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专题 07 一元二次方程及其应用（12 个高频考点）（强化训练）
【考点1 一元二次方程的定义】
1．（2022·四川绵阳·三模）下列各项是一元二次方程的是（ ）
2
A．x﹣x3＝1 B．2x﹣1＝a C．x2﹣x+1＝0 D．x2﹣ ＝5
x2
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的定义对四个选项逐一判断即可确定答案．
【详解】解：A 选项方程中未知数x的最高次数为3次，不满足一元二次方程的定义，故本选项不符合题
意；
B 选项方程中含有两个未知数，分别是x与a ，且未知数x与a的最高次数均为1次，不满足一元二次方程
的定义，故本选项不符合题意；
C 选项方程中只含有一个未知数x，并且未知数x的最高次数为2次，这样的整式方程满足一元二次方程
的定义，故本选项符合题意；
D 选项的方程是分式方程，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程．熟
知一元二次方程定义的内涵是解得此类题目的关键．
2．（2022·甘肃·民勤县第六中学一模）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0，常数项为0，
则m值等于（ ）
A．1 B．2 C．1或2 D．0
【答案】B
【分析】由题意知¿，计算求出符合要求的解即可．
【详解】解：由题意知¿
解①得m≠1
解②得(m−1)(m−2)=0
令m−1=0或m−2=0
解得m =1或m =2
1 2
∴m=2故选B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，因式分解法解一元二次方程．解题的关键在于明确m−1≠0．
3．（2022·江苏·沭阳县马厂实验学校三模）若(m−2)xm2-2+5x+4=0是关于x的一元二次方程，则m的值
为___________
【答案】-2
【分析】据一元二次方程的定义，一元二次方程必须满足三个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数
不为0；是整式方程．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
【详解】解：由题意，得
m2-2=2，且m-2≠0，
解得m=-2，
故答案为：-2．
【点睛】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二
次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．特别要注意a≠0的条件．
4．（2022·黑龙江绥化·一模）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+（m2﹣4）x+m+5＝0的两个实数根互为相
反数，则m等于 _____．
【答案】-2
m2−4
【分析】设方程的两个实数根是a，b，根据根与系数的关系及相反数定义得到a+b=− =0，求出
m−1
m，再根据一元二次方程的定义以及根的判别式判断即可．
【详解】解：设方程的两个实数根是a，b，
∵一元二次方程（m﹣1）x2+（m2﹣4）x+m+5＝0的两个实数根互为相反数，
m2−4
由根与系数的关系得：a+b=− =0，且m﹣1≠0，
m−1
∴m＝±2，
由题意，Δ＝（m2﹣4）2﹣4（m﹣1）（m+5）≥0，
当m＝2时，Δ＜0，舍去，
当m＝﹣2时，Δ＞0，符合题意，
即m=﹣2．
故答案为：﹣2．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，定义以及根的判别式判断，分情况讨论解决本题是关
键.5．（2022·广东清远·模拟预测）关于x的方程（a2﹣3）x2+ax+1＝0是一元二次方程的条件是_____．
【答案】a≠±√3
【分析】根据一元二次方程必须满足两个条件：①未知数的最高次数是2；②二次项系数不为0；由这两个
条件得到相应的关系式，求解即可．
【详解】∵关于x的方程(a2﹣3)x2+ax+1=0是一元二次方程，
∴a2−3≠0，
∴a≠±√3，
故答案为：a≠±√3．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义．熟知一元二次方程二次项系数不为 是解题的关键．
【考点2 一元二次方程的一般形式】 0
6．（2022·湖南永州·一模）把一元二次方程5x（x-3）=6-2x化成一般形式后常数项是___
【答案】-6
【分析】把原方程化为：ax2+bx+c=0(a≠0)，其中c是常数项，从而可得答案．
【详解】解：5x(x−3)=6−2x,
∴5x2−15x=6−2x,
∴5x2−13x−6=0,
所以一元二次方程的常数项为：−6.
故答案为：−6.
【点睛】本题考查的是一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式为：
ax2+bx+c=0(a≠0) 是解题的关键．
7．（2022·浙江杭州·模拟预测）一元二次方程−x2+4x=3的二次项系数与常数项的乘积为__________．
【答案】3
【分析】先把一元二次方程化为一般式，然后进行求解即可．
【详解】解：把一元二次方程−x2+4x=3化为一般式为：x2−4x+3=0，
∴二次项系数为1，常数项为3，
∴它们的乘积为：1×3=3；
故答案为3．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．8．（2022·四川成都·中考模拟）(x−4) 2+5=6x化成一般形式是____________，其中一次项系数是
___________
【答案】 x2−14x+21=0 ， -14
【分析】先去括号、移项、合并同类项，得到方程的一般形式；再根据一般形式可得一次项的系数.
【详解】解：(x−4) 2+5=6x即为x2−8x+16+5−6x=0，整理得x2−14x+21=0，其中一次项系数
是-14.
故答案为x2−14x+21=0；-14.
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)，解题
时要特别注意a≠0的条件.
9．（2022·江苏苏州·中考模拟）将一元二次方程2x(x−3)=1化成一般形式为 _____
【答案】2x2−6x−1=0
【详解】试题分析：直接去括号，得2x2−6x=1，再将常数项移往左边，化成一般式ax2+bx+c=0即可.
考点：一元二次方程的一般形式.
10．（2022·河南安阳·一模）写一个满足二次项系数为负数且没有实数根的一元二次方程：________．
【答案】−x2−4x−6=0（答案不唯一）
【分析】根据关于x一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a≠0) ，可令a=−1 ，再利用根的判别式
小于0即可写出．
【详解】解：一元二次方程的一般形式为：ax2+bx+c=0(a≠0)，
令a=−1，b=−4 ，c=−6 ，
∴Δ=b2−4ac=16−24=−8＜0 ，
∴满足条件的一元二次方程为：−x2−4x−6=0，
故答案为：−x2−4x−6=0（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般式，一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别
式与方程解的情况之间的关系是解题的关键．
【考点3 一元二次方程的解】
11．（2022·广东·东莞市粤华学校二模）已知一元二次方程x2+3x+（a2+1）＝0有一个根为x＝﹣1，则a的
值为 _____．【答案】±1
【分析】把x=−1代入方程，然后解关于a的方程即可．
【详解】将x=-1代入原式得：
(−1) 2+3×(−1)+(a2+1)=0
移项合并得：a2=1 ，
解得：a=±1 ．
故答案为：±1 ．
【点睛】此题主要考查一元二次方程的解，解题的关键是把方程的解代入原方程进行计算求解．
12．（2022·江苏淮安·一模）已知m是一元二次方程x2+x−6=0的一个根，则代数式2m2+2m的值是
______．
【答案】12
【分析】利用一元二次方程的解的定义得到m2+m=6即可求解．
【详解】∵m为一元二次方程x2+x−6=0的一个根．
∴m2+m-6=0，
∴m2+m=6，
即2m2+2m=12，
故答案为：12．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的
解．
13．（2022·广东·乳源瑶族自治县教师发展中心三模）若a是方程2x2=x+5的一个根，则代数式6a2−3a
的值是__________.
