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专题 07 一元二次方程及其应用（12 个高频考点）（强化训练）
【考点1 一元二次方程的定义】
1．（2022·四川绵阳·三模）下列各项是一元二次方程的是（ ）
2
A．x﹣x3＝1 B．2x﹣1＝a C．x2﹣x+1＝0 D．x2﹣ ＝5
x2
2．（2022·甘肃·民勤县第六中学一模）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0，常数项为0，
则m值等于（ ）
A．1 B．2 C．1或2 D．0
3．（2022·江苏·沭阳县马厂实验学校三模）若 是关于x的一元二次方程，则m的值
(m−2)xm2-2+5x+4=0
为___________
4．（2022·黑龙江绥化·一模）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+（m2﹣4）x+m+5＝0的两个实数根互为相
反数，则m等于 _____．
5．（2022·广东清远·模拟预测）关于x的方程（a2﹣3）x2+ax+1＝0是一元二次方程的条件是_____．
【考点2 一元二次方程的一般形式】
6．（2022·湖南永州·一模）把一元二次方程5x（x-3）=6-2x化成一般形式后常数项是___
7．（2022·浙江杭州·模拟预测）一元二次方程−x2+4x=3的二次项系数与常数项的乘积为__________．
8．（2022·四川成都·中考模拟） 化成一般形式是____________，其中一次项系数是
(x−4) 2+5=6x
___________
9．（2022·江苏苏州·中考模拟）将一元二次方程2x(x−3)=1化成一般形式为 _____
10．（2022·河南安阳·一模）写一个满足二次项系数为负数且没有实数根的一元二次方程：________．
【考点3 一元二次方程的解】
11．（2022·广东·东莞市粤华学校二模）已知一元二次方程x2+3x+（a2+1）＝0有一个根为x＝﹣1，则a的
值为 _____．
12．（2022·江苏淮安·一模）已知m是一元二次方程x2+x−6=0的一个根，则代数式2m2+2m的值是
______．
13．（2022·广东·乳源瑶族自治县教师发展中心三模）若a是方程2x2=x+5的一个根，则代数式6a2−3a
的值是__________.1+√5
14．（2022·湖北黄石·一模）若α= 为一元二次方程x2−x+t=0的根；
2
(1)则方程的另外一个根β=______，t=______；
(2)求 的值．
(α3−α2+1)(β3−β2+1)
15．（2022·广东中山·一模）对于任意实数k，方程（k2+1）x2﹣2（k+a）2x+k2+4k+b＝0总有一个根是1．
(1)求实数a，b．
(2)当k＝5时，求方程的另一个根．
【考点4 配方法解一元二次方程】
16．（2022·浙江·沈家门第一初级中学八年级阶段练习）已知实数a，b满足 ，解关于x
√a−4+(b+2) 2=0
的一元二次方程x2−ax+b=0．
17．（2022·山西晋中·一模）（1）计算：4×(−3)+|−6|−20+
(1) −2
；
3
（2）下面是小明同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．
3x2+8x−3=0
8
解：x2+ x−1=0 第一步
3
x2+
8
x+
(4) 2
−1=0 第二步
3 3
( 4) 2
x+ −1=0 第三步
3
( 4) 2
x+ =1 第四步
3
4
x+ =±1 第五步
3
1 7
所以，x =− ,x =− 第六步
1 3 2 3
任务一：填空：上述小明同学解此一元二次方程的方法是________，依据的一个数学公式是________；第
________步开始出现错误；
任务二：请你直接写出该方程的正确解．
18．（2022·甘肃兰州·一模）用配方法解方程：x2+10=8x−1．
19．（2022·广东·珠海市文园中学三模）已知关于 的一元二次方程 有实数根．
x (2k−1)x2+2x+1=0（1）求k的取值范围；
1
（2）取k=− ，用配方法解这个一元二次方程．
2
20．（2022·广西·南宁市三美学校九年级阶段练习）解方程2x2−4x−5=0．
【考点5 公式法解一元二次方程】
21．（2022·江苏·九年级专题练习）将关于x的一元二次方程x2﹣px+q＝0变形为x2＝px﹣q，就可以将x2表
