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专题 05 一次方程（组）及其应用（12 个高频考点）（强化训练）
【考点1 方程的相关概念】
2
1．（2022·浙江·模拟预测）下列各式：①−2+5=3；②3x−5=x2+3x；③2x+1=1；④ =1；⑤
x
2x+3；⑥x=4．其中是一元一次方程的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2022·河北·模拟预测）已知关于x、y的方程x2m-n-2+ym+n+1＝6是二元一次方程，则m，n的值为（
）
A．m＝1，n＝﹣1 B．m＝﹣1，n＝1
1 4 1 4
C．m＝ ，n＝﹣ D．m＝﹣ ，n＝
3 3 3 3
3．（2022·四川·宁南县初级中学校一模）下列方程中，是二元一次方程组的是（ ）
A．¿ B．¿ C．¿ D．¿
4．（2022·辽宁省丹东市第二十一中学二模）若xa+b-7+2y5a-b-3=0是二元一次方程，那么的a、b值分别是（
）
A．a=2， b=4； B．a=2， b=6； C．a=3， b=5； D．a=3， b=8
5．（2022·浙江杭州·模拟预测）下列各式中，属于二元一次方程的是（ ）
2 1 x+ y
A．x= +2 B．y= x+z C．x2+ y=0 D． −2y=1
y 2 3
【考点2 方程的解】
6．（2022·河北石家庄·二模）x=1是下列哪个方程的解（ ）
x 2x
A．6=5−x B．2x+2=3x+3 C． −1= D．x2=x
x−1 3x−3
7．（2022·浙江·模拟预测）若k为整数，则使得方程(k−1999)x=2001−2000x的解也是整数的k值为
（ ）
A．4个 B．8个 C．12个 D．16个
8．（2022·四川乐山·模拟预测）已知方程组¿的解为¿，则方程组¿的解为______．
9．（2022·广东·五华县双华中学一模）已知关于x的方程3x﹣2k＝2的解是x＝k﹣2，则k的值是_____．
10．（2022·江苏·苏州高新区实验初级中学一模）若不等式3x+2≤4x−1的最小整数解是方程2 1
x− mx=1的解，求m的值．
3 3
【考点3 等式的性质】
11．（2022·河北·石家庄市第四十一中学模拟预测）已知m=n，下列等式不成立的是（ ）
A．m+n=2m B．m−n=0 C．m−2x=n−2x D．2m−3n=5n
12．（2022·河北·模拟预测）设x，y，c是有理数，则下列结论正确的是（ ）
A．若x= y，则x+c= y−c B．若x= y，则xc= yc
x y x y
C．若x= y，则 = D．若 = ，则2x=3 y
c c 2c 3c
x 3−x
13．（2022·山东·无棣县教育科学研究中心二模）在如图解分式方程： − =1的4个步骤中，根
x−2 x−2
据等式基本性质的是（ ）
A．①③ B．①② C．②③ D．①④
14．（2022·湖南·株洲市芦淞区教育教学研究指导中心模拟预测）已知等式3a=2b+5，则下列等式中不
一定成立的是（ ）
A．3a−5=2b B．3a+1=2b+6
2 5
C．3ac=2bc+5 D．a= b+
3 3
2 1
15．（2022·全国·七年级课时练习）设a、b、c为互不相等的实数，且 a+ c=b，则下列结论正确的是
3 3
（ ）
A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．a-b= 2（b-c） D．3(a−b)=a−c
【考点4 解一元一次方程】
16．（2022·浙江温州·二模）若代数式2(x+1)+3(x+2)的值为8，则代数式2(x−2)+3(x−1)的值为
（ ）
A．0 B．11 C．−7 D．−15
17．（2022·湖北·随州市曾都区教学研究室一模）我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别叫做
“平行四边形数”和“正三角形数”．设第n个“平行四边形数”和“正三角形数”分别为a和b．若
a=42，则b的值为（ ）A．190 B．210 C．231 D．253
18．（2022·河北保定·二模）已知两个整式A=x2+x，B=■x+1，其中系数■被污染．
(1)若■是2，化简A－B；
(2)若x=1时，A－B的值为2．说明原题中■是几？
2x−1 2x+1
19．（2022·天津红桥·中考模拟）解方程： − =−1．
3 6
x x−1
20．（2022·浙江衢州·一模）对于方程 − =1，某同学解法如下：
3 2
解：方程两边同乘6，得2x－3（x－1）＝1①
去括号，得2x－3x－3＝1②
合并同类项，得－x－3＝1③
移项，得－x＝4④
∴x＝－4⑤
（1）上述解答过程从第 步开始出现错误；
（2）请写出正确的解答过程．
【考点5 含绝对值符号的一元一次方程】
21．（2022·山西·大同市云州区初级示范中学校二模）若|x|＋|x﹣4|＝8，则x的值为（ ）
A．﹣2 B．6 C．﹣2或6 D．以上都不对
5x−1 7 x−1