【答案】15
【分析】利用a是方程2x2=x+5的一个根，得到2a2−a=5，代入6a2−3a即可．
【详解】解：∵a是方程2x2=x+5的一个根，
∴2a2=a+5，
∴2a2−a=5，
∴6a2−3a=3(2a2−a)=3×5=15，
故答案为：15．
【点睛】本题考查了方程解的定义以及整体代入求值，其中利用方程解的定义求得2a2−a=5是解题的关
键．1+√5
14．（2022·湖北黄石·一模）若α= 为一元二次方程x2−x+t=0的根；
2
(1)则方程的另外一个根β=______，t=______；
(2)求(α3−α2+1)(β3−β2+1)的值．
1−√5
【答案】(1) ，−1
2
(2)1
【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系求解即可；
（2）根据α,β是为一元二次方程x2−x−1=0的根，可得α3−α2=α，β3−β2=β，代入代数式化简，进
而根据一元二次方程根与系数的关系代入求解即可．
(1)
1+√5
解：∵α= 为一元二次方程x2−x+t=0的根，设方程的另外一个根为β，
2
∴β+α=1
1+√5 1−√5
∴β=1− =
2 2
1+√5 1−√5
∴t=α⋅β= × =−1
2 2
1−√5
故答案为： ，−1；
2
(2)
∵α,β是为一元二次方程x2−x−1=0的根
∴α2−α−1=0，β2−β−1=0
∴α2−α=1，β2−β=1，
∵α≠0，β≠0，
∴α3−α2=α，β3−β2=β，
∴ (α3−α2+1)(β3−β2+1)
=(α+1)(β+1)
=αβ+α+β+1
∵ α+β=1，αβ=−1，
∴原式=1−1+1=1【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的意义，掌握一元二次方程根与系数
的关系是解题的关键．
15．（2022·广东中山·一模）对于任意实数k，方程（k2+1）x2﹣2（k+a）2x+k2+4k+b＝0总有一个根是1．
(1)求实数a，b．
(2)当k＝5时，求方程的另一个根．
【答案】(1)a＝1，b＝1
23
(2)方程的另一个根是
13
【分析】（1）根据一元二次方程根的意义，将x=1代入原方程，根据题意对于任意实数k都成立，则令含
k的系数为0，即可求得a的值，进而求得b的值，
（2）将k＝5，a＝1，b＝1代入原方程，解一元二次方程求解即可
(1)
由题意得对于任意实数k，均有（k2+1）﹣2（k+a）2+k2+4k+b＝0，
即4k（1﹣a）+1+b﹣2a2＝0对于任意实数k恒成立，
∴1﹣a＝0，即a＝1，
则b＝1；
(2)
把k＝5，a＝1，b＝1代入原方程得：
26x2﹣72x+46＝0，
13x2﹣36x+23＝0，
（x﹣1）（13x﹣23）＝0，
23
x＝1，x＝ ．
1 2 13
23
∴方程的另一个根是 ．
13
【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，因式分解法解一元二次方程，正确的计算是解题的关键．
【考点4 配方法解一元二次方程】
16．（2022·浙江·沈家门第一初级中学八年级阶段练习）已知实数a，b满足√a−4+(b+2) 2=0，解关于x
的一元二次方程x2−ax+b=0．【答案】x =2+√6，x =2−√6
1 2
【分析】先根据√a−4+(b+2) 2=0，得出a=4，b=−2，得出一元二次方程x2−4x−2=0，解方程即可．
【详解】解：∵√a−4≥0，(b+2) 2≥0，且√a−4+(b+2) 2=0，
∴a－4＝0，b+2=0，
∴a=4，b=−2，
∴x2−4x−2=0，
x2−4x=2，
x2−4x+4=6，
(x−2) 2=6，
∴x =2+√6，x =2−√6．
1 2
【点睛】本题主要考查了二次根式的非负性，二次方的非负性，一元二次方程的解法，根据题意得出a=4，
b=−2，是解题的关键．
17．（2022·山西晋中·一模）（1）计算：4×(−3)+|−6|−20+
(1) −2
；
3
（2）下面是小明同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．
3x2+8x−3=0
8
解：x2+ x−1=0 第一步
3
x2+
8
x+
(4) 2
−1=0 第二步
3 3
( 4) 2
x+ −1=0 第三步
3
( 4) 2
x+ =1 第四步
3
4
x+ =±1 第五步
3
1 7
所以，x =− ,x =− 第六步
1 3 2 3
任务一：填空：上述小明同学解此一元二次方程的方法是________，依据的一个数学公式是________；第
________步开始出现错误；任务二：请你直接写出该方程的正确解．
1
【答案】（1）2；（2）任务一：配方法；(a+b) 2=a2+2ab+b2，二；任务二，x =−3，x =
1 2 3
【分析】（1）先分别根据有理数的乘法、绝对值的意义、零指数幂和负指数幂计算，然后根据有理数的
混合运算法则计算即可得到结果；
（2）根据配方法解一元二次方程的步骤进行判断和计算即可．
1 −2
【详解】（1）解：4×(−3)+|−6|−20+(
)
3
=−12+6−1+9
=2；
（2）解：任务一：由题意可知，上述小明同学解此一元二次方程的方法是配方法，依据的一个数学公式
是完全平方公式，
4 2
在第二步配方时，根据等式的基本性质，方程两边都应加上( ) ，
3
∴第二步开始出现错误；
任务二：解：3x2+8x−3=0，
8
∴x2+ x−1=0，
3
8 4 2 4 2
∴x2+ x+( ) −1=( ) ，
3 3 3
4 2 25
∴(x+ ) = ，
3 9
4 5
∴x+ =± ，
3 3
1
∴x =−3，x = ．
1 2 3
【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算、配方法解一元二次方程，熟练掌握运算法则和步骤是解题的
关键．
18．（2022·甘肃兰州·一模）用配方法解方程：x2+10=8x−1．
【答案】x =4+√5，x =4−√5
1 2
【分析】根据配方法求解即可．
【详解】解：将方程化简成一般式：x2−8x+11=0，配方得：x2−8x+(−4) 2−(−4) 2+11=0，
∴(x−4) 2=5，
∴x−4=±√5，
∴x =4+√5，x =4−√5．
1 2
【点睛】本题考查解一元二次方程中的配方法，解题的关键是熟练掌握配方法．
19．（2022·广东·珠海市文园中学三模）已知关于x的一元二次方程(2k−1)x2+2x+1=0有实数根．
（1）求k的取值范围；
1
（2）取k=− ，用配方法解这个一元二次方程．
2
1 1+√3 1−√3
【答案】（１）k≤1且k≠ ；（２）x = ，x = ．
