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专题 06 一元二次方程
课标要求 考点 考向
考向一 一元二次方程的相关概
1.理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字
念
系数的一元二次方程;
解一元
考向二 解一元二次方程
2.会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两
二次方
个实根是否相等; 程 考向三 一元二次方程根的判别
3.能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻 式
画现实世界数量关系的有效模型;
4.能利用一元二次方程解决实际应用问题，并根据具体问 考向一 增长率问题
题的实际意义，检验方程的解是否合理.
一元二
考向二 与图形有关的问题
次方程
的应用
考向三 营销问题
考点一 解一元二次方程
►考向一 一元二次方程的相关概念
1．（2024·江苏宿迁·中考真题）规定：对于任意实数a、b、c，有 ，其中等式右面是通
常的乘法和加法运算，如 ．若关于x的方程 有两个不相等的实数
根，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． 且 D． 且
【答案】D
【分析】此题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，根据题意得到 ，再由有两个不相等
的实数根得到 ，且 ，即可得到答案.
【详解】解：∵ ，
∴ ，即 ，
∵关于x的方程 有两个不相等的实数根，
∴ ，且 ，
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解得 且 ，
故选：D．
2．（2024·四川凉山·中考真题）若关于 的一元二次方程 的一个根是 ，则 的
值为（ ）
A．2 B． C．2或 D．
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解，二次项系数不为 ．由一元二次方程的定义，
可知 ；一根是 ，代入 可得 ，即可求答案．
【详解】解： 是关于 的一元二次方程，
，即
由一个根 ，代入 ，
可得 ，解之得 ；
由 得 ；
故选A
3．（2024·广东深圳·中考真题）已知一元二次方程 的一个根为1，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程解的定义，根据一元二次方程的解的定义，将x=1代入原方程，列出关
于 的方程，然后解方程即可．
【详解】解： 关于 的一元二次方程 的一个根为 ，
满足一元二次方程 ，
，
解得， ．
故答案为： ．
►考向二 解一元二次方程
►考查角度一 因式分解法
4．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）等腰三角形的两边长分别是方程 的两个根，则这个三角形
的周长为（ ）
A． 或 B． 或 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系及周长，由方程可得 ，
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，根据三角形的三边关系可得等腰三角形的底边长为 ，腰长为 ，进而即可求出三角形的周长，掌
握等腰三角形的定义及三角形的三边关系是解题的关键．
【详解】解：由方程 得， ， ，
∵ ，
∴等腰三角形的底边长为 ，腰长为 ，
∴这个三角形的周长为 ，
故选： ．
5．（2024·贵州·中考真题）一元二次方程 的解是（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】B
【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法求解即可．
【详解】解∶ ，
∴ ，
∴ 或 ，
∴ ， ，
故选∶B．
►考查角度二 直接开方法
6．（2024·广东广州·中考真题）定义新运算： 例如： ，
．若 ，则 的值为 ．
【答案】 或
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是明确新运算的定义．根据
新定义运算法则列出方程求解即可．
【详解】解：∵
而 ，
∴①当 时，则有 ，
解得， ；
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②当 时， ，
解得，
综上所述，x的值是 或 ，
故答案为： 或 ．
►考查角度三 配方法
7．（2024·山东德州·中考真题）把多项式 进行配方，结果为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查完全平方公式，利用添项法，先加上一次项系数一半的平方使式子中出现完全平方
式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．
根据利用完全平方公式的特征求解即可；
【详解】解：
故选B．
8．（2024·山东东营·中考真题）用配方法解一元二次方程 时，将它转化为 的形
