专题05一元二次方程考点精讲（解析版）_中考复习资料_语数英物化_2数学中考复习_2023年中考复习资料_专项复习_中考高分导航备战2023年中考数学考点总复习（全国通用）

专题 05 一元二次方程 一、一元二次方程 （1）只含有一个未知数，未知数的最高次数是二次，且系数不为0的整 式方程，叫做一元二次方程. 概念 （2）一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0），其中ax2叫做二次 项，bx叫做一次项，c叫做常数项，a是二次项的系数，b是一次项的系 数，注意a≠0. ① 直接开平方法:(x+m)2=n(n≥0)的根是 一元二次方程 解法 配方法:将 ax2+bx+c=0(a≠0)化成 的形式，当 b2- 4ac≥0时，用直接开平方法求解 （降 公式法:ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式为 次） 因式分解法:将方程右边化为0，左边化为两个一次因式的积，令每个因 式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程就得到原方 程的解 根的判 （1）当b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根; 别式（2）当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根; （3）当b2-4ac<0时，方程无实数根. 如果关于 的一元二次方程 的两根（当 ）为 , ,那么有 根与系 数的关 系 【扩展】一元二次方程根与系数关系的两类应用 （1）求含有两根的代数式的值：设法将所求代数式通过因式分解或配方等恒等变形，变形为含有两根和 与两根积的式子，再代入由一元二次方程根与系数关系得到的值，求出结果 （2）构造以两数为根的一元二次方程：:由已知两数x+x 和xx 的值，然后依照所求方程是x2（x+x） 1 2 1 2 1 2 x+xx=0写出方程 1 2 【考点1】一元二次方程的概念 【例1】若关于x的方程 是一元二次方程，则a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵关于x的方程 是一元二次方程， ∴ ， ∴ ， 故选A． 【例2】将一元二次方程 化为一般形式后，其中二次项系数为______，一次项系数为 ________，常数项为________． 【答案】 3 0 【详解】解：将一元二次方程 化为一般形式为 ， 故二次项系数、一次项系数、常数项分别是 ． 故答案为 ．1．（2022·辽宁·阜新实验中学九年级阶段练习）下列方程中，一定是关于 的一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A． ，即 ，是一元一次方程，不是一元二次方程，故此选项不合题意； B． ，当a、b、c均为常数，而 时，不是一元二次方程，故此选项不合题意； C． 是一元二次方程，故此选项符合题意； D． 不是整式方程，故此选项不合题意； 故选：C． 2．（2022·福建·龙岩莲东中学九年级期中）一元二次方程 的一次项系数、常数项分别是（ ） A．3，1 B．3， C．6，1 D． ， 【答案】D 【详解】解：由一元二次方程 的一次项系数、常数项分别是 ， ； 故选：D． 3．（2022·江苏·东台市实验中学九年级阶段练习）一元二次方程 的一次项系数是（ ） A． B． C． D．2 【答案】C 【详解】解：一元二次方程 的一次项系数是 ， 故选：C 【考点2】一元二次方程的解法 x2 4x10 【例3】用配方法解方程 时，配方结果正确的是（ ） (x2)2 5 (x2)2 3 (x2)2 5 (x2)2 3 A． B． C． D． 【分析】 先把常数项移到方程的右边，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，然后把方程左边利用完全平方公 式写成平方形式即可． 【详解】 x2 4x10 解： ， x2 4x1 ， x2 4x414 ， (x2)2 3 ， 故选：D． 【例4】（2022·黑龙江齐齐哈尔）解方程： 【答案】 ， 【分析】直接开方可得 或 ，然后计算求解即可． 【详解】解：∵ ∴ 或 解得 ， ． 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）)的解法选择 （1）当b=0时，首选直接开平法 （2）当c=0时，首选因式分解法或配方法 （3）当a=1,b≠0,c≠0时，首选配方法或因式分解法 （4）当a≠1,b≠0,c≠0时，首选公式法或因式分解法 1．（2022·江苏南京·九年级阶段练习）观察表格中数据，一元二次方程 的一个近似解为（ ） x 4.67 4.61 4.56 4.51 4.46 4.41 4.35 A． B． C． D． 