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专题 05 一元二次方程
（时间：60分钟，满分100分）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．下列方程是一元二次方程的是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解： 、当 时，该方程不是一元二次方程，故本选项错误；
、由原方程得到 ，未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，故本选项错误；
、未知数最高次数是3，该方程不是一元二次方程，故本选项错误；
、符合一元二次方程的定义，故本选项正确；
故选： ．
2．将方程 化成 的形式，则 ， ， 的值分别为
A．5，4，1 B．5，4， C．5， ，1 D．5， ，
【答案】C
【解答】解： 可化为 ，它的二次项系数，一次项系数和常数项分别为 5， ，
1，
故选： ．
3．（2022·甘肃武威）用配方法解方程x2-2x=2时，配方后正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】方程左右两边都加上1，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．
【详解】解：x2-2x=2，x2-2x+1=2+1，即（x-1）2=3．故选：C．
4．（2022·山东临沂）方程 的根是（ ）A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】B
【分析】先把方程的左边分解因式化为 从而可得答案．
【详解】解： ，
或
解得：
故选B
5．（2022·重庆）学校连续三年组织学生参加义务植树，第一年共植树400棵，第三年共植树625棵．设
该校植树棵数的年平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】第一年共植树400棵，第二年植树400（1+x）棵，第三年植树400（1+x）²棵，再根据题意列出
方程即可．
【详解】第一年植树为400棵，第二年植树为400（1+x）棵，第三年400（1+x）²棵，根据题意列出方程：
．故选：B．
6．（2022·广西贵港）若 是一元二次方程 的一个根，则方程的另一个根及m的值分别
是（ ）
A．0， B．0，0 C． ， D． ，0
【答案】B
【分析】直接把 代入方程，可求出m的值，再解方程，即可求出另一个根．
【详解】解：根据题意，
∵ 是一元二次方程 的一个根，
把 代入 ，则，
解得： ；
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴方程的另一个根是 ；
故选：B
7．（2022·山东泰安）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买
几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．
如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株楼后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买
多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设这批椽的数量为x株，则一株椽的价钱为3（x−1）文，利用总价＝单价×数量，即可得出关于x
的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：∵这批椽的数量为x株，每株椽的运费是3文，少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一
株椽的价钱，∴一株椽的价钱为3（x−1）文，依题意得：3（x−1）x＝6210，故选：A．
8．（2022·河南商丘·九年级阶段练习）如果关于x的一元二次方程 的一个解是 ，则代
数式 的值为（ ）
A．3 B． C．1 D．
【答案】B
【详解】解：∵关于x的一元二次方程 的一个解是 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
9．（2022·湖南常德）关于 的一元二次方程 无实数解，则 的取值范围是
（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据一元二次方程根的判别式小于0即可求解．
【详解】解：∵关于 的一元二次方程 无实数解，
∴ 解得： 故选：A．