式，则 的值为（ ）
A． B．2024 C． D．1
【答案】D
【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法步骤，是解出本题的关键．
用配方法把 移项，配方，化为 ，即可．
【详解】解：∵ ，
移项得， ，
配方得， ，
即 ，
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∴ ， ，
∴ ．
故选：D．
►考查角度四 公式法
9．（2024·河北·中考真题）淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小
1，则 （ ）
A．1 B． C． D．1或
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解一元二次方程，熟练掌握知识点是解题的关键．
由题意得方程 ，利用公式法求解即可．
【详解】解：由题意得： ，
解得： 或 （舍）
故选：C．
10．（2024·四川南充·中考真题）已知抛物线 与 轴交于两点 ， （ 在 的左侧），
抛物线 与 轴交于两点 ， （ 在 的左侧），且 ．下列四个结论：
与 交点为 ； ； ； ， 两点关于 对称．其中正确的结论是
．（填写序号）
【答案】
【分析】由题意得 ，根据 可以判断 ；令 求出 ，
，由 可以判断 ；抛物线 与 轴交于两点 ， （ 在 的
左侧），抛物线 与 轴交于两点 ， （ 在 的左侧），根据根的判别式得出
或 ， 或 ，可以判断 ，利用两点间的距离可以判断 ．
【详解】解： 由题意得 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
当 时， ，
∴ 与 交点为 ，故 正确，
当 时， ，解得 ，
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∴ ，
当 时， ，解得 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，则有： ，
∵ ，
∴ ，故 正确；
∵抛物线 与 轴交于两点 ， （ 在 的左侧），抛物线
与 轴交于两点 ， （ 在 的左侧），
∴ ， ，
解得： 或 ， 或 ，
由 得 ，
∴ ，
当 时， ，或当 时， ，
∴ ，故 错误；
由 得： ，解得 ，
∵ 在 的左侧， 在 的左侧，
∴ ， ， ， ，
∵ ，
∴ ，整理得： ，
∴ ，
∴由对称性可知： ， 两点关于 对称，故 正确；
综上可知： 正确，
故答案为： ．
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【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，解一元二次方程，根的判
别式，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
11．（2024·福建·中考真题）如图，在平面直角坐标系 中，反比例函数 的图象与 交于 两
点，且点 都在第一象限．若 ，则点 的坐标为 ．
【答案】(2,1)
【分析】本题考查了反比例函数的性质以及勾股定理，完全平方公式的应用，先根据 得出 ，设
，则 ，结合完全平方公式的变形与应用得出 ，
结合 ，则 ，即可作答．
【详解】解：如图：连接
∵反比例函数 的图象与 交于 两点，且
∴
设 ，则
∵
∴
则
∵点 在第一象限
∴
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把 代入得
∴
经检验： 都是原方程的解
∵
∴
故答案为：
12．（2024·四川凉山·中考真题）已知 ，则 的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
将 代入 ，转化为解一元二次方程， ，要进行舍解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
将 代入
得， ，
即： ，
，
∴ 或 ，
∵ ，
∴ 舍，
∴ ，
故答案为：3．
13．（2024·山西·中考真题）一元二次方程 的解是 ．
【答案】 ，
【分析】直接提取公因式求解即可．
【详解】解： ，
x（x-6）=0，
解得x =0，x =6，
1 2
故答案为：x =0，x =6．
1 2
【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握方程解法是解题关键．
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►考向三 一元二次方程根的判别式
易错易混提醒
一元二次方程根的情况与判别式的关系
1.当b2-4ac>0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根;
2.当b2-4ac=0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有1个(两个相等的)实数根;
3.当b2-4ac<0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根.