2 1 2 2 2
【分析】（1）根据(2k−1)x2+2x+1=0有实数根，必须满足下列条件：①二次项系数不为零；②在有
实数根的前提下必须满足Δ=b2−4ac≥0；
1
（2）把k=− 代入(2k−1)x2+2x+1=0，再解方程即可．
2
【详解】解：（1）∵(2k−1)x2+2x+1=0有实数根，
∴Δ=b2−4ac≥0；
∴4−4(2k−1)≥0，
解得：k≤1，
∵2k−1≠0，
1
∴k≠ ，
2
1
∴k的取值范围为k≤1且k≠ ；
2
1
（2）把k=− 代入(2k−1)x2+2x+1=0，得−2x2+2x+1=0，
2
移项得：−2x2+2x=−1，
1
系数化为1得：x2−x=
，
2( 1) 2 3
配方得： x− = ，
2 4
1 √3
解得：x− =± ，
2 2
1+√3 1−√3
∴x = ，x = ．
1 2 2 2
【点睛】本题考查了根的判别式、解一元二次方程−配方法，切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为
零这一隐含条件．
20．（2022·广西·南宁市三美学校九年级阶段练习）解方程2x2−4x−5=0．
√14 √14
【答案】x =1+ ，x =1−
1 2 2 2
【分析】利用配方法求解即可．
【详解】解：2x2−4x−5=0
移项，得：2x2−4x=5
5 7
配方，得：x2−2x+1= +1，即(x−1) 2=
2 2
√14
直接开平方，得：x−1=±
2
√14 √14
∴x =1+ ，x =1−
1 2 2 2
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、
因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
【考点5 公式法解一元二次方程】
21．（2022·江苏·九年级专题练习）将关于x的一元二次方程x2﹣px+q＝0变形为x2＝px﹣q，就可以将x2表
示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如x3＝x•x2＝x（px﹣q）＝…，我们将这种方法称
为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：x2﹣x﹣1＝0，且x＞
0，则x3+1的值为（ ）
A．1+√5 B．1﹣√5 C．3﹣√5 D．3+√5
【答案】D
1±√5
【分析】用一元二次方程求根公式得x＝ ，利用x2＝x+1，得x2+x+1＝（x+1）+x+1＝2x+2，代入即可
2
求得．
【详解】解：x2﹣x﹣1＝0，∵a=1,b=−1,c=−1，
∴△=b2−4ac=(−1) 2+4=5，
1±√5
∴x＝ ，且x2＝x+1，
2
∵x＞0，
1−√5
∴x＝ ，
2
∴x3+1＝x•x2+1
＝x（x+1）+1
＝x2+x+1
＝（x+1）+x+1
＝2x+2，
√5+1
∴x3+1=2x+2=2⋅ +2=√5+3．
2
故选：D．
【点睛】本题考查了整体降次的思想方法，但降次后得到的是x的代数式，还要利用一元二次方程求根公
式求出x的值，代入化简后的2x+2中计算出结果．
22．（2022·江西·石城县教育局教研室二模）已知正整数x满足x2+5x+30是完全平方数，则x的值是
_________．
【答案】1或21##21或1
【分析】设x2+5x+30=n2，利用求根公式得出4n2−95也是完全平方数，再由95=1×95或95=5×19，
(2n+k)>(2n−k)，列方程求出n的值，再代入求根公式计算x的值即可；
【详解】解：设x2+5x+30=n2，∵方程x2+5x+30−n2=0有正整数解，
−5+√4n2−95
∴方程的根为：x= （负根舍去），
2
∵方程的根为整数，∴4n2−95也是完全平方数，
设4n2−95=k2，则4n2−k2=95，(2n+k)(2n−k)=95，
∵95=1×95或95=5×19，(2n+k)>(2n−k)，
∴¿或¿，解得：n=24或n=6，
−5+√4n2−95
当n=24时，代入x= 得：x=21，
2−5+√4n2−95
当n=6时，代入x= 得：x=1，
2
故答案为：21或1；
【点睛】本题考查了一元二次方程的求根公式，整数的运算规律，利用根是整数判断4n2−95也是完全平
方数是解题关键．
√x+31
23．（2022·全国·九年级专题练习）若代数式 有意义，则x的取值范围是 _____．
|x|−2√1−2x
1
【答案】﹣3≤x≤ 且x≠−4+2√5．
2
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0；分母中有字母，分母不为0．
√x+3
【详解】解：若代数式 有意义，
|x|−2√1−2x
必有¿，
解①得x≥−3
解②移项得|x|≠2√1−2x
两边平方得整理得x2+8x−4≠0
−8±4√5
解得x≠ =−4∓2√5
2
1
③x≤
2
1
∴解集为﹣3≤x≤ 且x≠−4+2√5．
2
1
故答案为：﹣3≤x≤ 且x≠−4+2√5．
2
【点睛】本题考查了二次根式的概念：式子√a（a≥0）叫二次根式，√a（a≥0）是一个非负数．注意：二
次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义；当二次根式在分母上时还要考虑分母不等于零，
此时被开方数大于0．
24．（2022·四川乐山·三模）解方程：x2+x=5+√5．
【答案】x =√5，x =−1−√5
1 2
【分析】将原方程化为一般式，再给出a，b，c的值，用公式法求解即可．
【详解】解：化为一般式得：x2+x−5−√5=0．
∵a＝1，b＝1，c＝−5−√5，∴Δ=b2−4ac=12−4×1×(−5−√5)=1+20+4√5=(2√5+1) 2>0，
∴原方程有两个不相等得实数根，
−b±√b2−4ac −1±√ (2√5+1) 2 −1±(2√5+1)
∴x= = = ，
2a 2 2
∴x =√5，x =−1−√5．
1 2
【点睛】本题考查一元二次方程得解法，掌握配方法和公式法是解题得关键．公式法运用的结论是：当
−b±√b2−4ac
Δ=b2−4ac>0时，方程有两个不相等得实数根，x= ；当Δ=b2−4ac=0时，方程有两
2a
b
个相等得实数根，x =x =− ；当Δ=b2−4ac<0时，方程无解．
1 2 2a
25．（2022·福建·福州三中晋安校区九年级阶段练习）解方程：2x2+4x−3=0．
−2+√10 −2−√10
【答案】x = ，x =
1 2 2 2
【分析】先计算判别式的值，然后根据求根公式解方程．
【详解】解：2x2+4x−3=0
△=42−4×2×(−3)=40，
−4±√40 −2±√10