22．（2022·湖南张家界·二模）如果关于x的方程 = 与 =2|m|−x的解相同，那么m的值是（
6 3 2
）
A．1 B．±1 C．2 D．±2
23．（2022·新疆·伊宁市教育教学研究室一模）【我阅读】
解方程：|x+5|=2．
解：当x+5≥0时，原方程可化为：x+5=2，解得x=−3；
当x+5<0时，原方程可化为：x+5=−2，解得x=−7．
所以原方程的解是x=−3或x=−7．
【我会解】解方程：|3x−2|−5=0
24．（2022·福建省厦门第六中学二模）先阅读下列解题过程，然后解答问题（1）、（2）
解方程：|x+3|=2．
解：当x+3≥0时，原方程可化为：x+3=2，解得x=−1；
当x+3<0时，原方程可化为：x+3=−2，解得x=−5．
所以原方程的解是x=−1，x=−5．
(1)解方程：|3x−2|−4=0；
(2)探究：当b为何值时，方程|x−2|=b+1①无解；②只有一个解；③有两个解．
25．（2022·广西河池·模拟预测）[现场学习]
定义：我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做“含有绝对值的方程”．
x−1
如：|x|＝2，|2x﹣1|＝3，| |﹣x＝2，…都是含有绝对值的方程．
2
怎样求含有绝对值的方程的解呢？基本思路是：含有绝对值的方程→不含有绝对值的方程．
我们知道，根据绝对值的意义，由|x|＝2，可得x＝2或x＝﹣2．
[例]解方程：|2x﹣1|＝3．
我们只要把2x﹣1看成一个整体就可以根据绝对值的意义进一步解决问题．
解：根据绝对值的意义，得2x﹣1＝3或2x﹣1＝-3．
解这两个一元一次方程，得x＝2或x＝﹣1；
经检验可知，原方程的解是x＝2或x＝﹣1．
[解决问题]
x−1
解方程：| |﹣x＝2．
2
解：根据绝对值的意义，得
x−1 x−1
＝ 或 ＝ ，
2 2
解这两个一元一次方程，得x＝ 或x＝ ，
经检验可知，原方程的解是 ．
[学以致用]
解方程：|2x+1|＝|5x﹣6|．
【考点6 解二元一次方程（组）】
mx−ny
26．（2022·湖南·长沙市雨花区教育科学研究所一模）定义F（x，y）= （其中m，n均为非零常
2x+ ym×0−n×1
数），如F（0，1）= =−n．
2×0+1
(1)若F（-1，1）=7，F（2，4）=1，
①求m，n的值；
②若关于x的不等式组¿恰好有2个整数解，求实数p的取值范围；
(2)若F（x，y）= F（y，x）在F（x，y）与 F（y，x）都有意义的前提下，对任意实数x，y都成立，则
m，n应满足什么条件？
27．（2022·广东·广州市第一二三中学模拟预测）阅读材料：善于思考的小军在解方程组¿时，采用了一种
“整体代入”的解法：
解：由①得x﹣y＝1③
将③代入②得：4×1﹣y＝5，即y＝﹣1
把y＝﹣1代入③得x＝0，
x=0
∴方程组的解为 {
y=−1
2x−3 y=2
请你模仿小军的“整体代入”法解方程组，解方程{2x−3 y+5 ．
+2y=9
7
28．（2022·河北唐山·二模）解方程组：¿．
小海同学的解题过程如下：
解：由②，得y=5+x③……（1）
把③代入①，得：3x−2x+5=6……（2）
解得：x=−1……（3）
把x=−1代入③，得y=4……（4）
∴此方程组的解为¿……（5）
判断小海同学的解题过程是否正确，若不正确，请指出错误的步骤序号，并给出正确的解题过程．
29．（2022·浙江杭州·模拟预测）对于未知数为x，y的二元一次方程组，如果方程组的解x，y满足
|x−y|=1，我们就说方程组的解x与y具有“邻好关系”．
（1）方程组¿的解x与y是否具有“邻好关系”?说明你的理由：
（2）若方程组¿的解x与y具有“邻好关系”，求m的值：
（3）未知数为x，y的方程组¿，其中a与x、y都是正整数，该方程组的解x与y是否具有“邻好关系”?如
果具有，请求出a的值及方程组的解：如果不具有，请说明理由．
30．（2022·广东汕头·一模）甲、乙两人同解方程组¿，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为¿乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为¿
（1）求a，b的值；
（2）若关于x的一元二次方程ax2−bx+m=0两实数根为x ，x ，且满足7x −2x =7，求实数m的值．
1 2 1 2
【考点7 同解方程（组）】
3a−x
31．（2022·浙江·模拟预测）若方程3x+13=4和方程1− =0的解相同，则a的值为（ ）
6
A．−3 B．−1 C．1 D．3
3x−2 x
32．（2022·北京八十中模拟预测）关于x的方程3x=2x+a的解与 = 的解相同，则a的值为
4 2
（ ）
A．−2 B．2 C．−1 D．1
33．（2022·河北·模拟预测）若方程组¿的解是¿，则方程组¿的解是（ ）
A．¿ B．¿ C．¿ D．¿
34．（2022·四川成都·中考模拟）数学学霸甲、乙两人在一次解方程组比赛中，甲求关于x、y的方程组¿
1 2018
的正确解与乙求关于x、y的方程组¿的正确的解相同．则a2018+(− b) 的值为_____.