一元二次方程 根与系数的关系：若方程的两实数根为 ，则
．
14．（2024·山东济南·中考真题）若关于 的方程 有两个不相等的实数根，则实数 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程 的根与 有
如下关系：① ，方程有两个不相等的实数根，② ，方程有两个相等的实数根，③ ，方程没
有实数根，由题意得出 ，计算即可得出答案．
【详解】解：∵关于 的方程 有两个不相等的实数根，
∴ ，
解得： ，
故选：B．
15．（2024·北京·中考真题）若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则实数 的值为
（ ）
A． B． C．4 D．16
【答案】C
【分析】根据方程的根的判别式 即可．本题考查了一元二次方程的根的判
别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键．
【详解】∵方程 有两个相等的实数根， ，
∴ ，
∴ ，
解得 ．
故选C．
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16．（2024·上海·中考真题）以下一元二次方程有两个相等实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程判别式判断根的情况，解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程
，当 时，方程有两个不相等实数根；当 时，方程的两
个相等的实数根；当 时，方程没有实数根．分别计算出各选项中的根的判别式的值，即可
判断．
【详解】解：A． ，该方程有两个不相等实数根，故A选项不符合题意；
B． ，该方程有两个不相等实数根，故B选项不符合题意；
C． ，该方程有两个不相等实数根，故C选项不符合题意；
D． ，该方程有两个相等实数根，故D选项不符合题意；
故选：D．
17．（2024·四川乐山·中考真题）若关于x的一元二次方程 两根为 、 ，且 ，则
p的值为（ ）
A． B． C． D．6
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程 根与系数的关系：若方程的两实数根为 ，则
．
根据一元二次方程 根与系数的关系得到 ，然后通分，
，从而得到关于p的方程，解方程即可．
【详解】解： ，
，
而 ，
，
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，
故选：A．
18．（2024·山东德州·中考真题）已知a和b是方程 的两个解，则 的值为
．
【答案】2028
【分析】本题考查一元二次方程的解和根与系数关系、代数式求值，先根据方程的解满足方程以及根与系
数关系求得 ， ，再代值求解即可．
【详解】解：∵a和b是方程 的两个解，
∴ ， ，
∴ ，
∴
，
故答案为：2028．
19．（2024·山东·中考真题）若关于 的方程 有两个相等的实数根，则 的值为 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了根的判别式，牢记“当 时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
根据方程的系数结合根的判别式，即可得出 ，解之即可得出结论．
【详解】解：∵关于 的方程 有两个相等的实数根，
∴ ，
解得： ．
故答案为： ．
20．（2024·四川遂宁·中考真题）已知关于 的一元二次方程 ．
(1)求证：无论 取何值，方程都有两个不相等的实数根；
(2)如果方程的两个实数根为 ，且 ，求 的值．
【答案】(1)证明见解析；
(2) 或 ．
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，掌握一元二次方
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程根的判别式是解题的关键．
（1）根据根的判别式证明 恒成立即可；
（2）由题意可得， ， ，进行变形后代入即可求解．
【详解】（1）证明： ，
∵无论 取何值， ，恒成立，
∴无论 取何值，方程都有两个不相等的实数根．
（2）解：∵ 是方程 的两个实数根，
∴ ， ，
∴ ，
解得： 或 ．
考点二 一元二次方程的应用
►考向一 增长率问题
21．（2024·江苏南通·中考真题）红星村种的水稻2021年平均每公顷产 ，2023年平均每公顷产
．求水稻每公顷产量的年平均增长率．设水稻每公顷产量的年平均增长率为x．列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，则2022年平均每
公顷 ，则2023年平均每公顷产 ，根据题意列出一元二次方程即可．
【详解】解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，则2022年平均每公顷产 ，
则2023年平均每公顷产 ，
根据题意有： ，
故选：A．
22．（2024·云南·中考真题）两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产
1千克甲种药品的成本为60元．设甲种药品成本的年平均下降率为 ，根据题意，下列方程正确的是
（ ）
A． B．
C． D．
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【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据甲种药品成本的年平均下降率为 ，利用现在生产1千克
甲种药品的成本 两年前生产1千克甲种药品的成本年 （ 平均下降率） ，即可得出关于的一元二次
方程．
【详解】解： 甲种药品成本的年平均下降率为 ，
根据题意可得 ，
故选：B．
23．（2024·重庆·中考真题）随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增．该公司2021年缴税40万元，
2023年缴税48.4万元，该公司这两年缴税的年平均增长率是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用．设平均增长率为x，然后根据题意可列方程进行求解．
【详解】解：设平均增长率为x，由题意得：
，
解得： ， （不符合题意，舍去）；
故答案为： ．
24．（2024·重庆·中考真题）重庆在低空经济领域实现了新的突破．今年第一季度低空飞行航线安全运行
了200架次，预计第三季度低空飞行航线安全运行将达到401架次．设第二、第三两个季度安全运行架次
的平均增长率为 ，根据题意，可列方程为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为