【答案】C【详解】解：∵x=−1.12时， ；x=−1.11时， ； ∴ 时，对应x应满足−1.120时,方程有两个不相等的实数根; （2）当b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根; （3）当b2-4ac<0时,方程无实数根. 1．（2022·湖南怀化）下列一元二次方程有实数解的是（ ） A．2x2﹣x+1＝0 B．x2﹣2x+2＝0 C．x2+3x﹣2＝0 D．x2+2＝0 【答案】C【分析】判断一元二次方程实数根的情况用根的判别式进行判断． 【详解】A选项中， ，故方程无实数根； B选项中， ，故方程无实数根； C选项中， ，故方程有两个不相等的实数根； D选项中， ，故方程无实数根；故选C． 2．（2022·浙江温州）若关于x的方程 有两个相等的实数根，则c的值是 （ ） A．36 B． C．9 D． 【答案】C 【分析】根据判别式的意义得到 ，然后解关于c的一次方程即可． 【详解】解：∵方程 有两个相等的实数根 ∴ 解得 故选：C． 3．（2022·山东滨州）一元二次方程 的根的情况为（ ） A．无实数根 B．有两个不等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．不能判定 【答案】A 【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况． 【详解】解：∵Δ＝（−5）2−4×2×6＝-23＜0，∴方程无实数根．故选：A． 【考点4】一元二次方程根与系数的关系 【例6】（2022·湖北随州）已知关于x的一元二次方程 有两个不等实数根 ， ． (1)求k的取值范围；(2)若 ，求k的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式大于0建立不等式，解不等式即可得；（2）先利用一元二次方程的根与系数的关系可得 ，再结合（1）的结论即可得． 【解析】（1）解： 关于 的一元二次方程 有两个不等实数根， 此方程根的判别式 ，解得 ． （2）解：由题意得： ，解得 或 ， 由（1）已得： ，则 的值为2． 1．（2022·北京市第三十五中学九年级期中）已知 、 是一元二次方程 的两个根，则 ______， ______． 【答案】 【详解】解： ， ， ， ， 由根与系数的关系可知： ， ， 故答案为：① ；② 2．（2022·广东·深圳实验学校九年级期中）设 ， 是一元二次方程 的两个实数根，则 的值为 ___________． 【答案】1 【详解】解：∵x，x 是一元二次方程 的两个实数根， 1 2 ∴ ， ， 则原式 ． 故答案为：1． 3．（2022·湖北十堰）已知关于 的一元二次方程 ． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根分别为 ， ，且 ，求 的值． 【答案】(1)见解析 (2)【分析】（1）根据根的判别式 ，即可判断； （2）利用根与系数关系求出 ，由 即可解出 ， ，再根据 ，即可得到 的值． 【解析】(1) ， ∵ ，∴ ， 该方程总有两个不相等的实数根； (2) 方程的两个实数根 ， ， 由根与系数关系可知， ， ， ∵ ，∴ ，∴ ， 解得： ， ， ∴ ，即 ． x x2 2mxm2 m0 4．（2021·湖北黄石市·中考真题）已知关于 的一元二次方程 有实数根． m （1）求 的取值范围； x x x2 x2 12 m （2）若该方程的两个实数根分别为 1、 2，且 1 2 ，求 的值． 【分析】 （1）根据方程有实数根的条件，即0求解即可； x x x x x2 x2 12 （2）由韦达定理把 1 2和 1 2分别用含m的式子表示出来，然后根据完全平方公式将 1 2 变 x x 2 2x x 12 形为 1 2 1 2 ，再代入计算即可解出答案． 【详解】  2m2 4  m2 m  0 （1）由题意可得： 解得：m0 m0 即实数m的取值范围是 ． x2 x2 12 x x 2 2x x 12 （2）由 1 2 可得： 1 2 1 2x x 2m x x m2 m ∵ 1 2 ； 1 2 2m2 2  m2 m  12 ∴ 解得：m3或m2 ∵m0 ∴m2 m 即 的值为-2． 【考点5】方程运用1：增长率问题 【例7】（2021·湖南张家界市·中考真题）2021年是中国共产党建党100周年，全国各地积极开展“弘扬 红色文化，重走长征路”主题教育学习活动，我市“红二方面军长征出发地纪念馆”成为重要的活动基地． 据了解，今年3月份该基地接待参观人数10万人，5月份接待参观人数增加到12.1万人． （1）求这两个月参观人数的月平均增长率； （2）按照这个增长率，预计6月份的参观人数是多少？ 【答案】（1）10%；（2）13.31万 【分析】 （1）设这两个月参观人数的月平均增长率为 ，根据题意列出等式解出 即可； （2）直接利用（1）中求出的月平均增长率计算即可． 