10
35．（2022·广东·二模）解关于x、y的方程组时，小明发现方程组¿的解和方程组¿的解相同．
(1)求方程组的解；
(2)求关于t的方程（at﹣b）2+2（at﹣b）﹣3＝0的解．
【考点8 解三元一次方程组】
36．（2022·广东·佛山市南海外国语学校三模）在求代数式的值时，可以用整体求值的方法，化难为易．
例：已知¿，求x+ y+z的值．
解：①×2得：6x+4 y+2z=8③
②−③得：x+ y+z=2
∴x+ y+z的值为2．
(1)已知¿，求3x+4 y+5z的值；
(2)马上期中了，班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，购买40本笔记本、
20支签字笔、4支记号笔需要488元．通过还价，班委购买了80本笔记本、40支签字笔、8支记号笔，只
花了732元，请问比原价购买节省了多少钱？
37．（2022·河北邢台·模拟预测）已知多项式ax2−bx+c，当x=1时，它的值是0，当x=−2时，它的值是
1，试求a+b的值．a
38．（2022·广西百色·二模）已知有理数a，b，c满足(a+2c−2) 2+∣4b−3c−4∣+| −4b−1|=0，
2
试求a3n+1b3n+2−c4n+2的值．
39．（2022·河北保定·一模）已知实数a、b、c满足2a+13b+3c＝90，3a+9b+c＝72，
3b+c
(1)求 的值．
a+2b
(2)是否存在整数b使得a、c为正数，若存在，请求出最大整数b，若不存在，请说明理由．
40．（2022·上海市民办尚德实验模拟预测）解方程组：¿．
【考点9 由实际问题抽象出一次方程】
41．（2022·广东·东莞市粤华学校二模）我国古代《孙子算经》中有道题，原文是：“今有三人共车，二
车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有一些人坐车，如果每车坐三个人，则还剩余
二辆车没有人坐；如果每车坐二人，则有9人需要步行，问共有多少人？几辆车？设共有x人，y辆车，则
下列符合题意的方程组是（ ）
A．¿ B．¿
C．¿ D．¿
42．（2022·福建·泉州五中模拟预测）《算学启蒙》中有一道题，原文是：良马日行二百四十里，驽马日
行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何追及之？译文为：跑的快的马每天走240里，跑的慢的马
每天走150里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马x天可以追上慢马，可列方程（ ）
A．240x＝150（x+12） B．240（x﹣12）＝150x
C．240（x+12）＝150x D．240x＝150（x﹣12）
43．（2022·重庆市綦江区赶水中学三模）《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客来到此
店中，一房七客多七客，一房九客一房空”，大致意思是：若一个房间住7个客人，则剩余7个客人没有房
间住，若一个房间住9个客人，则剩余1个房间没有客人住；设客人有x人，客房有y间，则可列方程组
______．
44．（2022·河北·模拟预测）如图，10块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设小长方形墙砖的长和
宽分别为x厘米和y厘米，则列出的方程组为________．
45．（2022·江苏·扬州中学教育集团树人学校二模）我国古代名著《九章算术》中有一问题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”假设经过x天相逢，则可列方
程为_____．
【考点10 一元一次方程的应用】
46．（2022·重庆市第三十七中学校二模）青团是清明节的一道极具特色的美食，据调查，广受消费者喜欢
的口味分别是：红豆青团、肉松青团、水果青团，故批发商大量采购红豆青团、肉松青团、水果青团，为
了获得最大利润，批发商需要统计数据，更好地进货．3月份批发商统计销量后发现，红豆青团、肉松青
团、水果青团销量之比为2:3:4，随着市场的扩大，预计4月份青团总销量将在3月份基础上有所增加，
1 1