x= = ，
2×2 2
−2+√10 −2−√10
∴x = ，x = ．
1 2 2 2
【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣公式法．解题的关键是掌握一元二次方程的求根公式．
【考点6 因式分解法解一元二次方程】
26．（2022·江苏·苏州工业园区金鸡湖学校一模）我们把抛物线上纵坐标是横坐标两倍的点叫做这条抛物
线的“二倍点”（原点除外）．
(1)若抛物线y=x2+bx+4上只有唯一的“二倍点”，求b的值及“二倍点”的坐标；
(2)平移抛物线y=x2+bx+4，若所得新抛物线经过原点，且顶点是新抛物线的“二倍点”，求新抛物线的
表达式．
【答案】(1)b=6时，“二倍点”的坐标为(−2,−4)，b=−2|时，“二倍点”的坐标为(2,4)
(2)y=x2+4x【分析】（1）由题意可得“二倍点”在直线y=2x上，令x2+bx+4=2x，根据Δ=0求解．
（2）设新抛物线解析式为y=(x−ℎ) 2+2ℎ，由抛物线经过原点求解．
【详解】（1）解：由题意得“二倍点”在直线y=2x上，
令x2+bx+4=2x，整理得x2+(b−2)x+4=0，
∴Δ=(b−2) 2−16，
当Δ=0时，方程x2+(b−2)x+4=0有两个相等实数根，则抛物线y=x2+bx+4上只有唯一的“二倍点”，
∴(b−2) 2−16=0，
解得b=6或b=−2．
当b=6时，x2+4x+4=0，
解得x =x =−2，
1 2
将x=−2代入y=2x中得y=−4，
当b=−2时，x2−4x+4=0，
解得x =x =2，
1 2
将x=21代入y=2x中得y=4，
∴b=6时，“二倍点”的坐标为(−2,−4)，b=−2时，“二倍点”的坐标为(2,4)．
（2）解：∵顶点是新抛物线的“二倍点”，
∴设平移后解析式为y=(x−ℎ) 2+2ℎ，
将(0,0)代入y=(x−ℎ) 2+2ℎ得0=
ℎ
2+2ℎ，
解得ℎ =0（舍）或ℎ =−2，
∴y=(x+2) 2−4=x2+4x．
【点睛】本题考查了新定义问题，二次函数的平移，二次函数与方程的关系，解题关键是掌握二次函数图
象与性质．
2 x2 −2x+1
27．（2022·广东·广州市华师附中番禺学校三模）已知A=(1− )÷
．
x+1 x+1
(1)化简A；
(2)若x是方程x(x+2)=x+2的解，求A的值．1
【答案】(1)
x−1
1
(2)−
3
【分析】（1）A括号内两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得
到结果；
（2）利用因式分解法求出方程的解，代入A中计算即可．
（1）
(x+1 2 ) (x−1) 2 x−1 x+1 1
A= − ÷ = · = ；
x+1 x+1 x+1 x+1 (x−1) 2 x−1
（2）
方程移项得：x(x+2)−(x+2)=0，
因式分解得：(x−1)(x+2)=0，
解得：x=1或x=-2，
当x=1时，原式无意义；
1
当x=-2时，原式=− ．
3
【点睛】本题考查了分式化简和解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解方程是解题的关键．
28．（2022·浙江·舟山市第一初级中学一模）阅读下面的例题，
范例：解方程x2 −|x|−2=0 ，
解：（1）当x≥0 时，原方程化为x2 −x−2=0，解得：x =2，x =−1（不合题意，舍去）．
1 2
（2）当x＜0时，原方程化为x2+x−2=0，解得：x =−2，x =1（不合题意，舍去）．
1 2
∴原方程的根是x =2，x =−2，
1 2
请参照例题解方程x2 −|x− 1|−1=0
【答案】x =1，x =−2，
1 2
【分析】根据题意分两种情况，解方程即可求得．
【详解】解：x2 −|x− 1|，−1=0
（1）当x≥1时，原方程化为x2 −x=0，解得：x =1，x =0（不合题意，舍去）．
1 2
（2）当x<1时，原方程化为x2+x−2=0，解得：x =−2，x =1（不合题意，舍去）．
1 2
故原方程的根是x =1，x =−2．
1 2
【点睛】本题考查了绝对值方程及一元二次方程的解法，熟练掌握和运用绝对值方程及一元二次方程的解法是解决本题的关键．
29．（2022·浙江杭州·一模）以下是小明在解方程(x+2)(x−3)=3−x时的解答过程．
解原方程可化为(x+2)(x−3)=−(x−3)，
解得原方程的解是x=−3．
小明的解答是否有错误？如果有错误，请你指出来并写出正确的解答过程．
【答案】小明的解答有错误，忽略了x−3=0的情况，正确的解答见解析
【分析】有错误，忽略了x-3=0的情况，写出正确的解答过程即可．
【详解】小明的解答有错误，忽略了x−3=0的情况，正确的解答为：
将方程，可化为：(x+2)(x−3)=−(x−3)，
移项，得：(x+2)(x−3)+(x+3)=0，
分解因式，得：(x−3)(x+3)=0，
所以x−3=0或x+3=0，
解之，得：x =3,x =−3．
1 2
【点睛】此题考查了解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解本题的关键．
30．（2022·四川泸州·一模）解方程：(2x﹣1)2＝(3﹣x)2
4
【答案】x =−2,x =
1 2 3
【分析】先移项，再利用平方差公式分解后得到两个一元一次方程，求解即可．
【详解】解：(2x−1) 2=(3−x) 2
(2x−1) 2−(3−x) 2=0
(2x−1+3−x)(2x−1−3+x)=0
(x+2)(3x−4)=0
x+2=0或3x−4=0
4
x =−2, x = ．
1 2 3
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，此题难度不大，解题的关键是选择适当的解题方法．
【考点7 换元法解一元二次方程】
31．（2022·内蒙古呼和浩特·二模）“通过等价变换，化复杂为简单，化陌生为熟悉，化未知为已知”是
数学学习中解决问题的基本思维方式．例如：解方程x－√x＝0，就可利用该思维方式，设√x＝y，将原方
程转化为：y2－y＝0这个熟悉的关于y的一元二次方程，解出y，再求x．这种方法又叫“换元法”．请你用这种思维方式和换元法解决下列问题：
（1）填空：若2（x2+y2）2+（x2+y2）＝0，则x2+y2的值为 ；
（2）解方程：x2－x+2√x2−x－8＝0．
1+√17 1−√17
【答案】（1）0；（2）x = ，x =
1 2 2 2
【分析】（1）设x2+ y2=m(m≥0)，则原方程可以转变成2m2+m=0，求出这个一元二次方程即可得到答
案；
（2）设√x2−x=t(t≥0)，则原方程可以转变成t2+2t−8=0，求出t，再求出x即可.
