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专题 04 几何中的三点共线问题
几何压轴题中的三点共线问题，一般有两种考查方式：
一是：假设某三点共线，探究线段的长度、线段的数量与位置关系、三角形或四边形的形状、面积等。在
这一类题型，一般都是讲三点共线作为条件使用：
（1）在探究线段的长度，线段的数量关系时，多是利用全等三角形的性质，相似三角形的性质，进行转
化求解，或者利用勾股定理和锐角三角函数进行求解。
（2）在探究三角形或四边形的形状时，一般先是利用全等三角形的性质，相似三角形的性质，勾股定理
或者锐角三角函数求出相应的边长，再根据几何图形的判定进行求解即可。
（3）在探究面积问题时，一般先是利用全等三角形的性质，相似三角形的性质，勾股定理或者锐角三角
函数求出相应的边长，再利用面积公式进行计算即可。
（4）在把三点共线作为条件使用时，要注意，在未明确三点位置关系时，要进行分类讨论，否则会出现
漏解的情况。
二是证明三点共线：证明三点共线常用到以下几种方法：
（1）证明以位于中间点为顶点形成两个角的和为180°。
（2）先连接两点，证明第三个点在连线上，具体可以证明三点连线重合（先证平行，再证有公共点），
也可以以某一点为顶点构造角，证明角相等（如图：证明∠DCB=∠DCA，在证点B在AC上）。（2022·吉林长春·统考中考真题）如图，在 中， ， ，点M为边 的中点，
动点P从点A出发，沿折线 以每秒 个单位长度的速度向终点B运动，连结 ．作点A关于
直线 的对称点 ，连结 、 ．设点P的运动时间为t秒．
(1)点D到边 的距离为__________；
(2)用含t的代数式表示线段 的长；
(3)连结 ，当线段 最短时，求 的面积；
(4)当M、 、C三点共线时，直接写出t的值．
（1）连接DM，根据等腰三角形的性质可得DM⊥AB，再由勾股定理，即可求解；
（2）分两种情况讨论：当0≤t≤1时，点P在AD边上；当1＜t≤2时，点P在BD边上，即可求解；
（3）过点P作PE⊥DM于点E，根据题意可得点A的运动轨迹为以点M为圆心，AM长为半径的圆，可
得到当点D、A′、M三点共线时，线段 最短，此时点P在AD上，再证明△PDE∽△ADM，可得
，从而得到 ，在 中，由勾股定理可得 ，即可求
解；
（4）分两种情况讨论：当点 位于M、C之间时，此时点P在AD上；当点 （ ）位于C M的延长
线上时，此时点P在BD上，即可求解．
【答案】(1)3
(2)当0≤t≤1时， ；当1＜t≤2时， ；
(3)(4) 或
【详解】（1）解：如图，连接DM，
∵AB=4， ，点M为边 的中点，
∴AM=BM=2，DM⊥AB，
∴ ，
即点D到边 的距离为3；
故答案为：3
（2）解：根据题意得：当0≤t≤1时，点P在AD边上，
；
当1＜t≤2时，点P在BD边上， ；
综上所述，当0≤t≤1时， ；当1＜t≤2时， ；
（3）解：如图，过点P作PE⊥DM于点E，
∵作点A关于直线 的对称点 ，
∴A′M=AM=2，
∴点A的运动轨迹为以点M为圆心，AM长为半径的圆，∴当点D、A′、M三点共线时，线段 最短，此时点P在AD上，
∴ ，
根据题意得： ， ，
由（1）得：DM⊥AB，
∵PE⊥DM，
∴PE∥AB，
∴△PDE∽△ADM，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，解得： ，
∴ ，
∴ ；
（4）解：如图，
当点M、 、C三点共线时，且点 位于M、C之间时，此时点P在AD上，
连接A A′， A′B，过点P作PF⊥AB于点F，过点A′作A′G⊥AB于点G，则A A′⊥PM，
∵AB为直径，∴∠A =90°，即A A′⊥A′B，
∴PM∥A′B，
∴∠PMF=∠AB A′，
过点C作CN⊥AB交AB延长线于点N，
在 中，AB∥DC，
∵DM⊥AB，
∴DM∥CN，
∴四边形CDMN为平行四边形，
∴CN=DM=3，MN=CD=4，
∴CM=5，
∴ ，
∵ M=2，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即PF=3FM，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即AF=2FM，
∵AM=2，
∴ ，∴ ，解得： ；
如图，当点 （ ）位于C M的延长线上时，此时点P在BD上， ，
过点 作 于点G′，则 ，取 的中点H，则点M、P、H三点共线，过点H
作HK⊥AB 于点K，过点P作PT⊥AB于点T，
同理： ，
∵HK⊥AB， ，
∴HK∥A′′G′，
∴ ，
∵点H是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即MT=3PT，