，则第二季度低空飞行航线安全运行了 架次，第三季度低空飞行航线安全运行了 架
次，据此列出方程即可．
【详解】解：设第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为 ，
由题意得， ，
故答案为： ．
25．（2024·西藏·中考真题）列方程（组）解应用题
某商场响应国家消费品以旧换新的号召，开展了家电惠民补贴活动．四月份投入资金20万元，六月份投入
资金24.2万元，现假定每月投入资金的增长率相同．
(1)求该商场投入资金的月平均增长率；
(2)按照这个增长率，预计该商场七月份投入资金将达到多少万元？
【答案】(1)该商场投入资金的月平均增长率
(2)预计该商场七月份投入资金将达到 万元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用、有理数的混合运算的应用，理解题意，找准等量关系，正确列
出一元二次方程是解此题的关键．
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（1）设该商场投入资金的月平均增长率为 ，根据“四月份投入资金20万元，六月份投入资金24.2万元”
列出一元二次方程，解方程即可得出答案；
（2）根据（1）中求得的增长率，即可求得七月份投入资金．
【详解】（1）解：设该商场投入资金的月平均增长率为 ，
由题意得： ，
解得： ， （不符合题意，舍去），
∴该商场投入资金的月平均增长率 ；
（2）解： （万元），
∴预计该商场七月份投入资金将达到 万元．
►考向二 与图形有关的问题
26．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，小程的爸爸用一段 长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长
）的矩形鸭舍，其面积为 ，在鸭舍侧面中间位置留一个 宽的门（由其它材料制成），则
长为（ ）
A． 或 B． 或 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，矩形的面积公式的运用，正确寻找题目的等量关
系是解题的关键．设矩形场地垂直于墙一边长为 ，可以得出平行于墙的一边的长为 ．根据
矩形的面积公式建立方程即可．
【详解】解：设矩形场地垂直于墙一边长为 ，
则平行于墙的一边的长为 ，
由题意得 ，
解得： ， ，
当 时，平行于墙的一边的长为 ；
当 时，平行于墙的一边的长为 ，不符合题意；
∴该矩形场地 长为 米，
故选C．
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27．（2024·四川德阳·中考真题）宽与长的比是 的矩形叫黄金矩形，黄金矩形给我们以协调的美感，
世界各国许多著名建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形 是黄金矩形．
，点 是边 上一点，则满足 的点 的个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】D
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，一元二次方程的解，熟练掌握勾股定理，利用判别式判断一
元二次方程解的情况是解题的关键．设 ， ，假设存在点 ，且 ，则 ，利用
勾股定理得到 ， ， ，可得到方程
，结合 ，然后根据判别式的符号即可确定有几个解，由此得解．
【详解】解：如图所示，四边形 是黄金矩形， ， ，
设 ， ，假设存在点 ，且 ，则 ，
在 中， ，
在 中， ，
，
，即 ，
整理得 ，
，又 ，即 ，
，
， ，
，
方程无解，即点 不存在．
故选：D．
28．（2024·湖北·中考真题）学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长
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42m，篱笆长 ．设垂直于墙的边 长为 米，平行于墙的边 为 米，围成的矩形面积为 ．
(1)求 与 与 的关系式．
(2)围成的矩形花圃面积能否为 ，若能，求出 的值．
(3)围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时 的值．
【答案】(1) ；
(2)能，
(3) 的最大值为800，此时
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用和二次函数的实际应用：
（1）根据 可求出 与 之间的关系，根据墙的长度可确定 的范围；根据面积公式可确
立二次函数关系式；
（2）令 ，得一元二次方程，判断此方程有解，再解方程即可 ；
（3）根据自变量的取值范围和二次函数的性质确定函数的最大值即可．
【详解】（1）解：∵篱笆长 ，
∴ ，
∵
∴
∴
∵墙长42m，
∴ ，
解得， ，
∴ ；
又矩形面积
；
（2）解：令 ，则 ，
整理得： ，
此时， ，
所以，一元二次方程 有两个不相等的实数根，
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∴围成的矩形花圃面积能为 ；
∴
∴
∵ ，
∴ ；
（3）解：
∵
∴ 有最大值，
又 ，
∴当 时， 取得最大值，此时 ，
即当 时， 的最大值为800
►考向三 营销问题
29．（2024·辽宁·中考真题）某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量 （件）与每件售价
（元）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
每件售价 /元
日销售量 /件
(1)求 与 之间的函数关系式（不要求写出自变量 的取值范围）；
(2)该商品日销售额能否达到 元？如果能，求出每件售价：如果不能，请说明理由．
【答案】(1) ；
(2)该商品日销售额不能达到 元，理由见解析。
【分析】本题考查了一次函数的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）利用待定系数法求
出 与 之间的函数表达式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
（1）根据表格中的数据，利用待定系数法即可求出 与 之间的函数表达式；
（2）利用销售额 每件售价 销售量，即可得出关于 的一元二次方程，利用根与系数的关系求解即可．
【详解】（1）解：设 与 之间的函数表达式为 ，
将 ， 代入 得
，
解得 ，
与 之间的函数表达式为 ；
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（2）解：该商品日销售额不能达到 元，理由如下：
依题意得 ，