【详解】解：（1）设x2+ y2=m(m≥0)，则原方程可以转变成2m2+m=0
∴2m(m+1)=0
解得m=0或m=−1（舍去）
∴m=0
∴x2+ y2=m=0
（2）设√x2−x=t(t≥0)，则原方程可以转变成t2+2t−8=0
∴(t+4)(t−2)=0
解得t=2或t=−4（舍去）
∴t=2
∴√x2−x=t=2
∴x2−x=4
∴x2−x+ 1 = 17 即 ( x− 1) 2 = 17
4 4 2 4
1 √17
解得x= ±
2 2
1+√17 1−√17
∴x = ，x =
1 2 2 2
【点睛】本题主要考查了用换元法解方程，解题的关键在于能够利用非负性去掉增根，以及熟练掌握解一
元二次方程的方法.
32．（2022·广东揭阳·一模）小颖用下面的方法求出方程2√x−3=0的解．
方程 换元法得新方程 解新方程 检验 求原方程的解3
√x= ，所以
令√x=t，则 3 3 2
2√x−3=0 t= t= >0
2t−3=0 2 2 9
x=
4
请你仿照小颗的方法求出方程x+2√x−3=0的解．
【答案】x=1
【分析】结合题中给出的方法，利用换元法，令√x=t，则t2+2t−3=0，将方程求出t（注意t>0），即可
求出x．
【详解】解：令√x=t，则t2+2t−3=0，
∴(t−1)(t+3)=0
∴t－1=0或t+3=0
∴t=1或t=－3，
检验：t=1>0，符合题意；t=－3<0，不符合题意，
∴√x=1，
∴x=1．
【点睛】本题主要考查的是利用换元法解一元二次方程，注意求解的取值范围．
33．（2022·浙江嘉兴·模拟预测）解方程(x−1) 2−5(x−1)+4=0时，我们可以将x−1看成一个整体，设
x−1= y，则原方程可化为y2−5 y+4=0,解得y =1,y =4，当y=1时，即x−1=1，解得：x=2；当
1 2
y=4时，即x−1=4,解得：x=5，所以原方程的解： x =2,x =5
1 2
请利用这种方法求方程(2x+5) 2−7(2x+5)+12=0的解
1
【答案】x＝−1，x＝−
1 2 2
【分析】先设2x＋5＝y，则方程即可变形为y2−7y＋12＝0，解方程即可求得y即（2x＋5）的值．
【详解】解：设2x＋5＝y，则原方程可化为y2−7y＋12＝0，
所以 （y−3）（y−4）＝0
解得y＝3，y＝4．
1 2
当y＝3时，即2x＋5＝3，
解得x＝−1；
当y＝4时，即2x＋5＝4，
1
解得x＝− ，
21
所以原方程的解为：x＝−1，x＝− ．
1 2 2
【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程．我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数
式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的
方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．
34．（2022·福建泉州·中考模拟）阅读下面的材料，回答问题：
解方程x4﹣5x2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设x2=y，那么x4=y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4=0 ①，解得y =1，y =4．
1 2
当y=1时，x2=1，∴x=±1；
当y=4时，x2=4，∴x=±2；
∴原方程有四个根：x =1，x =﹣1，x =2，x =﹣2．
1 2 3 4
（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用_______法达到_______的目的，体现了数学的转化思想．
（2）解方程(x2+x)2﹣4(x2+x)﹣12=0．
【答案】（1）换元，降次；（2）x =﹣3，x =2
1 2
【分析】（1）本题主要是利用换元法降次来达到把一元四次方程转化为一元二次方程，来求解，然后再
解这个一元二次方程．
（2）利用题中给出的方法先把x2+x当成一个整体y来计算，求出y的值，再解一元二次方程．
【详解】解：（1）换元，降次
（2）设x2+x=y，原方程可化为y2﹣4y﹣12=0，
解得y =6，y =﹣2．
1 2
由x2+x=6，得x =﹣3，x =2．
1 2
由x2+x=﹣2，得方程x2+x+2=0，
b2﹣4ac=1﹣4×2=﹣7＜0，此时方程无实根．
所以原方程的解为x =﹣3，x =2．
1 2
【点睛】本题应用了换元法，把关于x的方程转化为关于y的方程，这样书写简便且形象直观，并且把方
程化繁为简化难为易，解起来更方便．
35．（2022·重庆巴蜀中学三模）阅读下列材料：
已知实数m，n满足(2m2+n2+1)(2m2+n2-1)=80，试求2m2+n2的值．
解：设2m2+n2=t，则原方程变为(t+1)(t-1)=80，整理得t2-1=80，t2=81，∴t=±9．
因为2m2+n2≥0，所以2m2+n2=9．
上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．
根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程．
（1）已知实数x，y满足(2x2+2y2+3)(2x2+2y2-3)=27，求x2+y2的值．
（2）若四个连续正整数的积为11880，求这四个连续正整数．
【答案】（1）3；（2）9，10，11，12
【分析】（1）设2x2+2y2=t，则原方程化为（t+3）（t-3）=27，求出t，再求出x2+y2即可；
（2）设四个连续正整数为k-1，k，k+1，k+2（k≥2且k为整数），并同理利用换元法解方程即可．
【详解】解：（1）设2x2+2y2=t，则原方程变为(t+3)(t-3)=27，
整理得t2-9=27，t2=36，t=±6
∵2x2+2y2≥0，
∴2x2+2y2=6，
∴x2+y2=3；
（2）设四个连续正整数为k-1，k，k+1，k+2（k≥2且k为整数），由题意得：
(k-1)k(k+1)(k+2)=11880，
∴(k-1)(k+2)·k(k+1)=11880，
∴(k2+k-2)(k2+k)=11880，
令a=k2+k.则(a-2)a=11880，a2-2a-11880=0 ，
∴a =110，a = -108（舍），
1 2
则k2+k=110，解得k =10，k = -11（舍），
1 2
综上四个连续正整数为9，10，11，12.