10．（2022·湖北武汉）若关于x的一元二次方程 有两个实数根 ， ，且
，则 （ ）
A．2或6 B．2或8 C．2 D．6
【答案】A
【分析】根据一元二次方程有实数根先确定m的取值范围，再根据一元二次方程根与系数的关系得出
，把 变形为 ，再代入得方程
，求出m的值即可．
【详解】解:∵关于x的一元二次方程 有两个实数根,
∴ ,
∴
∵ 是方程 的两个实数根,
∵ ，
又
∴
把 代入整理得,解得, 故选A
二、填空题（每题4分，共24分）
11．（2022·广西梧州）一元二次方程 的根是_________．
【答案】 或
【分析】由两式相乘等于0，则这两个式子均有可能为0即可求解．
【详解】解：由题意可知： 或 ，
∴ 或 ，
故答案为： 或 ．
12．（2022·江苏扬州）请填写一个常数，使得关于 的方程 ____________ 有两个不相等的实
数根．
【答案】0（答案不唯一）
【分析】设这个常数为a，利用一元二次方程根的判别式求出a的取值范围即可得到答案．
【详解】解：设这个常数为a，∵要使原方程有两个不同的实数根，
∴ ，∴ ，∴满足题意的常数可以为0，
故答案为：0（答案不唯一）．
13．（2022·四川眉山·中考真题）设 ， 是方程 的两个实数根，则 的值为________．
【答案】10
【详解】解：根据题意，
∵ ， 是方程 的两个实数根，
∴ ， ，
∴ ；
故答案为：10．
14．（2022·北京工业大学附属中学九年级期中）若关于x的一元二次方程 有一个根为
0，则m的值为_____．
【答案】
【详解】解：∵关于x的一元二次方程 有一个根为0，
∴ 且 ，解得： ．
故答案为：
15．（2022·浙江杭州）某网络学习平台2019年的新注册用户数为100万，2021年的新注册用户数为169
万，设新注册用户数的年平均增长率为x（ ），则 _________（用百分数表示）．
【答案】30%
【分析】由题意：2019年的新注册用户数为100万，2021年的新注册用户数为169万，即可列出关于x的
一元二次方程，解方程即可．
【详解】解：设新注册用户数的年平均增长率为x（ ），则2020年新注册用户数为100（1+x）万，
2021年的新注册用户数为100（1+x）2万户，
依题意得100（1+x）2=169，
解得：x=0.3，x=-2.3（不合题意舍去），
1 2
∴x=0.3=30%，故答案为：30%．
16．（2022·安徽）若一元二次方程 有两个相等的实数根，则 ________．
【答案】2
【分析】由方程有两个相等的实数根可知，利用根的判别式等于0即可求m的值，
【详解】解：由题意可知： ， ， ，
∴ ，解得： ． 故答案为：2．
三、简答题（共46分）
16．（6分）解一元二次方程：
（1） ；
（2） ．
【解答】解：（1） ，
，
或 ，
所以 ， ；
（2）△ ，，
所以 ， ．
17．（8分）（2022·江苏盐城·九年级阶段练习）2022年在中国举办的冬奥会和残奥会令世界瞩目，冬奥
会和残奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融家喻户晓，成为热销商品．某网店以每套24元的价格购进一批冰墩墩
和雪容融套件．二月份以每套30元的价格销售了256套，三、四月该商品十分畅销，销售量持续走高，在
售价不变的基础上，四月份的销售量达到400套．
（1）求三、四这两个月销售量的月平均增长率；
（2）为回馈客户．该网店决定五月降价促销．经调查发现．在四月份销量的基础上，该商品每套降价1元，
销售量就增加40套，当该商品每套降价多少元时，五月份可获利1920元？
【答案】(1)25%
(2)2元
【详解】（1）设月销售量的月平均增长率为x，根据题意得： ，
解得： ， （不合题意，舍去），
答：月销售量的月平均增长率为25%；
（2）设每套降价 元，则每套利润为 元，销售量为 套．
根据题意得：
解得： ， （不合题意，舍去），
答：当该产品每套降价2元时，五月份可获利1920元．
18．（8分）（2022·浙江·仙居县白塔中学九年级阶段练习）暑假期间，某学校计划用彩色的地面砖铺设教
学楼门前一块矩形操场ABCD的地面．已知这个矩形操场地面的长为100m，宽为80m，图案设计如图所
示：操场的四角为小正方形，阴影部分为四个矩形，四个矩形的宽都为小正方形的边长，在实际铺设的过
程中，阴影部分铺红色地面砖，其余部分铺灰色地面砖．（1）如果操场上铺灰色地面砖的面积是铺红色地面砖面积的4倍，那么操场四角的每个小正方形边长是多
少米？
（2）在（1）的条件下，如果灰色地面砖的价格为每平方米30元，红色地面砖的价格为每平方米20元，
学校现有15万元资金，问这些资金是否能购买所需的全部地面砖？
【答案】(1)5米
(2)这些资金不能购买所需的全部地面砖
【详解】（1）解：设操场四角的每个小正方形边长是x米，则阴影部分的总长为