整理得 ，
∴ ，
∴该商品日销售额不能达到 元．
30．（2024·山东烟台·中考真题）每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享
美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，
每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每
辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元．
(1)求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？
(2)全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？
【答案】(1) ，每辆轮椅降价20元时，每天的利润最大，为 元
(2)这天售出了64辆轮椅
【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的列出函数关系式，是解题的关键：
（1）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数关系式，再根据二次函数的性质求最值即可；
（2）令 ，得到关于 的一元二次方程，进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意，得： ；
∵每辆轮椅的利润不低于180元，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴当 时， 随 的增大而增大，
∴当 时，每天的利润最大，为 元；
答：每辆轮椅降价20元时，每天的利润最大，为 元；
一、单选题
1．（2024·湖南郴州·模拟预测）下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
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【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的次数是一次的整式方程叫一元二次方程，逐一
判断即可解答．
【详解】解：A、 符合一元二次方程的定义，是一元二次方程，故此选项符合题意；
B、 含有两个未知数，是二元二次方程，故此选项不符合题意；
C、 是一元一次方程，故此选项不符合题意；
D、 不是整式方程，故此选项不符合题意；
故选：A．
2．（2024·湖北·模拟预测）某银行经过最近的两次降息，使一年期存款年利率由 降至 ，设平
均每次降息的百分率是x，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关
键．根据一年期存款的原年利率及经过两次降息后的年利率，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：依题意得： ．
故选：A．
3．（2024·湖北·模拟预测）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主
干、支干和小分支的总数是73，设每个支干长出x个小分支，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，熟练的表示支干与小分支的数量是解本题的关键.
设每个支干长出x个小分支，则主干生出x个小分支，而x个小分支每个又生出x个小分支，所以一共有
个，从而可得答案.
【详解】解：设每个支干长出x个小分支，则
,
故选：A．
4．（2024·山西·模拟预测）下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，熟记根的判别式是解题的关键．
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直接利用一元二次方程根的判别式对每个方程逐一计算即可求解．
【详解】A、 ，故选项A有两个不相等的实数根，不合题意；
B、 ，故选项B有两个不相等的实数根，不合题意；
C、 ，故选项C没有实数根，符合题意；
D、方程化为 ， ，故选项D有两个相等的实数根，不合题意．
故选C．
5．（2024·湖北·模拟预测）解一元二次方程 ，配方后正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了配方法解方程，注意配方时先把常数项移到右边，然后把二次项系数化为1，最后等
号两边同时加上一次项系数一半的平方．根据配方法即可求出答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
6．（2024·天津·三模）方程 的根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查一元二次方程根与系数关系，解题关键是熟练掌握一元二次方程 有
两根为 ， ．
先把方程化成一般式，再根据一元二次方程根与系数关系求出 与 的值，判定即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ， ．
故选：D．
7．（2024·广东·模拟预测）电流通过导线时会产生热量，电流I（单位：A）、导线电阻R（单位：Ω）、
通电时间t（单位：s）与产生的热量Q（单位：J）之间满足关系式 ．已知导线的电阻为 ，1s
的时间导线产生 的热量，则通过导线的电流为（ ）
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A．2 A B．4 A C．8 A D．16 A
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，正确建立方程是解题关键．根据题意，将已知数值
代入关系式可得一个关于 的一元二次方程，解方程即可得．
【详解】解：由题意得： ，
解得 或 （不符合题意，舍去），
所以通过导线的电流为 ，
故选：B．
8．（2024·湖南·模拟预测）明明在解关于x的方程 时，抄错了a的符号，解出其中一
个根是 ．则原方程的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有一个实数根是：
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
【答案】D
【分析】本题考查根的判别式及一元二次方程的解，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．
根据抄错a的符号时得出的根，可求出正确的a的值，再判断出根的判别式的正负即可解决问题．
【详解】解：将 代入方程得 ，
解得 ，
所以a的正确值为 ，
则原方程为 ，
所以 ，
所以原方程有两个不相等的实数根.
