文档内容
专题 05 一次方程（组）及其应用（12 个高频考点）（强化训练）
【考点1 方程的相关概念】
2
1．（2022·浙江·模拟预测）下列各式：①−2+5=3；②3x−5=x2+3x；③2x+1=1；④ =1；⑤
x
2x+3；⑥x=4．其中是一元一次方程的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据一元一次方程的定义逐个判断即可
【详解】解：①不含未知数，故错
②未知数的最高次数为2，故错
③含一个未知数，次数为1，是等式且两边均为整式，故对
④左边不是整式，故错
⑤不是等式，故错
⑥含一个未知数，次数为1，是等式且两边均为整式，故对
故选：B
【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握并理解一元一次方程的定义是解本题的关键.
2．（2022·河北·模拟预测）已知关于x、y的方程x2m-n-2+ym+n+1＝6是二元一次方程，则m，n的值为（
）
A．m＝1，n＝﹣1 B．m＝﹣1，n＝1
1 4 1 4
C．m＝ ，n＝﹣ D．m＝﹣ ，n＝
3 3 3 3
【答案】A
【分析】根据二元一次方程的定义，列出关于m、n的方程组，解方程组即可．
【详解】解：∵x2m-n-2+ym+n+1＝6是关于x、y二元一次方程，
∴¿，
解得：¿，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的定义，根据题意列出关于m、n的方程组，是解题的关键．
3．（2022·四川·宁南县初级中学校一模）下列方程中，是二元一次方程组的是（ ）A．¿ B．¿ C．¿ D．¿
【答案】B
【分析】根据二元一次方程组的定义解答．
【详解】解：A中含有两个未知数，含未知数的项的最高次数为2，故不符合定义；
B符合定义，故是二元一次方程组；
C中含有分式，故不符合定义；
D含有三个未知数，故不符合定义；
故选：B．
【点睛】此题考查了二元一次方程组定义：含有两个未知数，且含有未知数的项的最高次数为2的整式方
程是二元一次方程组，熟记定义是解题的关键．
4．（2022·辽宁省丹东市第二十一中学二模）若xa+b-7+2y5a-b-3=0是二元一次方程，那么的a、b值分别是（
）
A．a=2， b=4； B．a=2， b=6； C．a=3， b=5； D．a=3， b=8
【答案】B
【分析】根据二元一次方程的定义可得¿，解二元一次方程组即可．
【详解】解：根据题意可得¿，
解得¿，
故选：B．
【点睛】本题考查二元一次方程的定义、解二元一次方程组，根据题意列出方程组是解题的关键．
5．（2022·浙江杭州·模拟预测）下列各式中，属于二元一次方程的是（ ）
2 1 x+ y
A．x= +2 B．y= x+z C．x2+ y=0 D． −2y=1
y 2 3
【答案】D
【分析】根据二元一次方程的定义即可求出答案．
2 2
【详解】解：A、x= +2中 不是整式，不是二元一次方程，故不符合；
y y
1
B、y= x+z中有三个未知数，不是二元一次方程，故不符合；
2
C、x2+ y=0中x的指数为2，不是二元一次方程，故不符合；
x+ y
D、 −2y=1是二元一次方程，故符合；
3
故选：D．【点睛】本题考查二元一次方程，解题的关键是正确理解二元一次方程的定义，本题属于基础题型．
【考点2 方程的解】
6．（2022·河北石家庄·二模）x=1是下列哪个方程的解（ ）
x 2x
A．6=5−x B．2x+2=3x+3 C． −1= D．x2=x
x−1 3x−3
【答案】D
【分析】把x＝1代入各选项进行验算即可得解．
【详解】解：A、5−1＝4≠6，故本选项错误；
B、2×1+2=4，3×1+3=6，4≠6，故本选项错误；
C、当x=1时，x-1=0即分式的分母为0，故本选项错误；
D、12=1，故本选项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了方程的解的概念，使方程的左右两边相等的未知数的值是方程的解．
7．（2022·浙江·模拟预测）若k为整数，则使得方程(k−1999)x=2001−2000x的解也是整数的k值为
（ ）
A．4个 B．8个 C．12个 D．16个
【答案】D
2001
【分析】先把原方程变形为(k−1999)x+2000x=2001，得出x= ，然后求出2001的因数有16个．
k+1
【详解】解：原方程变形得：(k−1999)x+2000x=2001，
2001
∴x= ，
k+1
∵k为整数，
∴2001的因数有：1，3，23，29，69，87，667，2001，−1，−3，−23，−29，−69，−87，−667，
−2001．
∴共有16个．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的解的定义，要会用代入法判断二元一次方程的解．该题主要用的
是排除法．
8．（2022·四川乐山·模拟预测）已知方程组¿的解为¿，则方程组¿的解为______．
【答案】¿##¿
【分析】仿照已知方程组的解求出所求方程组的解即可．【详解】解：∵方程组¿的解为¿，
∴¿，
即¿的解为¿ ，
∴¿ ，
故答案为¿．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，及利用类比的方法解二元一次方程组，解题的关键是学会利用
类比以及整体的思想方法解方程组．
9．（2022·广东·五华县双华中学一模）已知关于x的方程3x﹣2k＝2的解是x＝k﹣2，则k的值是_____．
【答案】8
【分析】根据方程的解的概念可将解代入方程，得到等式关系，可解出k.