米，宽为x米，
依题意得：
整理得： ，
解得： ，
又∵
∴ ，
∴ ．
答：操场四角的每个小正方形边长是5米．
（2）
（元），
∵224000元 150000元，
∴这些资金不能购买所需的全部地面砖．
19．（8分）（2022·天津·河北工业大学附属红桥中学九年级期中）已知关于 的一元二次方程
（ 为常数）．
（1）若 是该方程的一个实数根，求 的值；
（2）当 时，求该方程的实数根；
（3）若该方程有两个不相等的实数根，求 的取值范围．【答案】(1)
(2) ，
(3)
【详解】（1）将 代入 ，得：
，
解得： ；
（2）当 时，原方程为 ．
解： ，
，
∴ 或 ，
∴ ， ；
（3）∵ ，
∴ ， ， ．
∵该方程有两个不相等的实数根，
∴ ，
解得： ．
20．（8分）（2022·湖北宜昌）某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再
生纸项目的生产规模不断扩大．该厂3，4月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量是3月份的2
倍少100吨．
（1）求4月份再生纸的产量；
（2）若4月份每吨再生纸的利润为1000元，5月份再生纸产量比上月增加 ．5月份每吨再生纸的利润
比上月增加 ，则5月份再生纸项目月利润达到66万元．求 的值；
（3）若4月份每吨再生纸的利润为1200元，4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量
比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了 ．求6月份每吨再生纸的利润是多
少元？
【答案】(1)4月份再生纸的产量为500吨(2) 的值20(3)6月份每吨再生纸的利润是1500元
【分析】（1）设3月份再生纸产量为 吨，则4月份的再生纸产量为 吨，然后根据该厂3，4月份共生产再生纸800吨，列出方程求解即可；
（2）根据总利润=每一吨再生纸的利润×数量列出方程求解即可；
（3）设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为 ，5月份再生纸的产量为 吨，根据总利润=每一吨再
生纸的利润×数量列出方程求解即可；
【解析】(1)解：设3月份再生纸产量为 吨，则4月份的再生纸产量为 吨，
由题意得： ，解得： ，∴ ，
答：4月份再生纸的产量为500吨；
(2)解：由题意得： ，
解得： 或 （不合题意，舍去）
∴ ，∴ 的值20；
(3)解：设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为 ，5月份再生纸的产量为 吨，
∴
答：6月份每吨再生纸的利润是1500元．
21．（8分）（2022·四川凉山）阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根为x，x，则x＋x＝ ，xx＝
1 2 1 2 1 2
材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n＋mn2的值．
解：∵一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，
∴m＋n＝1，mn＝－1，
则m2n＋mn2＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）材料理解：一元二次方程2x2－3x－1＝0的两个根为x，x，则x＋x＝ ；xx＝ ．
1 2 1 2 1 2
（2）类比应用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的两根分别为m、n，求 的值．
（3）思维拓展：已知实数s、t满足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求 的值．
【答案】(1) ； (2) (3) 或【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系直接进行计算即可；（2）根据根与系数的关系先求出
， ，然后将 进行变形求解即可；（3）根据根与系数的关系先求出 ，
，然后求出s-t的值，然后将 进行变形求解即可．
【解析】 (1)解：∵一元二次方程2x2-3x-1＝0的两个根为x，x，
1 2
∴ ， ．故答案为： ； ．
(2)∵一元二次方程2x2-3x-1＝0的两根分别为m、n，
∴ ， ，
∴
(3)∵实数s、t满足2s2-3s-1＝0，2t2-3t-1＝0，
∴s、t可以看作方程2x2-3x-1＝0的两个根，
∴ ， ，
∵
∴ 或 ，当 时， ，
当 时， ，综上分析可知， 的值为 或 ．