故选：D.
二、填空题
9．（2024·山西太原·模拟预测）山西省政府办《关于加强全省城镇再生水利用的实施意见》总体要求中提
出：到2025年底，全省城镇再生水利用量达到4亿立方米/年，到2027年底，全省城镇再生水利用量达到
亿立方米/年，若设2025年到2027年全省城镇再生水利用量年平均增长率为x，则根据题意可列方程
为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设2025年到2027年全省城镇再生水利用量年平均增
长率为x，则2026年的全省城镇再生水利用量达到 亿立方米/年，2027年的全省城镇再生水利用量
达到 亿立方米/年，据此列出方程即可．
【详解】解：由题意得， ，
故答案为： ．
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10．（2024·浙江·模拟预测）已知实数 满足 则 的值为 ．
【答案】2或
【分析】本题考查了因式分解一元二次方程以及乘法公式的应用，先换元，即把
，再结合条件 ，进行运算，即可作答．
【详解】解：∵
∴
先记
∴
∵
∴
则
∴ 或
综上：
当 时，
∴
∴ ，负值已舍去；
当 时，
∴
∴ ，负值已舍去；
当 时，
∴
∴ ，负值已舍去；
综上：2或
故答案为：2或
11．（2024·山东·模拟预测）将一枚六个面的编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后
投掷两次，记第一次掷出的点数为a，第二次掷出的点数为c，则使关于x的一元二次方程
有实数解的概率为 ．
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【答案】
【分析】本题考查列表法与树状图法求概率，一元二次方程实根的情况，解题的关键是理解题意，利用列
表法与树状图法以及概率公式解决问题．
画表，共有36种等可能的结果，其中使关于x的一元二次方程 有实数解（即 ）
的结果有17种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：列表得：
共有36种等可能的结果，
关于x的一元二次方程 有实数解，
当 方程有实数根， ，
，
，
方程有实数根的有17种情况，
∴使关于x的一元二次方程 有实数解的概率为 ，
故答案为： ．
12．（2024·内蒙古包头·模拟预测）若 是方程 的一个解，则代数式 的最小值为
．
【答案】36
【分析】该题主要考查了二元一次方程的解，完全平方公式等知识点，解题的关键是掌握以上知识点．
将 代入 求出 ，再代入 化简即可得 即可求解；
【详解】解：∵ 是方程 的一个解，
∴ ，
∴ ，
∴
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，
∴代数式 的最小值为36．
故答案为：36．
13．（2024·湖北·模拟预测）请写一个一元二次方程，使得它的一个根为2，另一个根为负数，则这个一元
二次方程可以是 ．（写一个即可）
【答案】 （答案不唯一）
【分析】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据
另一个根为负数，令方程另一个根为 ，结合根与系数的关系，得 ， ，则该一元二
次方程为 ，即可作答．
【详解】解：依题意，令方程另一个根为 ，
则 ， ，
该方程可以为 ．
故答案为： （答案不唯一）．
14．（2024·吉林长春·模拟预测）若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 的值
是 ．
【答案】4
【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，根据方程有两个相等的实数根时 列出方
程，解之可得答案．
【详解】解：∵关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，
∴ 且 ，即 且 ，
解得， ，
故答案为：4．
15．（2024·上海徐汇·三模）如果实数x满足 ，那么 的值是 ．
【答案】3
【分析】本题主要考查了用换元法解一元二次方程、解分式方程，利用完全平方公式把方程变形是解题的
关键．
利用完全平方公式把方程变形为 ，利用换元法，设 ，则 ，
转化为解一元二次方程，求出 可能的值，分别得出分式方程，计算检验是否有解，即可得出答案．
【详解】解：∵ ，
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∴ ，
，
设 ，则 ，
因式分解得： ，
∴ 或 ，
解得： 或 ，
当 时，则 ，
整理得： ，
∴ ，
解得： ， ，
经检验， ， 都是方程 的解，
∴ 的值为 ；
当 时，则 ，
整理得： ，
，
∴ 时，方程无解．
综上所述， 的值为 ，
故答案为： ．
16．（2024·江西·模拟预测）设m，n是方程 的两个实数根，则 的值为
．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，根据一元二次方程的解的定义可得出