【详解】解：把x＝k﹣2代入方程得：3（k﹣2）﹣2k＝2，
去括号得：3k﹣6﹣2k＝2，
解得：k＝8，
故答案为8.
【点睛】本题考查方程的解的概念，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值.
10．（2022·江苏·苏州高新区实验初级中学一模）若不等式3x+2≤4x−1的最小整数解是方程
2 1
x− mx=1的解，求m的值．
3 3
【答案】m=1
【分析】解出一元一次不等式的解，求出x的最小整数值，然后将x的最小整数值代入方程求解即可．
【详解】解：由3x+2≤4x−1，解得x≥3，
∴x的最小整数值为x=3，
2 1
∵x=3是方程 x− mx=1的解，
3 3
2 1
∴ ×3− m×3=1，
3 3
解得m=1，
∴m的值为1．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，一元一次方程的解．解题的关键在于找出x的最小整数值．
【考点3 等式的性质】
11．（2022·河北·石家庄市第四十一中学模拟预测）已知m=n，下列等式不成立的是（ ）
A．m+n=2m B．m−n=0 C．m−2x=n−2x D．2m−3n=5n【答案】D
【分析】根据等式的性质和合并同类项即可判断．
【详解】由m=n，得m+n=m+m=2m，故A成立；
m−n=m−m=0，故B成立；
根据等式的性质，等式两边同加或减一个等式，左右两边仍相等，
m−2x=n−2x，故C成立；
2m−3n=2n−3n=−n，故D不成立；
故选D．
【点睛】本题考查了等式的性质和合并同类项，熟记运算法则是解题的关键．
12．（2022·河北·模拟预测）设x，y，c是有理数，则下列结论正确的是（ ）
A．若x= y，则x+c= y−c B．若x= y，则xc= yc
x y x y
C．若x= y，则 = D．若 = ，则2x=3 y
c c 2c 3c
【答案】B
【分析】根据等式的性质一一判断即可．
【详解】解：A、错误．c≠0时，等式不成立；
B、正确；
C、错误．c＝0时，不成立；
x y
D、错误．应该是：若 = ，则3x＝2y；
2c 3c
故选：B．
【点睛】本题考查等式的性质，记住：性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2、等
式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
x 3−x
13．（2022·山东·无棣县教育科学研究中心二模）在如图解分式方程： − =1的4个步骤中，根
x−2 x−2
据等式基本性质的是（ ）
A．①③ B．①② C．②③ D．①④
【答案】A
【分析】根据解分式方程的步骤，等式的性质即可求解．【详解】①两边同时乘以(x−2)，x−(3−x)=x−2，
②去括号x−3+x=x−2，
③移项，两边同时加3−x，x+x−x=−2+3，
④合并同类项得x=1，
经检验，x=1是原方程的解．
故①，③根据等式的基本性质，
故选A
【点睛】本题考查了解分式方程，等式的性质，掌握解分式方程的步骤是解题的关键．等式的性质1：等
式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等；等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为
0的数(或式子)，结果仍相等．
14．（2022·湖南·株洲市芦淞区教育教学研究指导中心模拟预测）已知等式3a=2b+5，则下列等式中不
一定成立的是（ ）
A．3a−5=2b B．3a+1=2b+6
2 5
C．3ac=2bc+5 D．a= b+
3 3
【答案】C
【分析】根据等式的性质分别判断．
【详解】解：∵3a=2b+5，
∴3a-5=2b，故A选项正确；
3a+1=2b+6，故B选项正确；
3ac=2bc+5c，故C选项错误，不成立；
2 5
a= b+ ，故D选项正确；
3 3
故选：C．
【点睛】此题考查了等式的性质：等式两边同时加上或减去同一个整式，等式仍然成立；等式两边同时乘
或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立．
