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专题 04 几何中的三点共线问题
几何压轴题中的三点共线问题，一般有两种考查方式：
一是：假设某三点共线，探究线段的长度、线段的数量与位置关系、三角形或四边形的形状、面积等。在
这一类题型，一般都是讲三点共线作为条件使用：
（1）在探究线段的长度，线段的数量关系时，多是利用全等三角形的性质，相似三角形的性质，进行转
化求解，或者利用勾股定理和锐角三角函数进行求解。
（2）在探究三角形或四边形的形状时，一般先是利用全等三角形的性质，相似三角形的性质，勾股定理
或者锐角三角函数求出相应的边长，再根据几何图形的判定进行求解即可。
（3）在探究面积问题时，一般先是利用全等三角形的性质，相似三角形的性质，勾股定理或者锐角三角
函数求出相应的边长，再利用面积公式进行计算即可。
（4）在把三点共线作为条件使用时，要注意，在未明确三点位置关系时，要进行分类讨论，否则会出现
漏解的情况。
二是证明三点共线：证明三点共线常用到以下几种方法：
（1）证明以位于中间点为顶点形成两个角的和为180°。
（2）先连接两点，证明第三个点在连线上，具体可以证明三点连线重合（先证平行，再证有公共点），
也可以以某一点为顶点构造角，证明角相等（如图：证明∠DCB=∠DCA，在证点B在AC上）。（2022·吉林长春·统考中考真题）如图，在 中， ， ，点M为边 的中点，
动点P从点A出发，沿折线 以每秒 个单位长度的速度向终点B运动，连结 ．作点A关于
直线 的对称点 ，连结 、 ．设点P的运动时间为t秒．
(1)点D到边 的距离为__________；
(2)用含t的代数式表示线段 的长；
(3)连结 ，当线段 最短时，求 的面积；
(4)当M、 、C三点共线时，直接写出t的值．
（1）连接DM，根据等腰三角形的性质可得DM⊥AB，再由勾股定理，即可求解；
（2）分两种情况讨论：当0≤t≤1时，点P在AD边上；当1＜t≤2时，点P在BD边上，即可求解；
（3）过点P作PE⊥DM于点E，根据题意可得点A的运动轨迹为以点M为圆心，AM长为半径的圆，可
得到当点D、A′、M三点共线时，线段 最短，此时点P在AD上，再证明△PDE∽△ADM，可得
，从而得到 ，在 中，由勾股定理可得 ，即可求
解；
（4）分两种情况讨论：当点 位于M、C之间时，此时点P在AD上；当点 （ ）位于C M的延长线
上时，此时点P在BD上，即可求解．
【答案】(1)3
(2)当0≤t≤1时， ；当1＜t≤2时， ；
(3)(4) 或
【详解】（1）解：如图，连接DM，
∵AB=4， ，点M为边 的中点，
∴AM=BM=2，DM⊥AB，
∴ ，
即点D到边 的距离为3；
故答案为：3
（2）解：根据题意得：当0≤t≤1时，点P在AD边上，
；
当1＜t≤2时，点P在BD边上， ；
综上所述，当0≤t≤1时， ；当1＜t≤2时， ；
（3）解：如图，过点P作PE⊥DM于点E，
∵作点A关于直线 的对称点 ，
∴A′M=AM=2，
∴点A的运动轨迹为以点M为圆心，AM长为半径的圆，∴当点D、A′、M三点共线时，线段 最短，此时点P在AD上，
∴ ，
根据题意得： ， ，
由（1）得：DM⊥AB，
∵PE⊥DM，
∴PE∥AB，
∴△PDE∽△ADM，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，解得： ，
∴ ，
∴ ；
（4）解：如图，
当点M、 、C三点共线时，且点 位于M、C之间时，此时点P在AD上，
连接A A′， A′B，过点P作PF⊥AB于点F，过点A′作A′G⊥AB于点G，则A A′⊥PM，
∵AB为直径，∴∠A =90°，即A A′⊥A′B，
∴PM∥A′B，
∴∠PMF=∠AB A′，
过点C作CN⊥AB交AB延长线于点N，
在 中，AB∥DC，
∵DM⊥AB，
∴DM∥CN，
∴四边形CDMN为平行四边形，
∴CN=DM=3，MN=CD=4，
∴CM=5，
∴ ，
∵ M=2，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即PF=3FM，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即AF=2FM，
∵AM=2，
∴ ，∴ ，解得： ；
如图，当点 （ ）位于C M的延长线上时，此时点P在BD上， ，
过点 作 于点G′，则 ，取 的中点H，则点M、P、H三点共线，过点H
作HK⊥AB 于点K，过点P作PT⊥AB于点T，
同理： ，
∵HK⊥AB， ，
∴HK∥A′′G′，
∴ ，