示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如x3＝x•x2＝x（px﹣q）＝…，我们将这种方法称
为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：x2﹣x﹣1＝0，且x＞
0，则x3+1的值为（ ）
A．1+√5 B．1﹣√5 C．3﹣√5 D．3+√5
22．（2022·江西·石城县教育局教研室二模）已知正整数x满足x2+5x+30是完全平方数，则x的值是
_________．
√x+31
23．（2022·全国·九年级专题练习）若代数式 有意义，则x的取值范围是 _____．
|x|−2√1−2x
24．（2022·四川乐山·三模）解方程：x2+x=5+√5．
25．（2022·福建·福州三中晋安校区九年级阶段练习）解方程：2x2+4x−3=0．
【考点6 因式分解法解一元二次方程】
26．（2022·江苏·苏州工业园区金鸡湖学校一模）我们把抛物线上纵坐标是横坐标两倍的点叫做这条抛物
线的“二倍点”（原点除外）．
(1)若抛物线y=x2+bx+4上只有唯一的“二倍点”，求b的值及“二倍点”的坐标；
(2)平移抛物线y=x2+bx+4，若所得新抛物线经过原点，且顶点是新抛物线的“二倍点”，求新抛物线的
表达式．
2 x2 −2x+1
27．（2022·广东·广州市华师附中番禺学校三模）已知A=(1− )÷
．
x+1 x+1
(1)化简A；
(2)若x是方程x(x+2)=x+2的解，求A的值．
28．（2022·浙江·舟山市第一初级中学一模）阅读下面的例题，
范例：解方程x2 −|x|−2=0 ，
解：（1）当x≥0 时，原方程化为x2 −x−2=0，解得：x =2，x =−1（不合题意，舍去）．
1 2
（2）当x＜0时，原方程化为x2+x−2=0，解得：x =−2，x =1（不合题意，舍去）．
1 2
∴原方程的根是x =2，x =−2，
1 2
请参照例题解方程x2 −|x− 1|−1=029．（2022·浙江杭州·一模）以下是小明在解方程(x+2)(x−3)=3−x时的解答过程．
解原方程可化为(x+2)(x−3)=−(x−3)，
解得原方程的解是x=−3．
小明的解答是否有错误？如果有错误，请你指出来并写出正确的解答过程．
30．（2022·四川泸州·一模）解方程：(2x﹣1)2＝(3﹣x)2
【考点7 换元法解一元二次方程】
31．（2022·内蒙古呼和浩特·二模）“通过等价变换，化复杂为简单，化陌生为熟悉，化未知为已知”是
数学学习中解决问题的基本思维方式．例如：解方程x－√x＝0，就可利用该思维方式，设√x＝y，将原方
程转化为：y2－y＝0这个熟悉的关于y的一元二次方程，解出y，再求x．这种方法又叫“换元法”．请你
用这种思维方式和换元法解决下列问题：
（1）填空：若2（x2+y2）2+（x2+y2）＝0，则x2+y2的值为 ；
（2）解方程：x2－x+2 －8＝0．
√x2−x
32．（2022·广东揭阳·一模）小颖用下面的方法求出方程2√x−3=0的解．
方程 换元法得新方程 解新方程 检验 求原方程的解
3
√x= ，所以
令√x=t，则 3 3 2
2√x−3=0 t= t= >0
2t−3=0 2 2 9
x=
4
请你仿照小颗的方法求出方程x+2√x−3=0的解．
33．（2022·浙江嘉兴·模拟预测）解方程 时，我们可以将 看成一个整体，设
(x−1) 2−5(x−1)+4=0 x−1
x−1= y，则原方程可化为y2−5 y+4=0,解得y =1,y =4，当y=1时，即x−1=1，解得：x=2；当
1 2
y=4时，即x−1=4,解得：x=5，所以原方程的解： x =2,x =5
1 2
请利用这种方法求方程 的解
(2x+5) 2−7(2x+5)+12=0
34．（2022·福建泉州·中考模拟）阅读下面的材料，回答问题：
解方程x4﹣5x2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设x2=y，那么x4=y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4=0 ①，解得y =1，y =4．
1 2
当y=1时，x2=1，∴x=±1；
当y=4时，x2=4，∴x=±2；
∴原方程有四个根：x =1，x =﹣1，x =2，x =﹣2．
1 2 3 4（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用_______法达到_______的目的，体现了数学的转化思想．
（2）解方程(x2+x)2﹣4(x2+x)﹣12=0．