【详解】 （1）解：设这两个月参观人数的月平均增长率为 ， 由题意得： ， 解得： ， （不合题意，舍去）， 答：这两个月参观人数的月平均增长率为 ． （2） （万人）， 答：六月份的参观人数为13.31万人． 1．（2022·新疆）临近春节的三个月，某干果店迎来了销售旺季，第一个月的销售额为8万元，第三个月的销售额为11.52万元，设这两个月销售额的月平均增长率为x，则根据题意，可列方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设这两个月销售额的月平均增长率为x，则第二个月的销售额是 万元，第三个月的销售额 为 万元，即可得． 【详解】解：设这两个月销售额的月平均增长率为x，则第二个月的销售额是 万元，第三个月的销 售额为 万元，∴ 故选C． 2．（2022·重庆）小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平 均增长率为 ，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】平均增长率为x，关系式为：第三天揽件量＝第一天揽件量×（1＋平均增长率）2，把相关数值代 入即可． 【详解】解：由题意得：第一天揽件200件，第三天揽件242件， ∴可列方程为： ，故选：A． 3．（2022·四川眉山）建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金 1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同． （1）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率； （2）2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增 加15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？ 【答案】(1)20% (2)18个 【分析】（1）先设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为 ，根据2019年投入资金 2021 年投入的总资金，列出方程求解即可；（2）由（1）得出的资金年增长率求出2022年的投入资金，然后2022年改造老旧小区的总费用要小于等 于2022年投入资金，列出不等式求解即可． 【解析】(1)解：设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为 ， 根据题意得： ，解这个方程得， ， ， 经检验， 符合本题要求． 答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%． (2)设该市在2022年可以改造 个老旧小区， 由题意得： ，解得 ． ∵ 为正整数，∴最多可以改造18个小区． 答：该市在2022年最多可以改造18个老旧小区． 【考点6】方程运用2：利润问题 【例8】（2021·山东济宁市·中考真题）某商场购进甲、乙两种商品共100箱，全部售完后，甲商品共盈利 900元，乙商品共盈利400元，甲商品比乙商品每箱多盈利5元． （1）求甲、乙两种商品每箱各盈利多少元？ （2）甲、乙两种商品全部售完后，该商场又购进一批甲商品，在原每箱盈利不变的前提下，平均每天可 卖出100箱．如调整价格，每降价1元，平均每天可以多卖出20箱，那么当降价多少元时，该商场利润最 大？最大利润是多少？ 【答案】（1）甲种商品每箱盈利15元，则乙种商品每箱盈利10元；（2）当降价5元时，该商场利润最 大，最大利润是2000元． 【分析】 （1）设甲种商品每箱盈利x元，则乙种商品每箱盈利（x-5）元，根据题意列出方程，解方程即可得出结 论； （2）设甲种商品降价a元，则每天可多卖出20a箱，利润为w元，根据题意列出函数解析式，根据二次函 数的性质求出函数的最值． 【详解】 解：（1）设甲种商品每箱盈利x元，则乙种商品每箱盈利（x-5）元，根据题意得： 900 400  100 x x5 ，整理得：x2-18x+45=0， 解得：x=15或x=3（舍去）， 经检验，x=15是原分式方程的解，符合实际， ∴x-5=15-5=10（元）， 答：甲种商品每箱盈利15元，则乙种商品每箱盈利10元； （2）设甲种商品降价a元，则每天可多卖出20a箱，利润为w元，由题意得： w=（15-a）（100+20a）=-20a2+200a+1500=-20（a-5）2+2000， a=-20， 当a=5时，函数有最大值，最大值是2000元， 答：当降价5元时，该商场利润最大，最大利润是2000元． 1．（2022·山东青岛·九年级期中）某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个． 