，根据一元二次方程根与系数的关系可得出 ， ，然后整体代入计算即
可．
【详解】解∶∵m，n是方程 的两个实数根，
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∴ ， ， ，
∴ ，
∴
，
故答案为： ．
三、解答题
17．（2024·湖北·模拟预测）若关于x的一元二次方程 有一个根是x=2，求b的值及方程的另
一个根．
【答案】 ，方程的另一个根是
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的定义，解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握解一元
二次方程的方法和熟知一元二次方程根的定义．将x=2代入方程求得到b的值，然后解一元二次方程即可．
【详解】解：∵x=2是 的一个根，
∴
解得 ，
将 代入原方程得 ，
∴
解得 ， ，
∴ ，方程的另一个根是 ．
18．（2024·福建龙岩·二模）运动创造美好生活！一天小美和小丽相约一起去沿河步道跑步．若两人同时
从A地出发，匀速跑向距离9000米处的B地，小美的跑步速度是小丽跑步速度的1.2倍，那么小美比小丽
早5分钟到达B地．
(1)求小美每分钟跑多少米？
(2)若从A地到达B地后，小美以跑步形式继续前进到C地．从小美跑步开始，前20分钟内，平均每分钟
消耗热量15卡，超过20分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡，在整个锻炼过程
中，小美共消耗1650卡的热量，小美从A地到C地锻炼共用多少分钟．
【答案】(1)小美每分钟跑360米
(2)小美从A地到C地锻炼共用50分钟
【分析】本题考查了分式方程的应用和一元二次方程的应用，找出等量关系列方程是解题的关键．
（1）设小丽每分钟跑x米，则小美每分钟跑 米，根据“小红的跑步时间-小明的跑步时间=5”列分式方程
求解即可；
（2）设小美从A地到C地锻炼共用y分钟，根据“在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量”列出关于
y的一元二次方程，求解取其符合题意的值即可．
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【详解】（1）解：设小丽每分钟跑x米，则小美每分钟跑 米，
根据题意，得 ，
解得： ，
经检验， 既是所列分式方程的解，也符合题意，
则 ，
答：小美每分钟跑360米．
（2）设小美从A地到C地锻炼共用y分钟，
根据题意，得 ，
解得： ， （不符合题意，舍去），
答：小美从A地到C地锻炼共用50分钟．
19．（2024·贵州遵义·模拟预测）某数学兴趣小组在暑假开展社会实践活动，销售某品牌书包，平均每天
可以销售20个，每个盈利12元，为了扩大销售，增加盈利，该小组决定采取适当的降价措施，经调查发
现，如果每个书包每降价1元，平均每天可以多卖5个．
(1)若每个书包降价 元，则可多卖__________个，每个盈利__________元；
(2)若该兴趣小组同学想要一天盈利300元，每个书包应降价多少元；
(3)该兴趣小组同学想要一天盈利最大，应降价多少元，所得最大利润是多少元？
【答案】(1) ，
(2)每个书包降价6元
(3)当降价4元时利润最大，最大利润为320元
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用以及二次函数的应用，解决本题的关键是：
（1）根据每个书包降价 元，利用每个书包每降价1元，平均每天可以多卖5个，即可得出降价后书包多
卖 个，每个盈利 元；
（2）利用书包降价后每天盈利 每个的利润 卖出的个数 降低的价格） 增加的件数），把相
关数值代入即可求解；
（3）由（2）得关系式： ，配方后可解答．
【详解】（1）解：若每个书包降价 元，则可多卖 个，每个盈利 元；
故答案为： ， ；
（2）设每个书包降价 元，可盈利300元，
则 ，
解得： （舍去）， ，
每个书包降价6元；
（3）设每个书包降价 元，最大利润为 元，
则
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，
，
当 时， 有最大值，最大值为320；
答：当降价4元时利润最大，最大利润为320元．
20．（2024·浙江·模拟预测）定义新运算“ ”：当 时， ；当 时， ．
(1)当 时，求 的值．
(2)若 ，求x的值．
【答案】(1)6
(2) 或
【分析】此题考查了解一元二次方程，实数的新定义运算、解一元一次不等式，解题的关键是正确分析新
定义的运算法则．
（1）首先根据新定义进行化简，再代入数值计算即可；
（2）根据题意分 和 两种情况讨论，然后据新定义的运算规则列出一元二次方程求解并
判断即可．
【详解】（1）解：当 时，
；
（2）当 时，即： 时， ，
解得：
；
当 时，即： 时，
即 ，
解得： ，
∵ ，
∴ ．
所以x的值是 或
21．（2024·广东·模拟预测）综合实践
主题：能将矩形的周长和面积同时加倍吗?
