文档内容
专题 05 一次方程（组）及其应用（12 个高频考点）（举一反三）
【考点1 方程的相关概念】...................................................................................................................................1
【考点2 方程的解】...............................................................................................................................................3
【考点3 等式的性质】...........................................................................................................................................5
【考点4 解一元一次方程】...................................................................................................................................7
【考点5 含绝对值符号的一元一次方程】...........................................................................................................9
【考点6 解二元一次方程（组）】.....................................................................................................................12
【考点7 同解方程（组）】.................................................................................................................................14
【考点8 解三元一次方程组】.............................................................................................................................17
【考点9 由实际问题抽象出一次方程】.............................................................................................................19
【考点10 一元一次方程的应用】.........................................................................................................................21
【考点11 二元一次方程（组）的应用】..............................................................................................................24
【考点12 三元一次方程组的应用】.....................................................................................................................27
【要点1 方程的相关概念】
1.含有未知数的等式叫做方程。
2.只含有一个未知数(元)，未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程。使方程中等
号左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
3.含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1的方程叫做二元一次方程。使二元一次方程两边的
值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。
4.方程组中有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是 1，并且一共有两个方程，这样的方程组叫做
二元一次方程组。二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。
【考点1 方程的相关概念】
【例1】（2022·云南曲靖·一模）若方程x2a−b−3 ya+b=2是关于x、y的二元一次方程，则ab的值为
（ ）
2 3
A． B．2 C． D．1
9 2
【答案】A【分析】根据二元一次方程的定义得出关于a、b的二元一次方程组，解出a、b的值即可求出ab的值．
【详解】解：∵方程x2a−b−3 ya+b=2是关于x、y的二元一次方程
∴¿
解得：¿
2 1 2
∴ab= × =
3 3 9
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的定义和解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组是解答本
题的关键．
【变式1-1】（2022·浙江杭州·模拟预测）下列方程组是二元一次方程组的是（ ）
A．¿ B．¿ C．¿ D．¿
【答案】A
【分析】根据二元一次方程组的定义求解即可．由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二
元一次方程组，即可求解．
【详解】解：A、是二元一次方程组，故本选项符合题意；
B、有一个方程不是整式方程，则原方程不是二元一次方程组，故本选项符合题意；
C、有一个方程的未知数的次数是2，则原方程不是二元一次方程组，故本选项符合题意；
D、有一个方程的未知数的次数是2，则原方程不是二元一次方程组，故本选项符合题意；
故答案为：A
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的定义，紧扣二元一次方程组的定义“由两个二元一次方程组成的
方程组”是解题的关键．
【变式1-2】（2022·上海杨浦·二模）下列方程中，二元一次方程的是（ ）
1
A．xy=1 B．x2−1=0 C．x−y=1 D．x+ =1
y
【答案】C
【分析】根据二元一次方程的定义可得答案．
【详解】解：A．含有2个未知数，未知数的项的最高次数是2的整式方程，不属于二元一次方程，不符合
题意；
B．含有1个未知数，未知数的项的最高次数是2的整式方程，不属于二元一次方程，不符合题意；
C．含有2个未知数，未知数的项的最高次数是1的整式方程，属于二元一次方程，符合题意；
D．是分式方程，不属于二元一次方程，不符合题意．
故选：C．【点睛】此题主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，
未知数的项的次数是1的整式方程．
【变式1-3】（2022·贵州·一模）已知关于x的方程(k2−4)x2+(k−2)x=k+6是一元一次方程，则方程的
解为（ ）
A．-2 B．2 C．-6 D．-1
【答案】D
【分析】利用一元一次方程的定义确定出k的值，进而求出k的值即可．
【详解】解：∵方程(k2−4)x2+(k−2)x=k+6是关于x的一元一次方程，
∴¿ ，
解得：k=-2，方程为-4x=-2+6，
解得：x=-1，
故选：D．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，以及一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解本题
的关键．
【考点2 方程的解】
【例2】（2022·山东聊城·中考真题）关于x，y的方程组¿的解中x与y的和不小于5，则k的取值范围为
（ ）
A．k≥8 B．k>8 C．k≤8 D．k<8
【答案】A
【分析】由两式相减，得到x+ y=k−3，再根据x 与 y 的和不小于5列出不等式即可求解．
【详解】解：把两个方程相减，可得x+ y=k−3，
根据题意得：k−3≥5，
解得：k≥8．
所以k的取值范围是k≥8．
故选：A．
【点睛】本题考查二元一次方程组、不等式，将两式相减得到x与y的和是解题的关键．
【变式2-1】（2022·广西·中考真题）方程3x＝2x＋7的解是（ ）
A．x＝4 B．x＝﹣4 C．x＝7 D．x＝﹣7
【答案】C【分析】先移项再合并同类项即可得结果；
【详解】解：3x＝2x＋7
移项得，3x-2x=7；
合并同类项得，x＝7；
故选：C．
【点睛】本题主要考查解一元一次方程，掌握一元一次方程的求解步骤是解题的关键．
【变式2-2】（2022·广西·中考真题）阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知3a−b=2，求
代数式6a−2b−1的值．”可以这样解：6a−2b−1=2(3a−b)−1=2×2−1=3．根据阅读材料，解决
问题：若x=2是关于x的一元一次方程ax+b=3的解，则代数式4a2+4ab+b2+4a+2b−1的值是
________．
【答案】14
【分析】先根据x=2是关于x的一元一次方程ax+b=3的解，得到2a+b=3，再把所求的代数式变形为
(2a+b) 2+2(2a+b)−1，把2a+b=3整体代入即可求值．
【详解】解：∵x=2是关于x的一元一次方程ax+b=3的解，
∴2a+b=3，
∴4a2+4ab+b2+4a+2b−1
=(2a+b) 2+2(2a+b)−1
=32+2×3−1
=14．