调查发现，售价在40元至60元之间，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个． （1）若 （个）表示这种台灯平均每月的销量， （元）表示这种台灯的售价，求 与 的函数关系 式； （2）为了实现平均每月12000元的销售利润，求这种台灯的售价应定为多少元． 【答案】(1) (2)60元 【详解】（1）∵这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个 ∴ （2）依题意，得： ， 整理，得： ， 解得： ， （不合题意，舍去）， 答：这种台灯的售价应定为60元． 2. 某服装厂生产一批服装，2019年该类服装的出厂价是200元/件，2020年，2021年连续两年改进技术， 降低成本，2021年该类服装的出厂价调整为162元/件． （1）这两年此类服装的出厂价下降的百分比相同，求平均下降率． （2）2021年某商场从该服装厂以出厂价购进若干件此类服装，以200元/件销售时，平均每天可销售20件． 为了减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低5元，每天可多售出10件，如果每天盈利 1150元，单价应降低多少元? 【答案】（1）平均下降率为10%；（2）单价应降低15元．【分析】（1）设平均下降率为x，然后根据题意可直接列方程求解； （2）设单价应降低y元，根据题意可得每天的销售量为(20+2y)件，然后根据题意可列方程求解． 【详解】解：（1）设平均下降率为x，由题意可得： 200(1−x)2=162， 解得：x=0.1，x=1.9（不符合题意，舍去）， 1 2 . ∴x=01=10%， 答：平均下降率为10%． （2）设单价应降低y元，根据题意可得： (200−162−y)(20+ y)=1150， 解得：y=13，y=15， 1 2 根据题意，为了减少库存，所以应该降低15元， 答：单价应降低15元． 【考点7】方程运用3：赠送礼物 【例9】（2022·黑龙江）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共 进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（ ） A．8 B．10 C．7 D．9 【答案】B 【分析】设有x支队伍，根据题意，得 ，解方程即可． 【详解】设有x支队伍，根据题意，得 ， 解方程，得x=10，x=-9（舍去），故选B． 1 2 1．台山某学校某个宿舍同学毕业时都将自己的照片向全宿舍其他同学各送一张表示留念，全宿舍共送56 张照片，设该宿舍共有x名同学，根据题意，列出方程为（ ） A． B． C． D． 【分析】如果宿舍有x名同学，那么每名同学要送出（x-1）张，共有x名学生，那么总共送的张数应该是 x（x-1）张，即可列出方程．【详解】解：∵宿舍有x名同学， ∴每名同学要送出（x-1）张； 又∵是互送照片， ∴总共送的张数应该是x（x-1）=56． 故选 B． 2．某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛 36场，则参加此次比赛的球队 数是 A．6 B．7 C．8 D．9 【解答】解：设参加此次比赛的球队数为 队，根据题意得： ， 化简，得 ， 解得 ， （舍去）， 参加此次比赛的球队数是9队． 故选： ． 【考点8】方程运用4：传播问题 【例10】鸡瘟是一种传播速度很快的传染病，一轮传染为一天的时间，某养鸡场于某日发现一例鸡瘟病例， 两天后发现共有169只鸡患有这种病．若每例病鸡传染健康鸡的只数均相同，则每只病鸡传染健康鸡的只 数为（ ） A．11只 B．12只 C．13只 D．14只 【答案】B 【分析】设每只病鸡传染健康鸡x只，则第一天有x只鸡被传染，第二天有x（x+1）只鸡被传染，所以经 过两天的传染后感染患病的鸡共有：x +1 +x（x+1）只，根据经过两天的传染后使鸡场感染患病的鸡 169，为等量关系列出方程求出符合题意的值即可． 【详解】解：设每只病鸡传染健康鸡x只，由题意得： x+1+x（x+1）＝169， 整理，得x2+2x﹣168＝0， 解，得x＝12，x＝﹣14（不符合题意舍去）． 1 2答：设每只病鸡传染健康鸡12只． 故选：B． 1．由于许多国外国家直接放开防空政策，导致新冠肺炎疫情至今没能得到缓解，疫情难以消停.新冠肺炎 具有人传人的特性，若一人携带病毒，未尽进行有效隔离，经过两轮传染后共有121人患新冠肺炎（假设 每轮传染的人数相同），则每轮传染中平均每个人传染了__________人. 