2 1
15．（2022·全国·七年级课时练习）设a、b、c为互不相等的实数，且 a+ c=b，则下列结论正确的是
3 3
（ ）
A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．a-b= 2（b-c） D．3(a−b)=a−c
【答案】D
【分析】利用等式的性质把已知的等式变形即可求解．2 1
【详解】∵ a+ c=b，
3 3
∴3b=2a+c，
在等式的两边同时减去3a，得，3(b−a)=c−a，
在等式的两边同时乘-1，得，3(a−b)=a−c．
故选：D．
【点睛】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键．
【考点4 解一元一次方程】
16．（2022·浙江温州·二模）若代数式2(x+1)+3(x+2)的值为8，则代数式2(x−2)+3(x−1)的值为
（ ）
A．0 B．11 C．−7 D．−15
【答案】C
【分析】由2(x+1)+3(x+2)的值为8，求得x=0，再将x=0代入计算可得．
【详解】解：∵2(x+1)+3(x+2)的值为8，
∴2x+2+3x+6=8，
∴x=0，
当x=0时，2(x−2)+3(x−1)=2×(-2)+3×(-1)=-7．
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，代数式的求值，掌握解一元一次方程的解法是解题的关键．
17．（2022·湖北·随州市曾都区教学研究室一模）我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别叫做
“平行四边形数”和“正三角形数”．设第n个“平行四边形数”和“正三角形数”分别为a和b．若
a=42，则b的值为（ ）
A．190 B．210 C．231 D．253
【答案】C
【分析】由图中规律可知a=2n+2，b=1+2+3+……n+1，求出n的值即可求解
【详解】解：由图可知：a＝2n+2，b=1+2+3+……n+1，
∵a=42，∴2n+2=42，
∴n＝20，
∴b=1+2+3+……20+1，
21
∴b＝（1+21）× =231，
2
故选：C．
【点睛】本题考查了图形的规律和一元一次方程的解法，解题的关键是根据图形的特点找到规律．
18．（2022·河北保定·二模）已知两个整式A=x2+x，B=■x+1，其中系数■被污染．
(1)若■是2，化简A－B；
(2)若x=1时，A－B的值为2．说明原题中■是几？
【答案】(1)x2−x−1
(2)－1
【分析】（1）先将污染的系数代入2，再去括号、合并同类项即可；
（2）设所求系数为m，先计算出A－B，再将x=1代入，得到关于m的方程，求解即可．
(1)
解：由题意知，A－B=x2+x−(2x+1)
=x2+x−2x−1
=x2−x−1
(2)
解：设所求系数为m，
A－B=x2+x−(mx+1)
=x2+x−mx−1，
当x=1时，A－B=2，
∴12+1−m×1−1=2，
解得：m=－1，
即原题中■是－1．
【点睛】本题考查了整式的加减，解一元一次方程的解法，属于基础题型．解题关键是掌握解题顺序，注
意事项为：括号前为负号时，去括号后括号内的项要变号．
2x−1 2x+1
19．（2022·天津红桥·中考模拟）解方程： − =−1．
3 63
【答案】x=−
2
【详解】去分母得：2(2x−1)−(2x+1)=−6
去括号得：4x−2−2x−1=−6
移项、合并同类项得： 2x=−3
3
系数化为1得：x=−
2
【点睛】本题考查了解含有分母的一元一次方程，注意去分母时方程两边都要乘最小公倍数，还有当分子
是多项式时，去掉分母后，分子要放到括号里．
x x−1
20．（2022·浙江衢州·一模）对于方程 − =1，某同学解法如下：
3 2
解：方程两边同乘6，得2x－3（x－1）＝1①
去括号，得2x－3x－3＝1②
合并同类项，得－x－3＝1③
移项，得－x＝4④
∴x＝－4⑤
（1）上述解答过程从第 步开始出现错误；
（2）请写出正确的解答过程．
【答案】（1）①；（2）x=−3，过程见解析．
