文档内容
专题 07 五大最值问题模型
一、【知识回顾】
（1）将军饮马模型：
①一定两动
②一定两动
③两定两动
（2）费马点模型：（如图：求PA+PB+PC最小值，图3CD为所求最小值）
（3）阿氏圆模型：
（4）胡不归模型：（5）隐圆最值模型：
①四点共圆： ②动点到定点等定长：
③直角所对的是直径：
④定弦对定角：二、【考点类型】
考点1：将军饮马模型
典例1：（2022春·全国·九年级期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，弦AD平分∠BAC，过
点D作射线AC的垂线，垂足为M，点E为线段AB上的动点．
(1)求证：MD是⊙O的切线；
(2)若∠B＝30°，AB＝8，在点E运动过程中，EC+EM是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，
说明理由；
(3)若点E恰好运动到∠ACB的角平分线上，连接CE并延长，交⊙O于点F，交AD于点P，连接AF，CP
＝3，EF＝4，求AF的长．
【变式1】（2023春·八年级课时练习）如图，在等边 中， 于 ， ．点 分别为 上的两个定点且 ，点 为线段 上一动点，连接 ，则 的最
小值为______ ．
【变式2】（2023春·山东青岛·九年级专题练习）如图，点P是 内任意一点， ，点M和点
N分别是射线 和射线 上的动点， ，则 周长的最小值是______．
【变式3】（2022春·贵州铜仁·八年级统考期末）如图，已知一次函数y＝kx＋b的图像经过A（1，4），B
（4，1）两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D．
(1)求该一次函数的表达式；
(2)若y轴存在一点P使PA＋PB的值最小，求此时点P的坐标及PA＋PB的最小值；
(3)在x轴上是否存在一点M，使△MOA的面积等于△AOB的面积；若存在请直接写出点M的坐标，若不
存在请说明理由．考点2：费马点模型
典例2：（2021秋·四川成都·九年级成都实外校考阶段练习）如图，在 中，
，P是 内一点，求 的最小值为______．
【变式1】（2022秋·全国·九年级专题练习）在正方形ABCD中，点E为对角线AC（不含点A）上任意一点，
AB= ；
（1）如图1，将 ADE绕点D逆时针旋转90°得到 DCF，连接EF；
①把图形补充完整△（无需写画法）； ②求 的△取值范围；
(2)如图2，求BE+AE+DE的最小值．【变式2】（2022春·全国·九年级专题练习）如图，正方形 的边长为4，点 是正方形内部一点，求
的最小值．
【变式3】（2022春·江苏·九年级期末）如图，在平面直角坐标系xoy中，点B的坐标为(0，2)，点 在
轴的正半轴上， ，OE为△BOD的中线，过B、 两点的抛物线 与 轴相交于
、 两点（ 在 的左侧）.
（1）求抛物线的解析式；
（2）等边△ 的顶点M、N在线段AE上，求AE及 的长；
（3）点 为△ 内的一个动点，设 ，请直接写出 的最小值,以及 取得最小值时，
线段 的长.考点3：阿氏圆模型
典例3：（2023春·江苏·九年级校考阶段练习）如图，正方形 的边长为4， 的半径为2， 为
上的动点，则 的最大值是______．
【变式1】（2022春·江苏·九年级专题练习）如图，边长为4的正方形，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动
点，则 PA＋PB的最小值为________．
【变式2】（2023秋·重庆九龙坡·九年级重庆市育才中学校考期末）已知 与 有公共顶点C，
为等边三角形，在 中， ．(1)如图1，当点E与点B重合时，连接AD，已知四边形ABDC的面积为 ，求 的值；
(2)如图2， ， A、E、D三点共线，连接 、 ，取 中点M，连接 ，求证： ；
(3)如图3， ， ，将 以C为旋转中心旋转，取 中点F，当 的值最
小时，求 的值．
【变式3】（2021·全国·九年级专题练习）如图1，在RT△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，圆C的
半径为2，点P为圆上一动点，连接AP，BP，求：
① ，
② ，
③ ，④ 的最小值．
考点4：胡不归模型
典例4：（2023秋·四川乐山·九年级统考期末）如图，在 中， ，若D是
边上的动点，则 的最小值是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【变式1】（2022春·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2x＋c的图象与