∵ ， ，
∴ ，∴ ，
∵MT+BT=BM=2，
∴ ，
∴ ，解得： ；
综上所述，t的值为 或 ．
本题主要考查了四边形的综合题，熟练掌握平行四边形的性质，圆的基本性质，相似三角形的判定和性
质，解直角三角形，根据题意得到点 的运动轨迹是解题的关键，是中考的压轴题．
（2022·内蒙古通辽·统考中考真题）已知点 在正方形 的对角线 上，正方形 与正方形
有公共点 ．
(1)如图1，当点 在 上， 在 上，求 的值为多少；
(2)将正方形 绕 点逆时针方向旋转 ，如图2，求： 的值为多少；
(3) ， ，将正方形 绕 逆时针方向旋转 ，当 ， ， 三点共
线时，请直接写出 的长度．
（1）根据题意可得 ，根据平行线分线段成比例即可求解；（2）根据（1）的结论，可得 ，根据旋转的性质可得 ，进而证明
，根据相似三角形的性质即可求解；
（3）分两种情况画出图形，证明△ADG∽△ACE，根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理即可得出答
案．
【答案】(1)2
(2)
(3) 或
【详解】（1）解： 正方形 与正方形 有公共点 ，点 在 上， 在 上，
四边形 是正方形
（2）解：如图，连接 ，
正方形 绕 点逆时针方向旋转 ，，
（3）解：①如图，
， ，
, , ，
三点共线，
中， ，
，
由（2）可知 ，
，
．
②如图：由（2）知△ADG∽△ACE，
∴ ，
∴DG= CE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=BC=8 ，AC= ，
∵AG= AD，
∴AG= AD=8，
∵四边形AFEG是正方形，
∴∠AGE=90°，GE=AG=8，
∵C，G，E三点共线．
∴∠AGC=90°
∴CG= ，
∴CE=CG+EG=8 +8，
∴DG= CE= ．
综上，当C，G，E三点共线时，DG的长度为 或 ．
本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，综
合运用以上知识是解题的关键．
1．（2022·四川成都·成都市树德实验中学校考模拟）在 中， ， ，点 为线段上一动点（点 不与 、 重合），连接 ，分别以 ， 为斜边向右侧作等腰直角三角形
和等腰直角三角形 ，连接 ．
(1)当点 在 的外部时，求证： ∽ ；
(2)如图 ，当 ， ， 三点共线时，求 的面积；
(3)如图 ，当点 在 的延长线上时，其它条件不变，连接 ，若 ，求 的长．
2．（2022·四川成都·校考三模）在矩形 中，点E为射线 上一动点，连接 ．
(1)当点E在 边上时，将 沿 翻折，使点B恰好落在对角线 上点F处， 交 于点G．
①如图1，若 ，求 的度数；
②如图2，当 ，且 时，求 的长．
(2)在②所得矩形 中，将矩形 沿 进行翻折，点C的对应点为 ，当点 三点共线
时，求 的长．
3．（2022·福建福州·福建省福州第十九中学校考模拟）如图，在等腰Rt△ABC中， ，
，点D，E分别在边AB，BC上，将线段ED绕点E按逆时针方向旋转90°得到EF，连接AF，
DF，点G是AF的中点，连接DG．(1)当点D是AB中点时，
①如图1，点E与点C重合，求证：D，G，C三点共线．
②如图2，若 ，求DG的长．
(2)如图3，若 ，当 时，求CE的长．
4．（2022·河北张家口·一模）如图1，在 中， ，点A，D是射线 上的点，以
为一边在 内作矩形 ，点C在 边上．
(1)当点B在 边上时，求 的长；
(2)如图2，若A，B，O三点共线，且 是以 为腰的等腰三角形，
① __________；
②求 的长；
(3)在图2的基础上，点A向右移动得到图3连接 ，若 和 相似，直接写出 的长．
（注：三角形全等可视为三角形相似的特殊情况）
5．（2022·山东烟台·统考一模）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在边BC上，BC=3BD，将线段
DB绕点D顺时针旋转至DE，记旋转角为α（0°＜α＜180°），连接BE，CE，以CE为斜边在其一侧作等
腰直角三角形CEF，连接AF．(1)如图1，求证：△CAF∽△CBE，并求出 的值；
(2)如图2，当B，E，F三点共线时，连接AE，请判断四边形AECF的形状，并说明理由．
6．（2022·福建龙岩·校考一模）如图，等边三角形ABC中，D为AB边上一点（点D不与点A、B重
合），连接CD，将CD平移到BE（其中点B和C对应），连接AE．将△BCD绕着点B逆时针旋转至
△BAF，延长AF交BE于点G．
(1)连接DF，求证：△BDF是等边三角形；
(2)求证：D、F、E三点共线；
(3)当BG＝2EG时，求 的值．