【点睛】本题考查了解一元二次方程、解高次方程和分解因式等知识点，能正确进行换元是解此题的关键．
【考点8 根的判别式】
36．（2022·四川·南充市实验中学模拟预测）关于x的一元二次方程x2−(k+2)x+2k=0．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程两根x 、x 与且x ❑ 2+x ❑ 2=20，求k的值．
1 2 1 2
【答案】(1)见解析
(2)k=4 或k=−4
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式可得出Δ≥0 ，由此可证出方程总有两个实数根；
（2）根据一元二次方程的根与系数的关系，可以得到x +x =k+2 ，x x =2k ，再将它们代入
1 2 1 2x 2+x 2=(x +x ) 2−2x x =20
，即可求出k的值．
1 2 1 2 1 2
【详解】（1）解：由方程x2−(k+2)x+2k=0，
∵Δ=(k+2) 2−8k
=k2−4k+4
=(k−2) 2≥0，即Δ≥0，
∴ 无论k取何值时，方程总有两个实数根；
（2）解：∵x +x =k+2，x ⋅x =2k，
1 2 1 2
又x 2+x 2=(x +x ) 2−2x ⋅x ，
1 2 1 2 1 2
把x +x =k+2，x ⋅x =2k代入上式：x ❑ 2+x ❑ 2=(k+2) 2−4k
1 2 1 2 1 2
∵x ❑ 2+x ❑ 2=20，
1 2
∴(k+2) 2−4k=20 整理得：k2=16，
解得：k=4 或k=−4．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0 根的判别式（Δ=b2−4ac）和根与系数的关系，关键
知识点：Δ＞0等价于方程有两个不相等的实数根；Δ=0等价于方程有两个相等的实数根；Δ＜0等价于
b c
方程没有实根；韦达定理：x +x =− ，x x = ．
1 2 a 1 2 a
37．（2022·北京市三帆中学模拟预测）已知：关于x的一元二次方程x2−4x+2m=0有两个不相等的实数
根．
(1)求m的取值范围；
(2)如果m为非负整数，且该方程的根都是整数，求该方程的根．
【答案】(1)m<2
(2)x =0，x =4
1 2
【分析】（1）利用根的判别式的意义得到Δ=(−4) 2−4×2m>0，然后解不等式即可；
（2）在（1）中m的范围内可得到m为0或1，则方程变为x2−4x=0或x2−4x+2=0，然后解方程即可．（1）
解：根据题意得Δ=(−4) 2−4×2m=16−8m>0，
解得m<2．
故m的取值范围为m<2；
（2）
解：由（1）知m<2，
∵m为非负整数，
∴m为0或1，
当m=0时，方程为x2−4x=0，
解得x =0，x =4，
1 2
当m=1时，方程为x2−4x+2=0，
解得x =2−√2，x =2+√2，
3 4
∵该方程的根都是整数，
∴x =2−√2，x =2+√2不合题意，舍去，
3 4
∴该方程的根为x =0，x =4．
1 2
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2−4ac，解题的关键是掌握
“当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程没有
实数根”．
13
38．（2022·四川成都·三模）若方程x2+（m﹣4）x+ ﹣m＝0有两个不相等的实数根x 和x，且x+x＞﹣
4 1 2 1 2
21
3，xx＜ ，则m的取值范围为多少？
1 2 4
【答案】﹣2＜m＜1或3＜m＜7
【分析】由方程有两个不相等实数根结合根的判别式即可得出关于m的不等式，解不等式即可得出m的取
值范围，结合根与系数的关系可得出关于m的不等式，解不等式可得出答案．
13
【详解】解：∵方程x2+（m﹣4）x+ ﹣m＝0有两个不相等的实数根，
4
(13 )
∴b2﹣4ac＝(m﹣4) 2﹣4× −m ＞0，
4
整理得：m2−4m+3>0，即(m−3)(m−1)>0，
根据乘法法则得：¿或¿，
解前一不等式组得：m＞3；解后一不等式组得：m＞1，
∴原不等式的解集为：m＞3或m＜1；
b
由题意得x+x＝− ＝（4﹣m）＞﹣3，
1 8 a
解得m＜7；
c 13 21
∵xx＝ = −m< ，
1 2 a 4 4
解得m＞﹣2．
综上所述，﹣2＜m＜1或3＜m＜7．
【点睛】本题考查了根与系数的关系、根的判别式，根据题意得出关于m的不等式是解题的关键
1
39．（2022·云南·一模）已知关于x的方程x2−(2k+1)x+4(k− )=0
2
(1)求证：无论k取什么实数，这个方程总有实数根；
(2)若等腰三角形ABC的一边长a=4，另两边的长b、c恰好是这个方程的两个根，求三角形ABC的周长；
【答案】(1)见解析
(2)10
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式证明即可；
1
（2）用因式分解法解方程x2−(2k+1)x+4(k− )=0可得x =2，x =2k−1；然后分类讨论即可；
2 1 2
1
【详解】（1）证明：∵Δ=[−(2k+1)] 2 −4×4(k− )=(2k−3) 2≥0
2
∴无论k取什么实数，这个方程总有实数根
（2）解：原方程可化为：(x−2)(x−2k+1)=0
∴x−2=0或x−2k+1=0
∴x =2，x =2k−1
1 2
当x =x =2时，三角形ABC的三边长为：2、2、4，不存在此三角形；
1 2
当x ≠x 时，，三角形ABC的三边长为：2、4、4；
1 2
此时，三角形ABC的周长为：2+4+4=10
故三角形ABC的周长为10
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解法、等腰三角形的性质；熟练掌握一元二次方程的解法和分类讨论思想是解题的关键．
40．（2022·浙江杭州·模拟预测）已知△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB，AC的长是关于x的一元
二次方程x2−(2k+3)x+k2+3k+2=0的两个实数根．
(1)求证：无论k为何值时，方程总有两个不相等的实数根；
(2)k为何值时，△ABC是等腰三角形？并求△ABC的周长．
【答案】(1)见解析；
(2)当k等于4或3时，△ABC是等腰三角形；当k=4时，△ABC的周长为16，当k=3时，△ABC的周长为