x轴交于A、C两点，与y轴交于点B（0，﹣3），若P是x轴上一动点，点D（0，1）在y轴上，连接
PD，则 PD＋PC的最小值是（ ）
A．4 B．2＋2 C．2 D．
【变式2】（2022·湖北武汉·校联考一模）如图，在 中， ， ，半径为 的 经
过点 ， 是圆 的切线，且圆的直径 在线段 上，设点 是线段 上任意一点 不含端点 ，则的最小值为______．
【变式3】（2022秋·浙江·九年级专题练习）如图，四边形ABCD是菱形，AB＝8，且∠ABC＝60°，M为对
角线BD（不含B点）上任意一点，则AM+ BM的最小值为_____．
考点5：隐圆最值模型
典例5：（2023秋·浙江金华·九年级统考期末）如图，正方形 的边长为4，点E是正方形 内的
动点，点P是 边上的动点，且 ．连结 ， ， ， ，则 的最小值为
（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2022·山东泰安·统考中考真题）如图，四边形 为矩形， ， ．点P是线段
上一动点，点M为线段 上一点． ，则 的最小值为（ ）A． B． C． D．
【变式2】（2023秋·广东广州·九年级统考期末）如图，四边形 中， ， ，
， ，点 是四边形 内的一个动点，满足 ，则 面积的最
小值为______．
【变式3】（2022春·全国·九年级专题练习）△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D是BC的中点，E为AB上
一动点，点B关于DE的对称点 在△ABC内（不含△ABC的边上），则BE长的范围为______．
巩固训练
一、单选题
1．（2022秋·安徽池州·九年级统考期末）如图， 中， ，点P为AC边
上的动点，过点P作 于点D，则 的最小值为（ ）A． B． C．5 D．
2．（2022秋·重庆沙坪坝·八年级重庆市凤鸣山中学校联考期末）如图， 为正方形 边 上一点，
， ， 为对角线 上一个动点，则 的最小值为（ ）
A．5 B． C． D．10
3．（2022秋·浙江杭州·九年级杭州外国语学校校考开学考试）如图，在平面直角坐标系中，二次函数
的图像与x轴交于A、C两点，与x轴交于点 ，若P是x轴上一动点，点D的坐标为
，连接PD，则 的最小值是（ ）
A．4 B． C． D．
4．（2022·河南·校联考三模）如图1，正方形 中，点 是 的中点，点 是对角线 上的一个动
点，设 ， ，当点 从 向点 运动时， 与 的函数关系如图2所示，其中点 是函
数图象的最低点，则点 的坐标是（ ）A． B． C． D．
5．（2022秋·河北邢台·九年级统考期末）如图， 的半径是 ，P是 上一动点，A是 内部一点，
且 ，则下列说法正确的是（ ）
①PA的最小值为 ；②PA的最大值为 ；③当 时，△PAO是等腰直角三角形；
④△PAO面积最大为 ．
A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．②③④
7．（2022秋·北京海淀·九年级校考期中）如图，如图， 的半径为2，圆心 的坐标为 ，点 是
上的任意一点， ， ， 与x轴分别交于A，B两点，若点A、点B关于原点O对称，则
的最小值为（ ）A．3 B．4 C．5 D．6
8．（2023春·九年级课时练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C为圆心、3为
半径作⊙C，P为⊙C上一动点，连接AP、BP，则 AP＋BP的最小值为（ ）
A．7 B．5 C． D．
9．（2022·福建厦门·福建省厦门集美中学校考一模）如图，在平面直角坐标系中，直线 分别与x
轴、y轴相交于点A、B，点E、F分别是正方形OACD的边OD、AC上的动点，且 ，过原点O作
，垂足为H，连接HA、HB，则 面积的最大值为（ ）
A． B．12 C． D．
10．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在 中， ， ， ，若 是 边上
的动点，则 的最小值（ ）A． B． C． D．
二、填空题
11．（2022秋·山东菏泽·九年级校考阶段练习）如图，在周长为 的菱形 中， ， ，若
为对角线 上一动点，则 的最小值为______．
12．（2023秋·山东东营·九年级校考期末）如图， 是⊙O的弦，点C在⊙O内， ，
连接 ，若⊙O的半径是4，则 长的最小值为______．
13．（2022春·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，D是AC上一点，