【分析】设每轮传染中平均每个人传染了x个人，根据“若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传 染后共有121人患新冠肺炎”，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设每轮传染中平均每个人传染了x个人，根据题意得： ， 解得： ， （舍去）， 即每轮传染中平均每个人传染了10人． 故答案为：10． 2．已知3人患流感，经过两轮传染后，患流感总人数为108人，则平均每人每轮感染_____个人． 【分析】设1个人传染x人，第一轮共传染（x+1）人，第二轮共传染（x+1）2人，由此列方程解答，再进 一步求问题的答案． 【详解】解：设每个人传染x人，根据题意列方程得， 3（x+1）2=108， 解得：x=5，x= 8（不合题意，舍去）， 1 2 故答案为：5． 【考点9】方程运用5：几何问题 【例11】（2022·福建·龙岩莲东中学九年级期中）南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除算法》中记载： “直田积八百六十四步，只云阔与长共六十四步，问阔及长各几步．”意思是，一块矩形田地的面积是 864平方步，它的宽和长共60步，问它的宽和长各多少步？ 【答案】长是36步，宽是24步． 【详解】解：设长为x步，则宽为 步， 依题意，得： ， 解得： （舍），则长是36步，宽是 步 答：长是36步，宽是24步． 1．《生物多样性公约》第十五次缔约方大会（COP15）将于2021年10月11日至24日在云南省昆明市举 办．昆明某景观园林公司为迎接大会召开，计划在一个长35米、宽20米的矩形场地上要开辟一横两纵三 条等宽的小道（如图），其余部分种植草坪，草坪面积为627平方米．设小道的宽为x米，则可列方程为 ________． 【答案】（35−2x）（20−x）＝627 【详解】 解：把阴影部分分别移到矩形的上边和左边可得矩形的长为（35−2x）米，宽为（20−x）米， ∴可列方程为（35−2x）（20−x）＝627， 故答案为（35−2x）（20−x）＝627． 2．（2022·山东济南·九年级期中）如图，用一段长为 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形围栏（墙长 ），若这个围栏的面积为 ，求与墙垂直的一边的长度． 【答案】 【详解】解：设与墙垂直的一边的长度为 ，则平行于墙的一边的长度为 ， 由题意可得： ， 整理得： ， 解得： ， ． 当 时， ，不合题意，舍去； 当 时， ，符合题意． 故与墙垂直的一边的长度为 ． 3. 如图，依靠一面长18米的墙，用34米长的篱笆围成一个矩形场地花圃ABCD，AB边上留有2米宽的小 门EF（用其他材料做，不用篱笆围）矩形场地面积能为160平方米吗?请说明理由．【答案】能，理由见解析 【分析】设AD=x米，则AB=（34+2-2x）米，根据矩形场地的面积为160平方米，即可得出关于x的一元 二次方程，解之即可得出x的值，再结合墙长18米，即可确定x的值，进而可得出矩形场地面积能为160 平方米． 【详解】解：能，理由如下： 设AD=x米，则AB=（34+2-2x）米， 依题意得：x（34+2-2x）=160， 整理得：x2-18x+80=0， 解得：x=8，x=10． 1 2 当x=8时，34+2-2x=34+2-2×8=20＞18，不符合题意，舍去； 当x=10时，34+2-2x=34+2-2×10=16＜18，符合题意． ∴当AD=10米，AB=16米时，矩形场地面积为160平方米． 4. 如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点Q从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速 度移动，点P从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动． （1）如果P、Q两点同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？ （2）△PBQ的面积能否等于7cm2？试说明理由． 【答案】（1）1秒或4秒；（2）不能，理由见解析 【分析】（1）点Q从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点P从点B开始沿BC边向点C以 2cm/s的速度移动，表示出BQ和BP的长度，利用三角形的面积公式可列方程求解． （2）参照（1）的解法列出方程，根据根的判别式来判断该方程的根的情况．【详解】解：（1）设t秒后，△PBQ的面积等于4 ．则 ， 整理，得 t2﹣5t＋4＝0， 解得 ＝1， ＝4． 答：如果P、Q两点同时出发，那么1秒或4秒后，△PBQ的面积等于4 ； （2）△PBQ的面积能不能等于7 理由如下： 设t秒后，△PBQ的面积等于7 则 ， 整理，得 t2﹣5t＋7＝0， 则△＝25﹣28＝﹣3＜0， 所以该方程无解． ∴△PBQ的面积不能等于7 ．