14．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式求得Δ﹥0 即可证明；
（2）由（1）可得BC边为腰，先解方程，再分类讨论即可求出k值和三角形周长．
【详解】（1）证明：∵ Δ=(2k+3) 2−4(k2+3k+2)=4k2+12k+9−4k2−12k−8=1＞0
∴无论k为何值，原方程总有两个不相等的实数根．
（2）解方程x2−（2k+3）x+k2+3k+2=0，得x =k+1，x =k+2．
1 2
当x =k+1=5时，k=4，则x =k+2=6，
1 2
此时等腰△ABC的周长为：5+5+6=16；
当x =k+2=5时，k=3，则x =k+1=4，
2 1
此时等腰△ABC的周长为：5+5+4=14；
综上，当k=4时，等腰△ABC的周长为16，当k=3时，等腰△ABC的周长为14．
【点睛】本题考查了根的判别式，解一元二次方程以及等腰三角形的判定，熟练掌握根与系数的关系是解
题的关键．
【考点9 根与系数的关系】
41．（2022·宁夏·银川英才学校二模）阅读理解：
材料一：若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三
个实教x，y，z构成“和谐三数组”．
b
材料二：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别为x ，x ，则有x +x =− ，
1 2 1 2 a
c
x ⋅x = ．
1 2 a问题解决：
(1)请你写出三个能构成“和谐三数组”的实数，并写出理由过程；
(2)若x ，x 是关于x的方程ax2+bx+c=0 (a，b，c均不为0)的两根，x 是关于x的方程bx+c=0 (
1 2 3
b，c均不为0)的解．求证：x ，x ，x 可以构成“和谐三数组”；
1 2 3
4
(3)若A(m，y )，B(m+1，y )，C(m+3，y )三个点均在反比例函数y= 的图象上，且三点的纵
1 2 3 x
坐标恰好构成“和谐三数组”，求实数m的值．
1 1 1
【答案】(1) ， ， ，理由见解析
2 3 5
(2)见解析
(3)−2或4或2
【分析】（1）根据“和谐三数组”写成一组即可得出结论；
1 1 b 1 b
（2）先根据材料2，得出 + =− ，再求出一元一次方程的解，进而得出 =− ，即可得出结论；
x x c x c
1 2 3
（3）先用m表示出y ，y ，y ，进而表示出它们的倒数，再根据“和谐三数组”分三种情况，建立方程
1 2 3
求解即可得出结论．
1 1 1
【详解】（1）根据题意得，能构成“和谐三数组”的实数： ， ， ，
2 3 5
1 1 1
理由： 的倒数为2， 的倒数为3， 的倒数为5，2+3=5
2 3 5
1 1 1
∴ ， ， ，能构成“和谐三数组”，
2 3 5
（2）证明：∵x ，x 是关于x的方程ax2+bx+c=0(a,b,c均不为0)的两根，
1 2
b c
∴x +x =− ,x ⋅x = ，
1 2 a 1 2 a
1 1 x +x b
∴ + = 1 2=− ，
x x x x c
1 2 1 2
∵x 是关于x的方程bx+c=0 (b，c均不为0)的解，
3
c
∴x =− ，
3 b
1 b
∴
=−
，
x c
31 1 1
+ =
∴ ，
x x x
1 2 3
∴x ，x ，x 可以构成“和谐三数组”；
1 2 3
4
（3）∵A（m,y ），B（m+1，y ），C（m+3，y ）三个点均在反比例函数y= 的图象上，
1 2 3 x
4 4 4
∴y = ,y = ,y = ，
1 m 2 m+1 3 m+3
1 m 1 m+1 1 m+3
∴ = , = , = ，
y 4 y 4 y 4
1 2 3
∵A（m,y ），B（m+1，y ），C（m+3，y ）三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”，
1 2 3
1 1 1
+ =
∴① ，
y y y
1 2 3
m m+1 m+3
即 + = ，
4 4 4
解得m=2，
1 1 1
+ =
② ，
y y y
2 3 1
m+1 m+3 m
∴ + = ，
4 4 4
∴m=−4，
1 1 1
+ =
③ ，
y y y
3 1 2
m+3 m m+1
∴ + = ，
4 4 4
∴m=−2，
即满足条件的实数m的值为2或−4或−2．
【点睛】此题主要考查了新定义的理解和运用，一元二次方程根与系数的关系，一元一次方程的解的定义，
反比例函数图象上点的坐标特征，利用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
42．（2022·湖北十堰·三模）已知，关于x的一元二次方程x2−(2a−1)x+a2−a=0，
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)若方程两根的绝对值相等，求a的值．
【答案】(1)证明见解析
1
(2)
2【分析】（1）只需证明Δ>0即可；
（2）利用根与系数的关系列出两根之和的表达式，因为两根互为相反数，故由两根之和等于0即可求出a
的值．
(1)
解：∵ Δ=[−(2a−1)] 2 −4(a2−a)=1>0，
∴该方程有两个不相等的实数根．
(2)
解：∵ x ≠x ，且|x |=|x |，
1 2 1 2
∴ x =−x ，即x +x =0，
1 2 1 2
∴ 2a−1=0，
1
解得a= ．
2
b
【点睛】本题考查了一元二次方程的判别式，一元二次方程根与系数的关系，牢记x +x =− 是解决本题
1 2 a
的关键．
43．（2022·江苏扬州·二模）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图
象的“梅岭点”．
(1)若点P(3,p)是一次函数y=mx+6的图象上的“梅岭点”，则m=______________；若点P(m,m)是函
3
数y= 的图象上的“梅岭点”，则m= _____________；
x−2
(2)若点P(p,−2)是二次函数y=x2+bx+c的图象上唯一的“梅岭点”，求这个二次函数的表达式；
(3)若二次函数y=ax2+bx+c（a，b是常数，a>0）的图象过点(0,2)，且图象上存在两个不同的“梅岭
点”A(x ,x ),B(x ,x )，且满足−10）的图象过点(0,2)，
∴c=2，