且CD＝3，E是BC边上一点，将△DCE沿DE折叠，使点C落在点F处，连接BF，则BF的最小值为
_______．14．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线l分别交x、y轴于B、C两点，点
A、C的坐标分别为(3，0)、(0，﹣3)，且∠OCB＝60°，点P是直线l上一动点，连接AP，则
的最小值是______．
15．（2022秋·浙江·九年级专题练习）如图，直线y＝x﹣3分别交x轴、y轴于B、A两点，点C（0，1）
在y轴上，点P在x轴上运动，则 PC＋PB的最小值为___．
三、解答题
16．（2023秋·江西宜春·八年级统考期末）如图，在 中， 边的垂直平分线
交 于点D，若 ，
(1)求 的长；
(2)若点P是直线 上的动点，直接写出 的最小值为_________．17．（2022秋·河北保定·八年级统考期末）在 中， ， 为 延长线上一点，点 为线段
， 的垂直平分线的交点，连接 ， ， ．
(1)如图1，当 时，则 ______°；
(2)当 时，
①如图2，连接 ，判断 的形状，并证明；
②如图3，直线 与 交于点 ，满足 ． 为直线 上一动点．当 的值最大
时，用等式表示 ， 与 之间的数量关系为______，并证明．
18．（2022春·全国·九年级专题练习）在平面直角坐标系， ，直线 经过 ，点 在直线 上运动，求 最小值．
19．（2021春·江苏苏州·八年级校考期中）定义：既相等又垂直的两条线段称为“等垂线段”，如图1，
在 中， ， ，点 、 分别在边 、 上， ，连接 、 ，点
、 、 分别为 、 、 的中点，且连接 、 ．
(1)观察猜想
线段 与 ______填（“是”或“不是”）“等垂线段”．
(2) 绕点 按逆时针方向旋转到图2所示的位置，连接 ， ，试判断 与 是否为“等垂线
段”，并说明理由．
(3)拓展延伸
把 绕点 在平面内自由旋转，若 ， ，请直接写出 与 的积的最大值．20．（2022秋·山东济南·九年级山东师范大学第二附属中学校考阶段练习）如图1，抛物线
与x轴交于点 ，与y轴交于点B，在x轴上有一动点 （
），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．
(1)求a的值和直线AB的函数表达式：
(2)设△PMN的周长为 ，△AEN的周长为 ，若 求m的值．
(3)如图2，在（2）的条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到 ，旋转角为 （ ），连接
、 ，求 的最小值．21．（2022·湖南长沙·模拟预测）如图，抛物线 （a为常数， ）与x轴分别交于A，B
两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB＝OC．
(1)求a的值；
(2)点D是该抛物线的顶点，点P（m，n）是第三象限内抛物线上的一个点，分别连接BD、BC、CD、
BP，当∠PBA＝∠CBD时，求m的值；
(3)点K为坐标平面内一点，DK＝2，点M为线段BK的中点，连接AM，当AM最大时，求点K的坐标．22．（2022秋·江苏·九年级期中）问题情境：如图1，P是⊙O外的一点，直线PO分别交⊙O于点A，B，
则PA是点P到⊙O上的点的最短距离．
（1）探究证明：如图2，在⊙O上任取一点C（不与点A，B重合），连接PC，OC．求证：PA＜PC．
（2）直接应用：如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，以BC为直径的半圆交AB于D，P
是弧CD上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是 ．
（3）构造运用：如图4，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，
将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△AMN，连接AB，则AB长度的最小值为 ．
1 1 1
（4）综合应用：如图5，平面直角坐标系中，分别以点A（﹣2，3），B（4，5）为圆心，以1，2为半径
作⊙A，⊙B，M，N分别是⊙A，⊙B上的动点，P为x轴上的动点，直接写出PM+PN的最小值为
．23．（2021·全国·九年级专题练习）如图，△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝6，AC＝4，P为平面内一点，求
最小值