故答案为：14．
【点睛】本题考查了代数式的整体代入求值及一元一次方程解的定义，把所求的代数式利用完全平方公式
变形是解题的关键．
x=a x+ y=2
【变式2-3】（2022·浙江·宁波外国语学校一模）若{ 是二元一次方程组{ 的解，则一次函数
y=b x−y=4
y=ax+b的图象不经过第________象限．
【答案】二
【分析】将x=a，y=b代入二元一次方程组求出a、b的值，再把a、b的值代入y=ax+b，得到一次函数解
析式，根据a、b的符号判定一次函数图象不经过的象限．
x=a x+ y=2
【详解】∵{ 是二元一次方程{ 的解，
y=b x−y=4a+b=2 a=3
∴{ ，解得，{ ，
a−b=4 b=−1
∴y=3x-1，
∴一次函数y=ax+b的图象经过第一，三，四象限，
∴一次函数y=ax+b的图象不经过第二象限．
故答案为：二．
【点睛】本题主要考查了方程组的解，解方程组，一次函数，解决问题的关键是熟练掌握方程组解的定义
和性质，解方程组的一般方法，一次函数的性质．
【要点2 等式的性质】
性质1：若a=b，则a±c=b±c。等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等。
a b
性质2：若a=b，则ac=bc； = (c≠0)。等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。
c c
【考点3 等式的性质】
【例3】（2022·青海·中考真题）下列说法中，正确的是（ ）
A．若ac=bc，则a=b B．若a2=b2，则a=b
a b 1
C．若 = ，则a=b D．若− x=6，则x=2
c c 3
【答案】C
【分析】直接利用等式的基本性质以及结合绝对值的性质分析得出答案．
【详解】解：A、若ac=bc，当c≠0，则a=b，故此选项错误；
B、若a2=b2，则a=±b，故此选项错误；
a b
C、若 = ，则a=b，故此选项正确；
c c
1
D、若− x=6，则x=−18，故此选项错误；
3
故选：C．
【点睛】本题主要考查了等式的基本性质，正确把握等式的基本性质是解题关键．
【变式3-1】（2022·山东滨州·中考真题）在物理学中，导体中的电流Ⅰ跟导体两端的电压U，导体的电阻
U
R之间有以下关系：I= 去分母得IR=U，那么其变形的依据是（ ）
R
A．等式的性质1 B．等式的性质2 C．分式的基本性质 D．不等式的性质2
【答案】B【分析】根据等式的性质2可得答案．
U
【详解】解：I= 去分母得IR=U，其变形的依据是等式的性质2，
R
故选：B．
【点睛】本题考查了等式的性质2：等式的两边同时乘以或除以同一个不为零的数，等式仍然成立．
【变式3-2】（2022·四川·梓潼县教育研究室二模）有8个球编号是①至⑧，其中有6个球一样重，另外两
个都轻1克，为了找出这两个轻球，用天平称了三次：第一次①+②比③+④重，第二次⑤+⑥比⑦+⑧
轻，第三次①+③+⑤和②+④+⑧一样重．那么，两个轻球的编号是（ ）
A．③④ B．③⑥ C．③⑤ D．④⑤
【答案】D
【分析】根据第一次①+②比③+④重，可得③与④中至少有一个轻球，再由第二次⑤+⑥比⑦+⑧轻，
可得⑤与⑥至少有一个轻球，然后第三次①+③+⑤和②+④+⑧一样重，可得④是轻球，即可求解．
【详解】解：∵第一次①+②比③+④重，
∴③与④中至少有一个轻球，
∵第二次⑤+⑥比⑦+⑧轻，
∴⑤与⑥至少有一个轻球，
∵第三次①+③+⑤和②+④+⑧一样重，
∴④是轻球，
∴另一个轻球为⑤，
∴两个轻球的编号是④⑤．
故选：D
【点睛】本题考查的是推理与论证，灵活应用等式性质的性质是解题关键．
【变式3-3】（2022·福建·中考真题）推理是数学的基本思维方式、若推理过程不严谨，则推理结果可能产
生错误．
例如，有人声称可以证明“任意一个实数都等于0”，并证明如下：
设任意一个实数为x，令x=m，
等式两边都乘以x，得x2=mx．①
等式两边都减m2，得x2−m2=mx−m2．②
等式两边分别分解因式，得(x+m)(x−m)=m(x−m)．③
等式两边都除以x−m，得x+m=m．④
等式两边都减m，得x＝0.⑤所以任意一个实数都等于0.
以上推理过程中，开始出现错误的那一步对应的序号是______．
【答案】④
【分析】根据等式的性质2即可得到结论．
【详解】等式的性质2为：等式两边同乘或除以同一个不为0的整式，等式不变，
∴第④步等式两边都除以x−m，得x+m=m，前提必须为x−m≠0，因此错误；
故答案为：④．
【点睛】本题考查等式的性质，熟知等式的性质是解题的关键．
【要点3 解方程的一般步骤】
1.解一元一次方程的一般步骤
①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1。
2、解二元一次方程组的方法
①代入消元法；②加减消元法。
代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一
个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。这种方法叫做代入消元法，简称代入法。