【分析】（1）第①步在去分母的时候，两边同乘以6，但是方程右边没有乘，另外在去括号时没有注意到
符号的变化，所以出现错误；
（2）注意改正错误，按以上步骤进行即可．
【详解】解：（1）方程两边同乘6，得2x−3(x−1)=6①
∴从第①步开始已经出现错误，
故答案是①；
x x−1
（2）解： − =1
3 2
方程两边同乘6，得2x−3(x−1)=6
去括号，得2x−3x+3=6，
合并同类项，得−x+3=6，
移项，合并计算得−x=3
解得x=−3．【点睛】本题考查的是解一元一次方程，注意去分母与去括号中常见错误，熟悉相关解法是解题的关键．
【考点5 含绝对值符号的一元一次方程】
21．（2022·山西·大同市云州区初级示范中学校二模）若|x|＋|x﹣4|＝8，则x的值为（ ）
A．﹣2 B．6 C．﹣2或6 D．以上都不对
【答案】C
【分析】根据x的取值范围x≤0、0＜x≤4、x＞4三种情况进行讨论，根据绝对值的意义进行化简即可．
【详解】解：当x≤0时，由|x|＋|x﹣4|＝8可得：-x+4-x=8，解得：x=-2；
当0＜x≤4时，由|x|＋|x﹣4|＝8可得：x+4-x=8，解得：x无解；
当x＞4时，由|x|＋|x﹣4|＝8可得：x+x-4=8，解得：x=6；
所以x=-2或6，
故选：C
【点睛】本题考查绝对值及解方程，理解绝对值的意义是正确解答的前提，根据绝对值的意义进行化简是
解决问题的关键．
5x−1 7 x−1
22．（2022·湖南张家界·二模）如果关于x的方程 = 与 =2|m|−x的解相同，那么m的值是（
6 3 2
）
A．1 B．±1 C．2 D．±2
【答案】D
【分析】解出第一个方程的解，代入第二个方程，求出m的值即可．
5x−1 7
【详解】解： = ，
6 3
去分母得5x-1=14，
移项、合并同类项得5x=15，
系数化为1得x=3，
x−1
把x=3代入 =2|m|−x得1=2|m|-3，
2
∴2|m|=4，
∴|m|=2，
∴m=±2，
故选：D．
【点睛】本题考查了同解方程，绝对值，把第一个方程的解代入第二个方程是解题的关键．
23．（2022·新疆·伊宁市教育教学研究室一模）【我阅读】解方程：|x+5|=2．
解：当x+5≥0时，原方程可化为：x+5=2，解得x=−3；
当x+5<0时，原方程可化为：x+5=−2，解得x=−7．
所以原方程的解是x=−3或x=−7．
【我会解】
解方程：|3x−2|−5=0
7
【答案】x= ，x=-1
3
【分析】根据题目中的方法，分两种情况讨论：当3x-2≥0时；当3x-2<0时；化为一元一次方程，然后求解
即可得．
【详解】解:|3x-2|-5=0，
原方程可化为:|3x-2|=5
当3x-2≥0时，原方程可化为:3x-2=5，
移项，得3x=7
7
解得x= ；
3
当3x-2<0时，原方程可化为:3x-2=-5，
移项，得3x=-3，
解得x=-1
7
所以原方程的解是x= ，x=-1．
3
【点睛】题目主要考查绝对值化简及解一元一次方程，理解题目中的求解方法，准确计算是解题关键．
24．（2022·福建省厦门第六中学二模）先阅读下列解题过程，然后解答问题（1）、（2）
解方程：|x+3|=2．
解：当x+3≥0时，原方程可化为：x+3=2，解得x=−1；
当x+3<0时，原方程可化为：x+3=−2，解得x=−5．
所以原方程的解是x=−1，x=−5．
(1)解方程：|3x−2|−4=0；
(2)探究：当b为何值时，方程|x−2|=b+1①无解；②只有一个解；③有两个解．
2
【答案】(1)x=2或x=− ．
3
(2)①b＜-1；②b=-1；③b＞-1【分析】（1）利用绝对值的意义得到3x﹣2＝4或3x﹣2＝﹣4，然后分别解两个一次方程；
（2）利用绝对值的意义讨论：当b+1＜0或b+1＝0或b+1＞0时确定方程的解的个数，
（1）
解：|3x−2|−4=0，
当3x−2≥0时，原方程可化为：3x−2=4，解得x=2；
2
当3x−2<0时，原方程可化为：3x−2=−4，解得x=− ；
3
2
所以原方程的解是x=2或x=− ．
3
（2）
解：∵|x﹣2|≥0，
∴当b+1＜0，即b＜﹣1时，方程无解；
当b+1＝0，即b＝﹣1时，方程只有一个解；
当b+1＞0，即b＞﹣1时，方程有两个解．