其中水果青团增加的销量占总增加的销量的 ，则水果青团销量将达到4月份总销量的 ，为使红豆青团、
5 3
肉松青团4月份的销量相等，则4月份肉松青团还需要增加的销量与4月份总销量之比为_____________．
47．（2022·江西吉安·二模）中国古代在确定宫、商、角、徵、羽五声音阶的时候，最初用三分损益计算，
从最初的一个音三分损一而得到第二个音，由第二个音三分益一得到第三个音，如此计算，便可得到宫、
商、角、徵、羽五声音阶．例如：假设能发出第一个基准音的乐器的长度为81，那么能发出第二个基准音
1 1
的乐器的长度为81×(1− )=54，能发出第三个基准音的乐器的长度为54×(1+ )=72，也就是依次先
3 3
减少三分之一，后增加三分之一．假设能发出第一个基准音的乐器的长度为a，若能发出第四个基准音的
乐器的长度是32，则a的值是______．
48．（2022·陕西师大附中模拟预测）《河妇荡杯》是《孙子算经》中著名的趣题之一．原题是：今有妇人
河上荡杯，津吏问曰：“杯何以多？”“家有客．”津吏曰：“客几何？”妇人曰：“二人共饭，三人共
羹，四人共肉，凡用杯六十五，不知客几何？”意思是：“一位妇人在河边洗碗．津吏问道：“为什么要
洗这么多碗”？妇人回答：“家里来客人了”．津吏问：“有多少客人”？妇人回答：“每二人合用一只
饭碗，每三人合用一只汤碗，每四人合用一只肉碗，共用65只碗．”问：“农妇家一共来了多少客人”？
49．（2022·河北·二模）某厂准备生产甲、乙两种商品共8万件销往“一带一路”沿线国家和地区，甲种
商品的销售单价为900元，乙种商品的销售单价为600元．设销售甲种商品a万件，销售总收入为W万元．
(1)用含a的代数式表示为W；
(2)若甲、乙两种商品的销售总收入W达到5400万元，则需要销售甲种商品多少万件？
50．（2022·山西大同·二模）为庆祝新年，太原古县城举办了“锦绣太原中国年·风舞龙城花灯会”活动．
此次花灯会利用彩灯工艺中的“行、色、声、光、动”特点，充分展现三晋人文特色、传统民俗．本次花
灯会的票价公示如下表所示：票价 1月25日-1月31日 2月1日-2月16日 2月17日-3月5日
成人票价 108元/人 180元/人 108元/人
优惠票价 50元/人 50元/人 50元/人
注：65周岁及以上的老年人，残疾人可按优惠票价购票，1.5米以下的儿童免费．
亮亮家和其他两个家庭共计10人（都需购票）于1月28日去太原古县城观赏花灯．亮亮按上面的收费标
准计算出他们共需花费906元来购买门票．
(1)求他们需购买成人票和优惠票各多少张？
(2)后来，亮亮发现太原古县域还推出了200元的双人票优惠活动，请你帮他设计一种购票方案，使得购票
费用最低，并求出最低费用是多少？
【考点11 二元一次方程（组）的应用】
51．（2022·黑龙江齐齐哈尔·三模）喜迎“二十大”，某校举办以“永远跟党走，奋进新征程”为主题的
演讲比赛．计划用80元钱购买甲、乙两种笔记本作为奖品（钱全部用尽，两种笔记本都买），已知甲种笔
记本每本8元，乙种笔记本每本12元，则购买方案共有（ ）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
52．（2022·广东·深圳市南山外国语学校（集团）一模）利用两块完全一样的长方体木块测量一张桌子的
高度，首先按图①所示的方式放置，再交换两木块的位置，按图②所示的方式放置．测量的数据如图，则
桌子的高度等于（ ）
A．60cm B．65cm C．70cm D．75cm
53．（2022·重庆巴南·模拟预测）某公司需要到指定超市采购矿泉水和功能饮料，3月采购24箱矿泉水和
32箱功能饮料花费3480元，4月采购32箱矿泉水和24箱功能饮料花费3240元，5月份该指定超市中该款
矿泉水和功能饮料有部分因保质期临近进行打六折促销，公司根据实际购买了原价或打折矿泉水和功能饮1
料，共花费2850元，其中打折的矿泉水箱数是5月份购买所有矿泉水和功能饮料总箱数的 ，5月份购买
4
所有矿泉水和功能饮料共_______箱．
54．（2022·新疆·乌鲁木齐市第十三中学二模）某中学开学初到商场购买A，B两种品牌的足球，购买A种
品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共花费4500元，已知购买一个B种品牌的足球比购买一个A种