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研究步骤：
（1）特殊化：研究正方形是否能周长和面积同时加倍；
（2）特殊化：研究一个具体的矩形是否能周长和面积同时加倍；
（3）一般化：研究边长比满足什么条件时，矩形的周长和面积可以同时加倍．
操作与计算：
(1)在图中画出将正方形 周长加倍的正方形 和将正方形 面积加倍的正方形 ．
(2)对于两边长分别为1 和2的矩形，是否能让周长和面积同时加倍?请通过计算加以说明．
(3)矩形边长比 满足什么条件时，矩形的周长和面积可以同时加倍?请直接写出答案．
【答案】(1)见解析
(2)能，见解析
(3)
【分析】本题主要考查了格点作图、一元二次方程的应用等知识，正确理解题意是解题关键．
（1）根据题意，画出相应图形即可；
（2）设周长加倍后的矩形，较长的一条边长为 ，则较短的一条边长为 ，根据题意列出关于 的一
元二次方程，求解即可证明结论；
（3）设矩形的两边长分别为 和 ，分别求得该矩形的周长和面积，再设周长加倍后的矩形，
较长的一条边长为 ，则较短的一条边长为 ，根据题意列出关于 的一元二次方程，根据一
元二次方程的根的判别式可知该方程有实数解，所以当 时，矩形的周长和面积可以同时加倍．
【详解】（1）解，如下图，正方形 、 和 为所求作图形；
（2）能让周长和面积同时加倍，理由如下：
根据题意，原矩形的两边长分别为1 和2，
则该矩形的周长为 ，其面积为 ，
设周长加倍后的矩形，较长的一条边长为 ，
则较短的一条边长为 ，
若面积也同时加倍，
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则 ，
解得 ， （ ，舍去 ），
∴两边长分别为1 和2的矩形，能让周长和面积同时加倍；
（3）设矩形的两边长分别为 和 ，
则该矩形的周长为 ，其面积为 ，
再设周长加倍后的矩形，较长的一条边长为 ，则较短的一条边长为 ，
若面积也同时加倍，
则有 ，
整理可得 ，
∵ ，
又∵ ，
∴ ，
∴当 时，该方程有实数解，
即当 时，矩形的周长和面积可以同时加倍．
22．（2024·安徽·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于点 、 两
点，交 轴于点 ，直线 经过点
(1)求 ， 的值；
(2)将 平移，平移后点 仍在抛物线上，记作点 ， 此时点 恰好落在直线 上，求点
的坐标．
【答案】(1) ，
(2) 或
【分析】（1）将点 代入抛物线解析式即可求得 ，根据求出的抛物线解析式求出点 坐标后，将其代入
直线解析式即可求得 ；
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（2）先求出 点坐标，设 ，根据平移性质求出平移后点 的坐标，再将其代入直线解
析式后即可求出 ，从而求得点 的坐标．
【详解】（1）解：将 代入抛物线解析式 可得，
，
解得 ，
即抛物线解析式为 ，
当 ， ，
解得 或 ，
，
将其代入 可得 ，
解得 ，
故 ， ．
（2）解：将x=0代入抛物线解析式得 ，
，
设 ，
根据平移性质可得，平移后得到的点 坐标应为 ，
此时点 恰好落在直线 中，
则 ，
解得 ，
当 时， ；
时， ，
故点 或 ．
【点睛】本题考查的知识点是求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、求抛物线与 轴的交点
坐标、利用平移的性质求解、解一元二次方程，解题关键是熟练掌握二次函数的相关性质．
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