【点睛】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程：解含绝对值符号的一元一次方程要根据绝对值的性质
和绝对值符号内代数式的值分情况讨论，即去掉绝对值符号得到一般形式的一元一次方程，再求解．
25．（2022·广西河池·模拟预测）[现场学习]
定义：我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做“含有绝对值的方程”．
x−1
如：|x|＝2，|2x﹣1|＝3，| |﹣x＝2，…都是含有绝对值的方程．
2
怎样求含有绝对值的方程的解呢？基本思路是：含有绝对值的方程→不含有绝对值的方程．
我们知道，根据绝对值的意义，由|x|＝2，可得x＝2或x＝﹣2．
[例]解方程：|2x﹣1|＝3．
我们只要把2x﹣1看成一个整体就可以根据绝对值的意义进一步解决问题．
解：根据绝对值的意义，得2x﹣1＝3或2x﹣1＝-3．
解这两个一元一次方程，得x＝2或x＝﹣1；
经检验可知，原方程的解是x＝2或x＝﹣1．
[解决问题]
x−1
解方程：| |﹣x＝2．
2
解：根据绝对值的意义，得x−1 x−1
＝ 或 ＝ ，
2 2
解这两个一元一次方程，得x＝ 或x＝ ，
经检验可知，原方程的解是 ．
[学以致用]
解方程：|2x+1|＝|5x﹣6|．
7 5
【答案】[解决问题]：2+x，﹣2﹣x，﹣5，﹣1，x＝﹣5或x＝﹣1，[学以致用]：x= 或x=
3 7
【分析】[解决问题]根据题目中的例子及绝对值的意义求解即可得；
[学以致用]考虑两个绝对值相等，则这两个数或（代数式）相等或互为相反数，求解即可得．
|x−1|
【详解】[解决问题]： −x=2，
2
|x−1|
=2+x，
2
根据绝对值的意义，得：
x−1 x−1
=2+x或 =−2−x，
2 2
解这两个一元一次方程，得x=−5或x=−1，
经检验可知，原方程的解为x=−5或x=−1，
故答案为：2+x；−2−x；−5；−1；x=−5或x=−1；
[学以致用] |2x+1|=|5x−6|，
2x+1=5x−6或2x+1=−5x+6，
7 5
解这两个一元一次方程，得：x= 或x= ，
3 7
7 5
经检验可知，原方程的解为x= 或x= ．
3 7
【点睛】题目主要考查绝对值的意义及解一元一次方程，理解题目中的例题，结合绝对值的意义是解题关
键．
【考点6 解二元一次方程（组）】
mx−ny
26．（2022·湖南·长沙市雨花区教育科学研究所一模）定义F（x，y）= （其中m，n均为非零常
2x+ y
m×0−n×1
数），如F（0，1）= =−n．
2×0+1(1)若F（-1，1）=7，F（2，4）=1，
①求m，n的值；
②若关于x的不等式组¿恰好有2个整数解，求实数p的取值范围；
(2)若F（x，y）= F（y，x）在F（x，y）与 F（y，x）都有意义的前提下，对任意实数x，y都成立，则
m，n应满足什么条件？
11
【答案】(1)①m=6，n=1；②- ≤p＜-1
3
(2)m+2n=0
【分析】（1）①由题意将F（-1，1）=7，F（2，4）=1代入得出二元一次方程组，然后求解即可；
②根据题意列出不等式组求解，然后由整数解的个数得出不等式求解即可；
（2）根据题意F（x，y）=F（y，x）得出等式，然后化简即可得出结果．
(1)
解：①由题意将F（-1，1）=7，F（2，4）=1代入可得：
¿，
整理得：¿，
解得¿；
6x−y
②由①得F（x，y）= ，
2x+ y
∴由¿
¿，
3p+3 5
解得 ＜x≤ ，
8 4
恰好有2个整数解，
∵ 3p+3
-1≤ ＜0，
8
∴
11
解得- ≤p＜-1．
3
(2)
解：由F（x，y）=F（y，x）可得
mx−ny my−nx
=
2x+ y 2y+x
整理得（m+2n）（x2-y2）=0恒成立，∴m+2n=0．
【点睛】题目主要考查二元一次方程组的应用及不等式组的应用，分式的化简等，理解题目中新定义的运
算是解题关键．
27．（2022·广东·广州市第一二三中学模拟预测）阅读材料：善于思考的小军在解方程组¿时，采用了一种
“整体代入”的解法：
解：由①得x﹣y＝1③
将③代入②得：4×1﹣y＝5，即y＝﹣1