加减消元法：当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别
相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程。这种方法叫做加减消元法，简称加减法。
【考点4 解一元一次方程】
x+1 x−2
【例4】（2022·贵州黔西·中考真题）小明解方程 −1= 的步骤如下：
2 3
解：方程两边同乘6，得3(x+1)−1=2(x−2)①
去括号，得3x+3−1=2x−2②
移项，得3x−2x=−2−3+1③
合并同类项，得x=−4④
以上解题步骤中，开始出错的一步是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】A
【分析】按照解一元一次方程的一般步骤进行检查，即可得出答案．
【详解】解：方程两边同乘6，得3(x+1)−6=2(x−2)①
∴开始出错的一步是①，
故选：A．【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤以及注意事项是解决问题的关
键．
【变式4-1】（2022·海南·中考真题）若代数式x+1的值为6，则x等于（ ）
A．5 B．−5 C．7 D．−7
【答案】A
【分析】根据代数式x+1的值为6列方程计算即可．
【详解】∵代数式x+1的值为6
∴x+1=6，解得x=5
故选：A
【点睛】此题考查了解一元一次方程，根据题意列方程是解本题的关键．
【变式4-2】（2022·云南昆明·二模）某校图书阅览室按如图所示的规律摆放桌椅（矩形表示桌子，圆点表
示椅子），八年级（3）班42人到这个阅览室参加读书活动恰好坐满，需要桌子_________张．
【答案】18
【分析】根据摆放规律得出桌子数与座位数的关系式，进而求解即可．
【详解】解：设桌子数为n，根据桌子摆放的规律，可得座位数为2n+6，
∵学生人数为42人，且刚好坐满，
∴2n+6=42，解得：n=18，
∴需要桌子18张，
故答案为：18．
【点睛】本题考查图形类规律探究、解一元一次方程，理解题意，找到摆放规律是解答的关键．
3x−1
【变式4-3】（2022·河北邯郸·三模）嘉淇在解关于x的一元一次方程 + #＝3时，发现正整数#被污
2
染了；
3x−1
(1)嘉淇猜#是2，请解一元一次方程 +2=3；
2(2)若老师告诉嘉淇这个方程的解是正整数，则被污染的正整数是多少？
【答案】(1)x=1
(2)2
3x−1
【分析】（1）由题意得方程 +2=3，按解一元一次方程的一般步骤求解即可；
2
3x−1 7−2m
（2）设被污染的正整数为m，得方程 +m=3，求解得x= ，再根据解是正整数求解即可．
2 3
（1）
3x−1
解： +2=3，
2
去分母，得3x−1+4=6；
移项，合并同类项，得3x=3；
系数化为1，得x=1．
（2）
解：设被污染的正整数为m，
3x−1
则有 +m=3，
2
7−2m
解之得，x= ，
3
7−2m
∵ 是正整数，且m为正整数，
3
∴m=2．
【点睛】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键．
【考点5 含绝对值符号的一元一次方程】
【例5】（2022·江苏扬州·一模）若|x|＋|x﹣4|＝8，则x的值为（ ）
A．﹣2 B．6 C．﹣2或6 D．以上都不对
【答案】C
【分析】根据x的取值范围x≤0、0＜x≤4、x＞4三种情况进行讨论，根据绝对值的意义进行化简即可．
【详解】解：当x≤0时，由|x|＋|x﹣4|＝8可得：-x+4-x=8，解得：x=-2；
当0＜x≤4时，由|x|＋|x﹣4|＝8可得：x+4-x=8，解得：x无解；
当x＞4时，由|x|＋|x﹣4|＝8可得：x+x-4=8，解得：x=6；
所以x=-2或6，故选：C
【点睛】本题考查绝对值及解方程，理解绝对值的意义是正确解答的前提，根据绝对值的意义进行化简是
解决问题的关键．
【变式5-1】（2022·重庆南开中学三模）若关于x的方程|x|=ax+1只有一个负根，则a的取值范围是_．
【答案】a⩾1
【分析】分别确定x为正，x为负时a的取值，然后即可确定a的范围．
【详解】解：当x>0时，方程是：x=ax+1
1
解得：x= ，根据题意得：1−a>0，
1−a
解得：a<1，此时有正根，
则a⩾1时有负根，
当x<0时，−x=ax+1，
1
解得：x=− ，根据题意1+a>0，
1+a
解得：a>−1，
综上所述；a⩾1时，方程|x|=ax+1只有一个负根．
故答案是：a⩾1．
【点睛】本题主要考查了绝对值方程的解法，正确去掉绝对值符号，是解题的关键．
【变式5-2】（2022·河北邢台·模拟预测）对关于x的方程|x−1|+|x+2|=a（1）
考虑如下说法：①当a取某些值时，方程（1）有两个整数解；
②对某个有理数a，方程（1）有唯一的整数解；
③当a不是整数时，方程（1）没有整数解；
④不论a为何值时，方程（1）至多有4个整数解．
其中正确的说法的序号是 __．
【答案】①③④
a+1