∵点H是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即MT=3PT，
∵ ， ，
∴ ，∴ ，
∵MT+BT=BM=2，
∴ ，
∴ ，解得： ；
综上所述，t的值为 或 ．
本题主要考查了四边形的综合题，熟练掌握平行四边形的性质，圆的基本性质，相似三角形的判定和性质，
解直角三角形，根据题意得到点 的运动轨迹是解题的关键，是中考的压轴题．
（2022·内蒙古通辽·统考中考真题）已知点 在正方形 的对角线 上，正方形 与正方形
有公共点 ．
(1)如图1，当点 在 上， 在 上，求 的值为多少；
(2)将正方形 绕 点逆时针方向旋转 ，如图2，求： 的值为多少；
(3) ， ，将正方形 绕 逆时针方向旋转 ，当 ， ， 三点共
线时，请直接写出 的长度．
（1）根据题意可得 ，根据平行线分线段成比例即可求解；（2）根据（1）的结论，可得 ，根据旋转的性质可得 ，进而证明
，根据相似三角形的性质即可求解；
（3）分两种情况画出图形，证明△ADG∽△ACE，根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理即可得出答
案．
【答案】(1)2
(2)
(3) 或
【详解】（1）解： 正方形 与正方形 有公共点 ，点 在 上， 在 上，
四边形 是正方形
（2）解：如图，连接 ，
正方形 绕 点逆时针方向旋转 ，，
（3）解：①如图，
， ，
, , ，
三点共线，
中， ，
，
由（2）可知 ，
，
．
②如图：由（2）知△ADG∽△ACE，
∴ ，
∴DG= CE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=BC=8 ，AC= ，
∵AG= AD，
∴AG= AD=8，
∵四边形AFEG是正方形，
∴∠AGE=90°，GE=AG=8，
∵C，G，E三点共线．
∴∠AGC=90°
∴CG= ，
∴CE=CG+EG=8 +8，
∴DG= CE= ．
综上，当C，G，E三点共线时，DG的长度为 或 ．
本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，综
合运用以上知识是解题的关键．
1．（2022·四川成都·成都市树德实验中学校考模拟）在 中， ， ，点 为线段上一动点（点 不与 、 重合），连接 ，分别以 ， 为斜边向右侧作等腰直角三角形
和等腰直角三角形 ，连接 ．
(1)当点 在 的外部时，求证： ∽ ；
(2)如图 ，当 ， ， 三点共线时，求 的面积；
(3)如图 ，当点 在 的延长线上时，其它条件不变，连接 ，若 ，求 的长．
【答案】(1)见解析；(2) ；(3)
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定解答即可；
（2）根据相似三角形的性质和三角函数以及勾股定理解答即可；
（3）过C作 于点N，过A作 于点M，根据相似三角形的性质和三角函数以及勾股定理
解答即可．
【详解】（1）证明：∵ 和 是等腰直角三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
在Rt 中， ，
在Rt 中， ，
∴ ，
∴ ．
（2）∵D，F，E三点共线，
∴ ，
∵ ，∴ ，
过点A作 于点M，如图 ，
∵ ， ，
∴ ，
在Rt 中， ,
在Rt 中 ,
∴ ，
∴ ，
在Rt 中，
由勾股定理得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
（3）过C作 于点N，过A作 于点M，如图 ，由(2)可得: ,
在Rt 中， ，
∵ ， ， ，
在Rt 中， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在Rt 中， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
2．（2022·四川成都·校考三模）在矩形 中，点E为射线 上一动点，连接 ．(1)当点E在 边上时，将 沿 翻折，使点B恰好落在对角线 上点F处， 交 于点G．
①如图1，若 ，求 的度数；
②如图2，当 ，且 时，求 的长．
(2)在②所得矩形 中，将矩形 沿 进行翻折，点C的对应点为 ，当点 三点共线时，
求 的长．
【答案】(1)① ，②
(2) 或
【分析】（1）①由矩形的性质和锐角三角函数定义得 ，再由折叠的性质得 ，则
是等边三角形，即可得出结论；
②由折叠的性质得 ， ，则 ，再证 ，得 ，设 ，
则 ， ，然后由射影定理得 ，即 ，求出 ，即可解决问题；
（2）分两种情况，a、证 ，得 ，再由勾股定理得 ，即可解决
