABC △EFC △EFD
（3）如（1）中结论，
∵AC=6，AE=2，
1 1
∴S = AC2= ×62=18,
△ABC 2 2
1 1 1
S = CF⋅CE= AE⋅(AC−AE)= ×2×(6−2)=4,
△EFC 2 2 2
1
∵ S =S +S ,
2 △ABC △EFD △EFC
1 1
∴S = S −S = ×18−4=5.
△EFD 2 △ABC △EFC 2
②如（2）中结论，
∵AC=6，AE=2，
1 1
∴S = AC2= ×62=18,
△ABC 2 2
1 1 1
S = CF⋅CE= AE⋅(AC+AE)= ×2×(6+2)=8,
△EFC 2 2 2
1
∵ S +S =S ,
2 △ABC △EFC △EFD
1 1
∴ S = S +S = ×18+8=17
△EFD 2 △ABC △EFC 2