【分析】根据题意,当x⩽−2时；原式=1−x−x−2=a，即x=− ；当−20，
∴w随t的减小而减小．
∴当t＝4时，w最小＝50×4＋22500＝22700（元）．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，根据题意列出方程，
不等式与一次函数关系式是解题的关键．
【考点11 二元一次方程（组）的应用】
【例11】（2022·浙江衢州·中考真题）某班环保小组收集废旧电池，数据统计如下表．问1节5号电池和1
节7号电池的质量分别是多少？设1节5号电池的质量为x克，1节7号电池的质量为y克，列方程组，由
消元法可得x的值为（ ）
5号电池（节） 7号电池（节） 总质量（克）
第一天 2 2 72
第二天 3 2 96
A．12 B．16 C．24 D．26
【答案】C
【分析】根据表格建立二元一次方程组，用消元法即可得到答案．
【详解】解：设1节5号电池的质量为x克，1节7号电池的质量为y克，
根据表格得¿ ,
由②-①得x=24，
故选：C．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，根据题意建立方程组是解本题的关键．
【变式11-1】（2022·黑龙江·中考真题）国家“双减”政策实施后，某校开展了丰富多彩的社团活动．某
班同学报名参加书法和围棋两个社团，班长为参加社团的同学去商场购买毛笔和围棋（两种都购买）共花
费360元．其中毛笔每支15元，围棋每副20元，共有多少种购买方案？（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【分析】设设购买毛笔x支，围棋y副，根据总价=单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合
x，y均为正整数即可得出购买方案的数量．
【详解】解：设购买毛笔x支，围棋y副，根据题意得，
15x+20y=360，即3x+4y=72，3
∴y=18- x．
4
又∵x，y均为正整数，
∴¿或¿或¿或¿或¿，
∴班长有5种购买方案．
故选：A．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系“共花费360元”，列出二元一次方程是解题的
关键．
【变式11-2】（2022·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）端午节前夕，某食品加工厂准备将生产的粽子装入A、B
两种食品盒中，A种食品盒每盒装8个粽子，B种食品盒每盒装10个粽子，若现将200个粽子分别装入
A、B两种食品盒中（两种食品盒均要使用并且装满），则不同的分装方式有（ ）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
【答案】C
【分析】设使用A食品盒x个，使用B食品盒y个，根据题意列出方程，求解即可．
【详解】设使用A食品盒x个，使用B食品盒y个，
根据题意得，8x+10y=200，
∵x、y都为正整数，
∴解得¿，¿，¿，¿，
∴一共有4种分装方式；
故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程的实际问题，解题的关键是明确题意列出方程．
【变式11-3】（2022·内蒙古内蒙古·中考真题）某商店决定购进A、B两种北京冬奥会纪念品．若购进A种
纪念品10件，B种纪念品5件，需要1000元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品3件，需要550元．
(1)求购进A、B两种纪念品的单价；
(2)若该商店决定拿出1万元全部用来购进这两种纪念品，考虑市场需求，要求购进A种纪念品的数量不少
于B种纪念品数量的6倍，且购进B种纪念品数量不少于20件，那么该商店共有几种进货方案？
(3)若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第（2）问的各种进货方案
中，哪一种方案获利最大？求出最大利润．
【答案】(1)购进A、B两种纪念品的单价分别为50元、100元
(2)共有6种进货方案
(3)当购进A种纪念品160件B种纪念品20件时，可获得最大利润，最大利润是3800元【分析】（1）根据题意列出二元一次方程组进行求解即可；
（2）根据题意列出一元一次不等式组进行求解即可；
（3）设总利润为W元，求出W和x之间的函数关系式，利用一次函数的性质进行求解即可．
（1）
设A种纪念品单价为a元，B种纪念品单价为b元
根据题意，得¿ 解得¿
∴购进A、B两种纪念品的单价分别为50元、100元.
（2）
设该商店购进A种纪念品x个，购进B种纪念品y个
根据题意，得50x+100 y=10000
1
变形得y=100− x
2
由题意得：¿
由①得：x⩾150
由②得：x⩽160
∴150⩽x⩽160
∵x，y均为正整数
∴x可取的正整数值是150，152，154，156，158，160
与x相对应的y可取的正整数值是25，24，23，22，21，20
∴共有6种进货方案.