问题；
b、证 ，得 ，再由勾股定理等 ，即可得出结论．
【详解】（1）解：①∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
由折叠的性质得： ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ；
②由折叠的性质得： ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是矩形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
在 中， ，
∴ （射影定理），
即 ，
解得： （负值已舍去），
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 的长为 ；
（2）当点 三点共线时，分两种情况：a、如图3，由②可知， ，
∵四边形 是矩形，
∴ ， ， ， ，
∴ ， ，
由折叠的性质得： ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
b、如图4，
由折叠的性质得： ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
在 中，由勾股定理得： ，
∴ ；
综上所述，BE的长为 或 ．
3．（2022·福建福州·福建省福州第十九中学校考模拟）如图，在等腰Rt△ABC中， ，
，点D，E分别在边AB，BC上，将线段ED绕点E按逆时针方向旋转90°得到EF，连接AF，
DF，点G是AF的中点，连接DG．
(1)当点D是AB中点时，
①如图1，点E与点C重合，求证：D，G，C三点共线．
②如图2，若 ，求DG的长．
(2)如图3，若 ，当 时，求CE的长．
【答案】(1)①见解析；② ；(2)
【分析】（1）①利用三角形全等，证明 即可．
②如图2，作 于点T， 于H．证明 ，用三角形中位线定理求解即可．
（2）当 时，F，E，G，A共线，作 于点T， 于H．运用平行线分线段成比
例定理，列式求解即可．
【详解】（1）①证明：如图1中，∵ ， ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
∵点G是AF的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴C，G，D三点共线．
②解：如图2中，作 于点T， 于H．
由题意： ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴
∴
∴
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
（2）解：如图3—1中，当 时，F，E，G，A共线，作 于点T， 于H．设
．
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
整理得：
解得 ．
4．（2022·河北张家口·一模）如图1，在 中， ，点A，D是射线 上的点，以
为一边在 内作矩形 ，点C在 边上．
(1)当点B在 边上时，求 的长；
(2)如图2，若A，B，O三点共线，且 是以 为腰的等腰三角形，
① __________；②求 的长；
(3)在图2的基础上，点A向右移动得到图3连接 ，若 和 相似，直接写出 的长．
（注：三角形全等可视为三角形相似的特殊情况）
【答案】(1)
(2)①3∶4∶5；② 或
(3)2或
【分析】(1)利用正切函数计算即可．
（2）①证明∠BOC=∠P，结合 ，利用勾股定理计算OC的长度，最后计算比值
即可．
②分AO=OC，AO=AC两种情形，运用勾股定理，三角函数计算即可．
（3）分 和 相似和全等两种情形求解．
【详解】（1）如图，当点B在 边上时，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠PAB=90°，
∴ ，
解得PA= ．
（2）①∵四边形ABCD是矩形，
∴∠PAB=∠OBC=90°，∵∠POQ=90°，
∴∠BOC=∠P，
∴ ，
设BC=4k，则OB=3k，
∴OC= ，
∴OB：BC：OC=3k：4k：5k=3：4:5．
②∵ ，
不妨设OQ=4k，则OP=3k，PQ= ，
当OA=OC时，∵四边形ABCD是矩形，
∴∠PAB=∠OBC=∠CDQ=90°，
∴OA= =OC，CD∥AO，
∴CQ=OQ-OC= ， ，
∴ ，
解得k= ，
∴PO=3k= ，OA= =5，
∴PA= ，
当OA=AC时，设OA=AC=x，∵AB=2，
∴x＞2，
∴OB=AO-AB=x-2，