把y＝﹣1代入③得x＝0，
x=0
∴方程组的解为 {
y=−1
2x−3 y=2
请你模仿小军的“整体代入”法解方程组，解方程{2x−3 y+5 ．
+2y=9
7
【答案】¿
【分析】按照阅读材料提供的“整体代入”法把方程将①代入方程②，得到1+2y＝9，解得y＝4，再将y
＝4代入①得：x＝7，得到原方程组的解为：¿．
2x−3 y=2①
【详解】解：{2x−3 y+5 ，
+2y=9②
7
将①代入②得：1+2y＝9，即y＝4，
将y＝4代入①得：x＝7，
∴原方程组的解为：¿．
【点睛】本题主要考查了特殊法解二元一次方程组，解决问题的关键是熟练掌握“整体代入”法，将一个
代数式作为一个整体代入另一个方程．
28．（2022·河北唐山·二模）解方程组：¿．
小海同学的解题过程如下：
解：由②，得y=5+x③……（1）
把③代入①，得：3x−2x+5=6……（2）
解得：x=−1……（3）
把x=−1代入③，得y=4……（4）
∴此方程组的解为¿……（5）
判断小海同学的解题过程是否正确，若不正确，请指出错误的步骤序号，并给出正确的解题过程．【答案】不正确，错误的步骤是（1），（2），（3），正确结果为¿
【分析】第（1）步，移项没有变号，第（2）步没有用乘法分配律，去括号也错误了，第（3）步移项后
计算错误，写出正确的解答过程即可．
【详解】解：错误的是（1），（2），（3），
正确的解答过程：
由②得：y＝5﹣x③
把③代入①得：3x﹣10+2x＝6，
16
解得：x= ，
5
16 9
把x= 代入③得：y= ，
5 5
∴此方程组的解为¿．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，解二元一次方程组的基本思路是消元，把二元方程转化为一
元方程是解题的关键．
29．（2022·浙江杭州·模拟预测）对于未知数为x，y的二元一次方程组，如果方程组的解x，y满足
|x−y|=1，我们就说方程组的解x与y具有“邻好关系”．
（1）方程组¿的解x与y是否具有“邻好关系”?说明你的理由：
（2）若方程组¿的解x与y具有“邻好关系”，求m的值：
（3）未知数为x，y的方程组¿，其中a与x、y都是正整数，该方程组的解x与y是否具有“邻好关系”?如
果具有，请求出a的值及方程组的解：如果不具有，请说明理由．
【答案】（1）x，y具有“邻好关系”，见解析；（2）m=1或m=2；（3）具有，a=1，方程组的解为¿
【分析】（1）表示出方程组的解，利用题中的新定义判断即可；
（2）表示出方程组的解，由题中的新定义求出m的值即可；
（3）方程组两方程相加消元x，表示出y，根据a，x，y都为正整数，利用题中的新定义确定出a与方程
组的解即可．
【详解】（1）方程组¿
由②得：x−y=1，即满足|x−y|=1．
∴方程组的解x，y具有“邻好关系”；
（2）方程组¿
①-②得：2x−2y=6−4m，即x−y=3−2m．
∵方程组的解x，y具有“邻好关系”，
∴|x−y|=1，即3−2m=±1∴m=1或m=2：
（3）方程两式相加得：(2+a)y=12，
∵a，x，y均为正整数，
∴¿，¿，¿（舍去），¿（舍去），
在上面符合题宜的两组解中，只有a=1时，|x−y|=1．
∴a=1，方程组的解为¿
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
30．（2022·广东汕头·一模）甲、乙两人同解方程组¿，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为¿乙
看错了方程②中的b，得到方程组的解为¿
（1）求a，b的值；
（2）若关于x的一元二次方程ax2−bx+m=0两实数根为x ，x ，且满足7x −2x =7，求实数m的值．
1 2 1 2
【答案】（1）¿；（2）m=−5
【分析】（1）将¿代入方程②求出b的值，将¿代入方程①求得a的值，即可得出答案，
（2）再将a，b的值代入ax2−bx+m=0中，再利用根与系数的关系得到方程组，解出两个根，即可得出
m的值．
【详解】解：（1）根据题意得¿解得¿
（2）当¿时，一元二次方程ax2−bx+m=0化为7x2+2x+m=0，
2 m