品牌的足球多花30元．
(1)求购买一个A种品牌、一个B种品牌的足球各需多少元？
(2)学校决定再次购进A，B两种品牌的足球共50个，正好赶上商场对商品价格进行调整，A品牌足球售价
比第一次购买时提高4元，B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售．如果学校此次购买A、B两种品牌
的足球总费用不超过第一次花费的70%，且保证这次购买的B种品牌足球不少于23个，则这次学校有几种
购买方案？
(3)请你求出学校在第二次购买活动中最多需要多少资金？
55．（2022·上海松江·二模）小红打算买一束百合和康乃馨组合的鲜花，在“母亲节”送给妈妈．已知买2
支康乃馨和3支百合共需花费28元，买3支康乃馨和2支百合共需花费27元．
(1)求买一支康乃馨和一支百合各需多少元？
(2)小红准备买康乃馨和百合共9支，且百合花支数不少于康乃馨支数．设买这束鲜花所需费用为w元，康
乃馨有x支，求w与x之间的函数关系式，并直接写出满足上述条件且费用最少的买花方案．
【考点12 三元一次方程组的应用】
56．（2022·江苏南京·中考模拟）大约1500年以前，我国古代数学家张丘建在他编写的《张丘建算经》里，
曾经提出并解决了“百钱买百鸡”这个有名的数学问题，通俗地讲就是下例：
今有公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只．用100个钱买100只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡
各买了多少只？
57．（2022·浙江温州·模拟预测）某商店销售A，B两种商品，已知B种商品的单价是A种商品的2倍，用
120元购买A种商品的数量比用150元购买B种商品的数量多9件．
(1)求A、B两种商品的单价；
(2)现商店推出C商品，且C商品的单价是A商品的4倍．若某单位支出600元全部用于购买A，B，C三种
商品共计40件（A，B，C至少1件），且A，C两种商品的数量之和不超过B种商品数量的3倍，请求出
所有可能的购买方案．
58．（2022·福建福州·模拟预测）某村有100亩的土地，今年统筹安排40个劳动力，分别负责管理果园、
种植蔬菜和经营农家乐旅游，要使得每个劳动力都不空闲，并且每亩土地都不闲置．各个项目所需劳动力和所用每亩土地的平均年收入如下：
每个劳动力管理的亩数 平均年收入（万元/亩）
管理果园 2 0.5
种植蔬菜 3 0.8
经营农家乐旅游 4 4
（1）若安排管理果园的劳动力是种植蔬菜的2.5倍，试求出管理果园的劳动力数量；
（2）设安排x个劳动力管理果园，该村的年收入为W万元．
①试求出W与x的函数关系式；
②由于果园的特殊要求，安排管理果园劳动力应不少于22人，且不多于28人，应如何安排劳动力才能使
该村的年收入最大，并求最大收入．
59．（2022·广东惠州·一模）六月，正值杨梅成熟上市的时候，某杨梅基地零售批发“黑碳”，“东魁”
两种杨梅．已知零售3斤“黑碳”和5斤“东魁”共需59元；零售5斤“黑碳”和8斤“东魁”共需95元，
批发价是在零售价的基础上按下表进行打折：
不超过100斤 100斤~550斤 550斤~1000斤 1000斤~1550斤 1550斤以上
不打折 九五折 九折 八折 七五折
（1）求“黑碳”，“东魁”两种杨梅的零售单价；
（2）某水果商打算用12000元全部用于批发购进“东魁”杨梅，最多能购进多少斤？
（3）现用A，B，C三种不同型号的水果箱共30只，将（2）中购得的杨梅进行装箱，装完所有的杨梅时，
每只箱子刚好装满．已知A种型号的水果箱每只能装30斤，B种型号的水果箱每只能装50斤，C种型号
的水果箱每只能装100斤，通过计算设计共有哪几种装箱方案？
60．（2022·湖北襄阳·模拟预测）某电脑公司准备每周(按120个工时计算)组装三种型号的电脑360台，组
装这些电脑每台所需工时和每台产值如下表．
电脑型号 ① ② ③
1 1 1
工时(个)
2 3 4
产值(万元) 0.4 0.3 0.2
(1)如果每周准备组装100台型号③电脑，那么每周应组装型号①、②电脑各几台？
(2)如果一周产值定为10万元，那么这周应组装型号①、②、③电脑各几台？
(3)若一周型号③电脑至少组装20台，一周产值记为w，试直接写出w的范围．