由上面解答，得BC= ，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠PAB=∠OBC=∠CDQ=90°，
∴ ，
∴ ，
解得x= 或x=2(舍去)，
∴AO= ，
∵ ，
∴ = ，
综上所述，PA的长为 或 ．
（3）当△AOB≌△COB时，
故AB=BC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴四边形ABCD是正方形，
∵AB=2，
∴AD=AB=2；
设 则OC=5x， ，
∵△BAO∽△BOC时，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ = ，
∴ ，
整理，得
∵ ，
∴
∴ ，
解得y=3x或y=4x(舍去)，
∴ 变形为 ，
解得x= 或x=0（舍去），故BC= ，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC= ；
故AD的长为2或 ．
5．（2022·山东烟台·统考一模）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在边BC上，BC=3BD，将线段
DB绕点D顺时针旋转至DE，记旋转角为α（0°＜α＜180°），连接BE，CE，以CE为斜边在其一侧作等
腰直角三角形CEF，连接AF．
(1)如图1，求证：△CAF∽△CBE，并求出 的值；
(2)如图2，当B，E，F三点共线时，连接AE，请判断四边形AECF的形状，并说明理由．
【答案】(1)证明见解析，
(2)四边形AECF是平行四边形，理由见解析
【分析】（1）由题意先证明∠ACF=∠BCE和 ，进而证明出△CAF∽△CBE，可以利用相似比得出
的值；
（2）根据题意过点D作DG⊥BF于点G，得出△BDG∽△BCF，进而分析求证四边形AECF是平行四边形．
【详解】(1)解：∵△CEF是等腰直角三角形，
∴∠ECF=45°， ，
∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠BCA=45°， ，∴∠ECF=∠BCA， ，
∴∠ECF-∠ACE=∠BCA-∠ACE，即∠ACF=∠BCE，
∴△CAF∽△CBE，
∴ = ．
(2)解：四边形AECF是平行四边形．
理由如下：∵∠CEF=45°，B，E，F三点共线，
∴∠BEC=135°．
由（1）知，∠AFC=∠BEC=135°．
∴∠AFE=∠AFC-∠CFE=45°，
∴∠CEF=∠AFE．
∴AF∥CE．
过点D作DG⊥BF于点G，
∵∠BGD=∠BFC=90°，∠DBG=∠CBF，
∴△BDG∽△BCF，
∴ ．
∵BD=DE，DG⊥BE，
∴BG=EG，
∴BG=EG=EF，
∵EF=CF，
∴BE=2CF．
由（1）知， = ，
∴AF= ．∴AF= ．
∵CE= ．
∴AF=CE．
∴四边形AECF是平行四边形．
6．（2022·福建龙岩·校考一模）如图，等边三角形ABC中，D为AB边上一点（点D不与点A、B重合），
连接CD，将CD平移到BE（其中点B和C对应），连接AE．将△BCD绕着点B逆时针旋转至△BAF，延
长AF交BE于点G．
(1)连接DF，求证：△BDF是等边三角形；
(2)求证：D、F、E三点共线；
(3)当BG＝2EG时，求 的值．
【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)
【分析】（1）利用平移旋转的性质及等边三角形的性质即可得到；
（2）利用平移旋转的性质及等边三角形的性质即可得到；
（3）由平移的性质可得EF∥BC，得到△GEF∽△GBH，再利用边之间的关系得到△ADF∽△ABH，利用相似
三角形的性质得到AB与BE的长度，进而解答．
【详解】（1）证明： 是等边三角形，
∴ ， ，
绕点B逆时针旋转至△BAF，
∴ ， ，
∴△BDF是等边三角形．
（2）连接DE，如图所示：
∵△BDF是等边三角形，
∴ ．∵CD平移得到BE，
∴DE∥BC， ，
∴ ，
∴ ，
∴点F在DE上，
即D，E，F三点共线．
（3）延长AG，CB交于点H，如图所示：
∵EF∥BC，
∴ ， ，
，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
设 ， ，
∴ ，
∴ ，
∵DF∥BH，
，
∴ ，即 ，
解得 ， （舍去），
∴ ，即D为AB中点，∵CD⊥AB，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵BE∥CD，
∴ ，
在Rt△ABE中， ．