由根与系数关系得x +x =− ，x ×x =
1 2 7 1 2 7
联成方程组得¿，解得¿
∴m=−5
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解和解二元一次方程组，一元二次方程以
及根与系数的关系，正确理解题意是解题的关键．
【考点7 同解方程（组）】
3a−x
31．（2022·浙江·模拟预测）若方程3x+13=4和方程1− =0的解相同，则a的值为（ ）
6
A．−3 B．−1 C．1 D．3
【答案】C
3a−x
【分析】先解3x+13=4，求出x的值，代入1− =0，然后解关于a的方程即可．
6
【详解】解：3x+13=4，
移项、合并同类项得3x=-9，
系数化为1，得
x=-3，
3a−x
把x=-3代入1− =0得，
6
3a+3
1− =0，
6
去分母，得
6-3a-3=0，
移项，得
-3a=3-6，
合并同类项，得
-3a=-3，
系数化为1，得
a=1，
故选C．
【点睛】本题考查了一元一次方程解的定义及一元一次方程的解法，能使一元一次方程左右两边相等的未
知数的值叫做一元一次方程的解；解一元一次方程的基本步骤为：①去分母；②去括号；③移项；④合并
同类项；⑤未知数的系数化为1．
3x−2 x
32．（2022·北京八十中模拟预测）关于x的方程3x=2x+a的解与 = 的解相同，则a的值为
4 2
（ ）
A．−2 B．2 C．−1 D．1
【答案】B
【分析】先求出第一个方程的解，再根据解的定义，把第一个方程的解代入第二个方程，得到关于a的方
程，即可求解．
【详解】由3x=2x+a，解得：x=a，
3x−2 x
∵关于x的方程3x=2x+a的解与 = 的解相同，
4 2
3x−2 x 3a−2 a
∴把x=a代入 = 得： = ，
4 2 4 2
∴a-2=0，解得：a=2．故选B．
【点睛】本题主要考查解一元一次方程以及解的定义，掌握移项，去分母以及解的定义，是解题的关键．
33．（2022·河北·模拟预测）若方程组¿的解是¿，则方程组¿的解是（ ）
A．¿ B．¿ C．¿ D．¿
【答案】C
【分析】根据已知方程组结构可知x+2=a=8.3，y−1=b=1.2，求出x和y的值，即可得出答案；
【详解】解：得依题意得：x+2=8.3，y−1=1.2，
解得：x=6.3，y=2.2，
故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解和换元法．掌握整体思想是解题关键．
34．（2022·四川成都·中考模拟）数学学霸甲、乙两人在一次解方程组比赛中，甲求关于x、y的方程组¿
1 2018
的正确解与乙求关于x、y的方程组¿的正确的解相同．则a2018+(− b) 的值为_____.
10
【答案】2
【分析】重新组合方程组，首先得到关于x，y的方程组，求得x，y的值后，得到关于a、b的方程组，解
1
这个方程组得到a、b的值，最后求出a20018+（- b）20018的值．
10
【详解】由题意可得，这两个方程组的解相同，则
¿，
解得：¿，
把¿代入¿得：¿；
1
∴原式=120018+(− ×10)20018=1+1=2．
10
故答案为2
【点睛】本题要求同学们熟悉二元一次方程组的解法，解题时要根据方程组的特点进行有针对性的计算．
35．（2022·广东·二模）解关于x、y的方程组时，小明发现方程组¿的解和方程组¿的解相同．
(1)求方程组的解；
(2)求关于t的方程（at﹣b）2+2（at﹣b）﹣3＝0的解．
【答案】(1)¿
2 2
(2)t＝ 或
3 9【分析】（1 ）根据二元一次方程组的解相同，可得新方程组，根据解方程组，可得x、y的值；
（2 ）根据方程组的解满足方程，把方程组的解代入，可得关于a、b的二元一次方程组，根据解方程组，
可得a、b的值；然后利用换元法解该方程．
(1)
由方程组¿的解和方程组¿的解相同知，
¿．
由①×3+②，得5x＝15．则x＝3．
将x＝3代入①，得3﹣y＝8，则y＝﹣5．
∴方程组的解为：¿；
(2)
把¿分别代入ax+by＝2和5x+2y＝b可得方程组¿，
解得：¿，
设at﹣b＝n，则方程（at﹣b）2+2（at﹣b）﹣3＝0可变为n2+2n﹣3＝0，