∴y=ax2+bx+2，
∵ y=ax2+bx+2图象上存在两个不同的“梅岭点”A(x ,x ),B(x ,x )，
1 1 2 2
∴x =ax ❑ 2+bx +2，x =ax ❑ 2+bx +2，
1 1 1 2 2 2
∴ax ❑ 2+(b−1)x +2=0，ax ❑ 2+(b−1)x +2=0，
1 1 2 2
∴x ,x 是方程ax2+(b−1)x+2=0的两个根，
1 2
1−b 2
∴x +x = ，x ⋅x = ，
1 2 a 1 2 a
∵|x −x |=2，
1 2
∴(x −x ) 2=4，
1 2
1−b 2 2
∴(x +x ) 2−4x x =( ) −4× =4，
1 2 1 2 a a
∴b2−2b+1−8a=4a2，
∴k=−b2+2b+2=−4a2−8a+3=−4(a+1) 2+7，
∵|x −x |=2，
1 2
∴x −x =2或x −x =2，
1 2 2 1
∵−10，
2
∴a> ，
3
2 2 37
∴−4(a+1) 2+7<−4×( +1) +7=− ，
3 9
37
∴k<− ．
9
【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程的关系、方程的根与系数的关系、解不等式等知识点，熟练运
用数形结合思想是解题的关键．
44．（2022·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校一模）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+m﹣3＝0
的两个根为a，b．
(1)若a，b分别为矩形的两条对角线的长，求m的值；
(2)若a，b分别是菱形的两条对角线的长，且菱形的面积为4，求m的值．
【答案】(1)m＝12
(2)m＝11
【分析】（1）根据矩形的对角线相等可得a=b，进而根据一元二次方程根的判别式求解即可；
（2）根据根与系数的关系可得a·b＝m-3，根据菱形的性质列出一元一次方程，解方程求解即可
【详解】（1）∵a，b分别为矩形的两条对角线的长
∴a＝b
∴Δ＝(﹣6)2－4(m-3)＝0
m＝12
（2）根据根与系数关系 得：a·b＝m-3
1
∵S ＝ a·b＝4
菱形 2
1
∴ (m-3)＝4
2
∴m＝11
【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的性质，一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，掌握一元二
次方程根的判别式以及根与系数的关系是解题的关键．
45．（2022·湖北黄石·一模）阅读材料：
b c
材料1：若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x ，x 则x +x =− ，x x = ．
1 2 1 2 a 1 2 an m
材料2：已知实数m，n满足m2−m−1=0，n2−n−1=0，且m≠n，求 + 的值．
m n
解：由题知m，n是方程x2−x−1=0的两个不相等的实数根，根据材料1得m+n=1，mn=−1，所以
n m m2+n2 (m+n) 2−2mn 1+2
+ = = = =−3
m n mn mn −1
根据上述材料解决以下问题：
(1)材料理解：一元二次方程5x2+10x−1=0的两个根为x ，x ，则x +x = ___________，x x =
1 2 1 2 1 2
____________．
(2)类比探究：已知实数m，n满足7m2−7m−1=0，7n2−7n−1=0，且m≠n，求m2n+mn2的值．
2st+7s+2
(3)思维拓展：已知实数s、t分别满足7s2+7s+1=0，t2+7t+7=0，且st≠1．求 的值．
t
1
【答案】(1)−2；− ；
5
1
(2)− ；
7
(3)-1
【分析】（1）直接根据根与系数的关系可得答案；
1
（2）由题意得出m、n可看作方程7x2−7x−1=0，据此知m+n=1，mn=− ，将其代入计算可得；
7
1 (1) 2 1
（3）把t2+7t+7=0变形为1+7⋅ +7⋅ =0，据此可得实数s和 可看作方程7x2+7x+1=0的两根，
t t t
1 1 1
继而知s+ =−1，s⋅ = ，进一步代入计算可得．
t t 7
10 1
【详解】（1）x +x =− =−2，x x =− ；
1 2 5 1 2 5
1
故答案为−2；− ；
5
（2）∵7m2−7m−1=0，7n2−7n−1=0，且m≠n，
∴m、n可看作方程7x2−7x−1=0，
1
∴m+n=1，mn=− ，
71 1
∴ m2n+mn2=mn(m+n)=− ×1=− ；
7 7
1 (1) 2
（3）把t2+7t+7=0变形为1+7⋅ +7⋅ =0，
t t
1
实数s和 可看作方程7x2+7x+1=0的两根，
t
1 1 1
∴ s+ =−1，s⋅ = ，
t t 7
2st+7s+2
∴
t
s 2
=2s+7⋅ +
t t
1 s
=2(s+ )+7⋅
t t
1
=2×(−1)+7×
7
=−1．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值、根与系数的关系，解题的关键是根据题意建立合适的方程及分式
的混合运算顺序和运算法则．
【考点10 配方法的应用】
1 1 1
46．（2022·江苏盐城·三模）已知a= x+2013，b= x+2014，c= x+2015，求代数式
2014 2014 2014
2(a2+b2+c2−ab−bc−ac)的值．
【答案】6
【分析】由题意求出a−b，a−c，b−c的值，原式利用完全平方公式变形后代入计算即可求出值．
1 1 1
【详解】解：∵a= x+2013，b= x+2014，c= x+2015，
2014 2014 2014
∴a−b=−1，a−c=−2，b−c=−1，
则原式=(a2−2ab+b2)+(a2−2ac+c2)+(b2−2bc+c2) =(a−b) 2+(a−c) 2+(b−c) 2=1+4+1=6．
【点睛】本题考查了配方法的应用，得出2(a2+b2+c2−ab−bc−ac) =(a−b) 2+(a−c) 2+(b−c) 2是解
题的关键．3
47．（2022·浙江杭州·一模）已知M＝x2﹣3，N＝4（x﹣ ）．
2
（1）当x＝﹣1时，求M﹣N的值；
（2）当1＜x＜2时，试比较M，N的大小．
【答案】（1）8；（2）M