（3）
设总利润为W元
则W =20x+30 y=5x+3000
∵5>0
∴W随x的增大而增大
∴当x=160时，W有最大值：5×160+3000=3800（元）
∴当购进A种纪念品160件，B种纪念品20件时，可获得最大利润，最大利润是3800元．
【点睛】本题考查二元一次方程组、一元一次不等式组和一次函数的实际应用．根据题意正确的列出二元
一次方程组，一元一次不等式组，根据一次函数的性质进行求解，是解题的关键．【考点12 三元一次方程组的应用】
【例12】（2022·重庆市开州区德阳初级中学模拟预测）在刚刚结束的端午节中，商家为了实现销售额提
升拓展途径．某商家推出了三种礼盒进行售卖，某商家将甜味粽、肉馅粽、咸鸭蛋共22个，搭配为A，B，
C三种礼盒各一个，其中A盒中有2个甜味粽，3个肉馅粽，1个咸鸭蛋；B盒中甜味粽与咸鸭蛋的数量之和
等于肉馅粽的数量，甜味粽与咸鸭蛋的数量之比为3:2；C盒中有1个甜味粽，3个肉馅粽，2个咸鸭蛋．经
核算，A盒的成本为45元，B盒的成本为75元（每种礼盒的成本为该盒中甜味粽、肉馅粽、咸鸭蛋的成本
之和），则C盒的成本为______元．
【答案】45
【分析】根据题意确定B礼盒各种物品的数量，设出三种物品的价格列出方程组，进而可求C盒的成本．
【详解】解：∵甜味粽、肉馅粽、咸鸭蛋共22个；A盒中有2个甜味粽，3个肉馅粽，1个咸鸭蛋；C盒中
有1个甜味粽，3个肉馅粽，2个咸鸭蛋，
∴B盒中甜味粽、肉馅粽、咸鸭蛋共22−(2+3+1)−(1+3+2)=10（个），
∵B盒中甜味粽与咸鸭蛋的数量之和等于肉馅粽的数量，甜味粽与咸鸭蛋的数量之比为3:2，
1
∴B盒中有肉馅粽10× =5（个），
2
3
甜味粽有5× =3（个），
3+2
咸鸭蛋有10−5−3=2（个）；
设甜味粽、肉馅粽、咸鸭蛋的成本价分别为a元，b元，c元，则C盒的成本为(a+3b+2c)元，依题意得：
¿
3×②－4×①，得：
3(3a+5b+2c)−4(2a+3b+c)=3×75−4×45，
∴a+3b+2c=45，
∴C盒的成本为45元．
故答案为：45．
【点睛】本题考查三元一次方程组的应用，列代数式，求代数式的值，运用了整体代入的思想．解题关键
是根据题目信息求出B盒中甜味粽、肉馅粽、咸鸭蛋的数量从而列出代数式表示C盒的成本，并根据题意
列出方程组．
【变式12-1】（2022·北京平谷·二模）明明和丽丽去书店买书，若已知明明买了A、B两本书共花费100.5
元，丽丽买了A、C两本书共花费88.5元，则B书比C书贵___________元；若又知B、C两本书的总价钱
恰好等于A书的价钱，则A、B、C三本书的总价钱为___________．【答案】 12 126
【分析】设A、B、C书的单价分别是x、y、z元，根据题意可得三元一次方程组，解方程组即可求解．
【详解】设A、B、C书的单钱分别是x、y、z元，根据题意可得：
¿
∴y−z=12（元），
即B书比C书贵12元，
∵y+z=x，
∴¿
整理得：3x=189，
解得：x=63，
∴¿
解得：¿
∴A、B、C三本书的总价钱为x+ y+z=63+37.5+25.5=126（元），
故答案为：12；126．
【点睛】本题考查三元一次方程组的应用，解题的关键是设出未知数，正确解读题意，找出等量关系列出
方程组．
【变式12-2】（2022·重庆南开中学三模）端午节将至，某商店推出“情有独粽”“我最出粽”“年年高
粽”三种粽子，定价分别为7元/个、8元/个、9元/个；甲、乙、丙、丁四人分别去该商店采购了一些粽