∴（n+3）（n﹣1）＝0，
∴n＝﹣3或1，
∴at﹣b＝﹣3或1，
把¿代入得：9t﹣5＝﹣3或1，
2 2
解得：t＝ 或 ；
3 9
【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元二次方程的解法，理解方程组解相同的含义是解决问题的关键．
【考点8 解三元一次方程组】
36．（2022·广东·佛山市南海外国语学校三模）在求代数式的值时，可以用整体求值的方法，化难为易．
例：已知¿，求x+ y+z的值．
解：①×2得：6x+4 y+2z=8③
②−③得：x+ y+z=2
∴x+ y+z的值为2．
(1)已知¿，求3x+4 y+5z的值；
(2)马上期中了，班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，购买40本笔记本、
20支签字笔、4支记号笔需要488元．通过还价，班委购买了80本笔记本、40支签字笔、8支记号笔，只
花了732元，请问比原价购买节省了多少钱？
【答案】(1)18(2)节省了244元
【分析】（1）方程组两方程左右两边相加，即可求出原式的值；
（2）设笔记本、签字笔、记号笔的价格分别为x元，y元，z元，根据题意列出方程，求出按照原价80本
笔记本、40支签字笔、8支记号笔花费总数，即可求出节省的钱数．
【详解】（1）解：（1）¿，
①+②得：6x+8 y+10z=36，
则3x+4 y+5z=18；
（2）设笔记本、签字笔、记号笔的价格分别为x元，y元，z元，
根据题意得：40x+20 y+4z=488，
∴80x+40 y+8z=488×2=976，
976−732=244（元），
则比原价购买节省了244元．
【点睛】此题考查了三元一次方程组的应用以及解三元一次方程组，代数式求值，弄清题意是解本题的关
键，寻找代数式之间的倍数关系是解本题的关键．
37．（2022·河北邢台·模拟预测）已知多项式ax2−bx+c，当x=1时，它的值是0，当x=−2时，它的值是
1，试求a+b的值．
1
【答案】
3
【分析】把x=1与x=−2代入，分别使其值为0和1，列出两个关系式，相减即可求出a+b的值．
【详解】解∶由题意得¿，
②−①，得3a+3b=1，
1
∴a+b= ．
3
【点睛】本题考查了代数式求值，以及解三元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
a
38．（2022·广西百色·二模）已知有理数a，b，c满足(a+2c−2) 2+∣4b−3c−4∣+| −4b−1|=0，
2
试求a3n+1b3n+2−c4n+2的值．
3
【答案】−
4
【分析】根据非负数的性质求出a，b，c的值，然后代入计算即可．
【详解】解：由题得：¿，解得：¿，
所以a3n+1b3n+2−c4n+2
=43n+1×
(1) 3n+2
−(−1) 4n+2
4
( 1) 3n+1 1
= 4× × −1
4 4
3
=− ．
4
【点睛】本题考查了非负数的性质，解三元一次方程，积的乘方法则的逆用等知识，利用代入法或加减法
把解三元一次方程组的问题转化为解二元一次方程组的问题是解题的关键．
39．（2022·河北保定·一模）已知实数a、b、c满足2a+13b+3c＝90，3a+9b+c＝72，
3b+c
(1)求 的值．
a+2b
(2)是否存在整数b使得a、c为正数，若存在，请求出最大整数b，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)1
(2)存在，最大整数b为8．
【分析】（1）根据已知变形后求出a+2b＝18，3b+c＝18，代入可得结论；
（2）首先求出¿，然后根据a、c为正数得出不等式组，解不等式组可得答案．
（1）
解：¿，
②×3﹣①得：9a+27b+3c﹣2a﹣13b﹣3c＝216﹣90，
整理得：7a+14b＝126，
∴a+2b＝18，
①×3﹣②×2得：6a+39b+9c﹣6a﹣18b﹣2c＝270－144，
整理得：21b＋7c＝126，
∴3b+c＝18，
3b+c 18
∴ = =1；
a+2b 18
（2）
存在，最大整数b为8，理由：由（1）得¿，
∵a>0，c>0，
∴¿，
解得：−6