35．（2022·重庆巴蜀中学三模）阅读下列材料：
已知实数m，n满足(2m2+n2+1)(2m2+n2-1)=80，试求2m2+n2的值．
解：设2m2+n2=t，则原方程变为(t+1)(t-1)=80，整理得t2-1=80，t2=81，∴t=±9．
因为2m2+n2≥0，所以2m2+n2=9．
上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运
算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．
根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程．
（1）已知实数x，y满足(2x2+2y2+3)(2x2+2y2-3)=27，求x2+y2的值．
（2）若四个连续正整数的积为11880，求这四个连续正整数．
【考点8 根的判别式】
36．（2022·四川·南充市实验中学模拟预测）关于x的一元二次方程x2−(k+2)x+2k=0．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程两根 与且 ，求 的值．
x 、x x ❑ 2+x ❑ 2=20 k
1 2 1 2
37．（2022·北京市三帆中学模拟预测）已知：关于x的一元二次方程x2−4x+2m=0有两个不相等的实数
根．
(1)求m的取值范围；
(2)如果m为非负整数，且该方程的根都是整数，求该方程的根．
13
38．（2022·四川成都·三模）若方程x2+（m﹣4）x+ ﹣m＝0有两个不相等的实数根x 和x，且x+x＞﹣
1 2 1 2
4
21
3，xx＜ ，则m的取值范围为多少？
1 2
4
1
39．（2022·云南·一模）已知关于x的方程x2−(2k+1)x+4(k− )=0
2
(1)求证：无论k取什么实数，这个方程总有实数根；
(2)若等腰三角形ABC的一边长a=4，另两边的长b、c恰好是这个方程的两个根，求三角形ABC的周长；
40．（2022·浙江杭州·模拟预测）已知△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB，AC的长是关于x的一元
二次方程 的两个实数根．
x2−(2k+3)x+k2+3k+2=0
(1)求证：无论k为何值时，方程总有两个不相等的实数根；(2)k为何值时，△ABC是等腰三角形？并求△ABC的周长．
【考点9 根与系数的关系】
41．（2022·宁夏·银川英才学校二模）阅读理解：
材料一：若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三
个实教x，y，z构成“和谐三数组”．
b
材料二：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别为x ，x ，则有x +x =− ，
1 2 1 2 a
c
x ⋅x = ．
1 2 a
问题解决：
(1)请你写出三个能构成“和谐三数组”的实数，并写出理由过程；
(2)若x ，x 是关于x的方程ax2+bx+c=0 (a，b，c均不为0)的两根，x 是关于x的方程bx+c=0 (
1 2 3
b，c均不为0)的解．求证：x ，x ，x 可以构成“和谐三数组”；
1 2 3
4
(3)若A(m，y )，B(m+1，y )，C(m+3，y )三个点均在反比例函数y= 的图象上，且三点的纵
1 2 3 x
坐标恰好构成“和谐三数组”，求实数m的值．
42．（2022·湖北十堰·三模）已知，关于x的一元二次方程x2−(2a−1)x+a2−a=0，
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)若方程两根的绝对值相等，求a的值．
43．（2022·江苏扬州·二模）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图
象的“梅岭点”．
(1)若点P(3,p)是一次函数y=mx+6的图象上的“梅岭点”，则m=______________；若点P(m,m)是函
3
数y= 的图象上的“梅岭点”，则m=_____________；
x−2
(2)若点P(p,−2)是二次函数y=x2+bx+c的图象上唯一的“梅岭点”，求这个二次函数的表达式；
(3)若二次函数y=ax2+bx+c（a，b是常数，a>0）的图象过点(0,2)，且图象上存在两个不同的“梅岭
点” ，且满足 ，如果 ，请直接写出k的取值范
A(x ,x ),B(x ,x ) −1