子，买完后发现，“情有独粽”买的数量甲、乙相同，丙、丁也相同；“我最出粽”买的数量甲、丁相同，
乙、丙也相同；“年年高粽”买的数量甲、丙相同，乙、丁也相同，已知甲一共花了86元，乙一共花了
100元，丙一共花了97元，若每人买的每种粽子数量都不超过10个，则丁花了______元．
【答案】47
【分析】设甲乙购买“情有独粽”的数量比丙丁多x个，甲丁购买“我最出粽”的数量比乙丙多y个，甲
丙购买“年年高粽”的数量比乙丁多z个，根据题意列三元一次方程组并求解，即可得到答案．
【详解】根据题意，设甲乙购买“情有独粽”的数量比丙丁多x个，甲丁购买“我最出粽”的数量比乙丙
多y个，甲丙购买“年年高粽”的数量比乙丁多z个，
∴甲比乙多购买的粽子为：“我最出粽”y个+“年年高粽”z个，
乙比丙多购买的粽子为：“情有独粽”x个+“年年高粽”z个，
甲比丙多购买的粽子为：“情有独粽”x个+“我最出粽”y个，
∴¿
∵每个人购买的每种粽子均不超过10个，即¿∴8 y+9z=86−100的解为：y=5，z=−6或y=−4，z=2
7x+8 y=86−97的解为：x=3，y=−4或x=5，y=3
∴¿
∴丁花了：86−(7x+9z)=47元
故答案为：47．
【点睛】本题考查了三元一次方程组的知识，解题的关键是熟练掌握三元一次方程组的性质，从而完成求
解．
【变式12-3】（2022·重庆巴蜀中学三模）现有A、B、C三个容器装有不同浓度的三种盐水，其浓度之比
为1:2:3．若将A容器中的盐水取出20kg倒入B容器中，将C容器中的盐水取出10kg也倒入B容器中，再
将A容器中剩下的的盐水倒入C容器中，这时发现B容器和C容器中的盐水浓度一样．又若在原C容器盐
水中加入与原C容器相同浓度的盐水25kg后，其溶质正好是原A容器盐水取出5kg盐水后溶质的3倍．则
原A容器盐水质量的3倍与原C容器盐水质量之和比原B容器盐水质量的4倍多______kg．
【答案】102
【分析】由题意可设设A、B、C的浓度分别为k、2k和3k，A、B、C三个容器的质量分别为xkg、ykg和
溶质质量
zkg，根据题意，利用 =浓度，溶质质量=浓度×溶液质量列出两个等量关系，在利用等
溶液质量
量关系即可求得3x+z−4 y的值，即可求得答案．
【详解】解：由A、B、C三个容器三种盐水的浓度之比为1:2:3，设A、B、C的浓度分别为k、2k和3k，
A、B、C三个容器的质量分别为xkg、ykg和zkg，由题意得，
20⋅k+10⋅3k+ y⋅2k 3k⋅(z−10)+k⋅(x−20)
= ，
y+30 x+z−30
2y+50 x+3z−50
整理得 = ，
y+30 x+ y−30
交叉相乘得(2y+50)⋅(x+ y−30)=(y+30)⋅(x+3z−50)，
去括号得2xy+2yz−60 y+50x+50z−150=xy+3 yz−50 y+30x+90z−150，
整理得20x−10 y−40z+xy−yz=0①，
又3k⋅(z+25)=3k⋅(x−5)，即x−z=30②，
由①式和 ②式可得，
20x−10 y−40z+xy−yz
=20(x−z)−10 y−20z+ y(x−z)
=60−10 y−20z+30 y=20 y−20z+60
=20(y−z)+60=0，
得z−y=3，
则3x+z−4 y=3x−3z+3z+z−4 y=3(x−z)+4(z−y)=90+12=102，
故答案为：102．
【点睛】本题考查了方程的实际应用、已知式子的值求代数式的值问题，解题的关键根据
溶质质量
=浓度，溶质质量=浓度×溶液质量公式找出等量关系列出方程求解．
溶液质量
